Разрешимость и качественные свойства алгебро-дифференциальных систем Щеглова Алла Аркадьевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Классические решения алгебро-дифференциальных систем 43

1.1 Линейные АДС 43

1.1.1 Свойства матриц и матричных пучков 43

1.1.2 Центральная каноническая форма и левый регуля-ризирующий оператор 47

1.2 Нелинейные АДС 57

1.2.1 Определения и обозначения 57

1.2.2 Условия существования ЛРО 59

1.2.3 Существование решения 67

1.2.4 Существенно вырожденные АДС 74

2 Обобщенные решения линейных АДС 89

2.1 Вспомогательные сведения об обобщенных функциях 89

2.2 Обобщенные решения начальных и краевых задач для АДС с аналитическими коэффициентами 92

2.2.1 Постановка обобщенной задачи Коти 92

2.2.2 Постановка обобщенной краевой задачи 94

2.2.3 Обобщенное решение задачи Коши, заданной на полупрямой 96

2.2.4 Обобщенное решение задачи Коши, заданной на отрезке 100

2.2.5 Решение обобщенной краевой задачи 103

2.2.6 Пример задачи оптимального управления 105

2.3 Обобщенное решение и существование левого регуляризирующего оператора 107

2.4 Метод возмущения 120

2.4.1 Сходимость метода возмущения для обобщенной задачи Коши 120

2.4.2 Иллюстративный пример 125

3 Устойчивость, управляемость и наблюдаемость 127

3.1 Устойчивость по Ляпунову 127

3.1.1 Непрерывная зависимость решений АДС от начальных данных 128

3.1.2 Регуляризация и устойчивость линейных АДС 134

3.1.3 Расщепленная форма для линейных АДС 141

3.1.4 Приводимость линейных АДС 144

3.1.5 Устойчивость квазилинейных систем 147

3.2 Управляемость линейных АДС 150

3.3 Наблюдаемость линейных АДС 166

3.3.1 Теорема дуальности 166

3.3.2 Критерий наблюдаемости 173

3.4 Наблюдаемость вырожденных линейных гибридных систем с постоянными коэффициентами 178

3.4.1 Существование решения 179

3.4.2 Регуляризация и наблюдаемость 184

3.4.3 Критерии наблюдаемости 188

3.4.4 Иллюстративный пример 195

4 Алгебро-дифференциальные системы с отклоняющимся аргументом 201

4.1 Определение решения 202

4.2 Определение и особенности ЛРО для АДС с отклоняющимся аргументом 206

4.3 Регулярные системы 210

4.4 Нерегулярные системы с постоянными коэффиицентами 221

4.4.1 Условия существования ЛРО 221

4.4.2 Иллюстрирующие примеры 229

4.5 Нерегулярные системы с переменными коэффициентами 234

4.5.1 Вспомогательные результаты 234

4.5.2 Общее решение типа Коти и существование операторов VV(.) 238

4.5.3 Достаточное условие существования операторов W(i) 243 4.6 Обобщенное решение регулярной АДС с отклоняющимся аргументом 251

4.6.1 Определения, обозначения и вспомогательные утверждения 251

4.6.2 Существование классического решения 256

4.6.3 Существование обобщенного решения 262

Заключение 272

Список литературы

• Центральная каноническая форма и левый регуля-ризирующий оператор
• Обобщенное решение задачи Коши, заданной на полупрямой
• Регуляризация и устойчивость линейных АДС
• Определение и особенности ЛРО для АДС с отклоняющимся аргументом

Введение к работе

1. Актуальность темы и и объект исследования. Ди<-(ертация посвящена направлению в іеории обьїкновенш.іх дифференциальных уравнений (ОДУ), которое ишенсивно развивается в последние десятилетия - системам вида F(t,x(t),x'(t)) = 0, ІєТ=[и>,и) (1) ((t,x,x') GV = {{t,x,y) Є R²ⁿ⁺¹ : t Є T, \\т - x\\ < K₀, \\y - y\\ < K\}, F : V —* R"), неразрешенным опюсительно проишодной искомой вектоі)-фуикции х : Т —* R" и тождесівенно вырожденным в области определения- _d(,_t^*^)_s0v(ftgty₎₆p. ₍₂₎

Изучаются вопросы разрешимости и некоюрые качественные (вой ства таких систем как в общей постановке (1), так и в линейном (луч.іе A{t)x'(t) + D{t)x(t) = f(t), dctA{t) = (), tGT. (J)

Для линейных нестационарных систем с матрицей переменною раша при производной изучаются свойства устойчивости в смысле Ляпунова, управляемости и наблюдаемости, а 'іакже проблема разрешимости в обобщенном смысле.

Кроме того, рассматриваются некоторые аспекіьі теории вырожденных линейных систем с непрерывно-дискретным временем и систем ОДУ с отклоняющимся аргументом A{t)x'{t) -} B(t)x{t) + D{t)x(t -а) = /(і), t Є [t_(h +oc), (4) x{t) = i>{t), te{t₀-a,t_{)], (5) ішдтпіЕ ckt 1(/) = 0 па [/„, 1 ос), a = const > О

В initpaiype чя обошачения (И( іем вида (1) ( условием (2) испочь-іова Ю(Ь множество иаіваний дифференциалыю-алибраические уравнения (differential-algebraic equations (DAIs) ) [GP83, GM86], сишуляр-ные системы (singular) |Воя80, Сагп8()а, Dai89], системы ОДУ, неразрешенные опюс иіельно производных [Чис86], вырожденные (degenerate) [Ноя88, FY99], неявные (implicit) [Cam84] или полуявные (semi-explic it [Cam95b], semi-htate [Baj86]) сис іемьі, дескриторные (descriptor) системы [Mul98, Сам91] и др>іие

Стремление разграничить исследования систем ОДУ, вырождающихся на дискретном множестве, систем дифференциальных уравнений с операюрными коэффициентами и систем, тождесівенно вырожденных в области определения, привело к тому, что в настоящее время в англо-янлчной чиїературе термин "дифференциальшьаліебраические уравнения" потеснил все другие названия и вошел AMS Subject Classification Эю обьясияеіся гем, чго в приложениях модель вида (1),(2) часто иредс іавчяеі собой сисіему взаимосвязанных дифференциальных и ал-іебраических уравнений, и в предельных случаях* dctdF(t,x,x')/dx' ф О и 0F(t,x,x')/dx' = О uV, превращается соответственно либо в сис іему ОДУ, разрешимую о і нос иіельно производной согласно теореме о неявной функции, либо в сис іему алісбраических уравнений *

Мерой неразрешенное ги АДС относительно прои людной искомой вектор-функции служит целочисленная величина г (О < г < п), называемая индексом

В работах Иркутской школой маїематиков (Ю Е Бояринцев, В Ф Чис-іяков, М В Булатов) для систем (1) с условием (2) усюялось название алибро-дифференциальные системы (АДС) Придерживаясь ірадиций, авюр исполыуег именно этот термин для обозначения обьекіа своих исследовании

Рост интереса к исследованиям в области АДС стимулируеня иро-б іемами матемаїическоіо моделирования во многих прикчадных обла-с іях нории авюмагичес кою регулирования, ошимальном управченпн со смешанными оі раничениями, теории адек грешных схем и элемриче-с ких пеней, механике, химической кинеіике, іидродинамике и іеплоіех- 'Н ,иип])гашш термин "ашеґіраичегкое >раішс;нііе"поіііімается н расширенном (\пк к по; <іл[(Г)раичі(КИМіі по (ра^мсиакяся любые конечні ie \рашкния, а не ю и ко » р пик ния, іалаваї мі н- починомами

ВВЕДЕНИЕ пике [ВС88, Сон71, ББ8.І, Мне90, CBP9G, С«ші80, Саш82, EF98] В последние годы в различных приложениях начали проводи і ься исследования камее; гвенного поведения процессов, описываемых АДС [ТЛЧ98, Мих92, МТ97, GF95, RR00]

За последние 25-30 лет теория АДС превратилась в быстро развивающуюся область современной математики. Опубликованы согни работ, посвященные исследованию АДС и численным методам их решения (см , например, библией рафию в книгах [Чис96, ВСР96, RR02]) В то время как лиіература но приближенным методам решения АДС уже трудно обозрима, проблемы изучения вопросов разрешимости и качественных свойств АДС (устойчивость, управляемое іь, наблюдаемость и др ) представлены фрагментарно и не носят законченного и систематическою характера Как будет видно из приведенною ниже краткого обзора, в ^том смысле досі атомно полно исследованы линейные сисіемьі с постоянными коэффициентами И звестные из литературы результаты для линейных нестационарных или нелинейных АДС получены при довольно жестких ограничениях. 1) постоянство рангов матриц, описывающих систему, 2) низкий индекс неразрешенносги, 3) специальная структура В связи с этим на настоящий момент весьма актуальной задачей теории является получение результаюв по общим вопросам и качественным свойствам АДС без ограничений 1)-3)

Еще 15-20 лет назад считалось, что в приложениях встречаются лишь самые простые случаи АДС индекса 1 и 2 (см., например, [Боя80]) На сегодняшний день у специалистов, работающих в области АДС, не возникает сомнений в том, что на практике довольно часто приходится решать системы индекса 3 и выше Примерами могут служить с истемы, моделирующие различные электронные схемы, рабоїу роботов-манипулягоров и многие другие объекты [CG95, Lam04, CWI]

В некоторых работах из прикладных областей можно найти указания на то, что на практике действительно возникают математические модели, описываемые нелинейными АДС с весьма сложной внутренней структурой (с м приме]) 1, приведенный в конце раздела 1 2) Правда, такие сииемы гам не анализируются в силу отсутствия развитою аппарата Подтверждением є казанному может служить, например, монография Е И Ушакова [Уша88], посвященная вопросам устойчивости электрических сие іем и свя їанньїм с ними задачам теоретической электротехники

Необходимость исследования возможностей построения обобщенных ІШДППІЕ решении обусловлена itu, чю веледсівие особенное і ей ЛДС, коюрые обс>ждаюня ниже, для сущес івования классическою решения краевой, в частности, начальной задачи для сие і омы (3) і ребус і ся, чтобы сооївеї-ств}іопще краевые или начальные условия были заданы согласованным образом Кроме того, при отсуп івии гладкости входных данных можег оказаться, что с ис гема не имеет решения в классе С¹ (Г). В то же время в ряде важных приложений (задачи оптимальною управления, для которых условие Клебша-Лежандра нарушаемся на всей зксіремали, задачи N правления с импульсными режимами и др) зіи условия не выполняются Одним и* выходов в такой ситуации являеіся расширение класса решений с тем, чтобы поставленная задача, была разрешима при любых заданных краевых и ти начальных условиях и при более слабых іребо-ваниях на гладкость правой части В диссертации предлаїается искать решение в просі ранстве обобщенных функций типа Соболева-Шварца. Такое рас ширение класса решений оправдано, и частности, тем, чю, как показано в разделе 2 4, последовательность классических решений задачи Копій для ЛДС с* постоянными коэффициентами Ax'{t) + Bx(t) = f{t), t Є [0, +оо), (6) почученных методом возмущения, сходится к обобщенному решению гои же структуры, каковой обладаеі решение, построенное в диссертации

На фоне увеличения числа работ по АДС и функционально-дифференциальным уравнениям и оїдельности почти нет исследовании но АДС с* оікчоняющимся аріументом Это связано не только с тем, что и с еичас дшіеко не во всех вопросах, касающихся АДС как таковых, достигнута предельная ясность, но и с тем, что при изучении АДС с отклонением возникают дополни тельные трудности, требующие построения специальной іеории Некоторые из приложений таких систем указаны в [Сат91]. Зачас тую при моделировании различных фи зических процессов именно \чеі эффекы запаздывания позволяет достичь адекватное ти с экспери-мечиальными данными Иллюстрацией этому заявлению служит модель наїреваїельното іракта паровою котла, состоящею из трех последова-те и.ных іепчообменников [СК81, ЛТ05], приведенная в примере 1 раз-де іа 4 3

При изучении разрешимое їй начальной задачи (4),(5), мы ней збежно е к> ікнемся с проблемо» согласования начальной функции (5) с входными данными сисіемьі (4) Допусіим, что -ш'мешы входных данных в

ВВЕДЕНИЕ задаче (4),(5) - достаточно їладкие функции на (воих обла( іях определения Меюд iiuioB [Эле64] сведем поиск решения задачи (4),(5) к последовательному решению вырожденных задач Копій для АДС іипа (3) Условие непрерывности jтою решения может порождать на каждом шаге нссслласованные начальные дачные, вследствие чет задача (4),(5) будет неразрешима в классе С([^о ~ <т,+со)). В -ш>м случае актуальной становится проблема построения обобщенною решения задачи (4),(5), коюрая также рассматривается в диссеріации.

Возрастающая комплексное гь изучаемых человеком фи шческих процессов требует нос і роения математических моделей, адекватно отражающих неоднородное п> в природе рассматриваемого процесса или в методе его изучения. Термин "гибридные системы "обычно применяется к системам, описывающим объекты с существенно различающимися характеристиками, например, содержащие в основной динамике непрерывные и дискретные переменные, детерменированные и случайные величины и т.н. В диссеріации расемаїриваетея линейная система уравнений с непрерывно-дие к ротным временем, неразрешенная относительно производной непрерывной сосіавляющей искомой вектор-срункции В виде мкои АДС, названной в диссертации вырожденной гибридной системой, может быть преде іавлена, в частости, динамическая межотраслевая си-сіема, основанная на модели В В Леонтьева [Лео97], которая описывает непрерывный процесс производства продукции и связанный с ним дискретный процесс замены оборудования

2. Специфические свойства алгебро-дифференциальных систем. По своим свойствам АДС сущесівенно отличаюіся от сисіем ОДУ, разрешенных относиіельно поизводной (в нормальной фор-ме). Эта специфика обуславливает не только необходимость поиска принципиально новых теоретических подходов, но и переосмысления многих базовых понятий классической теории ОДУ, таких как устойчивость, управляемость, наблюдаемость и і п Величину, характеризующую меру неразрешонностп рассматриваемой АДС относиіельно производной искомой вектор функции, принят называть гтдексом Различные авю-ры по-разному определяют это поняіие [GM86, Саш81, Боя80] О юм, чи) понимаемся под индексом АДС в диссеріации, будем сказано ниже Особенное ги АДС ирои і іюеірир}ем ирос іечішими примерами 1 Нет п(прерывной .ншисиности решения от входных данных" про-

ВВЕДЕНИЕ 11 и шольно малые и сколь уі одно гладкие но шущения матриц 0F(t, х, х')/ От', 0F(t,x,x')/0x мог у г меня іь размерное іь пространства решений ЛДС даже и линейном случае Пример 1 Сисіема

О 1 О О At) + ( I J ) x(t) = ( № У tGT= [О,1], (7) /л ( fi{t) - Ш имеем единственное решение Х(1) = г /,\ \ Ш) Возмущенная система

О 1 О О .4(0+() Ї)*<«)=( [).«>о, имеет однопарамеїрическое семейство решений, в частности, при f\(t) = о, /₂(0 = i где с - произвольное число и} R Очевидно, что если с ф 0, то ||х(і) -^т(*)Нс(Т) -»оо при -»0

2 Пространство решений АДС (даоїсе линейных) может быть бес- кош чномерным

Пример 2 [Боя80] Вектор-функция x(t) = ((1 + t)V, V) при любом / = 0,1,2, является решением системы (^lV ~⁽₍\+*0 ) At) - ( J ? ) *(0 = 0, t Є Г = [Mi). (8)

3 Неоднородная система мооюет оказаться несовместной на интер вале Т Ксли задать правую часть для системы (8) в виде (f\{t), /2(f)) > то полученная неоднородная АДС будет иметь решение только в случае, коїда компоненты вектора правой части связаны равенством ^I(l + 0/a(0-/i(01 = /a(0. teT 1 Постав генная задача Кохии x(Iq) = x_Q (У)

ВВЕДЕНИЕ может быть неразрешима для заданного вектора Хо Є R". В частноии, !адача (7),(9) будет иметь решение лишь при одном шачении

Условия, которым должны удовлетворять входные данные начальной или краевой задачи для АДС, для того чюбы последняя была разрешима, называются условиями согласования Раьенство (10) и данном случае представляет собой условие согласования для задачи (7),(9).

Для существания решения в пространстве С¹ СП может оказаться необходима диффсренцируемость входных данных системы вплоть до порядка п включительно (п - размерность системы). В частности, компоненты правой части системы (7) должны удовлетворять включе-ниям /,(0 Є С'(П Ш) Є С²(Т).

Свойства АДС существенно отличаются от свойств систем уравнений, у которых матрица OF/dx¹ выроэ/сдается на множествах меры ноль из области определения. В частности, для линейных систем вида (3) последнее соотвеїствует вырождению матрицы A(t) в изолированных точках tj Є Т, j = 1,2, . rank A{t) = n в точках t Є'Г : t Ф t_v и гаикЛ(і) < n при t = tj Точки tj являются особыми, поскольку в них нарушаются условии теоремы о сущее івовании и единственности решения В ном смысле для АДС сиіуация является гораздо более сложной, гак как ючки перемены ранга маїрицьі OF/dx' не несут информации о поведении решений в этих точках даже в линейном случае¹ особые точки могуг как совпадать так и не совпадать с точками перемены ранга этой матрицы

Пример 3 Раи мої рим две системы (;₍,t)^⁺(o?)^=(/;S)''^er' <"> где fi(t), Jilt) Є С²(Г), v(t) и w{t) выбираются в пространстве С⁰⁰^') по правилу v(t) = 0, осій w(t) ф 0 Функции w(t) и v(t) обраіцаюия в ноль либо по очереди, чнбо одновременно, вследствие чею раш маїри-цы при прон шодноп равен либо 0, либо 1 на различных подмножес шах

ИНГ, {ГЛШЕ интернала Г, причем структура ^іих подмножсс їй може і бьпь выбрана і ко п> >і одно (ложной, вплоть до ируктуры множества Кантора

В первой нj этих систем ючки перемены раша маїрицьі при иро-іпводноП являются особыми В то же время система (11) имееі на Т єдине і венное решение ^[)~\W)-v{t)f[{t) J' и ()іцесівуег операюр, приводящий эту сие іему к разрешенному относи іельно производной виду / 1 -w'(t)\(d\_( 0 w(t)\(±V ^L~\-v'(t) 1 ){dt) \v(t) 0 ){dt)

В связи с этим возникает весьма сложная задача сепарирования систем, у которых измение раша матрицы dF/dx' влечет нерегулярность поведения решений, or тех, у которых несмотря на указанное непостоянство ранга поведение решений регулярно нет ветвлений, ухода на бесконечное п>, непродолжимости и г. п

Для анализа вопросов разрешимости АДС вида (1) в диссертации привлекаются так называемые г-продолженные системы (г < п) . MtrtWit), ..,x^(t)) = 0. (12)

Под r-продолженной системой можно понимать совокупность АДС (1) и г ее ночных производных по t

Дчя линейных АДС вида (3) можно показать, что особыми являются не ючки перемены раша матрицы A(t), а точки перемены ранга маїрицьі г = (Ufa ^дЛ JIlJ\ ^Т \0х' Ox" dxl'+v)

Дчя нелинейных АДС эта проблема еще сложнее на некоторых мно-жесгвах из обчастн определения (не обязательно нулевой меры) ранг маїрицьі Г_г(/,г,х', ,х^(гИ') может меняіься, а решения тем не менее веч\і себя реіулярно Именно переход 01 матрицы r_r(t,x,x', , х^(г+1)) к маїрице V_r(t,rj), коюрыи осуіцес івляется в диссеріации, позволяеі на нас юяіции момент осуіцес і вить зі о разделение н іем самым с}щес івенно расширить кчасс сис іем дос іупньїх для анализа Матрица Г_г(і,г/) - это

ВВЕДЕНИЕ маїрица, полученная из Г_г подстановкой в последнюю неявной функции ⁼ (М/)> удовлетворяющей системе (12) По иостронию ПОС ІОЯ1КЛВО ранга матрицы T_r(t,x,x',... ,х^^г+1^) влечет ча собой иостоянсіво ранга матрицы V_r(t,J]) Обратное в общем случае места не имеет (см пример 5 введения).

7 Особенно сложными для анализа и численного решения являются сущ((тв(нно bwpojtcdt иные АДС Под существенно вырожденными си-е и'мами в диссертации понимаются системы вида (1), у которых матрица Якоби функции F(t, х, у) J{t,x,y)

0F(t,x,y) 0F(t,x,y)\ dx ^! dy ) ^{U} имеет неполный ранг на некотором мноіообразии Ті = {(t,х,у) Є R²ⁿ⁺¹ h(t,x,y) = ()}, то ее іь rank J(t, х,у)<п V(f, х, у) Є S; rank J(t, x, y) = n V(f, x, у) Є V \ S, (14) где S - проекция облас ги V на мної ообразие Ц. Одним из стимулов к рассмотрению систем такого сорт послужила стагья [БИ02], посвященная особым решениям нелинейных конечных, в частности, алгебраических уравнении

Если решение ,() задачи Коши для АДС (1) с условиями (2),(14) удовлсчворяет для любого t Є Т включению (t,x_t(t),x'_t(t)) Є Ті., то для таких систем принципиально неприменимы имеющиеся на настоящий момент разностные методы решения.

Пример 4. Общее решение АДС ад* - (^#-^^w)-о, «₆ м. имеет вид 21(f) = э"2() = j^, с = const, поэтому любые согласованные начальные данные должны удовлетворять условию a:i(0) = х₂(0).

При прибтиженном решении указанной АДС такими известными ме-і одами как ФДН и чи сплаїін-коллокация приходи и я решать систему нелинейных конечных уравнении относиіельно разностных приближений решения, например, ₄и^,_{=/( }} « = 0,1.2, введение

Исио іьюваїь для решения последней меюд Ньютона нельзя, поскольку маїрица Ajh - д/(хц\)/дт буде і необратима для любою г

Такою же рода ірудности во шикало г и при применении мої ода Нью-юна в функциональных прос іраш гвах Модифицированный мегод Ныо юна-Канюровича J о)-:,,(')+ -J-2o(0 -x_i0{t) \ ,._

2(т,о(0-Х2о(0) -2(xi,o(0-^2о(0) )^Xm[t)~ = Ф[х_я,_₁(0] с согласованным начальным приближением Х],о(0 = x_2l)(t) не дает воз-можносш на каждом шаіе m = 1,2,... единственным образом найти x_m(t), поскольку левая часть второго уравнения обращается в тожде-с гвенный ноль

8 Изучение АДС с отклоняющимся аргументом вида (4),(5) кроме указанных выше особенностей осложняется спецификой, присущей (истемпм диффері нциально-разностных уравнений

При и {учении проблемы существования и единивенности решения задачи (4),(5) ее тес івенньїм образом возникаем вопрос о возможности преобразования уравнений (4),(5) в явную сисіему обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом j-W(0 _f ^(oi^w(O+E0,(O*^W(< -") = /(«).' Т= [(0,+00), (15) J-0 J-0 (при t < t_t, x(t) определяется условием (5)), для коюрой уже имеются іеоремм суще ствования Сравнительно иросіьш в этом смысле является с лучай, когда в системе (4) матрицы A(t) и B(t) таковы, что на интервале 7' определен линейный дифференциальный оператор , и при эюм для любой досіаточно гладкой на Т функции x(t) выполняется тождество C[A(t) r'(/) + D{t)i(t)] = x'(t) + D(t)x(t), t Є Т. (16)

Такие с не темы автор называет ptгулярными Если коэффициенты сие ie-мы (4) являются нос шинными, го существование опера юра С обесиечи-васкя регулярное гыо маїричною пучка \А \- В

Ошуация си и.ноосложняемся, если оператор С несущее п»\ег В jtom і.і\чае система (1) называется шрегулярной При пом возникаем ряд

ВВЕДЕНИЕ особенное г( и, вызванных іем, чю в процессе преобразовании (1),(5) в (15),(5) с}щсс івс иную ро и> начинает шраіь сірукіура матрицы D(t) Л именно уравнение (15) может оказаіься порядка выше первою (/ > 1); в общем случае с ис іема (15),(5) будет нейтральною или опережающе-ю типа (s > /), .3) решение системы (1),(5) в каждой ючке t Є Т может зависеть не только от значений коэффициентов и правой час їй в предшествующих точках, но и ог значении этих функции в і очках І > t, 4) для существования решения задачи (4),(5) может оказаться необходимым, чюбы начальная функция ip(t) удовлетворяла ограничениям вида ед№^О)(О = 0(О, *[*о-<МоЬ з о іде (я хгс)-матрицы Gj(t) и вектор g(t) определяются входными данными задачи

Возникновением особенносіи У) дикіуетея необходимость задания системы (4) не на конечном промежутке, а на полупрямой, что в совокупности с 2) объясняет, почему в диссертации требуется, чюбы входные данные были бесконечно дифференцируемыми функциями

3. Цель и задачи исследования. Целью работы является создание аппарата, позволяющего иселедоваїь классы АДС произвольно высокого индекса неразрешим июсти, к которым не применимы суще-с івуюіцие на нас гоящии момент методики, а также исполь ювание -лого аппарата для получения результатов по разрешимое їй и качественным свойствам іаких классов систем

В рамках указанной цели были поставлены следующие*задачи

Обосновать возможность преобразования нелинейной АДС вида (1) к нормальной форме и доказать теорему о существовании решения задачи Коши (1),(9) в общих предположениях, не накладывающих oipa-ниче ния пл раш и ядро маїрицьі 0F(t,x,x')/()s' и охвашвающих случаи сущее і пенно вырожденных АДС и сиеіем с матрицей Г_г переменною раш а

В иросгране пзе распределении посіроить обобщенные решения иа-ча 1ьных и краевых задач для линейной АДС с перс меннымп кехкрфици-снілмк (3) и матрицей при производной переменною рані а н испочьзо- шії'" учню нам. ли резу плаїьі дня обоснования разрешимости в обобщенном емыс-іе ЛДС с оік гоняющимся apt умен row вида (4),(5)

Л Получить конструктивные критерии устойчивости но Ляпунову, \нрав іяемос їй и наблюдаемое пі, а также результаты о приводимости д ія линейных АДС с переменными маїрицами коэффициешов в иаибо- не общих ІфЄДИОЛОЖЄНИЯХ

Обосновать конслрукіивньїе критерии і)азрешимости и наблюдаемое in ДЛЯ ЛИНеЙНОЙ ВЫрОЖДенНОЙ ГИбрИДНОЙ СИСИ'МЫ с постоянными ко.>фс}нщиеніами

Исследовать проблему приведения к явному виду АДС с отклоняющимся аргуменюм с постоянными и переменными маїрицами коэффициешов в реіучярном и неречулярном случаях

4. Методология и методы проведенного исследования. Методологической основой послужила идея о приведении рассматриваемой АДС к виду, разрешенному огносиїельно производной искомой век юр-функции, обоснование корректное їй такого перехода с дальнейшим изучением возможности использования для исследования исходной АДС резулыатов классической теории ОДУ в нормальной форме Процесс нормализации АДС в дисесріации назван пос і роением левою peiy-чяри зируюіцего оиераюра (ЛРО)

Под ЛРО для системы (1) следует ионимаїь некоторый дифференциальный онераюр С порядка г такой, что для любой достаючно гладкой на Т функции j(t) выиотняется юждество C[F(t,jr(t),x'(t))) = У(0 + 0(4,1(0), Ф\ = 0

Подиндексом АДС в диссертации подразумевается наименьший возможный порядок ЛРО

Впервые понятие ЛРО для линейной АДС было введено В Ф Чисія-KOBi.iM в [БДЛ89] В дальнейшем регуляризирующий опера юр оказался весьма почечным инструментом для исследования и численного решения АДС Во-первых, он дает информацию о структуре решения и иоз-во іяеч пол>чип» уїверждения о <}Щ<ч нзании и единственности решения [Чие9о] Во-вторых, потход, связанный с ЛРО, коне грукшвеи с вычисли- ІС'ІЬНОЙ ІОЧКИ ЗреНИЯ, ПОСКОЛЬКУ ОН ІфС'ОбраЗ.уеГ ИСХОДНУЮ АДС В СИС ІЄ- м\, д ія приб шженного решения коюрой имеется множество сходящихся ме іодов, прямое применение коюрых к (1) либо вообще невозможно, ЛИСИ) не даем приемлемою ре зулыам Наконец, с}щесівование ЛРО можег

ВВЕДЕНИЕ шраіь важную рочь при докалагельс іве сводимости численных методов, используемых непосредственно для решения рассматриваемой ЛДС [ЩеіУ8а,Щеі98с]

В качестве методов исследования в диссертации использованы регулы алы из 'іеории функций нескольких переменных, теории систем функциональнодифференциальных уравнений и ОДУ, разрешенных огнен и і ел |)1ю производных, теории обобщенных функций, классической теории управляемое їй и наблюдаемое їй, развиюй для разрешенных систем ОДУ, аппарат обобщенных обрашых матриц, а также іеория ЛРО для линейных АДС вида (3)

5. Обзор литературы. Первые известные автору результаты в области АДС принадлежат Н.Н. Лузину. В статье [Луз40] доказано, что размерность пространства решений линейной АДС с постоянными коэффициентами

Е^Аг(А) *(*) = /('). detA_k = 0, равна степени характеристическою полинома det \Y%₌₍₎< M,J, іде с - параметр иj R, а сама система разрешима при любой дое іаточио гладкой правой час їй, ее ш пучок маїриц регулярен

Ботыпое влияние на дальнейшие исследования АДС оказал раздел из книі и Ф.Р Гантмахера [Ганбб], в котором на основе теории элемента})-ных делителей матричных пучков нос і роено общее решение системы с прямоуі ольными (т х п) и квадратными (п х п) матрицами Л и В в условиях неполноты рані а матрицы А

Системы с переменными коэффициентами, нелинейные с истемы, проблемы численного решения АДС привлекают внимание специалистов с начала 70-х годов

Большой вклад в теорию линейных АДС вида (3), включая недо-определенные (т < п) и переопределенные (т > п) системы, и развитие приближенных мечодов их решения внес Ю Е Бояринцев В моної рафиях [Боя80, Боя88, Боя96] и серии друї их работ основное внимание уделено взаимосвязи кроиекеровой сірзктурьі пучка матрицсисіемьі [Кг890|, вида общею решения АДС (3) и евоисів численных мечодов Мсчодо-іоі іічс с коп основой эшх иеелед'^вашш послу жич аннараї обобщенных обрашых маїриц иол} обратных и Дралина imrjriinu

В кніие [БояОО] введено нонніие базовых матриц, коюрое позволяеі і! явном виде ст])оигь решения (ИСІЄМ *^}!l = Bx(t) + f(t,x(t)) с нос юяннои матрицей А Этот аппарат исполыуегся для анализа ЛДС индекса 1 и 2, возникающих в различных приложениях, в частности, в нории линеаризованных уравнений Павье-Стокса

В рабоїах [Бояйб, ІЦег95| начаш исследования правых регуляризи-р\ющих onej)aropoB (ПРО) замен переменных, приводящих ЛДС (3) к нормальному виду

Вопросы сущее гвования, свойства и алюри і мы построения ЛРО для чиненною случая были ралвиш в [Чис96] Там же для систем вида (.3) бы чо введено определение общего решения типа Коши, выделяющее класс сие іем, решения которых но с воим свойствам сходны с решениями систем ОДУ, разрешенных относшельно производной Доказано, что в с чу чае дос іаючно гладких коэффициентов сущее івование ЛРО для си-с темы (3) эквивалентно сущее чванию общего решения іипа Коши Если же матрицы A(t) и D(t) аналитичны наТ, то эти своие і вас истемы равно-сильны существованию для АДС (3) цешральной каноничен кой формы (ЦКФ)

Впервые понятие ЦКФ было введено в [СР83] ("strong standard canonical form") и в последующем сьнрало важную роль при анализе линейных ЛДС Сущесч вование ЦКФ обосновано для линейной АДС о анали-тичс с кими коэффициешами

В с іаіье [СР02] указан способ построения по полному жорданову набору кінфсрициеніов ЛРО и ПРО для бесконечномерных систем уравнений в банаховых пространс івах с ерредгольмовым оператором при иро-іивочнои

Обширнаи лшература посвящена системам, удовчегворяющим кри-п-ршо "ранг-степеньчто в предположении существования ЛРО для линейных АДС эквивалешно, а дчя нелинейных явчяется допаточным \с ижием индекса 1 Этому кршерию удовлечворяют линейные слра-нпчения в іадаче миними іации квадратичною фунмщонала в 1)абоых Г \ К\ рпноП [КурУІ, КурОО], в коюрых решения вырожденною опера-юрною сравнении Риккаги пошочяеі почучіпь ошимальное управпе-ния и форме обра пюи связи Подобная іадача рас с ма і рішаєте я в сіаіье |Мае()1], іде дчя нос і роения оптимальної о управления для АДС введено

ВВЕДЕНИЕ иоияіие сопряженной (не іемьі, а оіраничения онисыиаюпя линейными ЛДС индекса 1 и 2 В етаїье [PV97| получено необходимое условие оши-малышс ш для задачи с оіраничеииями типа нелинейной ЛДС индекса 1

В работе [КШ98] рассматривается линейная АДС с- регулярным пучком иос юянных матриц Предлагаеіся ус юйчивый но отношению к воз-муїдениям входных данных меч од нахождения решения сие і ем с правыми час іями, взятыми в кчассе функций с финишым с пек і ром

Бочьшое внимание сие гемам индекса 1 и численным меч одам их peine ния } делено в рабо і «їх магемаїиков Берлинской школы (Е Gnepentrog, R Maer/, R Lainour, М Hanke и др.) [GM86, LMW9(>, МаеУ5] Указан свои критерий определения таких АДС для линейных систем вида (3) матрица A(t) + B(t)P(t) неособенна для любого t Є Т, P(t) - проектор на ядро матрицы A(t)

В последние годы появилось много работ берлинских математиков, посвященных так называемым АДС с правильно заданным слаїаемьім, содержащим производную ("with properly stated leading term"), A(x(t),t)j_t(D(t)x(t)) + b(x(t),t) = Q

Такая постановка хотя и теряет* в общнос їй, но позволяет с вести к минимуму требования на гладкое і ь входных данных сие іемьі Следусч отмети і ь, 'но АДС указанною вида возникаю! в некоторых приложениях, в час і нос їй, при применении в моделировании электрических цепей модифицированного узлового анали за [МаеОЗ] В стаїье [ВМ02] предлаїается единый подход к исследованию разрешимое їй АДС индекса 1 и 2 и сопряженной системы Результаїьі по разрешимости и приближенному нахождению решения нредиавлены также в [МаеОЗ, LMTOJa, LMT03b] В [LamOl] на основе последовательности матриц с определенным образом выбранными проекторами предлагается численная процедура нахождения сен тасованных начальных данных для АДС индекса 2

Различным аспектам теории нелинейных АДС (1) и, главным образом, численным методам их решения посвящены рабоіы группы мате-машков США (С W Gear, S L Campbell, L R Petzold, К К Вгеиаи и др ) [ВСРУО, CamSOa, Саш82, Саш84, СР83] Дтя решения и исследования \ДС широко іі(ііочьз}іоня продолженные системы [ВСР96, СашУ2]

Д ія сік іем дифсЬеренциальных )равнении с час іньїми производными продо іженньїес ие гемы яв іяются рабочим аинараюм дос іаючно дав-

ВВЕДЕНИЕ но |РЯ7о] В [Ми(81| 1-продо іженная сисіема сршурирует при обосновании к орем ы (уіц(( і нокання (истемы (1) индекса 1 В [Саиі8і] 7-продоч-/К(нні>іе сие гемы ис польские я д ія решения линейных ЛДС (3)

Прим(ниіелі>но к сие іемам ОДУ, неразрепнчшым оіносшечьно про-н людных, продол/Кеиные сік іемьі впервые рас с мел репы в книіе [Арн78] в с вя іи с норией с іруи Существуют и ді)угие подході)і к анали іу АДС, в коюрых продолженные сие к>мы привлекаются через пучки струй (jc t bundles) [LeV98, ManOl, РГ9.3] Теория пучков є іруи позволяем исс-ледо-ваіь с ис іемьі уравнении в час іньїх производных с оіраничениями типа коне чных є вязеи [LSE97a, LSE971)] Еще более абстрактный іеометриче-(кий подход к исследованию АДС свя мн с техникой рас слоенных пучков (fiber bundles) [GrP92, ММТ97] S L Campbell сформулировал понятие индекса АДС, связанное с по-няіием r-продолженной системы (12) [Gea92]. Последняя рассматриваемся как конечномерная алгебраическая сие гема с неизвестными х,х\..., т^(г"* Є R" в предположении, что начиная с некоторого г > 0 m (12) можно выделить уравнение вида x' + tf>(t,x) = 0 При этом число г назы-влс ня индексом системы (1) Показано, чго при выполнении некоюрых ограничении решения порченной системы являются решениями АДС

Рабоіa [Rhe8 lj породи іа иіпересное направление в исследовании АДС, коїда последние ірамуюіся как дифференциальные уравнения на многообразиях В монш рафии [RR02] рассмоірешл многие аспекты проблемы ралрешимос їй и качественной теории АДС В частности, для квази- шнейной автономной системы предлаїаеіея процедура последовательною понижения индекса АДС с помощью мноюобразий касательных п}чков Сіабилизация процесса означаеі, что исходная АДС с іановитея эквивалента сисіеме ОДУ в нормальной форме на некотором мноюобразий Осуществление такой редукции требует на каждом шаіе по-сюянства ранга маїрицьі при производной искомой функции на опреде- кчтых касательных многообразиях Процедура редукции испольіуетея дане в [RR02] для исследования бифуркаций Хопс})а и для изучения кіасса с iimij чярнос і ей квл ш шнейныч АДС, об}с лов іенньїх вырождениями маїрпцм німі произво шои на множесівач меры ночь, в часіносіи, в іочках По і, с ингуляриос іью понимается начичие в сие іемах, почуча с мыч на каждом шаіе ред\кции, множні елей при производной искомой пі к юр функции, коюрые обраіцаюкя в но п> на указанных множее івах В чае тек пі, іакое с участе я, коїд.і начальная точка принад іежит мно-

ВВЕДЕНИЕ жесту вырождения, что можеі вы іьівать іакие зффекіьі как неоірани-ченшк іь производных решения в еишулярной точке, ветвление решений и чи неиродолжимосгь решения влево или вправо

Для АДС с полиномиальными коэффициентами алкбраическии перевод алгоритма редукции и$ [RR02] дан в [ТЪо95]. Геометрические аспекты АДС также изучались в [S^a92].

В статье [КМ95] для линейных АДС вида (3) с матрицей A(t) постоянною раша построен аналог канонической формы, на основе которого осуществляется процесс понижения индекса В [КМ98] этот подход применяемся для исследования нелинейных систем Для нормализации АДС вида (1) привлекают я продолженные системы Следует отметить, что это единственные известные рабоїьі, в которых не используется условие

, [OF 0F\ rank I —, — = n, то есть допускается возможность существования бесконечномерного мноюобразия решений

Активно развивается теория вырожденных дифференциальных уравнений с операторными коэффициешами в банаховых пространствах [Кре 71, Рут75, ФедОО, Сви94, МА94, FY99]

А[и'] + В[и] = /, кегЛ^О (17)

Н А Сидоровым и его учениками выполнен большой цикл работ по исследованию систем вида (17) в конечномерном и бесконечномерном случаях в предположении фредюльмовоии оператора А [Сид84а, СФ87, ФалОО] Вырожденные сие іемьі редуцируются к сисіемам в нормальной форме на основе прямых разложений пространств, на которых определены оиераюрные коэффициешы, по элементам полных жордановых наборов Техника эгих работ применима и для изучения линейных АДС с по( юянными коэффициентами Профессор Н.А Сидоров разработал теорию ветвления непрерывных решений вырожденных нелинейных операторных уравнений в случае, коїда опера і op при производной вырождаемся в начальной точке [Сид94, Сид95, СидОІ] Развит конструктивный аппарат, ынорый позволяет с і роить и исследовать уравнения разветвления Пос і роены как дробно-аепенные, іак и лоїарифмические асимп-топіки веівящихся решений Весьма перспекіивной представляется boj-можнос іь связаіь в дальнейшем эш результаш с результатами, полученными в диссертации для с}щесгвснно вырожденных АДС, поскольку наличие особых решении обусловлено переменным рашом матрицы ітгдшпіЕ /(/, j, (/) (( м формулу (1.3)), чго в (ною очередь, іесно связано є появленні м > ЛДС ВСЧВЯІЦИХСЯ решении

В рабеиах |І'ут75, ФедОО, Сви91, МЛ94, FY99] для нормализации си-(пм и< пользуїоісн методы теории иолуїрупп оиераюров, чю позволяем оікалаїься от іребования фредюльмокосги оператора А В ->гих исследованиях авюры оперируют поняіием .Д-резольвенты оператора В [ХЛ f В)~ , <уіце( івование коюрой при перенесений результатов на конечномерный случай для систем с постоянными маїрицами козффици-(шов (0) жвиналенпю предположению регулярности пучка XA+D. Для (ікісмьі с неременными коэффициентами матрица \A(t) -f B(t) можсг ежазаіься необраїимои для любых значении А и t Є Т (см пример 7 введения), nojroNiy для таких cue іем, видимо, гребуелея какое-то расширение понятия резольвентного оператора

Возможности использования линеаризации для анализа нелинейных АДС всегда привлекали внимание с пециалис юв Первый общий положите шный разул ыа г по линеаризации АДС вые окої о индекса был получен S RckIi'om В работе [Rei93] установлено, что с*сли х„ - постоянное решение автономной системы F(x(t),x'(t)) = О и маїрица 0F(x,,{))/dx невы-рожденна, то иоле векторов, определяемое линеаризацией но т_м соїла-(}стся в і очке х = х*,х' = 0 с полем векторов решений рассматриваемой сие 1СМЫ

В с іатье [Cam95b] показано, что не зависящие оі времени линеариза-ции нелинейной АДС общею вида могут отличаться ог оршинала раз-мернос іьіо мноюобразин решений, индексом и динамическим поведением Дія получения аналої а результата S Reieli'a в случае неавюномной АДС вида (1) используется r-продолженная система

В рабою |Мае95] обосновывается сходимость меюда Ныогона-Каню-ровича для не шнейнои АДС индекса 1 и 2 в предположении, чю ядро матрицы dF(t,x,3.')/dx' зависит только от t В статье |Чис82] доказаны локачыюе сущее івование решения дчя квазилинейной системы индекса 1 и сходи мое іь модис1)ицированною метода Ныоюна на отрезке суще-с гвованпя решения.

В с іаіье [Щеч 98а] получены оценки с ходимоии метода Ныогона-Кан-юровича для не шнейнои АДС вида (1) ироизвотыю высокою индекса не ра зрешеншк ги Основным оіраничением является предположение о нос юянс іве индекс<і линеаризованной сие іемьі на каждом шаіе процесса Георема о (ходимосш меюда вк почаеі в себя )іверждение о с}ще-с івовании и єдине івенностп решения задачи Коши

ВВЕДЕНИЕ

Лкіивио ведутся исследования обобщенных решений (иеіем с опера-юрными коэффициентами в банаховых пространс івах В работе |МАШ7| на основе теории вырожденных полугрупп операюров исследусчся разрешимость вырожденной задачи Коши в пространстве Л. Шварца К сожалению, при перенесении результаюв на конечномерный случай предположения охватывают лишь линейные стационарные системы и, возможно, класс линейных АДС с переменными коэффициентами вида (3), ) которых при некоюром А матрица A A (t) + B(t) обратима для всех значений t из области определения

В с іагье [Зав88] изучается обобщенное решение системы вида (3) на Т = (-00,+со) при условии, что матрица A(t) вырождается только в нуле

К настоящему моменту имеегся немало работ, иосвященых обобщенным решениям АДС с постоянными козффициеніами, см., например, [СФ83, Cob82, Gee93, ФалОО].

Чю же касается систем с переменными матрицами коэффициентов, ю авюру известны лишь результаты PJ. Rabier и W.C Rheinboldt, в полном виде изложенные в моноїрафии [RR02, с 63]. Решение в пространстве распределений строится для линейной АДС произвольно высокого индекса с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами в случае несогласованных начальных данных и импульс но-гладкой правой час їй При этом на маїрицу при производной накладывается сущее і венное 01 раничение rank A(t) = с onst V/ Є Т

Впервые меюд возмущения примениіельно к вырожденным системам уравнении с операторными коэффициентами в банаховых пространствах U+eV)[u'] = BH t Є [іо.іі], рассмотрен в статье [Зуб73]. Предполагается, что предельное уравнение (f = 0) неразрешимо ошосительно производной, но оператор (А А — В)~^х сущее івует и ограничен Оператор V выбирается, в частности, таким образом, чю в случае несогласованных начальных данных возникает граничный слой ошибок экспоненциального типа Такое допущение позволяет сформулировать условия, при коюрых существует асимпютическое разложение решения задачи Коши, и выписать это разложение

Меюд возмущения для АДС (G) с регулярным пучком маїриц ко>ф-фпцпенюв (4 Л sB)x'_r(t) f- Dx_t(t) = /(0, t Є Т = [0, foe), (18) ІІШЩКІШЕ в предположении f(t) Є C^lr{T) (г < п) изучался также в монографии |Боя8()| Доказана равномерная сходимость Vt > Єо > 0 при є —* 0 решений задачи (18),(9) к классическому решению исходной задачи (6),(9) Там же отмечено, что на отрезке [0,о] » общем случае возникаем пограничный слой ошибок типа "всплеска"

2r-2 _f -t/e xr{t) = ^cj-jt- j=0 ^l

Методам возмущения посвящены работы В II Скринника [Скр80, Скр 82], в которых обосновывается сходимость решений системы A{t, e)x'_e{t) + B{t, e)x_s(t) = f{t,є), t T, к решению ЛДС (3) при є -* 0, если входные данные системы удовлетворяют условиям A(t,e)->A(t), B(t,e)->B(t), f(t,e)->f(t)

Предположения относительно коэффициентов с истемы представляют с о бой час шыи случай индекса 1

Некоюрые модификации схемы (18) для линейных АДС исследованы в работах М Нанке [Нап8б, ЕН91]. В с гатье [Нап94] линейная сие ie-ма индекса 3 апроксимируется с помощью алгоритма регуляризации, в рез^льтаїе чею получается сишулярно возмущенная АДС. В терминах асимитоіических расширений дается харакіерис іика сірумурьі регуля-ризированных решении и свойства сходимся їй В [Нап95] аналогичный алюриїм річуляризацип применяется для решения квазилинейной АДС индекса 2 Сходимость решений реіуляризированной задачи обосновываем я на базе і еометрической теории сингулярных возмущении

Первые иопьпки по изучению устойчивою поведения АДС были сделаны 10-15 леї назад [Baj86, GM86, IIM90] Существенные трудности при изучении устойчивости связаны с тем, что решение задачи Коши для еи-с іемьі (1) в классическом смысле (в пространстве С'(Т)) существует не дчя любою заданного вектора х₍₎ G R" Последний должен лежать в некоторой і иперилоскос пі иространпва R"

Эы пшерпчоскостьназываен я некоторыми аи юрами сої лас ованным мнокюбразием (consistent iiiaiufold) [] или мноюобрашем решении I'lucDfi] Можеі ока.заіься, чюЛДС (1) пмсеї наТєдине твенное решение

ВВЕДЕНИЕ (pa sm< рнос іь мноюобралия решении равна нулю), юіда исследование на \с юпчивос іі> може і не им( п. с мысла Именно такую с иіуацию мы имеем в примере 1

Таким образом, и учение >с юичивос і и АДС порождае і проблему нахождения указанного миоюобралия В с чучае линейных (ист ем с постоянными коэффициентами эызадача решается, в час гносіи, пуіем приведения пучка матриц системы к канонической (кронекеровой) сгрукіур-нои форме, детально исследованной в [Ганбб]. Псшому устойчивое іь в смысле Ляпунова линейных АДС с пос юянными коэфс})ициешами хорошо щучена к насюяіцему моменіу [Mul93, Dai89, Боя88] В частности, в кнше [Воя88] г использованием обратной матрицы Дралина получен аналог уравнения Ляпунова

В работе [Est99] предлагается процедура вычисления согласованных начальных данных для АДС вида (1) индекса 2 в предположении постсь янс іва ядра матрицы dF(t,x,x')/dx'.

В последнее время стали появляться работы по ус юйчивости нелинейных АДС Исследования в пой обласіи опяіь же оіраничиваюгся возможное і ями выделения согласованного многообразия В некоторых работах это делается за счет специальной структуры рассматриваемой системы [Ми198] В работах математиков Берлинской школы (см , например, [Tis94, НММ97]) мноїообразие находится пуіем построения различных ироекюров, что позволяет ис следовать АДС индекс а не выше двух с матрицей dF{t,i,x')/dx' иск гоянного ранга То же относится и работам но исс іедоианию линейных систем вида (3) [LMW99J

В сіатьо |Сид84Ь] в условиях существования полною жорданова набора получены условия существования ы-периодического решения вырожденной с истемы линейных диерференциальных уравнений, заданной в банаховых пространствах. При выполнении условий іеоремы существования для линейной с истемы и некоторых дополнительных предположениях оіносиїельно нелинейною члена доказано, чт нелинейное уравнение обладает конвері ситным решением

В рабоїе [Шар93] для иолуявнои квазилинейной АДС в предполсь женин разрешимости соответствующей задачи Копій ыроикя аналог санкции Ляпунова, шакооиреде іенносіь коїорон позволяет судиіь об }с юичивос їй гривна іьноїо решении Предсіав інется ишересным ю, мю норема об \с юпчивос ш при некоторых иредпо южениях рлбоїае і и д їй с\Щ(С пиши) вырожденных АДС, в час і нос і и, cjihu івенно вырожденной является сие іема, на примере коїорон илчкк ірируюісн но і\чеи-

Шіпдгшп: нмп ре>\ ІЬІ.ІІ

Пмеюкя рсч\ іьіаш ка(аюіцік(и вопросов прпводимосги ЛДС В |LM\V')⁽)] нория Флокс, of>0(новаиная для систем вида (.3) индекса 1 с rank \(t) = const, ирименяепя дія исследования нелинейных (ИСГЄМ Линеари зация также служит ос новой для исследования проблемы устойчивое пі ючки равновес ия квазилинейной АДС индекса 1 в книге [RR02]

Вопрос і.і приводимости АДС обсуждаются в [Мал85, ШлаУ7| Во всех подобных исследованиях ыавную роль иіраег возможносіь представления с})\іідаменіальной матрицы АДС в форме Р^ругина В рабо і е |Маз85] априорно предполаїаеіся существование у АДС фундаментальной маї-рицы, и рассуждения опираются на поняіие асимптотической эквивалентное їй сиеіем

В работе |Кор82] В М Корсуков с формулировал криіерий усгойчиво-е їй маїриц вида А~В [Л~ - матрица полуобратная к Л), который может бьиь ие пользован при исследовании АДС на устойчивое іь

Итере с h управляемым еисіемам, удовлетворяющим условию (2), в нас тящее время значите іьно возрос (с м , например, моної рафию [Dai89], в которой обрисованы и прикладные аспекты, или обзор [Мн198]).

Первые попытки исстедования задач оптимальною управления со свяіями в виде АДС бьпн предприняты D СоЬЬ'ом и Е .Jonckheere |СоЬ83, Joii88] Проблема пос і роении линейно-квадратичного оптимальною реї улит ора для АДС рассматривалась в [BL87] Для юю чтобы получить необходимые }с ювия оптимальности в ^іих работах на задачу \правления накладывалш ь весьма жее ікие оіраничения, которые редко выполняются в реальных приложениях.

В кнше¹ [Dai89] на основе приведения системы к канонической формо Кронекера деіально псспедована проблема управляемости и наблю-дае мое їй линейных АДС с иск шинными коэффициентами Полученные .иибраичес кие криіерий испо іьзуюіся при анализе задачи миниміиа-нии квадраіичною ф> нмпюнала на решениях АДС вида (6) Различные пшы управчяемосіи и набчюдаемосги сисіем с постоянными коэффи-циешами (в юм числе, \правляемость на бесконечности, импульсные \нрав іяемое іь и набполаепюе п») рае с матривалис ь также в [YS81, СР85, Со1>81 Lew85, MCSL88, I\Y⁽)8] Некоторые вычисли і емьпыо ас немы иро-б к-мы наб но ьіемости пре в ывчены в |VanD81]

В рабоїач [Ros7l, ] дія исследования управ іяемой линейной \ДС є нос шинными Kojei)e])HinieinaMii применяеіся преобразование Ла-и іаеа, на основе чечо с троя гаї довольно обширные теории, кошрые в

ВВЕДЕНИЕ і» ко юром ( мысле ивляюкя Чсісюіньіми аналоіами управляемое їй и на-6 іюдасмск пі

В обзоре [МиЮ8] управляемые АДС в форме ж'і(0 = /і(-сі(0,^(0.«(0),

0 = /₂(л(0,а:2(0»"(0) подразделяются на два іипа системы, поведение коюрых определяется только управляемым входом u(t) (саііьаі systenis), и системы, зависящие также и от производных управления u'(t), u"(t), , u^(t) (поп-1 ausa] systems) Для первою типа доказана применимое і ь принципа максимума Понгрягина То же разделение играет ведущую роль и при анализе линейно-квадратичной задачи оптимального управления со связями в виде линейной управляемой стационарной АДС [Ми199] Система преобразуется к канонической форме Кронекера, а оптимальное управление строится через решение соответствующею уравнения Риккати.

К настоящему моменту довольно хорошо исследована проблема идентификации состояния в случае линейных управляемых АДС с постоянными коэффициенхами [Dai89, SK88, Cob94, Ми199] В то время как в [Dai89] и (SK88] пос і роение идешификаторл базируется на приведении сие і смы к форме Кронекера, в стаїье [Cob94] для анализа привлекается кюрия сині улярных сие іем и сингулярных возмущений В работе [Ми199] обос повываете я возможное іь применения для оценки сое юяния системы обобщенною идентификаюра Люенберіера [Lue77], и формулируюкя условия, при коюрых этот иденіиерикаюр асимптошчееки ус юйчив

В рабо і ах [CNT90, СТОЗ] система A(t)s'(t) = B(t)r(t) + D(t)u(t), t Є [t₀, U], (19) y(t) = C(t)x(t) (20) с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами называется вполне наблюдаемой на отрезке [fo,'i], если на любом подынтервале 7¹ С [to,t\] мы можем найти гладкое решение уравнения (19) по извее гному выходу y(t) и управлению u(t) Такое определение иоіволяєг получить красивый алкбраическии кршерий полной наблюдаемости, а также доказать аналог теоремы дуальное і и Двойственным понятом является попите /^-управляемое ш, коюрое не удается сформулировать в іермпнах си-( юмы (19),(2()) Вводи к я оно следующим образом Сие іема (19), (20) UliF, ЦІННЕ прсобраіуекя к эквивалентной фо()мє, в которой разделены ее "диффе-р< нциатьная"и "алгебраичсская"части x'_l(t) = B_l(t)x₁(t) + D_i(t)u(t), (21) \\x₂[t)] = D₂(t)u(t), (22) ''^ 1 (t) ⁼ Q(0^x(0i Q(0 бесконечно дифференцируемая обра- шмая маїрица, Л непрерывно обратимый линейный дифференциальный оператор. Разрешимая АДС (19),(20) называется Я-управляемой, если вполне управляема система (21) Таким образом определяемые наблюдаемость и управляемость АДС означают полную наблюдаемость и управляемость невырожденной подсистемы (21). Поэтому, если опера-юр исходной АДС имеет нулевое ядро, то для такой системы понятие )правляемости не определено Заметим, что конируктивных алгоритмов пек j роения АДС (21),(22) на настоящий момент нет В статье [АМ96] определения управчяемости и наблюдаемости являюіся аналоіами приведенных выше в бе* привлечения каких бы то ни было криіериев, кроме самих определений, обосновывается іеорема дуальное їй, связывающая оба тій понятия

Среди работ, касающихся АДС с оіклоняющимся аріументом, хоте-юсь бы отметить [Cani80, Cam95|, посвященные системам с постоянными кенффицентами Ax'{t) = Bx(t) f Cx{t - a) + Dx'{t -a) + f{t), t > 0, x(t) = m,te\-a,0], a - const > 0, det/1 = 0. В первой из них в условиях регулярное їй н\чка (А - В (D = О) изучается вопрос о сущее івовании соыасованных начальных данных А во в юрой - в предположении, чю регупярен пучок с Л - В - (1С - cdD (с\1 - В - сишулярный), для системы стройки с ір>кіурная ({юрма, ношо іяюіцая судить о поведении решения

О. Краткое содержание диссертации и сравнение с

ЮНОСТНЫМИ результатами. Диссертация с ос гоп і m введения, чечырех і лав, іакчіочения и списка штераіурьі

ВВЕДЕНИЕ

Бо введении обоснована актуальность іемьі диссертационной работы, описана специфика объекта исследований, приведен об юр текущей штєраіурьі и дано сравнение с* резульїаіами, представленными в диссертации

Первая глава посвящена проблеме разрешимости АДС (линейных и нелинейных) в классическом смысле Первый раздел главы носит вспо-моїаіельньїй харакіер В нем собраны сведения об обобщенных обратных матрицах и матричных пучках, а также приведены огдельные аспекты линейной теории АДС, необходимые для анализа, проводимою в друїих разделах работы Во втором разделе содержатся результаты о разрешимости нелинейных АДС вида (1) произвольного индекса и о возможности их преобразования к виду, разрешенному относительно производной Ос обо следует отметить,что впервые рассматриваются так называемые существенно вырожденные АДС, охватывающие случай, когда заданные начальные данные (9) для системы (1) порождают корень кратности больше единицы соответствующей шиебраической системы F(t,x,y) = 0

В отличие от работ математиков берлинской школы [GM86, LMW99, Мае95 и др ] в диссертации нелинейные системы исследуются баз каких бы то ни было ограничений на индекс АДС а также на ранг и ядро матрицы dF(t,x,x')/dx'.

Как и в работах S L Campbell'a [Сагп92, CG95, ВСР96], в диссертации для анализа нелинейных АДС привлекаются продолженные сисіемьі Но криіерии нормализации и сущейвования решения получены в более общих предположениях В частности, удалось отказаться от иостоянс іва ранга матрицы Г_г Иллюстрацией отличий могут служиіь две простые АДС

Пример 5. Несложные вычисления показывают, что следующие системы F,(f,»,.0 - ( *** ) = 0, F₂((,x,x') = ( ^Х2^+^Xl ) = О, имеют юлько тривиальное решение на произвольном иніервале Т = [О,/]) Д ія обеих сие іем определены ЛРО ^{і =} (о ()') ⁺ (о і)Іґ^С2=[1 о²) ⁺ (о \²)Jt

ВВЕДШИ IE 31 іакис чю C.№Mt)>At))\ = ( ^ ) Vx(«) Є С²(Т), г = 1,2.

Оі раничения, накладываемые на систему в работах S L. Campbell'a, выполняются лишь для второй из приведенных ЛДС (маїрица Г_г имеет нос юянный ранг), предположения, в которых получены результаты в диссертации имеют мес ю для обеих (ИСТЄМ

В статье [КМ98] иіерационньїй процесс нормализации нелинейной АДС также осуществляется с помощью продолженных систем. Здес ь уже не требуется, чтобы rankdF(t, х,х')/дт' = сопьі, но основными ограничениями являются, в частносіи, труднопроверяемые предположения О ЮМ, что множество решений продолженной системы (12), понимаемой как система конечных уравнений с независимыми переменными t,x,x',..., j-^(rfI), представляет собой одно многообразие в пространстве R"^^r+2^⁺¹, а матрица Г_г(4,я,х',..., 2^^г+1') имеет постоянный ранг на этом многообразии Нетрудно построить пример, в котором указанных многобразии у продолженной системы несколько, и ранг матрицы T_r(t,x,x', . .,х^^г+^) на различных многообразиях будет разным.

Пример 6. Рассмотрим однородную АДС индекса 1 _^=(е^)^=о,_'^єг_-

Пос j роим одно дифференциальное продолжение |гМ=(^1Г'-)=0. (24)

Найдем все решения 1-продолженной системы (23),(24), рассматривая се в качестве алгебраической с неизвестными Х\,х₂, х\,х'_г,х'[,х"₂ Нетрудно убедиться, что все решения системы (23),(24) лежат на двух мно-i ообра.шях пространства R⁶ :

Х\ = х\ = О, xi = х'₂ = 0, х\ = х", т\ = -х'(, х₂ = 1, х'₂ = 0, при этом значения х'[ и х₂ произвольны Матрица Г і имеет вид ( х₂ 0 0 0 \ _г / / / „ ,п _ 0 0 0 0 ігіхих^х^х^х,,!,)- _х,₊₁ ^ ^ ₀ \ 0 2i,-l 0 0/

ВВЕДЕНИЕ

Лико проворить, что на первом и з указанных многообразии ранг матрицы Гі равен двум, а на в юром - грем

Предположения статьи [КМ98] в общем случае не выполняются и для невырожденных систем вида (1) (то есть когда det dFjOx' ф О для любых точек (t,x,x') из области определения функции F), если решения последней, рассматриваемой как система конечных уравнений с неизвестными t, х и х', лежат на различных мної ообразиях пространства R²ⁿ⁺¹ Известный пример скалярною уравнения, все решения которого располаїаюіся на двух различных мної ообразиях, можно найти в учебнике И Г. Петровского |Пет49, с 88] {x'{t)f -1 = 0, і Є [0,1).

Здесь любые начальные данные х(0) = а порождают два многообразия решений х' = 1, х' = -1

Поскольку в диссертации начальная точка (о,о>«ъ--->^ыг-н)> удовлетворяющая г-продолженной системе (12), закреплена, и все рассуждения проводятся в окрестности этой точки, то такої о рода проблемы вообще не возникают.

Процедура редукции квазилинейной АДС, предложенная в монографии [RR02], предполаїает на каждом шаге постоянство ранюв матриц при прои зводнои на соответствующих касательных многообразиях Это ограничение значительно суживает класс рассматриваемых систем но сравнению с тем, который охватывается процедурами нормализации, предложенными в рабоїах [КМ98, ВСР96, CG95] или в диссертации К тому же, несмоіря на то, что любую нелинейную АДС введением дополнительной переменной можно преобразовать в квазилинейную, в общем случае порученная система не будет полностью -жвивалентна исходной, поскольку в условиях существования ЛРО поставленная задача Коши для квазилинейной АДС не может иметь более одного решения, в то время как начальная задача для нелинейной АДС может быть разрешима неедиж і венным образом.

В разделе 124 первой главы получен достаточный криіерий <уще-с гвоваиия решения для сущее гвенно вырожденных АДС, то есть си-(іем вида (1) с условиями (2),(14). Все известные авюру работы в обласні АДС предполагают полноту ранга матрицы J(t,x,y) в V Отказ 01 этою требования приводит к серьезным дополниіельиьім трудное гям в плане исследования и численного решения (см выше пример 4) Под-

ВВЕДЕНИЕ ход, предлагаемый в диссертации, проясняет происхождение вычисли-іельньїх трудностей и предоставляет способ их преодоления, для решения таких уравнений требуется не только регуляризация по переменной t (ю есть построение ЛРО), но и регуляризация по пространственной переменной х. Обосновывался процесс перехода от задачи (1),(9) с условиями (2),(14) к задаче Коши для системы в нормальной форме, эквивалентной исходной в смысле решения В предположении, что начальные данные (9) порождают кратный корень соответствующей алгебраической системы F(t,x,y) = 0, доказана теорема существования решения задачи (1),(9)

Во второй главе строятся обобщенные решения типа Соболева-Шварца начальных и краевых задач для линейных АДС с вещественно аналитическими или бесконечно дифференцируемыми матрицами коэффициентов. Для стационарных систем доказывается сходимость метода возмущения в пространстве распределений.

Как следует из краткого обзора, приведенного выше, детально исследована разрешимость в обобщенном смысле линейных систем с постоянными коэффициентами. В работах профессора И.В Мельниковой и ее учеников рассматриваются обобщенные решения в пространстве Л Шварца для систем (17) с операторными коэффициешами в банаховых пространствах (см., например, обзор [Мел95] или статью [MAU97]). Одним из основных предположений в этих исследованиях является существование резольвентного опертора (ХА + В)'¹- Для систем с переменными коэффициентами вида (3) в общем случае это предположение не выполняется.

Пример 7. АДС (J0^I,(t)+(')^{l(() =} («'))'^1T=lMl)' имеет едини венное решение

При этом (let (XA(t) + B(t)) = det I )=0 для любого Л и любого

ВВЕДЕНИЕ

Тем не менее ЛРО для эюй системы существует ⁼\о і )\di) ⁺v-i o)Jt ⁺ [o о)

В стаїье |Фал(Ю] обобщенное решение строиіся для системы вида (17) в б(ч конечномерном случае в предположении фредгольмовост и оператора при производной, чго затрудняет перене(ение этих результатов на конечномерные задачи, описываемые линейными АДС с переменнн-ными матрицами коэффициентов Если в системе (3) считать маїрицу A(t) Є С^тСГ) оператором, действующим из C^m(7') в С^т{Т), то у такого оператора ядро бесконечномерно и в случае rank A(t) = const описывается формулой (Е — A~(t)A(t))v(t), где A~(t) - любая полуобратная матрица для матрицы A(t), v(t) - поизвольный вектор из С^т(Т).

В монографии [RR02J возможности построения обобщеннных решений исследованы для нестационарных систем вида (3). Основным предположением является постоянство ранга матрицы, стоящей при производной.

Решение в пространстве распределений для АДС (3) с матрицей A(t) переменного ранга впервые построено в диссертации, Предполагается, что краевые или начальные условия не согласованы, а правая часть задана в виде гладкой или регулярной обобщенной функции или же может представлять собой сумму регулярной обобщенной функций и линейной комбинации дельта-функции и ее производных В случае аналитических коэффициентов ранг матрицы A(t) является посюянным в области определения за исключением, быть может, отдельных точек В предположении A(t),B(t) Є С(Т) ранг матрицы A(t) может меняться в пределах интервала Т произвольным образом

Сходимость метода возмущения в пространстве обобщенных функций ранее не рассматривалась В диссертации показано, что классические решения задачи (18), (9) с гладкой правой частью, будучи продолженными нулем в обобщенном смысле при t < О, сходятся к обобщенному решению задачи (6),(9) в пространстве распределений

В третьей главе изучаются качественные свойства АДС управляемость, наблюдаемость и усюйчивость В первом разделе главы рассматривается вопрос об устойчивости в смысле Ляпунова линейных и кваличинейных АДС В общих предположениях доказан аналог теоремы о непрерывном зависимости решения нелинейной АДС oi начальных данных Дчя линейных сие і ем введено поняіие и получены условия

ВВЕДЕНИЕ <\щн і кования новой структурной формы, названной авюром расщеи-н иной Эы (ір>кіурная форма заіем исполмуспи для исследования вопросов приводимое їй АДС Доказаны аналої и теорем II П Круїииа и Г Флокс Во в юром и третьем разделе получены аліебраичеекие критерии управляемости по состоянию и наблюдаемости для линейных АДС ( ио( юянными и переменными коэффициентами На базе понятия сопряженной управляемой АДС доказан аналог теоремы дуальности Калма-Н.1 В четвергом разделе исследуется наблюдаемость линейной системы ( ненрерьівно-дискреіньш временем с по( юянными матрицами коэффи-циенюв, неразрешенной относиїельно производной непрерывной сосіав-іяюіцей ис комой вектор-функции Такая система называется в диссеріа-ции вырожденной гибридной системой. Получен результат о существовании решения начальной задачи и обоє нованы критерии полной наблю-даемост и

При исследовании уиойчивости линейных АДС (3) по Ляпунову в диссертации снят ряд существенных ограничений, в частное хи, допускается переменный ранг матрицы A(t) и произвольно высокий индекс нер&зрешенности. Подход, с вязанный с преобразованием АДС при помощи ЛРО, позволяет обойти проблему нахождения согласованної о многообразия Предлагается вместо АДС иселедоваїь на устойчивость некото рую систему ОДУ в нормальной форме, пространсіво решений коюрои содержит многообразие решении исходной АДС Таким образом, проблема сводится к пос іроению ЛРО, что в линейном случае но сложное їй эквивалентно нахождению полуобратной матрицы [Чис96].

В разделе 3 1 сформулировано понятие приводимости АДС, которое существенно отличается от определения А М. Ляпунова, и для линейной АДС (3) построена расщепленная форма Последняя в отличие or ЦКФ сущее івует для систем с гладкими матрицами коэффициентов. В отличие от работ [Маз98, Шла97] при рассмотрении вопросов приводимое ги в диссертации не предиолаїаетея существование у АДС фундаменіальной с истемы решений, оно вытекает и з условии существования расщепленной формы

Наскотько извее то авюр>, проблема управляемое ги и наблюдаемо-с і и .пшенных АДС с переменными коэсрфнциенгами изучаеня лишь в работах (CNT90, CT03J, коюрые обс}ждашсь в обзоре лиіературьі Введенное іам ионяше /{-управляемости формулируемся не в терминах входных данных АДС (19),(20), а в іерминах некоторой эквивалентной системы (21),(22), конструктивных алгоритмов построения которой на

ВВЕДЕНИЕ нас юнщий момент несущее і нует В диссеріации іюняіия полной управляемое їй и наб иодаемос їй вводя і ся аналої ично невырожденному случаю (ер |Гай()2, Дан74]) А под управляемое! ью, например, системы (22) на отрезке [t₀, t\\ С T подразумевается существование гладкого управления u(t) такого, что для любых заданных векторов Хо и Х\ соответствующей размерности решение системы (22) существует и удовлетворяет условиям х₂(сю) ⁼ ^Оі^гС^і) = ^хі- Оба определения формулируются в терминах исходной АДС, а аліебраические критерии управляемости и наблюдаемости получены в терминах коэффициентов ЛРО, что придает им конструктивный характер

В том же ключе и диссертации исследуется проблема наблюдаемости вырожденной і ибридной системы, а также связанный с ней вопрос о разрешимости поставленной для такой системы начальной задачи Насколько известно автору, результаюв по исследованию вырожденных іи-бридных систем в литературе не имеется

Четвертая глава посвящена линейным АДС с отклоняющимся аргументом. В разделах 1-5 изучаются возможности преобразования АДС в систему запаздывающего типа, разрешенную относительно старшей производной и эквивалешную исходной в смысле решения Рассмотрены системы с постоянными и переменными козффициеніами как в предположении существования для части уравнения, не содержащей запаздывания, оператора, преобразующего ее к нормальному виду (регулярные системы), так и в случае, когда такой оператор не существует (нерегулярные системы) В разделе 6 получены условия согласования, гарантирующие существование непрерывного решения основной начальной задачи для регулярной АДС с отклоняющимся аргументом В случае, когда условия согласования не выполняются, доказана теорема о сущесівова-нии решения в пространстве распределений

В связи с исследованием АДС с запаздыванием пришлось расширить само поияіие ЛРО. Это оператор для задачи (1),(5) существенным образом отличается от ЛРО для АДС (3) он включает в себя не только операторы дифференцирования, но и операюры сдвига влево и вправо

В дисертации найдены условия, при которых возможно преобразование АДС (4),(5) к виду (15),(5) в случае, когда оператор (16) не сущее іву-ег А именно, построен оператор, преобразующий сие іему с постоянными

ВВЕДЕНИЕ мпффицшчпами iTA₃TM(t)lJ2^D,*^b)(t-) = f(t),teT, (q > 0 можег быть больше р > 1, a = const > 0, dot А_р = 0) к виду (15) в условиях, коїда пучок матриц ^_₀cMj сингулярен, но регулярен пучок Т%-и3Dj До (их по[) такой оператор не был построен даже для случая р = 1, q = 0 по причине оісутсівия хорошей структурной теории для пучков более чем двух матриц Один и5 разделов посвящен вопросам, связанным с пос гороением ЛРО для нерегулярных с истем с неременными матрицами коэффициентов

В диссертации найдены условия (называемые ниже условиями согласования), гарантирующие существование непрерывного решения регулярной задачи (4),(5) Показано, что эт условия представляют собой оіраничєния на начальную функцию ty[t) В случае, когда условия со-їласования не выполняются, исследована возможной ь построения обобщенною в смысле Соболева-Шварца решения задачи (4),(5)

Все поставленные в четвертой главе диссертации проблемы в законченном виде исследованы впервые.

В заключении кратко обсуждаются возможные направления дальнейших исследовании Список использованной литературы включает и себя 172 ссылки и составлен в алфавитном порядке

7. Научная новизна. В диссертационной работе получены но вые результат по разрешимости (в классическом и обобщенном смыслах) и качественным свойствам таких классов АДС, к которым не применимы имеющиеся на настоящий момент методики исследования^- допускаемся произвольно выоокии индекс, переменный ранг матрицы 0F(t, х,х')/дх', сняты ограничения на ядро *юй матрицы, в системах с oi-клоняющимся аргументом час іь, не содержащая запаздывания, может не иметь ЛРО

Поняїне ЛРО перенесено на случай нелинейной ЛДС вида (1), найдены условия с\щесівования этою оператора В предположениях, допускающих переменный ранг матрицы Г_г, доказана локальная юорема о с ущес пювании решения Впервые рассмотрены с>щесівенно вырожденные (їй іемьі, для коюрых обоснован процесс приведения к нормальной форме и почуіеньї условия разрешимости задачи Коши Для нелинейной

ВВЕДЕНИЕ сік іемьі в общей постановке (1) обоснован аналог іеоремьі о непрерывной зависимости решений от начальных данных

Для линейных ЛДС (3) и сисіем с отклоняющимся арі уметом вида (4),(5) с переменными коэффициентами и матрицей при ирои вводной переменного рані а построено обобщенное решение типа Соболева-Шварца Доказана сходимосіь метода возмущения для линейной АДС с постоянными коэффициентами в пространстве распределений.

В терминах коэффициентов ЛРО обоснованы конструктивные критерии устойчивости по Ляпунову, управляемое їй и наблюдаемое і и для линейных АДС с переменными матрицами коэффициентов Доказаны аналоги теорем Еругина и Флоке о приводимости линейных АДС < гладкими коэффициентами с помощью введенного автором понятия расщепленной формы Достоинством этих результатов является то, что их невозможно усилить для сисгем с регулярными множествами решений, то ее ІЬ не содержащими особых точек.

Сформулированы и решены проблемы разрешимости и наблюдаемости вырожденной іибридной системы с постоянными коэффициентами, ранее нигде не рассматривавшиеся

Впервые систематически исследованы задача построения ЛРО для АДС с отклоняющимся аргументом с постоянными и переменными матрицами коэффициентов в регулярном и нерегулярном случаях и вопросы разрешимости таких систем. Полученные результаты являются приоритет ными и носят законченный характер

8. Теоретическая и практическая значимость. Посгро-ена локальная теория разрешимости нелинейных АДС, имеющих конечномерное многообразие решений, включая сущейвенно вырожденный случай Полученные алгебраические критерии управляемости, наблюдаемости и устойчивости но Ляпунову полностью решают соответствующие вопросы для линейных АДС, у которых семейство решений не имеет особых точек. То же самое можно сказать и о результатах, касающихся рафешимос ги линейных АДС в пространстве распределений Создан единый понятийный апнараі и щучены проблемы разрешимое ги (в классическом и обобщенном смыслах) и построения ЛРО для линейных АДС с постоянным отклонением аргумента с постоянными и переменными маїрицами коэффициентов в реіулярном и нерегулярном случаях Впервые предложена методика для исследования линейных вырожденных і ибридных с истем

ВВЕДЕНИЕ

Как и шест по, вырождение маїрицьі 0F(t,x,s')/dx' на дискретных множествах меры ноль влечет появление особенностей решений Для АДС связь между изменениями ранга -ной мяірицьі и наличием особенностей решений уже не имеет прямого характера ранг может меняться, а особенное! и отсутствовать, и наоборот Наиболее сложные завис имости имеют место в нелинейном случае Разработанные в диссертации ме і суды имеют приоритетный характер и позволяют отсеиарировать АДС, у которых точки перемены рані а являются особыми, оі систем, у которых поведение решении регулярно Эти вопросы в настоящее время приобретают ос обую шачимость в связи с прикладными задачами

Результаты рабоїьі имеют теоретический характер и могут быть использованы в других разделах математики а также в прикладных областях, в частности: при и зучении и построении поверхностей с заданными свойствами, при построении алгоритмов исследования и численного решения моделей электрических систем и энергоблоков тепловых электростанций, при исследовании свойств двухсекторных экономических моделей, описываемых іибридньїми системами, которые содержат взаимосвязанные модели Леонтьева с непрерывным и дискретным временем, и моделируют, например, непрерывный процесс производства продукции и связанный с ним дискретный процесс замены оборудования

Разульташ могут быть использованы в рамках исследований, проводимых в Челябинском государственном университете, Уральском государственном университете, Воронежском государственном универси-іете, Иркутском і осударственном университете, Пермском техническом университете, Новосибирском государственном универсиїете, Ульяновском государственном университете, университете Дружбы народов (г. Москва), Институте систем энергетики им Мелентьева СО РАН, а также при разрабоїке спецкурсов для аспиранюв и студентов старших курсов математическою факультета Иркутского госу ни вереи гета

Исследования по теме выполнялись

1) в рамках основных тематических направлений ИДСТУ СО РАН тема "Исследование аліебро-дифференциальных систем, возникающих в задачах оіпимальною управления и вариационного исчисления"(№ юерегисграцин 01 99 00 07821 в 1999-2001 г г), тема "Алгебро-диффе-ренциальные системы и итерационные методы их решения"(№ юереги-страции 01 20 02 11780 в 2002-2003 п ), тема "Прикладная математи-ка"(Проірамма СО РАН 2 I ПСО Л^г«и2 оі 21 02 2003 с 2004 і ),

ВВЕДЕНИЕ

2) результат, представленные в диссертации, получены при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 01-01-00259, № 03-01-14141, Л"» 05-08-18160), Президиума РАН (і рант № 19 2) и Берлинского университеы им А Румбольдга, который выделял денежные средства для кратковременных стажировок (1997, 2003 г.г)

9. На защиту выносятся следующие результаты:

1 Создан аппарат для исследования локальных свойств нелинейных АДС общего вида (1) произвольно высокою индекса неразрешенности с матрицами dF/dx' и Г_г переменної о ранга^- сформулировано определение ЛРО и обоснованы условия существования этою оператора, на базе которых доказана теорема о существовании решения задачи Коши; обоснован процесс нормализации существенно вырожденной нелинейной АДС вида (1) с условием (14), базирующийся на предлагаемых алгоритмах реіуляризации но переменной х и переменной t; для такой сисіемьі доказана теорема о существовании решения, введено понятие согласованности начальных данных до некоторої о порядка, и доказан аналог теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных данных;

2. Впервые проведено исследование разрешимости в пространстве обобщенных функций типа Соболева-Шварца линейных АДС вида (3) в случае переменною раша матрицы при производной: исследована возможность построения обобщенных решений начальных и краевых задач для АДС с аналитическим и бесконечно дифференцируемыми коэффициентами и правой частью, преде іавляющей собой регулярную обобщенную функцию или сумму регулярной обобщенной функции и линейной комбинации дельта-функции и ее производных; доказана сходимость в пространстве распределений последовательности классических решений системы с постоянными коэффициентами, полученной меюдом возмущения, к обобщенному решению, построено обобщенное решение основной начальной задачи для ре-іулярной АДС с отклоняющимся аргументом (4),(5)

3. Получены конструктивные аліебраические критерии проверки ка- чес і венных своїк їв линейных нестационарных АДС вида (3) — доказаны теоремы об усюйчивости и асимнютической }стойчиво- сти в смысле Ляпунова тривиальною решения в предположении суще ствования ЛРО, обосновано сущесівовапие и предложен алгоритм но-

ВВЕДЕНИЕ ( гроения ЛРО, (охраняющею свойство у( юйчивости, — доказаны аналої и теорем Еруїина и Флоке, при этом получены необходимые и дои а і очные условия существования новой орумурной формы для ЛДС ( гладкими коэффициентами, названной расщепленной, в іерминах коэффициентов ЛРО обоснован криісрии полной управляемое і и по сосюянию, с использованием понятия сопряженной ЛДС доказан аналог теоремы дуальности Калмана, (вязывающий понятия на-бтюдаемости и управляемое хи по сое юянию, доказан доиагочный кри-іерии полной наблюдаемости, не являющийся следсівием теоремы дуальности и критерия управляемости,

4 Предложена методика для исследования вырожденных линейных систем с непрерывно-дискретным временем (гибридных) с постоянными коэффициентами - исследован вопрос о разрешимости начальной задачи; — получены достаточный и необходимый и достаточный криіерии полной наблюдаемости такой системы

5 Построена теория линейных АДС с отклоняющимся аргументом вида (1),(5) определено ионяіие общею решения типа Коши, найден вид ЛРО для таких (истем в реіулярном и нерегулярном случаях, для сие іем с аналитическими коэффициентами показано, что существование ЛРО эквиваленте сущее івованию решения типа Коши, доказаны теоремы о существовании и указаны алгоритмы пос і роения ЛРО для регулярных и нереіулярньгх АДС с пос гоянными и переменными матрицами коэффициентов, найдены условия согласования для основной начальной $адачи для регулярной АДС с отклоняющимся арі умен том

10. Апробация работы Основные результаты диссертационной работы докладывались на 16 Международных и Всероссийских конференциях и семинарах, в том числе на X Международной школе-семинаре "Методы ошимизации и их приложения"(Иркутск, 1995), на XI Международной шкоче семинаре "Методы ошимизации и их приложения" (Ирм н к, 1У98), на IV Сибирском кош рее с о по индустриальной и прикладной маїемагике (Новосибирск, 2000), на XII Международном шко ю семинаре "Меюды оптимизации и их прнложения"(Иркуіск, 2001), на Всероссийской научной конференции "Алюршмичсс кии анализ неус юй-чивых іадач"(Екаіерннбург, 2001), на Международной конференции "Диф-

ВВЕДЕНИЕ ферснциальные и иншральные уравнения. Математические модели"(Че-.іибинск, 2002), на Втором международном когрессе "Нелинейный динамический анализ"(Москва, 2002), на Международной конференции "Математика, ее приложения и матемагическое образование'^Улан-Удэ, 2002), на семинарах ииституга математики Берлинского униве реи і era им А Гумбольдта (рук-ль проф. R.Maerz, Берлин, 1997, 2003), на семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям в Пермском техническом университете (рук-ль проф. Н.В.Азбелев, Пермь, 2002), в период 1998-2005 годы на семинарах в Иркутском государственном университете (рук-ль проф. Сидоров Н.А.) и в Иркутской экономической академии (рук-ль проф. Дыхга В.А.) и на ежегодных конференциях "Ляпуновские чтения"в Институте динамики систем и теории управления СО РАН.

По теме диссертации автором опубликовано около 50 работ. Основой диссертации являются статьи, опубликованные в жестко рецензируемых оіечественньїх и зарубежных журналах [ЧЩ02, ЧЩ04а, Щег95, Щеі98а, ЩегШа, Щег02Ь, Щег02с, ЩегОЗа, Щеі04Ь, Shch04, Shch05], а также монография [ЧЩ04Ь], изданная при поддержке РФФИ.

Центральная каноническая форма и левый регуля-ризирующий оператор

Стремление разграничить исследования систем ОДУ, вырождающихся на дискретном множестве, систем дифференциальных уравнений с операюрными коэффициентами и систем, тождесівенно вырожденных в области определения, привело к тому, что в настоящее время в англо-янлчной чиїературе термин "дифференциальшьаліебраические уравнения" потеснил все другие названия и вошел AMS Subject Classification Эю обьясияеіся гем, чго в приложениях модель вида (1),(2) часто иредс іавчяеі собой сисіему взаимосвязанных дифференциальных и ал-іебраических уравнений, и в предельных случаях dctdF(t,x,x )/dx ф О и 0F(t,x,x )/dx = О uV, превращается соответственно либо в сис іему ОДУ, разрешимую о і нос иіельно производной согласно теореме о неявной функции, либо в сис іему алісбраических уравнений Мерой неразрешенное ги АДС относительно прои людной искомой вектор-функции служит целочисленная величина г (О г п), называемая индексом

В работах Иркутской школой маїематиков (Ю Е Бояринцев, В Ф Чис-іяков, М В Булатов) для систем (1) с условием (2) усюялось название алибро-дифференциальные системы (АДС) Придерживаясь ірадиций, авюр исполыуег именно этот термин для обозначения обьекіа своих исследовании

Рост интереса к исследованиям в области АДС стимулируеня иро-б іемами матемаїическоіо моделирования во многих прикчадных обла-с іях нории авюмагичес кою регулирования, ошимальном управченпн со смешанными оі раничениями, теории адек грешных схем и элемриче-с ких пеней, механике, химической кинеіике, іидродинамике и іеплоіех Н ,иип])гашш термин "ашеґіраичегкое раішс;нііе"поіііімается н расширенном (\пк к по; іл[(Г)раичі(КИМ по (ра мсиакяся любые конечні ie \рашкния, а не ю и ко » р пик ния, іалаваї мі н- починомами пике [ВС88, Сон71, ББ8.І, Мне90, CBP9G, С«ші80, Саш82, EF98] В последние годы в различных приложениях начали проводи і ься исследования камее; гвенного поведения процессов, описываемых АДС [ТЛЧ98, Мих92, МТ97, GF95, RR00]

За последние 25-30 лет теория АДС превратилась в быстро развивающуюся область современной математики. Опубликованы согни работ, посвященные исследованию АДС и численным методам их решения (см , например, библией рафию в книгах [Чис96, ВСР96, RR02]) В то время как лиіература но приближенным методам решения АДС уже трудно обозрима, проблемы изучения вопросов разрешимости и качественных свойств АДС (устойчивость, управляемое іь, наблюдаемость и др ) представлены фрагментарно и не носят законченного и систематическою характера Как будет видно из приведенною ниже краткого обзора, в том смысле досі атомно полно исследованы линейные сисіемьі с постоянными коэффициентами И звестные из литературы результаты для линейных нестационарных или нелинейных АДС получены при довольно жестких ограничениях. 1) постоянство рангов матриц, описывающих систему, 2) низкий индекс неразрешенносги, 3) специальная структура В связи с этим на настоящий момент весьма актуальной задачей теории является получение результаюв по общим вопросам и качественным свойствам АДС без ограничений 1)-3)

Еще 15-20 лет назад считалось, что в приложениях встречаются лишь самые простые случаи АДС индекса 1 и 2 (см., например, [Боя80]) На сегодняшний день у специалистов, работающих в области АДС, не возникает сомнений в том, что на практике довольно часто приходится решать системы индекса 3 и выше Примерами могут служить с истемы, моделирующие различные электронные схемы, рабоїу роботов-манипулягоров и многие другие объекты [CG95, Lam04, CWI]

В некоторых работах из прикладных областей можно найти указания на то, что на практике действительно возникают математические модели, описываемые нелинейными АДС с весьма сложной внутренней структурой (с м приме]) 1, приведенный в конце раздела 1 2) Правда, такие сииемы гам не анализируются в силу отсутствия развитою аппарата Подтверждением є казанному может служить, например, монография Е И Ушакова [Уша88], посвященная вопросам устойчивости электрических сие іем и свя їанньїм с ними задачам теоретической электротехники

Необходимость исследования возможностей построения обобщенных решении обусловлена itu, чю веледсівие особенное і ей ЛДС, коюрые обс ждаюня ниже, для сущес івования классическою решения краевой, в частности, начальной задачи для сие і омы (3) і ребус і ся, чтобы сооївеї-ств}іопще краевые или начальные условия были заданы согласованным образом Кроме того, при отсуп івии гладкости входных данных можег оказаться, что с ис гема не имеет решения в классе С1 (Г). В то же время в ряде важных приложений (задачи оптимальною управления, для которых условие Клебша-Лежандра нарушаемся на всей зксіремали, задачи N правления с импульсными режимами и др) зіи условия не выполняются Одним и выходов в такой ситуации являеіся расширение класса решений с тем, чтобы поставленная задача, была разрешима при любых заданных краевых и ти начальных условиях и при более слабых іребо-ваниях на гладкость правой части В диссертации предлаїается искать решение в просі ранстве обобщенных функций типа Соболева-Шварца. Такое рас ширение класса решений оправдано, и частности, тем, чю, как показано в разделе 2 4, последовательность классических решений задачи Копій ДЛЯ ЛДС с постоянными коэффициентами Ax {t) + Bx(t) = f{t), t Є [0, +оо), (6) почученных методом возмущения, сходится к обобщенному решению гои же структуры, каковой обладаеі решение, построенное в диссертации

На фоне увеличения числа работ по АДС и функционально-дифференциальным уравнениям и оїдельности почти нет исследовании но АДС с оікчоняющимся аріументом Это связано не только с тем, что и с еичас дшіеко не во всех вопросах, касающихся АДС как таковых, достигнута предельная ясность, но и с тем, что при изучении АДС с отклонением возникают дополни тельные трудности, требующие построения специальной іеории Некоторые из приложений таких систем указаны в [Сат91]. Зачас тую при моделировании различных фи зических процессов именно \чеі эффекы запаздывания позволяет достичь адекватное ти с экспери-мечиальными данными Иллюстрацией этому заявлению служит модель наїреваїельното іракта паровою котла, состоящею из трех последова-те и.ных іепчообменников [СК81, ЛТ05], приведенная в примере 1 раз-де іа 4 3

Обобщенное решение задачи Коши, заданной на полупрямой

Методология и методы проведенного исследования. Методологической основой послужила идея о приведении рассматриваемой АДС к виду, разрешенному огносиїельно производной искомой век юр-функции, обоснование корректное їй такого перехода с дальнейшим изучением возможности использования для исследования исходной АДС резулыатов классической теории ОДУ в нормальной форме Процесс нормализации АДС в дисесріации назван пос і роением левою peiy-чяри зируюіцего оиераюра (ЛРО)

Под ЛРО для системы (1) следует ионимаїь некоторый дифференциальный онераюр С порядка г такой, что для любой достаючно гладкой на Т функции j(t) выиотняется юждество Подиндексом АДС в диссертации подразумевается наименьший возможный порядок ЛРО

Впервые понятие ЛРО для линейной АДС было введено В Ф Чисія-KOBi.iM в [БДЛ89] В дальнейшем регуляризирующий опера юр оказался весьма почечным инструментом для исследования и численного решения АДС Во-первых, он дает информацию о структуре решения и иоз-во іяеч пол чип» уїверждения о }Щ ч нзании и единственности решения [Чие9о] Во-вторых, потход, связанный с ЛРО, коне грукшвеи с вычисли ІС ІЬНОЙ ІОЧКИ ЗреНИЯ, ПОСКОЛЬКУ ОН ІфС ОбраЗ.уеГ ИСХОДНУЮ АДС В СИС ІЄ м\, д ія приб шженного решения коюрой имеется множество сходящихся ме іодов, прямое применение коюрых к (1) либо вообще невозможно, ЛИСИ) не даем приемлемою ре зулыам Наконец, с}щесівование ЛРО может важную рочь при докалагельс іве сводимости численных методов, используемых непосредственно для решения рассматриваемой ЛДС [ЩеіУ8а,Щеі98с]

В качестве методов исследования в диссертации использованы регулы алы из іеории функций нескольких переменных, теории систем функциональнодифференциальных уравнений и ОДУ, разрешенных огнен и і ел )1ю производных, теории обобщенных функций, классической теории управляемое їй и наблюдаемое їй, развиюй для разрешенных систем ОДУ, аппарат обобщенных обрашых матриц, а также іеория ЛРО для линейных АДС вида (3)

5. Обзор литературы. Первые известные автору результаты в области АДС принадлежат Н.Н. Лузину. В статье [Луз40] доказано, что размерность пространства решений линейной АДС с постоянными коэффициентами ЕАг(А) ( ) = /( ). detAk = 0, равна степени характеристическою полинома det \Y%=() M,J, іде с - параметр иJ R, а сама система разрешима при любой дое іаточио гладкой правой час їй, ее ш пучок маїриц регулярен

Ботыпое влияние на дальнейшие исследования АДС оказал раздел из книі и Ф.Р Гантмахера [Ганбб], в котором на основе теории элемента})-ных делителей матричных пучков общее решение системы с прямоуі ольными (т х п) и квадратными (п х п) матрицами Л и В в условиях неполноты рані а матрицы А

Системы с переменными коэффициентами, нелинейные с истемы, проблемы численного решения АДС привлекают внимание специалистов с начала 70-х годов

Большой вклад в теорию линейных АДС вида (3), включая недо-определенные (т п) и переопределенные (т п) системы, и развитие приближенных мечодов их решения внес Ю Е Бояринцев В моної рафиях [Боя80, Боя88, Боя96] и серии друї их работ основное внимание уделено взаимосвязи кроиекеровой сірзктурьі пучка матрицсисіемьі [Кг890, вида общею решения АДС (3) и евоисів численных мечодов Мсчодо-іоі іічс с коп основой эшх иеелед вашш послу жич аннараї обобщенных обрашых маїриц иол} обратных и Дралина матрицей А Этот аппарат исполыуегся для анализа ЛДС индекса 1 и 2, возникающих в различных приложениях, в частности, в нории линеаризованных уравнений Павье-Стокса

В рабоїах [Бояйб, ІЦег95 начаш исследования правых регуляризи-р\ющих onej)aropoB (ПРО) замен переменных, приводящих ЛДС (3) к нормальному виду

Вопросы сущее гвования, свойства и алюри і мы построения ЛРО для чиненною случая были ралвиш в [Чис96] Там же для систем вида (.3) бы чо введено определение общего решения типа Коши, выделяющее класс сие іем, решения которых но с воим свойствам сходны с решениями систем ОДУ, разрешенных относшельно производной Доказано, что в с чу чае дос іаючно гладких коэффициентов сущее івование ЛРО для си-с темы (3) эквивалентно сущее чванию общего решения іипа Коши Если же матрицы A(t) и D(t) аналитичны наТ, то эти своие і вас истемы равно-сильны существованию для АДС (3) цешральной каноничен кой формы (ЦКФ)

Впервые понятие ЦКФ было введено в [СР83] ("strong standard canonical form") и в последующем сьнрало важную роль при анализе линейных ЛДС Сущесч вование ЦКФ обосновано для линейной АДС о анали-тичс с кими коэффициешами указан способ построения по полному жорданову набору кінфсрициеніов ЛРО и ПРО для бесконечномерных систем уравнений в банаховых пространс івах с ерредгольмовым оператором при иро-іивочнои

Обширнаи лшература посвящена системам, удовчегворяющим кри-п-ршо "ранг-степеньчто в предположении существования ЛРО для линейных АДС эквивалешно, а дчя нелинейных явчяется допаточным \с ижием индекса 1 Этому кршерию удовлечворяют линейные слра-нпчения в іадаче миними іации квадратичною фунмщонала в 1)абоых Г \ К\ рпно в коюрых решения вырожденною опера-юрною сравнении Риккаги пошочяеі почучіпь ошимальное управпе-ния и форме обра пюи связи

Регуляризация и устойчивость линейных АДС

В рабою Мае95] обосновывается сходимость меюда Ныогона-Каню-ровича для не шнейнои АДС индекса 1 и 2 в предположении, чю ядро матрицы dF(t,x,3. )/dx зависит только от t В статье Чис82] доказаны локачыюе сущее івование решения дчя квазилинейной системы индекса 1 и сходи мое іь модис1)ицированною метода Ныоюна на отрезке суще-с гвованпя решения получены оценки с ходимоии метода Ныогона-Кан-юровича для не шнейнои АДС вида (1) ироизвотыю высокою индекса не ра зрешеншк ги Основным оіраничением является предположение о нос юянс іве индекс і линеаризованной сие іемьі на каждом шаіе процесса Георема о (ходимосш меюда вк почаеі в себя )іверждение о с}ще-с івовании и єдине івенностп решения задачи Коши

Лкіивио ведутся исследования обобщенных решений (иеіем с опера-юрными коэффициентами в банаховых пространс івах В работе МАШ7 на основе теории вырожденных полугрупп операюров исследусчся разрешимость вырожденной задачи Коши в пространстве Л. Шварца К сожалению, при перенесении результаюв на конечномерный случай предположения охватывают лишь линейные стационарные системы и, возможно, класс линейных АДС с переменными коэффициентами вида (3), ) которых при некоюром А матрица A A (t) + B(t) обратима для всех значений t из области определения

К настоящему моменту имеегся немало работ, иосвященых обобщенным решениям АДС с постоянными козффициеніами, см., например, [СФ83, Cob82, Gee93, ФалОО].

Чю же касается систем с переменными матрицами коэффициентов, ю авюру известны лишь результаты PJ. Rabier и W.C Rheinboldt, в полном виде изложенные в моноїрафии [RR02, с 63]. Решение в пространстве распределений строится для линейной АДС произвольно высокого индекса с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами в случае несогласованных начальных данных и импульс но-гладкой правой час їй При этом на маїрицу при производной накладывается сущее і венное 01 раничение rank A(t) = с onst V/ Є Т

Впервые меюд возмущения примениіельно к вырожденным системам уравнении с операторными коэффициентами в банаховых пространствах рассмотрен в статье [Зуб73]. Предполагается, что предельное уравнение (f = 0) неразрешимо ошосительно производной, но оператор (А А — В) х сущее івует и ограничен Оператор V выбирается, в частности, таким образом, чю в случае несогласованных начальных данных возникает граничный слой ошибок экспоненциального типа Такое допущение позволяет сформулировать условия, при коюрых существует асимпютическое разложение решения задачи Коши, и выписать это разложение в предположении f(t) Є Clr{T) (г п) изучался также в монографии Боя8() Доказана равномерная сходимость Vt Єо 0 при є — 0 решений задачи (18),(9) к классическому решению исходной задачи (6),(9) Там же отмечено, что на отрезке [0,о] » общем случае возникаем пограничный слой ошибок типа "всплеска"

Предположения относительно коэффициентов с истемы представляют с о бой час шыи случай индекса 1

Некоюрые модификации схемы (18) для линейных АДС исследованы в работах М Нанке [Нап8б, ЕН91]. В с гатье [Нап94] линейная сие ie-ма индекса 3 апроксимируется с помощью алгоритма регуляризации, в рез льтаїе чею получается сишулярно возмущенная АДС. В терминах асимитоіических расширений дается харакіерис іика сірумурьі регуля-ризированных решении и свойства сходимся їй В [Нап95] аналогичный алюриїм річуляризацип применяется для решения квазилинейной АДС индекса 2 Сходимость решений реіуляризированной задачи обосновываем я на базе і еометрической теории сингулярных возмущении

Первые иопьпки по изучению устойчивою поведения АДС были сделаны 10-15 леї назад [Baj86, GM86, IIM90] Существенные трудности при изучении устойчивости связаны с тем, что решение задачи Коши для еи-с іемьі (1) в классическом смысле (в пространстве С (Т)) существует не дчя любою заданного вектора х() G R" Последний должен лежать в некоторой і иперилоскос пі иространпва R"

Эы пшерпчоскостьназываен я некоторыми аи юрами сої лас ованным мнокюбразием (consistent iiiaiufold) [\lnI98] или мноюобрашем решении I lucDfi] Можеі ока.заіься, чюЛДС (1) пмсеї наТєдине твенное решение

Таким образом, и учение с юичивос і и АДС порождае і проблему нахождения указанного миоюобралия В с чучае линейных (ист ем с постоянными коэффициентами эызадача решается, в час гносіи, пуіем приведения пучка матриц системы к канонической (кронекеровой) сгрукіур-нои форме, детально исследованной в [Ганбб]. Псшому устойчивое іь в смысле Ляпунова линейных АДС с пос юянными коэфс})ициешами хорошо щучена к насюяіцему моменіу [Mul93, Dai89, Боя88] В частности, в кнше [Воя88] г использованием обратной матрицы Дралина получен аналог уравнения Ляпунова

В работе [Est99] предлагается процедура вычисления согласованных начальных данных для АДС вида (1) индекса 2 в предположении постсь янс іва ядра матрицы dF(t,x,x )/dx .

В последнее время стали появляться работы по ус юйчивости нелинейных АДС Исследования в пой обласіи опяіь же оіраничиваюгся возможное і ями выделения согласованного многообразия В некоторых работах это делается за счет специальной структуры рассматриваемой системы [Ми198] В работах математиков Берлинской школы (см , например, [Tis94, НММ97]) мноїообразие находится пуіем построения различных ироекюров, что позволяет ис следовать АДС индекс а не выше двух с матрицей dF{t,i,x )/dx иск гоянного ранга То же относится и работам но исс іедоианию линейных систем вида (3) [LMW99J

В сіатьо Сид84Ь] в условиях существования полною жорданова набора получены условия существования ы-периодического решения вырожденной с истемы линейных диерференциальных уравнений, заданной в банаховых пространствах. При выполнении условий іеоремы существования для линейной с истемы и некоторых дополнительных предположениях оіносиїельно нелинейною члена доказано, чт нелинейное уравнение обладает конвері ситным решением

Определение и особенности ЛРО для АДС с отклоняющимся аргументом

При исследовании уиойчивости линейных АДС (3) по Ляпунову в диссертации снят ряд существенных ограничений, в частное хи, допускается переменный ранг матрицы A(t) и произвольно высокий индекс нер&зрешенности. Подход, с вязанный с преобразованием АДС при помощи ЛРО, позволяет обойти проблему нахождения согласованної о многообразия Предлагается вместо АДС иселедоваїь на устойчивость некото рую систему ОДУ в нормальной форме, пространсіво решений коюрои содержит многообразие решении исходной АДС Таким образом, проблема сводится к пос іроению ЛРО, что в линейном случае но сложное їй эквивалентно нахождению полуобратной матрицы [Чис96].

В разделе 3 1 сформулировано понятие приводимости АДС, которое существенно отличается от определения А М. Ляпунова, и для линейной АДС (3) построена расщепленная форма Последняя в отличие or ЦКФ сущее івует для систем с гладкими матрицами коэффициентов. В отличие от работ [Маз98, Шла97] при рассмотрении вопросов приводимое ги в диссертации не предиолаїаетея существование у АДС фундаменіальной с истемы решений, оно вытекает и з условии существования расщепленной формы

Наскотько извее то авюр , проблема управляемое ги и наблюдаемо-с і и .пшенных АДС с переменными коэсрфнциенгами изучаеня лишь в работах (CNT90, CT03J, коюрые обс}ждашсь в обзоре лиіературьі Введенное іам ионяше /{-управляемости формулируемся не в терминах входных данных АДС (19),(20), а в іерминах некоторой эквивалентной системы (21),(22), конструктивных алгоритмов построения которой на момент В полной управляемое їй и наб иодаемос їй вводя і ся аналої ично невырожденному случаю (ер Гай()2, Дан74]) А под управляемое! ью, например, системы (22) на отрезке [t0, t\\ С T подразумевается существование гладкого управления u(t) такого, что для любых заданных векторов Хо и Х\ соответствующей размерности решение системы (22) существует и удовлетворяет условиям х2(сю) = Оі гС і) = хі- Оба определения формулируются в терминах исходной АДС, а аліебраические критерии управляемости и наблюдаемости получены в терминах коэффициентов ЛРО, что придает им конструктивный характер

В том же ключе и диссертации исследуется проблема наблюдаемости вырожденной і ибридной системы, а также связанный с ней вопрос о разрешимости поставленной для такой системы начальной задачи Насколько известно автору, результаюв по исследованию вырожденных іи-бридных систем в литературе не имеется

Четвертая глава посвящена линейным АДС с отклоняющимся аргументом. В разделах 1-5 изучаются возможности преобразования АДС в систему запаздывающего типа, разрешенную относительно старшей производной и эквивалешную исходной в смысле решения Рассмотрены системы с постоянными и переменными козффициеніами как в предположении существования для части уравнения, не содержащей запаздывания, оператора, преобразующего ее к нормальному виду (регулярные системы), так и в случае, когда такой оператор не существует (нерегулярные системы) В разделе 6 получены условия согласования, гарантирующие существование непрерывного решения основной начальной задачи для регулярной АДС с отклоняющимся аргументом В случае, когда условия согласования не выполняются, доказана теорема о сущесівова-нии решения в пространстве распределений

В связи с исследованием АДС с запаздыванием пришлось расширить само поияіие ЛРО. Это оператор для задачи (1),(5) существенным образом отличается от ЛРО для АДС (3) он включает в себя не только операторы дифференцирования, но и операюры сдвига влево и вправо

В дисертации найдены условия, при которых возможно преобразование АДС (4),(5) к виду (15),(5) в случае, когда оператор (16) не сущее іву-ег А именно, построен оператор, преобразующий сие іему с постоянными можег быть больше р 1, a = const 0, dot Ар = 0) к виду (15) в условиях, коїда пучок матриц _0cMj сингулярен, но регулярен пучок Т%-и Aj + dEj c3Dj До (их по[) такой оператор не был построен даже для случая р = 1, q = 0 по причине оісутсівия хорошей структурной теории для пучков более чем двух матриц Один и5 разделов посвящен вопросам, связанным с пос гороением ЛРО для нерегулярных с истем с неременными матрицами коэффициентов

В диссертации найдены условия (называемые ниже условиями согласования), гарантирующие существование непрерывного решения регулярной задачи (4),(5) Показано, что эт условия представляют собой оіраничєния на начальную функцию ty[t) В случае, когда условия со-їласования не выполняются, исследована возможной ь построения обобщенною в смысле Соболева-Шварца решения задачи (4),(5)

Все поставленные в четвертой главе диссертации проблемы в законченном виде исследованы впервые.

В заключении кратко обсуждаются возможные направления дальнейших исследовании Список использованной литературы включает и себя 172 ссылки и составлен в алфавитном порядке

7. Научная новизна. В диссертационной работе получены но вые результат по разрешимости (в классическом и обобщенном смыслах) и качественным свойствам таких классов АДС, к которым не применимы имеющиеся на настоящий момент методики исследования- допускаемся произвольно выоокии индекс, переменный ранг матрицы 0F(t, х,х )/дх , сняты ограничения на ядро юй матрицы, в системах с oi-клоняющимся аргументом час іь, не содержащая запаздывания, может не иметь ЛРО

Поняїне ЛРО перенесено на случай нелинейной ЛДС вида (1), найдены условия с\щесівования этою оператора В предположениях, допускающих переменный ранг матрицы Гг, доказана локальная юорема о с ущес пювании решения Впервые рассмотрены с щесівенно вырожденные (їй іемьі, для коюрых обоснован процесс приведения к нормальной форме и почуіеньї условия разрешимости задачи Коши

Похожие диссертации на Разрешимость и качественные свойства алгебро-дифференциальных систем

Типичность, предельное поведение и спектральные свойства динамических системТихонов Сергей Викторович

Асимптотические свойства решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малой нелинейностьюКрыжевич, Сергей Геннадьевич

Предельные свойства динамических системГоленищева-Кутузова Татьяна Игоревна

Применение метода моментов для исследования свойств решений систем уравнений газодинамического типаРозанова, Ольга Сергеевна

Исследование свойств гамильтоновых систем и функций цены в динамических моделях ростаУсова, Анастасия Александровна

Алгебраические свойства интегрируемых гамильтоновых систем на алгебрах Ли Беляев Александр Владимирович

Свойства функции быстродействия линейной системы в критическом случаеРодионова, Алла Григорьевна

Структурные свойства линейных открытых динамических систем. Метод бинарных линейных отношенийБорухов, Валентин Терентьевич

Свойства отслеживания для семейств динамических системТараканов Олег Александрович

Асимптотические свойства решений краевых задач для систем гидродинамики вращающейся жидкости Петунин Игорь Михайлович