Введение к работе
Диссертация посвящена теории двух- и трёхслойных разностных схем (PC), аппроксимирующих краевые задачи для нелинейных параболических и гиперболических уравнений. Для указанных задач рассматриваются вопросы построения PC, исследования их корректности, а также вопросы получения оценок точности приближённых решений.
Актуальность. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент являются одними из наиболее популярных и общепризнанных инструментов исследования во многих областях современного естествознания. Помимо традиционных сфер, таких как физика, химия, техника, математическое моделирование нашло применение и в биологии, медицине, экономике и пр.. Создание математических описаний изучаемых явлений, изучение математической корректности этих описаний, решение поставленных уравнений или неравенств и последующее сопоставление результатов расчётов с натурными экспериментами, если такие имеются или можно провестп,-этапы, составляющие суть методов математического моделирования.
Многие задачи современного естествознания описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. В связи с этим особое внимание уделяется методам их решения. Ввиду сложности возникающих задач, здесь чаще всего невозможно обойтись безиспользования численных методов, среди которых наибольшее распространение получили метод конечных разностей и метод конечных элементов.
В настоящее время достаточно полно разработаны аспекты теории разностных схем для линейных задач математической физики. Следует отметить здесь монографии B.C. Рябенького и А.Ф. Филиппова, Е.Г. Дьяконова, Р. Рпхтмзйера и К. Мортона, Г.И. Марчука,
А.А. Самарского, А.А. Самарского и А.В. Гулина, А.А. Самарского и В.В. Андреева, А.А. Самарского и Ю.П. Попова и др. Значительно слабее изучены разностные схемы для нелинейных задач.
В рамках теории этих методов развито множество подходов к построению сеточных аппроксимации дифференциальных уравнений. Здесь следует отметить методы построения разностных схем высокого порядка точности, схем для расчёта уравнений, содержащих особенности в коэффициентах, разностных схем для решения уравнений в областях с особенностями и т.п.
Особое внимание при конструировании разностных схем уделяется сохранению на их решениях сеточных аналогов наиболее существенных свойств, присущих исходным дифференциальным уравнениям. Среди таких свойств наиболее важными являются дивер-гентность (консервативность) уравнений, обеспечивающая выполнимость на решении уравнений интегральных тождеств, выражающих некоторые физические законы, такие как закон сохранения массы, тепла, и т.п. Методы .построения дивергентных аппроксимаций стационарных краевых задач известны и постоянно совершенствуются.
При построении PC для нестационарных задач важно обеспечить выполнение дополнительных законов сохранения, среди которых наиболее существенным является закон сохранения полной энергии. В ряде работ, среди которых отметим работы Ю.П. Попова и А.А. Самарского, В.Н. Абрашина, предложены подходы к построению консервативных разностных схем для параболических и гиперболических уравнений и систем уравнений, для которых выполнен аналог этого закона.
Как высокая точность аппроксимации дифференциальных уравнений сама по себе не гарантирует высокой точности получаемых
приближённых решений, так и консервативность построенных разностных схем не гарантирует высокого качества их решений. Существенным критерием отбора разностных схем для практических расчётов является их устойчивость к изменению входных данных.
Среди работ, посвященных вопросам устойчивости и корректности разностных уравнений выделим работы А.Ф. Филиппова и B.C. Рябенького, в которых было введено понятие устойчивости PC в абстрактных пространствах, и работы А.А. Самарского и А.В. Гу-лина, в которых была создана общая теория устойчивости линейных операторно - разностных схем (ОРС) в гильбертовых пространствах. Общие теоремы о корректности ОРС позволили с единых позиций исследовать широкий класс конкретных PC, сведя их исследование к проверке свойств входящих в них разностных операторов.
Следует отметить, что в нелинейном случае для многих важных с точки зрения практики краевых задач отсутствуют теоретические результаты, касающиеся существования решений и их единственности. Соответственно, отсутствуют и общие теоретические результаты, касающиеся свойств их сеточных аппроксимаций.
Существенной особенностью, определяющей сложность исследования нелинейных дифференциальных уравнений и соответствующих им сеточных схем, является то, что свойства операторов, вхо- дящих в уравнения, такие, как монотонность, непрерывность, выполнены не при всех значениях аргументов, а лишь на некотором множестве.
Имеется немало работ, в которых исследовались PC для нелинейных уравнений, содержащие вырождение по решению или по его производным. Отметим здесь лишь работы В.Ф. Баклановской, О.А. Олейник, М.Ф. Павловой и др., в которых исследованы разностные схемы, содержащие нелинейности степенного роста, вырожде-
ниє, негладкость или многозначность операторов. Для таких разностных схем, используя теорию монотонных операторов, удаётся доказать их разрешимость и сходимость восполнений разностных решений к обобщённому решению дифференциальной задачи.
В.Н. Абрашиным был предложен, так называемый, и- метод исследования существования и сходимости решений нелинейных неявных разностных схем для уравнений с нелинейностями произвольного роста. Используя методы типа Ньютона на каждом временном слое, доказывалась разрешимость разностной схемы в окрестности решения дифференциальной задачи при некоторых условиях на величину погрешности аппроксимации. При этом были получены оценки скорости сходимости разностных схем.
Отметим, что при исследовании каждого конкретного класса нелинейных уравнений, особенно содержащих неограниченные нелинейности, приходилось всякий раз создавать специальную методику, приспособленную для рассматриваемого класса уравнений. При этом используемая техника исследования оказывалась весьма сложной и трудно обозримой.
В связи с этим весьма актуальной была и остаётся проблема построения общей теории корректности нелинейных ОРС, подобной теории линейных ОРС Она позволила бы чётко оттенить основные идеи в исследовании PC для нелинейных уравнений, а само исследование свести к проверке условий абстрактных теорем.
Отметим, что для уравнений с ограниченной нелинейностью, когда свойства операторов сохраняются при всех значениях аргументов, в работах А.Д. Ляшко, М.М. Карчевского, А.В. Лапина были получены теоремы, обобщающие некоторые результаты теории линейных ОРС. В работах А.В. Лапина и А.Д. Ляшко было введено понятие локальной корректности ОРС. Теоремы о локальной корректности
позволили исследовать явные и регуляризованные PC для некоторых классов уравнений, содержащих неограниченные нелинейности. При этом требовалось проверять свойства сеточных операторов в окрестности решения исходной задачи. Некоторые классы нелинейных ОРС были исследованы в работах Н.В. Арделяна, В. С. Арефьева. Эти теоремы позволили, в частности, исследовать неявные PC для параболических уравнений второго порядка с коэффициентами, зависящими от искомой функции.
Цель работы состоит в разработке теории корректности нелинейных двух- и трёхслойных ОРС и применении её для исследования разностных схем для уравнений математической физики параболического и гиперболического типов, содержащих нелинейности произвольного роста.
Методы исследования, применяемые в диссертации, основаны на анализе известных подходов к исследованию PC для нестационарных задач математической физики, последовательном применении метода энергетических неравенств, а также использовании методов функционального анализа и теории уравнений в частных производных.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:
Предложены новые способы построения разностных схем для решения нестационарных задач математической физики, на решении которых выполнен сеточный аналог закона сохранения энергии;
Доказаны теоремы о локальной корректности нелинейных двух-и трёхслойных операторно- разностных схем с весами, обобщающие теоремы об устойчивости линейных операторно-разностных
схем;
— Сформулированы условия локальной корректности двух- и трёх-
' слойных консервативных операторно-разностных схем;
Сформулированы условия локальной корректности двухслойных консервативных систем операторно-разностных схем и систем операторно-разностных схем с весами;
Построены новые классы консервативных разностных схем, для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка параболического и гиперболического типов, а также для систем многомерных уравнений газо- и гидродинамики;
Доказаны теоремы о разрешимости и сходимости консервативных разностных схем и разностных схем с весами для нелинейных уравнений второго порядка параболического и гиперболического типов;
Доказаны теоремы о разрешимости и сходимости разностных схем для задач одномерной газовой динамики и многомерных задач динамики вязкой сжимаемой жидкости в лагранжевых координатах.
Основные результаты докладывались на Всесоюзных школах молодых учёных: "Численные методы решения задач математической физики" (г.Львов, 1983 г.), "Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики" (г.Рига, 1985)3 "Вычислительные методы и математическое моделирование" (г.Красноярск, 1986), "Математическое моделирование в естествознании и технологии (г.Светлогорск, 1988 г.), на Международной конференции по численным методам и приложениям (София, 1989), на Международной конференции и чебышевских чтениях,
посвященных 175-летию с дня рождения П.Л. Чебышева (г.Москва, 1996), на Конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию Б.М.Гагаева (Казань, 1997), на Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Ростов-на-Дону, 1997), на Всероссийских семинарах "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 1996, 1998), на Второй Международной конференции "Конечно-разностные методы: Теория и приложения" (CFDM98, Минск, 1998), на семинарах в Московском (рук. А.А.Самарский) и Казанском (рук. А.Д.Ляшко) государственных университетов.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [17].
