Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА І 10
1, Редукция симплектических многообразий с симметриями. Интегрируемость гамильтоновых систем 10
2. -инварианты 14
3. Сходные функции 19
4. Примеры интегрируемых гамильтоновых систем. Задача о движении многомерного твердого тела с потенциалом 24
5. Теоремы о полной интегрируемости некоторых систем с некоммутативными алгебрами первых интегралов 32
ГЛАВА II 44
1. Инварианты алгебр Ли вида 44
2. Сингулярные орбиты алгебры Ли -AoQi)* ^- 53
3. Дополнительные замечания относительно движения И--мерного твердого тела с группой симметрии SoQk)<>c(n-k) 57
4. Технические подробности 62
Литература
- Сходные функции
- Примеры интегрируемых гамильтоновых систем. Задача о движении многомерного твердого тела с потенциалом
- Сингулярные орбиты алгебры Ли -AoQi)*
- Дополнительные замечания относительно движения И--мерного твердого тела с группой симметрии SoQk)<>c(n-k)
Введение к работе
В последние годы значительное внимание привлечено к задаче интегрирования гамильтоновых систем на симплектических многообразиях, в частности," на орбитах коприсоединенного представления алгебр Ли. Интерес к исследованию гамильтоновых систем объясняется рядом глубоких результатов математической физики (см. книгу L2.4] там же приведен список литературы), связанных с интегрированием уравнения Кортевега - де Фриза (ЦцФ).
В 1971 г. В.Е.Захаров и Л.Д.Фаддеев показали ( L2.53 ), что уравнения ВдФ с быстроубывающим потенциалом представляют собой вполне интегрируемую гамильтонову систему, а в 1974 г. С.П.Новиков и Б.А.Дубровин разработали метод интегрирования КдФ с периодическим потенциалом в 0 -функциях (СМ0]Дг1]-[гз]); при этом установлена связь со случаем быстроубывающего потенциала. Эти результаты стали основополагающими для большого числа работ (см. обзоры 1293, [30] [321,11 9] ). В частности возникло направление, решающее задачу построения вполне интегрируемых гамильтоновых систем на алгебрах Ли.
Системы, интегрируемые по Лиувиллю, исследовались в работах А.С.Мищенко, А.Т.Фоменко, В.В.Трофимова (134]}135]ДЦ9]Д5С]Д52]) и ряда других авторов.
Системы на алгебрах Ли, интегрируемые в 0 -функциях исследовали М.Адлер и П.ван Мёрбеке ( It }-31 ), О.И.Богоявленский (tiol,tlll), а также А.Г.Рейман и М.А.Семенов-Тянь-Шанский (t 5l W1).
Методы интегрирования в теории гамильтоновых систем сочетаются с результатами, доказывающими отсутствие первых интегралов для ряда классических систем. Первые результаты такого типа полу-чены еще А.Пуанкаре. Недавним серьезным продвижением стало дока-зательство В.В.Козловым ([2.?3,2S] ) отсутствия аналитических первых интегралов в задаче о движении твердого тела в поле силы тяжести при некоторых ограничениях на тело.
Подводя итог, можно сказать, что теория гамильтоновых систем сейчас обладает целым рядом сильных методов, позволяющих получать новые результаты для классических задач, а также решать задачи, необходимость исследования которых появилась уже в настоящее время.
2. Одной из классических задач гамильтоновой механики, к которой была применена техника интегрирования уравнения КдФ, является задача о движении твердого тела (вообще говоря многомерного).
В 1969 г. В.И.Арнольд показал ( [43 ) гамильтоновость уравнений Эйлера, затем серию первых интегралов обнаружил А.С.Мищенко ( [33] ), а Л.А.Дикий показал ( L203) их инволютивность.
Полную интегрируемость в 0 -функциях задачи о движении м -мерного твердого тела доказал С.В.Манаков ([Зі]), записав уравнения Эйлера в виде LA -пары с параметром и воспользовавшись леммой Б.А.Дубровина ([25]). Наличие LA -пары с параметром позволило также получить целую серию первых интегралов. Этот факт был использован А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко (1353 ) для построения вполне интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем на полупростых алгебрах Ли (метод сдвига инвариантов). В частности, была доказана полная интегрируемость аналогов уравнений движения многомерного твердого тела на всех полупростых алгебрах Ли. Дальнейшее развитие метода сдвига инвариантов имеется в работах М.Адлера, П.ван Мёрбе-ке (Е11 ), А.Г.Реймана (№3), В.В.Трофимова ([513 ), Дао Чонг Тхи (С19Ї ), А.В.Браилова (L13],M),
Для ряда механических задач (в частности, для случая Лагран-жа движения твердого тела) М.Адлер и П.ван Мёрбеке получили (33 ) Ц/Ч ««пару с параметром и, как следствие, решение их в 9 -функциях. Своего рода итогом цикла по интегрируемости в О -функциях на алгебрах Ли стала работа А.Г.Реймана и М.А.Семенова-Тянь-Шанского (ЕЧб] ), в которой конструкция М.Адлера и П.ван Мёрбеке получила весьма красивое алгебро-геометрическое истолкование.
В заметке ЕН3 A.M. Переломов доказал полную интегрируемость по Лиувиллю многомерного аналога случая С.Ковалевской, получив для него Lk «пару. Поскольку в ней отсутствует параметр, то интегрируемости в 0 ««функциях нет и, таким образом, многомерный случай С.Ковалевской является (по крайней мере пока) едва ли не единственной вполне интегрируемой системой, не проинтегрированной в Q .фикциях.
Близкой к задаче о движении твердого тела в поле силы тяжести является задача о движении твердого тела в идеальной жидкости ( [4S3). С.П.Новиков показал, что уравнения движения этой задачи являются уравнениями для геодезических правоинвариантной метрики на группе Ли Е(5) . Он также установил, что при предельном переходе (сжатии) от группы оС0 к группе Е.С5") уравнения Эйлера для о (. ) переходят в уравнения для случая Клебша (об этом см. DH).
Полная интегрируемость многомерного аналога этой задачи со знаконеопределенным гамильтонианом была доказана В.В.Трофимовым и А.Т.Фоменко ( П50І); при этом был использован метод секционных операторов (L52.3) для нахождения гамильтонианов, задающих вполне интегрируемые системы. Для случая положительно определенного га -6 мильтониана A.M.Переломовым получена ЬД «пара с параметром и, тем самым, доказана полная интегрируемость в 6 ««функциях.
3. Центральной задачей данной диссертации является задача о движении многомерного твердого тела в поле силы тяжести. Если ставить задачу отыскания вполне интегрируемых случаев (на почти всех орбитах общего положения) для движения гх -мерного тела, то по всей видимости нужно отбросить случаи с оператором инерции, имеющим более двух собственных значений. Ибо для ri 5 результаты (2- 3 ) практически гарантируют отсутствие решения.
Итак, рассматривается задача о движении гг верного тела в поле силы тяжести, причем оператор инерции имеет два собственных пространства L±, г с собственными значениями \9 г • Известные многомерные случаи Лагранжа и Ковалевской (53, , , 1, ) налагают ограничения на dim U-L , именно, cLLmL.u=О либо dlmU i для одного из индексов = 1,2..
В диссертации рассмотрен общий случай с произвольными размерностями пространств L± и Uz (иначе говоря, рассматривается задача о движении п. -мерного тела с группой симметрии о(.п.-К)® gjSoC ") в поле силы тяжести). Показано, что при некотором соотношении на коэффициенты -X±t г и условии на радиус-вектор центра тяжести задача имеет три типа первых интегралов, порождающих бесконечномерную алгебру первых интегралов.
Можно лишь предположить, что найден полный набор интегралов для произвольного п. , однако проверить это вследствие технических трудностей вряд ли возможно. Но для a cLlrTiL aLrTiL Z теорема о полной интегрируемости доказана.
Случаи Лагранжа и Ковалевской являются "вырожденными", поскольку оператор инерции не общего положения. Это приводит к нали -7 чию алгебры J линейных первых интегралов, причем алгебра І вкладывается в алгебру , на которой определена гамильтонова система. Функции У: - • 1R , находящиеся в инволюции с линейными интегралами алгебры j (& -инварианты) играют важную роль при изучении вырожденных гамильтоновых систем. Кроме того, -инварианты могут быть использованы при нахождении инвариантов коприсоединенного представления алгебр вида §-$QrV , а в случае, когда полупроста и V" коммутативна, имеется эффективный способ их нахождения.
Диссертация состоит из двух глав. Первая глава посвящена построению интегрируемых гамильтоновых систем на алгебрах Ли. В первом параграфе первой главы излагаются без доказательства основные факты теории, которые в дальнейшем используются без ссылок. Эти факты цитируются из 15] ,1261,1 3,1 ,1.5. в §2 излагается способ нахождения і -инвариантов и доказываются некоторые соотношения, необходимые для вычисления скобок Цуассона # -инвариантов. В §3 предъ явлены квадратичные функции, обладающие сериями первых интегралов (вообще говоря не инволютивных). В §4 рассматривается многомерный аналог задачи о движении твердого тела в поле силы тяжести, получен ряд интегрируемых систем, а также формулируется основная теорема о наличии первых интегралов движения твердого тела с группой симметрии ooCk) ® So(n-k) , в §5 доказываются теоремы о полной интегрируемости систем, рассмотренных в §4.
Во второй главе рассмотрены вопросы, близко примыкающие к тематике построения интегрируемых гамильтоновых систем. В §1 предлагается способ нахождения инвариантов коприсоединенного представления алгебр Ли вида $QrV и явно выписаны полные наборы таких инвариантов для алгебр Ли ioC S-lR. 1 бк Ю К , аос е-И? 1 г
В §2 указаны функции, задающие сингулярные орбиты алгебр Ли вида . Доказана теорема об интегрируемости движения 4 мерного тела, оператор инерции которого имеет три различных собст » венных значения, на некоторых сингулярных орбитах размерности 4 (еа орбитах общего положения эта задача, вероятнее всего, не интегрируема). В §3 указана связь между задачей движения точки на гг-1 «мерной сфере и случаем Лагранжа движения п, «мерного тела; задача о движении S o(j ®So(a K) -симметричного тела в поле силы тяжести сведена к задаче с квадратичным потенциалом на компактной алгебре Ли. В §4 приводятся подробные выкладки для рядя утверждений и теорем.
На защиту выносятся следующие результаты:
Теорема 2.2 (гл.1.§4) об интегрируемости уравнений движения многомерного твердого тела с группой симметрии SoCK) ® So(n-k)
Теорема 4.3 (гл.1.§5) о полной интегрируемости уравнений движения 4-мерного тела с группой симметрии So (2.) ® So С2.)
Теорема 4 (гл.II.§2) о полной интегрируемости уравнений движения 4-мерного тела с тремя различными собственными значениями оператора инерции на некоторых (4-мерных) сингулярных орбитах
Теорема I (гл.1.§3) об интегрируемости квадратичного гамильтониана вида 2 1\ 3\У
Утверждение п.1 (гл.П.§3) о связи задачи движения а-мерного твердого тела в поле силы тяжести в случае Лагранжа с задачей о движении точки на гг-i -мерной сфере
Теоремы 3.2 (гл.1.§4), 2.2 (гл.1.§5) о включении некоторых случаев задач о движении многомерного твердого тела в поле силы тяжести, в поле с ньютоновским потенциалом и в идеальной жидкости в общую серию вполне интегрируемых систем
Утверждения 2 (гл.П.Ш, 3 (гл.П.Ш о явном виде инвариантов коприсоединенного представления алгебр Ли и о полноте предъявленных наборов.
Автор глубоко признателен проф. А.Т.Фоменко, под руководством которого выполнялась работа, а также А.В.Бочарову и А.Г.Рейману за полезные обсуждения.
Сходные функции
Известно, что система ос = 5аъас1 Tt{p$ ad tad 7t(ot) ос, задаваемая на орбитах присоединенного представления алгебры Ли , является результатом редукции системы, заданной на Т G-( Ох - группа Ли алгебры ) с гамильтонианом !rt = L СК.), где t : Т G- - Q - проекция, индуцированная левыми сдвигами. Аналогичную редукцию можно проделать и в том случае, когда гамильтониан не левоинвариантен ( ІЩ ).
Утверждение I.I. Цуеть V" линейное пространство функций С С &) » инвариантное относительно правых сдвигов группы о- , зс ,... , з п. - базис V Считая пространство V коммутативной алгеброй Ли, можно определить полупрямую сумму алгебр Ли J S V ( алгебра Ли группы Ли & , представление (а : V -+ V индуцировано представлением группы G- ).
Тогда гамильтонова система, заданная на Т & гамильтонианом C(t 0 ±\...Д сйДЯ С і\-Д1СЗД редуцируется в систему, заданную на алгебре Ли в- V" с гамильтонианом здесь \,..., \ т. - координаты , ЛГ м проекция кокасатель-ного расслоения Замечание 1.2. Приведенное выше утверждение может быть использовано не только с целью понижения порядка системы. Цусть дано конечномерное представление группы G=$o(n\ a.L- матричные элементы представления - образуют базис пространства V.
Поэтому гамильтонова система на Т & может быть записана на алгебре 3 Q- IR , причем функции 2»CLLJ CL . (выделяющие О j f -25— ггг группу G- в R ) являются инвариантами коприсоединенного п. представления алгебры Q Ifc .
2. Получим уравнения движения п. -мерного твердого тела в поле силы тяжести. Для этого свяжем с гг «мерным твердым телом орторепер О, tt,...,.п. э где О - точка закрепления. Тогда движение тела в неподвижной системе координат О, t,.„, „, можно описать траекторией в группе S о (я) . Фазовое пространство этой системы есть Т So in) , а движение задается векторным полем igtacf, tK. , где jt :Т S О СгО) —?» IF?. - функция полной энергии тела. Для вычисления гамильтониана следует уточнить постановку задачи. Будем считать, что твердое тело - конечная система материальных точек {МЛі.=іЛ....,р , на которую наложены голономные связи pCNL,NO con. t,pCOfN.u)«coai, te j-1,..., р , где начало неподвижной системы координат. Уравнения движения сплошное го твердого тела аналогичны уравнениям движения дискретной системы жестко связанных материальных точек. Кинетическая энергия твердого тела имеет вид Т = , .(0. ,.,0. )= 1 m. dwtLtdkmtL п\ где =0 іа радиус-вектор 1 -ой точки в твердом теле, &J. t а ьтт матричные элементы матрицы CLGSo(/V . Обозначим через L матрицу С і ) « = 2L mi\ , \ л Тогда Т = - -g Sp (cOLtO) Q, ct = од - угловая скорость в теле. Пара (р-,0 ) задает координаты в касательном расслоении TSoO" -) Для того, чтобы перейти в кокасательное расслоение Т So (А) » вычислим момент втеле: т..=: Х Я_4-Сс01 1(0).. . ВсОи а Ч —26—
Для удобства будем считать (опуская множитель), что tn-сОіЧіО. Матрица I при заменах базиса изменяется как билинейная форма; она симметрична, следовательно, ее можно сделать диагональной путем соответствующего выбора базиса.
Для матричных элементов матриц ггц tO будем использовать обозначения l-W.. соответственно. Диагональные элементы обозначим d ; остальные элементы предполагаем равными нулю.
Цусть Xi L ая координата центра тяжести, а "С. L -ая координата вектора силы тяжести в системе координат, связанной с телом. Тогда потенциальная энергия системы имеет вид: и является функцией, постоянной на слоях кока сательного расслоения. Функции Jf±,..., Jf" образуют базис про странства , инвариантного относительно действия группы 5 о (Л.} . Таким образом, функция 3=T- 5L \J удовлетворяет усло виям утверждения
Примеры интегрируемых гамильтоновых систем. Задача о движении многомерного твердого тела с потенциалом
Отметим, впрочем, что существует пример гамильтоновой системы, решения которой выписываются явно, но траектории не укладываются на торы (см»,например,С18]); с точки,...,є С ( ) зрения приведенного определения такая система не является вполне интегрируемой. Сформулируем теорему о полной интегрируемости ([34]) в удобном для нас виде Теорема 1.2. Пусть sq ad 4L гамильтонова система, задан- ная на алгебре Ли ,ЯеС (G); ее первые интегралы функционально независимы на орбитах коприсоединенного представления алгебры и образуют базис конечномерной алгебры -f (относительно скобки Пуассона).
Тогда гамильтонова система -бо асІХ вполне интегрируема, если выполнено условие dlm =cLim f + iadL-Г + i-ad (4)
Доказательство. В случае, когда совместные поверхности уровня первых интегралов компактны, данная теорема есть почти дословно переформулированная теорема в , поскольку dim. - Lacl — размерность орбиты коприсоединенного представления есть размерность симплектического многообразия, на котором задана гамильтонова система. Рассмотрим некомпактный случай.
Из доказательства теоремы из С34! вытекает, что на поверхности уровня общего положения имеются т=1п.а.;Г векторных полей -botcLcL гР± ..., ба хіс{ 3 линейно независимых и коммутирующих между собой.
Возьмем произвольную точку ос поверхности уровня Мс первых интегралов; считаем, что -ь ъасС3L} L ±,...,mt линейно независимы. Рассмотрим траектории векторных полей -b(jJ a.d 7L f выходящие из точки ос . Очевидно, что они гомеоморфны S или IR1 » пусть количество их равно к и т-к соответственно. Можно построить отображение к; Т х К с» Мс , определив его на букете F= S V... V SK VJRV... v(Rm_ u так, чтобы образ P в Mc был букетом траекторий -ъ о.6. 7L , выходящих из ее , а затем продолжив с V до Т х R , используя коммутативность полей баctd Tt
Таким образом, мы получаем действие IR (как абелевой группы) m на поверхности уровня первых интегралов (поскольку R действует на Т 1R ). Фактор R по стационарной подгруппе (то есть по подгруппе, оставляющей элементы k(F) на месте при действии К ) есть Т х R (Т t, «мерный тор) (см. L5] ). Тем самым, указано многообразие к(Т)= гс с » фигурирующее в определении полной интегрируемости.
Такое же рассуждение верно и для всякой поверхности уровня общего положения. Тем самым, для доказательства полной интегрируемости нужно доказать непрерывность функций dL ft. (см. опр.п.І),
Если предположить разрывность одной из функций k-L, JS , то это повлечет разрывность векторного поля -bQtad it t но это невозможно, поскольку функция X предполагалась гладкой. Теорема доказана. В дальнейшем будет полезно следующее (t M ) Утверждение 1.3. Индекс алгебры Ли вида $G-V" , где алгебра Ли V коммутативна, может быть определен по формуле где Ladp » минимальная коразмерность орбиты представления в пространстве эндоморфизмов Vp. J- EactV, jo - аннулятор элемента общего положения XT&V 2. Замечание 2.1. Из того факта, что { ( ad adG) следует, что SQ CCLCL&I -О тогда и только тогда, когда функция
У локально постоянна в точке ос на орбите, содержащей точку ос. . Таким образом, вопрос о функциональной зависимости набора j 3 L 1 на орбите коприсоединенного представления сводится к рассмотрению векторов tQtacL ;FL , поскольку линейная зависимость последних (в каждой точке ) эквивалентна функциональной зависимости функций J на орбите.
Сингулярные орбиты алгебры Ли -AoQi)*
1. Утверждение I. Цуеть WiGi —v R ; обозначим СУ) пространство функций, порождаемое функцией У при действии Тогда совместная поверхность уровня инвариантна относительно коприсоединенного действия группы G ( & - группа Ли алгебры Ли ) Доказательство очевидно.
Сформулированное утверждение дает сравнительно простой способ получения функций, задающих сингулярные орбиты. Однако заметим, что далеко не каждая функция 9- задает таким образом орбиту.
Орбиту задают те и только те функции, нулевая поверхность которых содержит хотя бы одну орбиту.
2. Укажем класс функций 3": C 0cn)6-R ) —HR , для которых В З.Гл.1. были введены функции its Ci іЛ ІГЛ-U-r на алге бре -50 (.п.) G- IR ; очевидным образом определяются такие функ ции и для алгебры босп} 3- IR (точнее, для пары алгебр п. к CSOcn.)e/R , оСк )) , где =-ьоСк7) стандартно вложена в осп-) о ).
Утверждение 2. Цулевая поверхность уровня функций определяемых для пары алгебр ($OCrL)G-JR } -боек)), к 4 п. есть инвариантное многообразие для присоединенного действия
Доказательство немедленно вытекает из утверждения 4.2.5.Гл.1. функции $н задах», вообще говоря, сингулярные орби» и поэтому могут быть использованы при исследовании интегрируемых гамильтоновых систем, но не вполне интегрируемых, поскольку на сингулярных орбитах набор имеющихся интегралов может оказаться полным.
Отметим также, что функции f.. имеют весьма простой вид d в случаях, когда = ос) и когда f алгебра первых интегралов рассматриваемой системы. Это позволяет легко выписывать уравнения на сингулярных орбитах. И еще одно приятное обстоятельство, связанное с возможным использованием функций f.. состоит в том, что функции S u з 1 L j гг-k - к функционально независимы на f . Этот факт очевиден. . _J 3. Утверждение 3. функция VcLe±i } -Vde.t 5-((4 tf U)f ") "іг ч і» a. і г. определенная для пар алгебр С L, Я, 1 = 1,2, » где a-socn+O, п. ( = 0 0 6 IR t # =-So crt,-1) , стандартно вложена в G}L } является инвариантом алгебры fL . Доказательство. Векторное поле 6ojta.c(-$ имеет вид (см. утверждение 4.2.5.Гл.1.)
Из таблицы с очевидностью вытекает функциональная независимость функций І1,... , 1Є Итак, поверхности Мс = {і1«С1,Іг.-Сг І =1. =15=0І инвариантны относительно коприсоединенного представления алгебры , причем для почти всех значений 0=(.0 ( ) cLlm М = d.LrriQ-5 5 Но орбиты коприсоединенного представления всегда четномерны, поэтому поверхности И с состоят из 4-мерных или 2-мерных орбит.
Если поверхности Мс состоят из 2-мерных орбит, то на них инволютивность сО и К. влечет линейную зависимость З гас сО и -ЬагахІЗі . Но это не так (например, в точке эс0 { , } О, { St f I ф О )э следовательно, почти все поверхности Мс состоят из 4-мерных орбит. На вышеуказанных орбитах гамильтониан 3 в совокупности с первым интегралом оЗ задает вполне интегрируемую систему. При этом { ju... ocL. , X } не зависит от UXL. (см. представ ление алгебры t>ocnOG- ^" как ^оСк^ -модуля, п.2.4.ГлД) а{Х,Х^равно XW ввиду свойства [К'\ Wl вО (см. доказа тельство утв.1.З.ГлЛ), причем ^lR (так как матричные эле~ менты суть линейные формы на < . Итак, SpCWisA)-vSp0^8SrlB)aO при $>=0 .Отсюда немедленно вытекает, что SpCAO-O, SpCW2'&b)=0 VS. * "Г * Далее SpC<\)-0 » но &Р^) имеет вид Т-^.-^ X (для некоторых oC;t .'CAanJ)-* R)f следовательно, A=0 , так как никаких соотношений на переменные К быть не может. Итак, {Я,7&)=0 Vs. 2.{о, Vb =» {*оЛІ*0 Vs. В этом случае все рассуждения были бы дословным повторением предыдущего пункта, если бы матрица W/ не присутствовала в записи функции ?0 Однако это не так и приходится учитывать выражения вида {XL? W} при вычислении скобки {70 , ^Ч з Воспользуемся явным видом A (, t к е. (см. п. 4. 2. Гл . I). Для представления -i>o(k)- 1& "^ 1R Дике — оLk^е ~^ie^k > следовательно, скобка {^, состоит из слагаемых вида и ice.
Дополнительные замечания относительно движения И--мерного твердого тела с группой симметрии SoQk)<>c(n-k)
Из таблицы с очевидностью вытекает функциональная независимость функций І1,... , 1Є Итак, поверхности Мс = {і1«С1,Іг.-Сг І =1. =15=0І инвариантны относительно коприсоединенного представления алгебры , причем для почти всех значений 0=(.0 ( ) cLlm М = d.LrriQ-5 5 Но орбиты коприсоединенного представления всегда четномерны, поэтому поверхности И с состоят из 4-мерных или 2-мерных орбит.
Если поверхности Мс состоят из 2-мерных орбит, то на них инволютивность сО и К. влечет линейную зависимость З гас сО и -ЬагахІЗі . Но это не так (например, в точке эс0 { , } О, { St f I ф О )э следовательно, почти все поверхности Мс состоят из 4-мерных орбит.
На вышеуказанных орбитах гамильтониан 3 в совокупности с первым интегралом оЗ задает вполне интегрируемую систему.
Теорема доказана. Дополнительные замечания относительно движения П. -мерного твердого тела с группой симметрии I. Первое замечание состоит в том, что существует прямая связь между случаем Лагранжа движения п. -мерного твердого тела и некоторой классической задачей движения материальной точки на на пі-мерной сфере S
Далее цитируем статью СЗ? 1 "Система, описывающая движение точки на сфере $ : х -1 под действием квадратичного потенциала U(pc) & -g &х, & , OL-= d.LaaCa0,-.Q.) является (вполне) интегрируемой.
Для а. = 2. это было показано К.Нейманом в 1859 г. ([38]), использовавшим метод Якоби разделения переменных в уравнении Гамильтона - Якоби. Уравнение движения имеет вид = - 0 0 0 (5) где Л. определяется таким образом, что частица остается на сфере. Это приводит к выражению Подставляя Д. в (5) мы получим искомую нелинейную систему дифференциальных уравнений
Эта система обладает первым интегралом Х,х и производя редукцию по этому интегралу (подробнее см. в [37] ), приходим к системе которая (вполне) интегрируема и обладает рациональными инволютив-ными интегралами
Возвращаясь к задаче о движении п -мерного твердого тела в поле силы тяжести с $oCkO 5оСт--Ю-симметриями, напомним, что уравнения для случая Лагранжа могут быть записаны в виде . = rat. Эта система обладает матрицей первых интегралов t = m.z+ + fxr xfr. Вычислим вторые производіше для Ъ9 f. -60 Далее, Ъ- tx = ЪТ- гп\ + Ъ \іV + fT)- --0 4,) 2,(/t -ъ) Аналогично (гТУЛ = )- 1 ) . Итак, система (б) приводит к двум одинаковым (!) уравнениям на \ и )f т„. N , . т с Ч) й Су П каждое из которых совпадает с (5).
Добавим также, что и т. иожет быть выражено через m и , . В самом деле, = -Ст т) + ггтг3 = гіг = ггтг3-(тЄ+и). 2. Следующее замечание СОСТОИТ В ВОЗМОЖНОСТИ сведения задачи о движении ЗоС О S So Сп.- )-симметричного тела к задаче с квадратичным потенциалом на компактной алгебре Ли. Рассмотрим алгебру Ли (босоте Rft) Ф (40 Ck) Qr R ) со следующими соотношениями -61 Далее, считаем для удобства, что к .± - п. 0 Легко убедиться, что гамильтониан задает гамильтонову систему ч !TL=- UT, "а Итак, на алгебре Ли ( oca)6-R ) 0bO(.k)6rR )) гамильтониан, задающий полученную систему квадратичен. Предельный переход Х 0 алгебру л. г) Сt {,, #, } = = , ,1 , =- 0 превращает в = so(a-i)6 IR
Воспользовавшись этим замечанием, получаем, что исходная задача сводится к гамильтоновой системе на алгебре Ли бО(плі)фбоск+і) с гамильтонианом ч/ г - г. . Но, к сожалению, полученный гамильтониан вполне интегрируем, по всей видимости, лишь на подалгебре rn..-сО. ,-0 16 С, І х k .
Таким образом, возникает естественная задача о построении вполне интегрируемых гамильтоновых систем лишь на отдельных по -62 верхностях уровня, как, скажем, в классическом случае задачи Горячева - Чаплыгина (см. [28] ). Один из способов - рассматривать гамильтонианы с неполным набором интегралов на сингулярных орбитах. А пока ясно; что этот способ не исчерпывает имеющихся примеров интегрируемости на отдельных орбитах.
