Введение к работе
Актуальность,темы. В.чроядащиеся и сингулярные эллилтичв-скио уравнения представляют собой один из наиболее важных разделов современной теории дафференшшльннх уравнений с частными произБодншя. Необходимость изучения таких уравнений обусловлена многочисленнши их приложениями в газовой динамике, теории оболочек, теории упругости, мехашіке сплошной среды и др. К числу первых в этой области относится работа М.В. Келдыша (1951 г.), где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий. После ;.!.В.Келдыша постановки краевых задач были распространены на широкие классы уравнений СМ.Никольским, А.В.Еицадза, Л.Д.Кудрявцевым, ІЇ.А.Киприяновим, Іі.И.Іи-зоркшшм, М.И.Вишиком, В.В.Грушиным, Х.Трибелвм и многими другими. Некоторые результаты в данной области отражены в монографиях А.В.Бицадзо, .",1.1.1.Смирнова и Х.Трибеля, там же имеется обширная библиография.
Одни.! из интенсивно развивающихся направлений здесь является исследование эллиптических уравнении с оператором Бесселя, названных П.А.КкприяноБьм в 126? г. В - эллиптическими.
Первь:е работы по о - эллиптическим уравнениям относятся
к уравнению вида
Ави = И Ъ*и/дх?-+ кди/хрдх=о. (1)
L-f
3 1346 г. Вайнштейком были построеїш фундаментальные решения этого уравнения при р = Ц и изучены их свойства. В этом :ке
году И.Н.Вакуа доказал корректность постановки задачи Дирихле для уравнения (1) при р~% и 0<К<'і в полуплоскости Х^О . Эта работа послужила основой для дальнейших исследований У.Н.Олевского,
А.Мег
; С.П.Пулькина, В.О.Волко-давова, В.И.Евсина, ЮЛ.Кривенкова, О.И.Маричева и др.
Период наиболее интенсивного развития теории В - эллиптических уравнений приходится на последние два десятилетия. Начало этому положила фундаментальная работа И.А.Кипркянова (1567 г.), где билп создана теория весовых пространств Н^ для v' У ~ І/А , которая впоследствии била применена к изучению общих краевых задач для и -эллиптических уравнений с граничний условиями на нехарактеристической частя границу. На характеристической части ставились однородные условия типа условий четности. Б работе автора [і.2І построена весо -вые пространства п$ при У^-1/% и доказано, что оператор умножения на степень t осуществляет взаимно однозначное и непрерывное отображение пространства /1р на все пространство Пр . Отсюда и из легко проверяемого тождества X~Dk ВгУ-^г^Р Т Y > гДе &х -оператор іЗєсселя с отри -цательнілл параметром, вытекает, что все результату полу чешите для 8 - эллиптических уравненяіі с. положительным параметром могут бить перенесены на такие :. Б работах В.Б.Катрахова построены пространства п,> более широкие, чем Нр , и применены к изучению общих краевых задач для о - эллиптических уравнений с весовыми кооднород- ними граничніші условиями на характеристической чисти гранидц. Повне результати в отом направлений получены такяе Л.іі.Байда-ковіім, "..І.П.Ключанцевим, "є гіан Мер п др. Далее, в работах Н.Р.Радаабова построены поверхностные потенциалы типа простого и двойного слоев и применены к после -дованию основных краевых, задач для уравнения (Т.) при условиях, когда нехарактсркстнческал пасть rpaiumn есть поверхность .'.япу-нова и образует с гиперплоскостью ЗСр~ 0 пряло:': угол. А.Ю.Сазоновым эти результати обобщены на обцие лкненнне $ - эллиптические уравнения с переменными коэффициентами при тех жэ ограничениях на нехарактеристкческую часть гранншг области. Число опубликованных к настоящему времени работ по данной тематике весила значительно. 3 этих исследованиях з основном рассматривались задачи для В - эллиптических урадне-нкіі в ограниченно.': области с достаточно гладкой нехарактерне -тическои частью границы, образующей с гиперплоскостью .Хр=О ирямо.і угол. Вопроси же о существовании и единетвошюсти решения крае -вых задач для В - эллиптических уравнении в области с неха -рактеристическоі: частью границы произвольной структуры; вопрос об условиях на бесконечности, обесиетаваидих единствен ~ ность решения В - эллиптических и В - гипоэллиптичгоских уравнение з неограниченных областях ц вопроси об исследовании краевых задач для В - эллиптических уравнений вислого порядка и систем методом потенциалов до последнего времени оставались открытыми, Крапмущество метода потенциала перед-другими методами состоит в тал, что с его помоиьо сингулярная задача рз- дуцируется к регулярное системо интегральных уравнений. Кроме того, метод потенциалов позволяет выяснить качественную природу решения соответствующей задачи. Целью работы является исследование только что леречис -ленных вопросов. Общая методика исследования. В работе развиваются идеи и методы классической теории потенциала, теории функций действительной переменной, обобщенных функций, дифференциаль -них и интегральных уравнении. Особенность этих исследований -обусловлена,в частности, тем, что здесь в большинстве слу -чаев присутствует оператор обобщенного сдвига. Это интег -ралышп оператор, не имеющий обратного. Он порождает нелокальные интегральные операторы. Примеры таких операторов дают потенциал меры, порожденный операторад обобщенного сдзцга, названной автором D - потенциалом мэры; поверхностные потенциалы типа двойного слоя для В - эллиптической системы уравнений; интегралы, составляющие фундаментальные решения В - гипозллиптических уравнений, и др. К ним нельзя непосредственно применить линейные преобразования и, следовательно, переходить к локальным координатам, что является существенным при исследовании вопросов о предельном значении по -ворхностшх потенциалов на границе области, об асимптотических оценках 'интегралов, содержащий большой параметр и многих других задач, связанных с В - потенциалами мери. Единственность решения обобщенной задачи типа Дирихле для уравнения (I) доказывается с помощью специально разработанного принципа максимума. Существование решения устанавлиза- ется на основе представления регулярное части функции Грина ' з виде о - потенциала и теореми о сходклостк монотонно убывающей последовательности В - потенциалов мор. Единственность решения задач дифракции с условиями сопряжения на конечных и полубесконечных границах раздела облас -теіі и краевых задач для некоторых В - эллиптических и о - гипоэлляптических уравнении в полупространства Т.їО устанавливается с помощь» соотвегствувдего принципа излучения, доказанного автором. С помощью этого пришита излучения также устанавливается принцип предельного поглощения для тех ке уравнений. Существование решения задачи типа Дирихле для В - эллиптической системи с церемонными коэффициентами и задач дифракции доказываются методом потенциалов. Научная новизна: Создана теория о - потенциала и на ее основе доказано существование единственного решения обобщенной задачи тлпа Дирихле для уравнения (I) к разработаны критерии регулярности точек нехарактеристической части границы области. Построены поверхностные потенциалы типа двойного слоя и на их основе задача типа Дирихле для В - эллиптической с переменными коэффициентами редуцирована к регуляр -ион системе интегральных уравнении ^редголылз второго рода. выявлено одно достаточное условие разрешимости этой системы интегральных уравнений. ^оказан принцип излучения для уравнения Гельмгольца с оператором Бесселя, на основе этого принципа установлено существование единственного решения уравнения r{u^)U=t(X/ в подпространстве Х„^ 0 , а такко доказано существование и единственности решения некоторых задач дифракции с условиями сопряжения на конечних и полубесконечных границах раздела областей, 4) Построены фундаментальные решения о - гипоэллиптиче-ского уравнения с постоянными коэффициентами, удовлетворяющие на бесконечности условиям излучения, на основании чего доказан принцип излучения. Эти результаты позволили установить существование единственного решения $ - гипоэллиптического уравнения с право- частыэ в полупространстве .2^0 и обосновать принцип предельного поглощения. Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для о - эллипти -ческих уравнениіі и найти приложение в теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений и осесимметрических задачах теории потенциала, применяемых ври решении многих важных вопросов прикладного характера. Апробация работы. Весь материал, по мере его получения, обеукдалоя на семинаре кафедры, дифференциалыилс уравнении воронежского государственного" университета (руководитель - лро-фессор М.А.Киприянов). Ос новіше результаты диссертации в цело:.', докладывались в институте математики СО ЛИ СССР на семинарах: пэ поклассиче -сккл уравнениям математической физики (ка'Л, 1^91 г., р./ково -дитбль - проф.5.h.Врагов), по качественной теории диффгрен -цнадышх уравнений с частники производными (декабрь 1Э91 г., руководитель - проф. Т.Н.Зсяоняк); в московском государехген- ном университете на семинаре кафедры обпіал математики (декабрь, 1991г., руководитель - академик АН СССР В.ЛЛлъин). Отдельные результаты -ообщались на Волжском семинаре по уравнениям б частшх производных в г.Куйбышеве (1983 и 1984г.г., руководитзль проф. В.Ф.Волію давов); на заседании школы-семинара по уравнениям неклассичоского типа (1981г. и 19Ь9г..г.Новоси -бирск); на Всесоюзной конференции по классическим и неклассическим краевнм задачам для дифференциальных уравнений с частными производными (1987р., г.Куйбышев) и на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (1989г., г.Русе, Болгария). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в Структура и объем работы. Диссертация изложена на 260 страницах машинописного текста и состоит из введения, семи глав, разбитых на 24 параграфа и 54 пункта, и списка литературы, содержащего 130 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
работах [3-21J . иПохожие диссертации на Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений
