Введение к работе
Актуальность темы исследования. Б книге Хермандера s) указанії необходимые и достаточные условия гипоэллиптичности дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, имеется также несколько взаимосвязанных направлений описания гипозллитических операторов с переменными коэффициентами, которым посвящены большие серии работ (см., например'" J и ).
В этих работах описание гипозллитических операторов производится в терминах оценок в пространствах С.Л.Соболева для финитных бесконечно дифференцируемых функция и наложением алгебраических условий на символ оператора.
Возникает естественная задача: распространить аналогичные результаты на более широкий класс операторов, по единой схеме провести исследование операторов, удовлетворяицих условию Хермандера вне множества меры нуль.
Цель работы - указать в определенном смысле минимальные ограничения на символ оператора, обеспечивающие гипоэллиптичность и заданные априорные оценки в пространствах С.Л.Соболева, в частности неравенства типа Гординга.
-
Грушин В.В. Гипозллиптические дифференциальные уравнения// Мат. сб. - 1972. - Т.88. - г. 504-521.
-
Егоров D.B. Субэллиотические операторы// УМН. - 1975. - Т.30. - #2. - C.55-II*.
-
Радкевич Е.В. Гипоэллиптяческве операторы с кратными характеристиками// Маг. сб. - 1969. - Т.79. - C.I93-2I6.
-
Купцов Л.П. Об одном пространстве функций с интегрируемыми в
- ои степени первыми производными, берущимся по переменным
направлениям// Тр. маг. ин-та АН СССР. - 1968. - Т.103. -
C.96-II6.
Кетодика исследования основана на микролохалиэацак оценок, Еиделеник двух подмножеств рассматриваемой облаете: множества, р которой оператор удовлетворяет условию Хермаядера а множества, ь которой выполнены некоторые априорные оценки в пространствах С.Л.Соболева. Выделение вшяеуказаннюс подмножеств производится с поиоцыэ специального разбиения единицы и принципа замораживания двойственно* переиеннои ^ . Далее в рассматриваемых под-множествах используется схемы, предложенные в работах6'^» ^^. Для псеЕдоди?<})еревциальньіх операторов второго порядка спеціального вида применяется вдеи работ3' 'и .
-
лерызндер Л. Лииелиые дифференциальные оператора с частными прок5г-одк::ми. - К.: Мир, 1965. - 379 с.
-
beals К., Fefferaan С. Spatially inbomogeneous paeudodlffe-rentinl operatore, 1// Corou Pure and Appl. Kath. - 1974»
- Vol.71. - H1. - P. 1-24.
-
Kennel Y. >n unsolvahle hypoelliptic differential operetrrs 1J Israel Eath.. Z. - 1979. - Vol.9. - P.306-315.
-
Kezuo 1. On the bypoellipticity of the operator C\.{XJ)X) ty&J Ь(Х;%1)у) // Reprinted from Katnematiea Jiponical. - 1976. - Vol.20. - H4. - Ї.301-320.
-
Korlmoto Ї. On a criterion for hypoellipticity// Proo. Japan Acad. - 19B6. - Vol.62. - Я4. - Ї.137-140.
10. Parent! C., Hodlno L. On general peeudodifferential operators
// Connun. Part. Differ. Equat. - I960. - Vol.5. - N6. -
P.561-594.
11. Peffei-r.an C, Phong D.H. The uncertainty prinoiple end
sharp Owning inequalities// Сова. Pure and Appl. Math. -
1981. - Vol.34. -'lJ3. - P.285-331.
->
Научная новизна. В диссертации указаны условия гипоэллиптичности вырождающихся псевдодифференциальных операторов, причел порядок вырождения, в общем случае может быть бесконечным. Построено исчисление специального класса псевдодифференциальных операторов, позволяющее производить микролокализации оценок в прос-траі'ствах С.Л.Соболева. Теорема о гипоэллиптичности, доказанная в первой главе, является обдея в том смысле, что ея удовлетворя-хгг как операторы с неотрицательной характеристической формой, так и операторы со знако^переменнои характеристической формой, в частности, пример Наннаи ^ . Данная теорема сформулирована в терминах расстояний до множества вырождения, что является удобным при проверке операторов на предмет гипоэллиптичности. Для более широкого класса псевдодифференциальных операторов второго порядка получены аналоги результатов работ*-'6""'. Условия накладываемые на символ оператора, ослабить вообще говоря, невозможно. Полученные теоремы обеспечивай гипоэллиптячность с минимальной потере» производных. Выведен ряд неравенств типа Гординга.
Теоретическая и практическая ценность -работы определяется тем, что результаты работы в какоа-то мере восполняют пробелы в теории гипоэллнптичесхих операторов, а также тем, что результаты могут быть использованы при изучении краевых задач для эллиптических и квазизллкптических уравнения.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на заседаниях Волго-Вятского регионального семивара/г.Н.Новгород/, на Всесоюзной научной коЕференции/г.КУйбьшев/, т огарэвеких чтение ях Мордовского госуниверситета им. Н.П.Огарева.
Вклад автора в разработку проблемы. Исследования по теме
диссертации выполнены без соавторов. с
' 3
Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в работах D-S1.
Структур? и объем работы. Диссертация состоит из Введения, двух глав и списка литературы, содержащего 62 наименования. Объем работы - 98 страниц машинописного текста*
