Введение к работе
Актуальность темы. При математической описании ряда физических прцессов возникает необходимость изучения спектральних характеристик задач
-у"(х» * q(x)-y(x) = Лу(х>, х * х^ II =1,п+п), Ш
у (х, 0) = у 1х{ - 0) = у (Xj).
у'(х1 *01 у'(х4 - 0) = «ty(xt) ЇТй).
у'(х, 0) = у'(х, - 0) я y'tx,»,
У (X, + 0> - у U - 0) * ^-„У'1*!* (1 ~ В+1.В+П».
В зтих формулах я и п фиксированный неотрицательные цвлыэ числа, a (k = ТТо' u ftk < к = ГГп > некоторые вещэственнив числа, х (J =1,8+11) такжа фиксированные вещественные числа, занумерованные в порядке их роста, q(xJ - скаляриая вецэствен-нозначная неотрицательная функция, определенная при х 1-я, *а>) такая, что
J(l * x'!)q(x)dx < он. -в
Пусть
xi = (xl,x2,...,xi]i),
"j^WVj ".J-
X = х, и х2.
В гильбертовом пространстве L,(-o», ») иа ыножостве функций Dim.n ) = {у; у 6 H2'2IR N X), у
y,(xi 0) - y'lx, - 0) - а,-у(х і <1 = Гв>.
.V«x, + 0) * y'(x, - 0) з y'(x.) -t = йПТїіТп»,
V їх, -г 0) - у (Xj - 0) -= /S^-y'lx,/ fi = іП~«+її>> посредством дифференциального выражения
01 fMxl = -f"(x) o(x>-f(x>
определим оператор H(n,n,q) формулой
IHa.ri.qtf = Hw n f, f 0(P,n). Символически будеи записывать оператор Ній.n,qi в -яіде
HJu.n.qJf :~ -f" з область определения этого оператора Судей обозначать через 003 0 дальїюііюїі! <5удои обозначать тт.асс on^a горо» -Ни,,;/" условии «, = 0, !1 = ГГїї) чепсчз ?1(0,п,«.!»і пріт услошін ;ї. (1 - 7~її» чсзд-з If<сі.0- rj> st наконец а»>~ча VI<0, ^> ^« ;г,асс ">іо - s - Lfrtb роботы изучения спехтралышх характеристик операторов His.n,q»r ЇЙа.О.Оі к ШД.О). Научнай нояизна. В диссертации изучен» спектральные характеристики одного класса дифференциальных уравнений типа Кредингера с потенциалом нулевого радиуса. Доказано, что; Оператор И(о,n,q) саиосопряаен. Построена реэольэентг оператора HI в,n,q), Спектр оператора Ши, n,q) состоят из абсолютно непре-рызйой части, соппадаюкиіі с множеством s ~ ІЙ.а) и на более, чей а п простых собственны* значений, определяемых seas отрицательный корни характеристического уравнения. Исследована природа спехтра оператора Hda.O.q). В случае оператора !Ий,0,О) подробно взучеиа структура векового уравнения DaC(A> - 0. Построены функции ВеПяя для оператора !И 1,1.0). Получено разло«ение произвольной функции из L (-<»,«) по обобщенный оойстаенным функциям оператора Н(1,1,0). Исследована природа спектра оператора Н(1,1,0). Обмая методика исследазання. Результаты настоящей работы получены с помощью ыетодоа теории функций и функционального знгяиэа <теория самосопряженных расширений симметрических операторов, спектральная теория дифференциальных операторов а гильбертовом пространстве). Теоретическая и практическая значимос/ь. Полученные в диссертации результаты представляет интерес в спектраяьлой теории некласснмеских дифференциальных опзраторов. Эти резуяь- гаты могут быть использованы в теории поверхностных состояния (таммовских уровней) кристаллов при изучении электронного строения иолекулярных систєи. Кроне того, полученные результаты могут быть положены в основу спецкурса, читаемого студентам математических и физических факультетов университетов и педагогическик институтов. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата. Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно обсуадались на семинаре по спектральной теории в Даггосупиверситете, на 3-й Северо-Кавказской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения". в научно-исследовательском институте математики Воронеіского университета, на семинаре научно-исследовательского центра "Фуикцнонально-дифференцналыше уравнения" Пермского политехнического университета. СЗъеи н структура роботи. Диссертация изложена на 93 страницах машинописного текста и состоит иэ введения и трех глав. Работа содерянт 10 рисунков. Список литературы включает 51 наименовании, п том числе 7 на иностранных языках.
Похожие диссертации на Изучение спектральных характеристик одного класса операторов Шредингера с потенциалами нулевого радиуса
