Содержание к диссертации
Введение
1. Мультипольная модель направленного излучателя и границы ее применения 32
1.1. Мультипольная модель направленного излучателя 32
1.2. Условия применимости мультипольной модели направленного излучателя 37
1.3. Интегральное представление потенциала поля мультиполь- ного излучателя 82
2. Прямые задачи для мультипольного излучателя 100
2.1. Краевое условие у мультипольного излучателя 100
2.2. Лемма об устранимой особенности 103
2.3. Поле мультипольного излучателя в полупространстве . 109
2.4. Поле мультипольного излучателя в идеальном волноводе . 112
2.5. Поле мультипольного излучателя в волноводе с неидеальными границами 123
2.6. Поле мультипольного излучателя в горизонтально стратифицированном волноводе 133
3. Приближенные методы решения прямых задач для мультипольного излучателя 145
3.1. Расчет поля мультипольного излучателя методом перевала 146
3.2. Расчет поля мультипольного излучателя в волноводе Пеке- риса 150
3.3. Расчет поля мультипольного излучателя в модовом приближении 158
3.4. Расчет поля мультипольного излучателя прямым численным интегрированием 171
3.5. Спадание поля мультипольного излучателя в волноводе Пекериса 188
4. Обратная задача оценки мультипольных моментов излучателя 200
4.1. Применение метода максимального правдоподобия для получения оценок мультипольных моментов излучателя 201
4.2. Алгоритм оценки мультипольных моментов излучателя 213
5. Пакет программ численного решения задач для мультипольного излучателя 219
5.1. Назначение и функциональные возможности пакета 219
5.2. Поле мультипольных излучателей в волноводе Пекериса 224
5.3. Имитационное моделирование решения обратных задач 245
5.4. Результаты обработки данных натурного эксперимента 261
Заключение 275
Литература 278
- Условия применимости мультипольной модели направленного излучателя
- Поле мультипольного излучателя в полупространстве
- Расчет поля мультипольного излучателя в волноводе Пеке- риса
- Алгоритм оценки мультипольных моментов излучателя
Условия применимости мультипольной модели направленного излучателя
Выше доказана независимость мультипольных моментов Спт в выражении (1.7) от радиуса сферы S, для которой ставится задача Дирихле. Однако при использовании точечной модели вместо источника конечных размеров возникает вопрос о выборе в габаритах источника центра приведения для построения из него сферы или, что то же самое, для размещения в этом центре точечного модельного излучателя с потенциалом в виде (1.7). Этот вопрос имеет два аспекта. Во-первых, необходимо выяснить, как влияет произвол в выборе центра приведения на поле, создаваемое точечным излучателем с заданными моментами Спт. Другими словами, насколько велика разница между полями, создаваемыми модельным излучателем, при различных положениях центра приведения, которые выбраны в габаритах исходного реального источника конечных размеров (прямая задача)? Во-вторых, необходимо выяснить, как влияет произвол в выборе центра приведения на значения мультипольных моментов Спт, которые рассчитываются по созданному исходным источником полю. Другими словами, насколько изменится величина определяемых по заданному полю параметров Спт при всевозможных изменениях в положении центра приведения (обратная задача)? Второй аспект проблемы сводится к рассматриваемому в пятой главе работы вопросу о влиянии погрешности задания геометрических координат точечного излучателя на точность определения мультипольных моментов по его полю, а в данной главе обсуждаются критерии применимости модели точечного направленного из- у чате ля при решении прямой задачи. Выбор оптимального в некотором смысле положения центра приведения в габаритах объемного излучателя в общем случае представляет собой существенно нелинейную задачу. Другой подход состоит в определении условий, при соблюдении которых можно пренебрегать возникающими при изменении положения центра приведения изменениями в значениях величин, характеризирующих поле. Этот подход позволяет сохранить линейность задачи. Принято считать, что если различие в полях для предельно разнесенных в габаритах исходного источника положений центра приведения невелико, то выбор его положения внутри источника может быть осуществлен произвольным образом. Другими словами, в этом случае источник конечных размеров может быть заменен точечным, который находится в произвольно выбранном внутри исходного источника центре приведения. Этот подход для монопольной модели приводит к известным качественным условиям малости характерного линейного размера источника Ь по сравнению с длиной волны Л и расстоянием г до точки приема 1/г 1 и кЬ2/г С 1 [17].
Представляет интерес получение аналогичных ограничений и для мультипольной модели. Основной критерий применимости модели. Пусть монохроматический источник конечных размеров находится в неограниченном однородном пространстве и имеет характерный линейный размер Ь. Выберем в габаритах источника в качестве двух центров приведения точки О и О , расположенные на расстоянии Ь друг от друга. Построим в этих точках декартовы системы координат OXYZ и О Х У с направлениями осей ОЪ и О Г, которые совпадают с направлением вектора 00 . Связь между обсуждаемыми декартовыми системами координат можно задать в виде {;х = ж, у = у, г = г — Ь}. Кроме того, построим в тех же самых точках две сферические системы координат с полярными осями, направления которых также совпадают с направлением вектора 00 (рис. 1.2). Используя выписанные соотношения между рассматриваемыми декартовыми системами координат, а также соотношения между декартовыми и сферическими координатами, получим искомую связь между сферическими системами координат Рассмотрим более подробно функцию i(d,9). Будем считать, что значения параметра d = L/r во всех случаях удовлетворяют ограничению О d 1, т.е. будем рассматривать только точки, находящиеся на расстояниях г больших характерного линейного размера источника L. Так как дц/д9 = —2d sin 9/ц, то наибольшего и наименьшего значения функция fi(d, 9) при каждом фиксированном d достигает при 9 = 0 и 9 = тт. Но [i(d, 0) — 1 — a fjt(d, 7г) = 1 + d, следовательно, для любых 0 d 1 и 9 справедливы оценки Соотношения (1.9) и неравенства (1.10) включают в себя параметр d = L/r, связывающий между собой характерный линейный размер источника L и расстояние до точки наблюдения г. Рассматриваемая задача сводится к получению не зависящих от направления на источник ограничений на параметр d, при удовлетворении которых разница между полями, полученными при размещении точечного модельного излучателя в центрах приведения О и О , будет невелика, и, следовательно, выбор положения модельного излучателя в контуре исходного тела можно осуществлять произвольным образом.
Пусть модельный излучатель находится в центре приведения О. Тогда потенциал поля в произвольной точке М(г,9, (р) вне излучателя имеет вид (1.7). Если теперь модельный излучатель поместить в центр приведения где Si и 2 достаточно малые числа, определяющие допустимую для рассматриваемой практической задачи степень различия между уровнями и фазами полей давления. С физической точки зрения выбор значений величин е\ и е2 осуществляется исходя из точности измерительной аппаратуры. При этом методическая погрешность должна быть не больше аппаратурной (инструментальной). На практике приемлемыми различиями между уровнями давления считается 1-3 децибела, а набег фазы не должен превышать 5-10 градусов. Поэтому е\ следует выбирать в диапазоне 0,12-0,41, а 2 — в диапазоне 0,08-0,16. Используя сформулированные требования (1.12) и (1.13), вначале рассмотрим отдельные частные случаи различных мультиполей до второго порядка включительно, а затем их комбинации в одном модельном излучателе. \ф(г ,9 , р )\ (1.12) ец \ф(г,9,ср)\ Монопольный излучатель. Пусть в (1.7) и (1.11) все Cnm кроме Со о равны нулю, то что рассматриваемый излучатель
Поле мультипольного излучателя в полупространстве
Решение сформулированной в разделе 2.1 задачи о поле мультипольного излучателя в полупространстве (2.2)-(2.4) может быть получено с помощью метода мнимых изображений [16, 17, 160]. В соответствии с этим методом поверхность раздела полупространств заменяется зеркально расположенным относительно этой поверхности мнимым излучателем с точно такой же, как и у исходного излучателя характеристикой направленности (то есть с точно такими же мультипольными моментами). Но при этом в случае абсолютно мягкой границы мнимый излучатель излучает звуковые колебания в противофазе с исходным. С точкой Р, в которой находится излучатель, совместим центр О сферической системы координат (г, #, /?). Ее полярную ось направим внутрь полупространства, которое содержит излучатель (рис.2.2). Пусть (г ,9 , р ) — сферическая система координат, центр которой О совмещен с расположенным в точке Р мнимым излучателем. Полярную ось этой системы координат также направим внутрь полупространства с исходным излучателем. Введенные таким образом системы координат связаны соотношениями г 2 = г2 + 4г осо80 + 44 соъ9 = (гсоъ9+ 2г0)/г , р = (р. (2.16) Справедливость этих соотношений можно доказать, проведя элементарный геометрический анализ рис. 2.2. Первое из соотношений (2.16) следует из теоремы косинусов, примененной к треугольнику РР М, а второе — из определения функции косинус для угла МР Ы треугольника МР N. Теперь решение поставленной задачи, построенное формально, будет иметь вид Во-первых, уравнение
Гельмгольца (2.2) удовлетворяется, поскольку (2.17) есть линейная комбинация его решений. Во-вторых, непосредственной подстановкой уравнения границы полупространства — плоскости Е, которое в связанной с исходным излучателем сферической системе координат имеет вид в выражение (2.17) убеждаемся в выполнении граничного условия (2.3). В самом деле, из уравнения плоскости Е и соотношений, связывающих Коэффициент Хпт введен в выражение (2.17) формальным путем для того, чтобы удовлетворить граничному условию (2.3). Однако этот коэффициент имеет важный физический смысл, который определяется особенностями отражения мультиполей на идеальных границах. Как известно [17, 160], на одной и той же границе некоторые из мультиполей отражаются с той же фазой, что и монополь, а другая часть мультиполей изменяет фазу на противоположную. Например, диполи с моментом С\-\ (у-диполь) и С1Л (ж-диполь), а также квадруполи с моментами С2-2 {хх уу-квадруполь), С2;о (л-квадруполь) и С2,2 (жу-квадруполь) ведут себя так же как и монополь, а диполь с моментом (г-диполь), и квадруполи с моментами С\ \ (ж -квадруполь) и Схд ( /г-квадруполь) — излучают в противофазе с монополем. Именно этот физический факт, математически выраженный через свойства присоединенных полиномов Лежандра, отражен с помощью включенного в выражение для поля коэффициента Хпт- Заметим, что многие авторы, рассматривающие Пусть теперь рассматриваемый мультипольный излучатель находится в жидком однородном волноводе с двумя горизонтальными и плоскими границами. Эта модель соответствует тому случаю, когда нельзя пренебречь влиянием дна водоема на создаваемое источником поле. В свою очередь, это имеет место, если длина волны становится сравнимой с глубиной водоема, в котором находится изучаемый источник или если расстояние до источника становится много больше глубины водоема.
В этом разделе верхнюю (свободную) границу волновода — плоскость 2, как и в случае полупространства, будем считать идеальной — абсолютно мягкой, то есть, примем, что коэффициент отражения для плоской волны от верхней границы равен минус единице. Дно волновода — плоскость Ех — также будем считать идеальным, но абсолютно жестким, то есть коэффициент отражения от дна возьмем равным плюс единице. Пусть толщина волновода равна Н 0, а источник находится на расстоянии 0 /г от его свободной поверхности (рис. 2.3). На расстояния Н и о наложим ограничения к(Н — г о) 1 и кх о 1, выполнение которых позволяет пренебречь дифракцией на поверхности реального источника для волн, отраженных от границ волновода, и, тем самым, обеспечить возможность использования точечной модели в условиях волновода.
Расчет поля мультипольного излучателя в волноводе Пеке- риса
В предыдущем разделе отмечалось, что поле мультипольного излучателя может быть описано с помощью выражения (3.6) только в том случае, если функции У\(0) и У?,{Р) не имеют особых точек в области между исходным контуром интегрирования С? и перевальным путем С\, и что анализ наличия особых точек у коэффициентов отражения У\(Р) и (/З) возможен только после их конкретизации. В качестве практически важного частного случая рассмотрим муль- типольный излучатель, находящийся в волноводе Пекериса. В этой модели волновода считается, что жидкий однородный слой толщиной И с плоскопараллельными границами расположен над жидким однородным полупространством. Верхняя граница слоя считается идеальной — абсолютно мягкой. Известно, что коэффициент отражения плоской волны от такой границы равен минус единице для любых углов падения волны на границу. В использованных выше обозначениях это означает, что У2(/3) — —1. Плотности сред и скорости звука в слое и в подстилающем полупространстве считаются известными. Коэффициент отражения для границы между слоем и полупространством, то есть коэффициент отражения У\ф) плоской звуковой волны от дна волновода Пекериса, задается с помощью известной формулы Френеля (2.45) В [16] при решении задачи о монопольном излучателе, находящемся в волноводе Пекериса, проведен подробный анализ наличия и положения особых точек у коэффициента отражения (2.45). Этот анализ показывает, что полюса функции У\((3) для волновода Пекериса не попадают в область между контурами (7 и С\ ни для каких физически реализуемых коэффициентов пит. Однако в некоторых случаях при деформации исходного контура интегрирования оказывается затронутой точка ветвления функции Ух (/5), и тогда к интегралу по перевальному пути необходимо добавить интеграл по берегам разреза, идущего от точки ветвления на бесконечность. С физической точки зрения значение этого интеграла представляет собой вклад в общее поле источника от боковой волны, возникающей в случае превышения углом падения плоской волны угла полного внутреннего от- ражения. откуда 8 = агсвшп.
При этом значении 3 радикалы в числителе и знаменателе (2.45) обращаются в нуль, что и является определением точки ветвления для функции комплексного переменного. Будем считать, что мнимая часть параметра п, которая представляет собой коэффициент поглощения дна волновода, очень мала, а вещественная часть п меньше единицы. Это соглашение соответствует наиболее распространенным реальным значениям физических характеристик дна водоемов. При отражении плоской волны от дна волновода Пекериса с таким значением параметра п возможны два случая. В первом случае седловая точка Д) = 9ц метода перевала при любых возможных I и $ лежит левее Яе 8. Это значит, что разрез, идущий от точки А на бесконечность и отделяющий друг от друга области однолистости функции У\(Р), либо вообще не пересекается, либо пересекается перевальным путем два раза и, следовательно, путь интегрирования остается на том же самом листе римановой поверхности, на котором он начинался. Этот случай соответствует ситуации, когда угол падения плоской волны Вц меньше угла полного внутреннего отражения 6. При этом боковая волна не возникает и выражение (3.6) при подстановке в него У2(Р) = — 1 и У\(Р) из (2.45) дает полное решение задачи о поле мультиполного излучателя в волноводе Пекериса. Во втором случае седловая точка для некоторых 6ц оказывается правее точки ветвления А. Физически это значит, что угол падения плоской волны для некоторых слагаемых (3.6) превышает угол полного внутреннего отражения 5. Тогда путь интегрирования пересекает линию разреза один раз и оказывается на втором листе римановой поверхности функции У\(Р). В этом случае к основному значению интеграла (3.6), взятому по перевальному пути, нужно добавить интеграл от той же самой подынтегральной функции, но взятый по берегам разреза. Значение этого интеграла и представляет собой потенциал ф(г,В,ср) боковой волны Для рассматриваемого случая Vij(P) = (—l)L2jV 13 (cos Р), а функция Vi(P) задается формулой Френеля (2.45). Второй интеграл вычисляется по левому берегу разреза, а функция F+(P) представляет собой находящуюся на этом берегу вторую ветвь функции F(P), где Уц(Р) = (-1)ь (У1+(со8/3))ц. Функция Ух(Р) — это вторая ветвь функции VI (/?), у которой знаки перед радикалами в формуле Френеля (2.45) изменены на противоположные Заметим, что в соответствии со сказанным выше, в выражении для поля боковой волны (3.7) должны удерживаться только те слагаемые, для которых 6 9ц 7г — 6, то есть слагаемые, соответствующие плоским волнам, падающим на дно волновода под закритическим углом, и для которых седловая точка Ро = вц расположена правее точки ветвления А. Эта особенность выполнения суммирования в (3.7) отмечена штрихом справа от знака соответствующей суммы. Запись интегралов 1птц в выражении (3.7) можно упростить, поменяв местами пределы интегрирования Пусть В обозначает разность между расположенными на разных берегах разреза ветвями функции Уц{р), то есть В = Уц{Р) — Vij{P)-
Тогда из определения функций Уц и Уц получим Выполняя возведение в степень в числителе и умножение в знаменателе, после приведения подобных получим Для дальнейшего вычисления интегралов (3.8), как и в случае монопольной модели [16], можно воспользоваться методом наискорейшего спуска. При использовании этого метода идущий вдоль разреза путь интегрирования деформируется так, чтобы он шел от точки ветвления А по линии, на которой экспоненциальный сомножитель подынтегральной функции exp(кгц/((3)) убывает быстрее всего. На этой линии Rе(кгц/(/3)) = const, a Im(кгц/((3)) 0. Учитывая, что начальной точкой контура интегрирования является лежащая на разрезе точка А, которая определяется соотношением 3 = 8, где 8 = arcsin — угол полного внутреннего отражения, получаем уравнение нового пути интегрирования G2 Вначале рассмотрим случай 0 9ц тг/2. Тогда f(/3) = icos(9ij — (3) и уравнение пути интегрирования G2 в (3.9) приобретает вид Так как в данном случае (3Q = вц, то уравнение пути можно записать в виде Если теперь взять 7г/2 9ц 7г, то f((3) = —г cos(#j + 3) и обсуждаемое уравнение запишется в виде Но учитывая, что /Зо = ж — 9ц в этом случае вновь получаем совпадающий с (3.10) вид уравнения пути интегрирования. Пусть 3 = (3 i(3", тогда из
Алгоритм оценки мультипольных моментов излучателя
В экспериментальных условиях регистрируется не потенциал поля ф, а давление Р, поэтому нужно перейти от функции фо(г,9,(р) к функции Ро(г,9,(р), которая описывает поле давления в рассматриваемой области Откуда, с учетом (4.10), Экспериментальный сигнал имеет вид (4.1), поэтому в последнем соотношении оставим лишь вещественную часть Выражение для давления PQ можно записать в более удобной для применения в рамках метода максимального правдоподобия. Введем обозначение: — общее число оцениваемых мультипольных моментов. Для придания выражению для давления более компактного вида целесообразно переименовать и переобозначить его компоненты Здесь и далее подразумевается, что по повторяющемуся верхнему и нижнему индексам выполняется суммирование. Таким образом, выражение для давления, создаваемого мультипольным излучателем, представлено в виде суммы косинус и синус составляющих, линейно зависящих от оцениваемых параметров модели. Теперь используем полученные экспериментальным путем косинус и синус составляющие сигнала (4.3): где P\j(ti) и P2j{ti) являются средними значениями по всем измерениям, выполненным в г-й точке отсчета на j-м приемнике. Для определения искомых оценок Wv можно непосредственно применить описанный выше аппарат, и в частности, соотношения (4.6) и (4.7).
При этом отыскиваются такие значения Wu, где LUij, кц и uj{j имеют смысл нормированных весов дисперсий и корреляционного момента (4.4) экспериментально полученных отсчетов косинус Pij(U) и синус P2j{U) составляющих сигнала. Исходя из соотношений (4.6) и (4.7), для оценок мультипольных моментов запишем следующую систему линейных уравнений V — 1, 2,..., 2Ь, Мц — точка поля с координатами (гц, А дис персии оценок , V — 1,2,... ,2Ь и доверительные интервалы для них рассчитываются по формулам (4.8) и (4.9). В виде, аналогичном (4.15), можно представить не только давление звукового поля в неограниченном пространстве, но и в других рассмотренных выше областях. При этом усложняется только вид функций г)у(г, 9, ф) и Цг,9,ф). Целевой функционал и система линейных уравнений (4.15) для получения оценок параметров мультипольного излучателя, а также соотношения, определяющие дисперсии оценок (4.8) и доверительные интервалы для них (4.9), остаются неизменными. Полученные в предыдущих разделах работы точные и приближенные соотношения могут быть использованы для решения прямых и обратных задач, связанных с мультипольным излучателем. Однако совершенно очевидно, что даже в простейших случаях, когда излучатель находится в неограниченном пространстве или в полупространстве и имеются точные аналитические решения задач о мультипольном излучателе, получение конкретных числовых результатов сопряжено с очень большим объемом вычислений, с которыми непросто справиться без применения ЭВМ. Таким образом, возникает реальная потребность в программным средствах, соответствующих представленному теоретическому аппарату.
В данной главе описывается разработанный в рамках диссертационной работы пакет прикладных программ " Направленность", в котором реализованы полученные в предыдущих главах основные алгоритмы решений задач, связанных с мультипольным излучателем. Кроме того, в главе представлены результаты вычислительных экспериментов, проведенных с использованием обсуждаемого пакета. Пакет программ "Направленность" предназначен для решения прямых, имитационно-обратных и обратных задач, связанных с мультиполь- ной моделью направленного гидроакустического излучателя. Пакет может работать в операционных системах семейства Windows 9х на персональных машинах типа 486/Pentium с объемом оперативной памяти не менее 128 Мбайт. К основным функциональным возможностям пакета относятся: - решение прямых, имитационно-обратных и обратных задач, поставленных для мультипольного излучателя; - решение задач в неограниченном пространстве, полупространстве, однородном волноводе с идеальными и неидеальными границами, волноводе Пекериса; - при решении прямых, имитационно-обратных и обратных задач порядок мультипольности модели может задаваться в пределах от 0 до 2, при этом для прямых и имитационных задач мультипольные моменты модели могут
