Содержание к диссертации
Введение
1 Вспомогательные сведения 30
1.1 Относительно сг-ограниченные операторы 30
1.2 Аналитические группы уравнений Соболевского типа 36
1.3 Банаховы многообразия и векторные поля 38
1.4 Задача Штурма-Лиувилля на графе 41
1.5 Квазистационарные траектории 44
1.6 Некоторые методы нелинейного функционального анализа 47
1.6.1 Монотонные операторы 47
1.6.2 Теорема о неявной функции 49
2 Фазовые пространства 51
2.1 Уравнения Баренблатта-Желтова-Кочииой на графе 51
2.1.1 Постановка задачи 51
2.1.2 Редукция к абстрактной задаче 52
2.1.3 Морфология фазового пространства 55
2.2 Уравнения Хоффа на графе 59
2.2.1 Постановка задачи 59
2.2.2 Редукция к абстрактной задаче 60
2.2.3 Морфология фазового пространства 66
2.3 Уравнения Осколкова на графе 70
2.3.1 Постановка задачи 70
2.3.2 Редукция к абстрактной задаче 71
2.3.3 Морфология фазового пространства 77
2.4 Уравнения Корпусова-Плетнера-Свешникова на графе 81
2.4.1 Постановка задачи 81
2.4.2 Редукция к абстрактной задаче 82
2.4.3 Морфология фазового пространства 88
Список литературы 93
- Аналитические группы уравнений Соболевского типа
- Некоторые методы нелинейного функционального анализа
- Морфология фазового пространства
- Морфология фазового пространства
Введение к работе
Постановка задач. Уравнение Баренблатта-Желтова-Кочиной (А - А)щ - аАи моделирует динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещи нновато-пори стой среде [3], где параметры А Є М, а Є Ш+ характеризуют среду. Нас интересует давление жидкости в случае, когда среда представляет собой связный пласт, имеющий слоистую структуру. Уравнение Хоффа
Хщ + uxxt = аи-\- (3uz моделирует выпучивание двутавровой балки [94]. Здесь параметр А є К.+ соответствует нагрузке, а параметры а,/3 Є R характеризуют свойства материала, причем а.0 > 0. Искомая функция и = u(x,t) показывает отклонение балки от вертикали. Нас будет интересовать поведение конструкции из двутавровых балок, находящихся под постоянной нагрузкой. Уравнение щ - seuxxt = vuxx - иих моделирует течение вязкоупругой несжимаемой жидкости по трубе. Это уравнение является одномерным аналогом системы Осколкова [42] (1 - геу2Н = v V2 « - (« * V)« - VP + /> V « = 0> описывающей динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кель-вина-Фойгта, и представляет собой гибрид уравнений Бенджамина-Бона-Махони и Бюргерса [84]. Наше внимание будет занимать случай, когда жидкость течет по трубопроводам. Уравнение (А - А)щ = аАи + pdiv(uVu) моделирует квазистационарные процессы в токопроводящих средах без дисперсии [29]. В центре нашего внимания будет случай, когда среда представляет собой несколько цилиндрических полупроводников, соединенных между собой в произвольном порядке. Во всех приведенных выше ситуациях многомерное, вообще говоря, уравнение может быть сведено к одномерному уравнению, определенному на ориентированном графе. Процедура такой редукции описана в [95]. Не задерживаясь на деталях, мы сразу будем считать, что соответствующие одномерные уравнения определены на подходящих графах. Иными словами, пусть G — G(QJ; С)-конечный связный ориентированный граф, где 5J = {Ц} - множество вершин, а С — {Ej} ~ множество дуг. Мы предполагаем,что каждая дуга имеет длину lj > 0 и толщину dj > 0. На графе G нас будут интересовать задачи с краевыми щ{0,і) = uk(lk,t), Ej, Ек Є Ea(Vi) U Е»(Ц); (0.1) djujx(0,t) - Y^ dkUkx{h,t) = 0; (0.2) E^E«{Vi) EkeE»(Vi) и начальными Uj(x, 0) = Ujo(x), x G (0, lj) (0.3) условиями для уравнений Xujt - ujxxt = aujxx, (0.4) Xujt + UjXXt = &Щ + /?uj, (0.5) u# - aeu^t = vujxx - ujujx, (0.6) Xujt - UjX3:( = QWjn + P{ujUjx)x. (0.7)
Здесь через Ea^' (Уі) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине V{. Условие (0.1) требует, чтобы все решения были непрерывными на вершинах графа; а (0.2) - аналог условия Кирхгоффа - в случае, когда граф состоит из единственной дуги с двумя вершинами, превращается в условие Неймана.
Целью диссертации является изучение однозначной разрешимости задачи (0.1)-(0.3) для уравнений {0.4)-(0.7). Как легко видеть, все уравнения имеют прикладной характер и относятся к уравнениям соболевского типа, составляющим обширную область неклассических уравнений математической физики [14]. Основная трудность при изучении начально-краевых задач для таких уравнений заключается в их принципиальной неразрешимости в случае, когда дифференциальный оператор "по пространственным переменным" при производной "но времени" необратим [87]. Отметим еще, что задача (0.1)-(0.3) для уравнений (0.4)-(0.7) рассматривается впервые.
Актуальность темы диссертации. Уравнения, не разрешенные относительно выделенной производной, впервые появились в работе А. Пуанкаре в 1885 году. Затем время от времени интерес к таким уравнениям возникал в работах Ф.К.Г. Одквиста, СВ. Осеена, С.Г. Россби и многих других. Однако начало систематических исследований таких уравнений было положено в работе С.Л. Соболева [72], опубликованной в 1954 году. Результаты этой работы открыли новое направление, которое первоначально развивали ученики С.Л. Соболева - Р.А. Александрии [1], С.А. Галь-перн [16], А.Г. Костюченко и Г.И. Эскин [30], Т.И. Зеленяк [21] и многие другие.
Немного позже и независимо от этих работ С.Г. Крсйи и его ученики [32], [22] начали изучать абстрактные дифференциально-операторные уравнения в банаховых пространствах с вырожденным оператором при выделенной производной. Для работ представителей этого направления характерно отсутствие приложений. В настоящее время в этом направлении активно и плодотворно работает И.В. Мельникова и ее ученики [36], [37], [38]. Первыми, кто абстрактные результаты начал иллюстрировать конкретными прикладными задачами, были R.E. Showalter [98], [99] и Н.А. Сидоров с учениками [69], [70], [71]. К этому же направлению можно отнести работы М.И. Вишика [13], A. Favini [90], [91], A. Yagi [92] и многих других.
К настоящему моменту в этой обширной области математического знания сложилось несколько направлений, зачастую имеющих пересечения только по объекту исследований. Исторически первая в этом жанре монография R.E. Showalter [100] посвящена изучению различных начальных задач для линейных Lu = Ми (0.8) и полулинейных Lii = Mu + N{u) (0.9) дифференциально-операторных уравнений, определенных в полугильбертовых (т.е. нехаусдорфовых) пространствах (см. по этому поводу [54]). Все абстрактные результаты этой монографии снабжены конкретными прикладными примерами. В монографии В.Н. Врагова [14] впервые выделяется класс неклассических уравнений математической физики и изучаются начально-краевые задачи для уравнений вида (0.8), где L и М - дифференциальные операторы по пространственным переменным. В монографии А.И. Кожанова [26] вводятся в рассмотрение и изучаются уравнения составного типа, которые имеют вид (0.9).
В монографии Г.В. Демиденко, СВ. Успенского [89] рассматриваются линейные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, а также их системы, которые в операторной форме могут быть записаны так: Jfc=0 где До,-Ль іЛі - линейные дифференциальные операторы относительно х = (#1,... ,хп), Ло не удовлетворяет условию невырожденности. Изучаются краевые задачи для таких уравнений с использованием метода, основная суть которого заключается в по- строении последовательностей приближенных решений и получении оценок в соответствующих нормах.
В монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [15] теория монотонных операторов применяется при исследовании и приближенном решении краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, которые трактуются как операторные уравнения или операторные дифференциальные уравнения в рефлексивных банаховых пространствах.
В монографии A. Favini, A. Yagi [92] исследуется задача с начальными условиями tMv = Lv + f{t), 0 Монография И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, СВ. Попова [97] посвящена исследованию краевых задач для неклассических дифференциально-операторных уравнений. Рассматривается вопрос о разрешимости уравнений вида Вщ + Lu = /, где L, В - самосопряженные (или диссипативные)' операторы в гильбертовом пространстве Е. Оператор В не знакоопределен или не обратим. В монографии Н.А. Сидорова, В.И. Логинова, А.В. Синици-на, М.В. Фалалеева [101] рассматриваются как дифференциальное уравнение B(*)a;W(t)=A(*)x)+ /(*), с начальными условиями x(Q) = Xi, i = 0,l,...,N-l, где операторы В (i), A(t,x) определены в некоторой окрестности П = {, х\ \t\ < р, \\х\\ < R] и действуют из Е\ в Е2, Е\, Е2 -банаховы пространства, В(0) - фредгольмов оператор, /() Є Е2, так и сингулярные дифференциальные уравнения в частных производных в банаховых пространствах. Используя аппарат обобщенных жордановых цепей , фундаментальных операторов сингулярных интегро-дифференциальных выражений, теорию обобщенных функций, метод Некрасова-Назарова неопределенных коэффициентов, топологические методы, а ткаже методы полугрупп и групп операторов с ядрами, получены результаты, связанные с построением непрерывных и обобщенных решений таких задач для различных типов операторов B(t) и A(t,x). Если пополнить этот впечатляющий список монографией Ю.Е. Бояринцева, В.Ф. Чистякова [9], в которой изучаются уравнения (0.8), (0.9) (и даже более общие) в конечномерных пространствах, то получится яркая картина разнообразия методов и результатов в этой новой области математики. Разнообразие подходов определило разнообразие результатов и, к сожалению, разнообразие терминологии. Так в некоторых ра- ботах уравнения вида (0.8), (0.9) называются "псевдопараболическими" [15], [89], [97], [27], "псевдогиперболическими"[89], [97], "вырожденными"^], [92], [101] и даже "уравнениями не типа Коши-Ковалевской"[45], [35], [89]. Мы же будем придерживаться термина "уравнения Соболевского типа" ("Sobolev type equations"), который в последнее время получает все большее распространение [1], [30], [41], [42], [56], [66], [98], [99]. Этим термином мы будем обозначать как абстрактные уравнения вида (0.8), (0.9), так и их конкретные интерпретации вида (0.4)-(0.7). Данная диссертация лежит в русле научного направления, развиваемого Г.А. Свиридюком и его учениками. В работах этого направления изучается задача Копій и(0)=щ (0.10) для линейных (0.8) и полулинейных (0.9) уравнений Соболевского типа. Отметим, что хотя линейные результаты в этом направлении представлены лучше, оно началось с нелинейных работ [51], [52], [53]. Основной особенностью этих результатов, решительно отличающей от всех цитированных выше работ, является выделение и изучение фазового пространства уравнений (0.8), (0.9). Впервые термин "фазовое пространство" в данном контексте появился в работах [66], [65], где заменил собой ранее употреблявшийся термин "многообразие решений" [51], [52]. Перечислим сначала работы, в которых изучены фазовые пространства уравнений вида (0.8). Здесь прежде всего следует отмстить работу Г.А. Свиридюка, в которой заложены основы теории относительно cr-ограниченных и относительно р-секториальных операторов и соответствующих им вырожденных разрешающих (полу)групп уравнения (0.8) [57]. Эта работа стала основой для многих глубоких исследований. Перечислим результаты учеников Г.А. Свиридюка в линейной ситуации. Диссертация Т.А. Бокаревой [6] посвящена исследованию однозначной разрешимости задачи Коши (0.10) для операторного уравнения Соболевского типа (0.9). В ее диссертации определены условия, необходимые и достаточные для существования фазовых пространств этого уравнения в случае, когда М - линейный, замкнутый, но L - ограниченный оператор, определены условия, достаточные для существования фазовых пространств этого уравнения в случае (L, р)-секториальности оператора М, изучены квазистационарные полутраектории и описаны фазовые пространства этого уравнения в случае, когда М - сильно (,р)-секториален. Полученные результаты позволили исследовать начально-краевые задачи для линеаризованной системы типа реакции-диффузии и для модели движения несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта первого порядка с термоконвекцией в приближении Обербека-Бус-синеска. В диссертации Л.Л. Дудко [17] получены следующие новые результаты: доказаны достаточные условия (, ^-ограниченности оператора М, доказан критерий (L, (^-ограниченности оператора М в случае фредгольмовости оператора L, упрощено определение понятия (L, р)-секториального оператора, что привело к упроще- нию теории операторов данного типа, установлена структура фазового пространства задачи Коши для линейного уравнения Соболевского типа в случае относительно радиального оператора М, а также найдены необходимые и достаточные условия -радиаль-ности оператора М. В диссертации В.Е. Федорова [76] доказана достаточность некоторых из необходимых условий относительной (Т-ограниченности в терминах аналитических групп операторов с ядрами, достаточность некоторых из необходимых условий относительной р-сек-ториальности в терминах аналитических полугрупп операторов с ядрами, найдены необходимые и достаточные условия относительной ^-радиальности в терминах сильно непрерывных полугрупп операторов с ядрами. Полученные результаты приложены к исследованию фазового пространства уравнения в частных производных, моделирующего эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости. В диссертации А.А. Ефремова [18] исследована задача минимизации квадратичного функционала на решениях задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве, не разрешенного относительно производной. Рассмотрены случаи существования аналитической группы и аналитической полугруппы соответствующего однородного уравнения. Для выбранных пространства управлений и множества допустимых значений задачи Коши получены теоремы о существовании и единственности решения задачи минимизации. Абстрактные ре- зультаты использованы при исследовании аналогичных задач для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной и уравнения Дзекце-ра. В диссертации А.В. Келлер [25] исследованы ограниченные решения линейного нестационарного неоднородного уравнения Соболевского типа Lit = Ми + N(t)u + / и однозначной разрешимости задачи Коши (0.10) для этого уравнения. Выделен класс уравнений, для которых получены достаточные условия существования и единственности этой задачи, получены необходимые и достаточные условия ограниченности решения однородного (неоднородного стационарного) уравнения на полуоси (на всей оси). Абстрактные результаты применены к конкретным задачам математической физики для уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной и эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости, а также к сингулярной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В диссертации Г.А. Кузнецова [33] найдены достаточные условия относительной сильной /^векториальности линейных операторов, доказан критерий cr-ограниченности относительно бирасщеп-ляющего и фредгольмова оператора, найдены достаточные условия относительной сильной р-радиальности линейных операторов. Эти результаты позволили исследовать разрешимость конкретных прикладных задач, сводящихся к абстрактной задаче Коши для линейного уравнения Соболевского типа. В диссертации С.А. Загребиной [19] найдены достаточные условия разрешимости задачи Всригина для линейных уравнений Соболевского типа с относительно а- ограниченны ми и относительно >-секториалъными операторами. Получены точные решения задачи Дирихле-Веригина для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной и линейного уравнения фильтрации жидкости со свободной границей, а также исследована задача Дирихле-Веригина для обобщенного уравнения Буссинеска. Основным результатом диссертации СВ. Брычева [10] является построение численного алгоритма решения задачи Коши для линейного операторного уравнения Соболевского типа, основанного на теории относительно сг-ограничепных и относительно ^радиальных операторов и вырожденных аналитических групп операторов. Полученный алгоритм был применен к расчету экономики коммунального хозяйства г. Еманжелинска Челябинской области. В диссертации А.А. Замышляевой [20] найдены достаточные условия разрешимости задачи Коши для линейных уравнений Соболевского типа высокого порядка с относительно полиномиально ограниченными пучками операторов. Получены точные решения начально-краевых задач для уравнений Буссинеска-Лява и de Gennes звуковых волн в смектиках. Основным результатом диссертации В.О. Казака [24] являются достаточные условия существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений Соболевского типа. Получен- ные абстрактные результаты реализованы в конкретных начально-краевых задачах для уравнений Хоффа и обобщенного фильтрационного уравнения Осколкова. Линейные результаты были подытожены в монографии Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [102], которая инициировала дальнейшие исследования [49]. Успех линейной теории, обеспечившей многочисленные приложения, был обусловлен тем обстоятельством, что в случае линейного уравнения (0.8) фазовым пространством служит образ разрешающей (полу)группы, который в свою очередь является банаховым пространством. Поэтому в [56], [58] Г.А. Свиридюком был поставлен вопрос о поиске таких уравнений вида (0.9), фазовое пространство которых является простым банаховым многообразием, моделируемым образом разрешающей (полу)группы линеаризации уравнения (0.9). До сих пор удавалось получать лишь локальную информацию о фазовом пространстве (см. диссертацию Т.Г. Сукачевой [74], в которой приведен оригинальный метод получения такого сорта результатов, основанный иа обобщении линейных результатов С.Г. Крейна и его учеников [32], [22]). Первый ответ на этот вопрос был дан в диссертации М.М. Яку-пова [82], в которой установлены простота фазового пространства начально-краевых задач для уравнения Осколкова (ЖД - 1)Д| = „AV - %^, dt д(х,у) моделирующего плоскопараллельную динамику вязкоупругой несжимаемой жидкости, и различных его модификаций таких, как например, гибрид уравнения Осколкова и уравнения теплопроводности в приближении Обербека-Буссинеска, моделирующий термоконвекцию вязкоупругой несжимаемой жидкости (см. по этому поводу [55]). Основываясь на этих результатах, Г.А. Свири-дюк и В.О. Казак установили простоту фазового пространства начально-краевой задачи для уравнения Хоффа [61J и для обобщенной фильтрационной модели Осколкова [62], частный случай которой рассмотрен в [63]. Наработанная техника позволила рассмотреть случай [68], когда фазовое пространство не является простым, но состоит из двух простых компонент. Кроме того, результаты Г.А. Свиридюка и М.М. Якупова [67] уже нашли применение в теории оптимального управления [64]. Данная диссертация основывается на результатах цитированных работ и использует их методы. Начало теории графов как математической дисциплины было положено Л. Эйлером в его знаменитом рассуждении о ке-нигсбергских мостах. Однако эта статья Л. Эйлера (1736 г.) на протяжении почти ста лет была единственной. В середине XIX века интерес к проблемам теории графов возродился. Этому способствовало развитие естественных наук (исследование электрических сетей, моделей кристаллов, структур молекул, развитие формальной логики). В XX веке теория графов неуклонно развивалась. Это связано с развитием теории игр, программирования, теории передачи сообщений, а также биологии и психологии. Вследствие этого развития предмет теории графов является очень обширным. Так в монографии [77] отмечены тесные контакты теории графов с топологией, теорией групп и теорией вероятностей. В [4] изложены применения теории графов при решении различных задач в области техники, экономики, социологии. В монографии [5] выделяются топологические, комбинаторные и прикладные аспекты теории графов, большое внимание уделяется алгоритмам решения задач теории графов. В монографии [40] затрагиваются вопросы, связанные с теорией потоков, играми, электрическими сетями. Однако ни в одной из современных монографий по теории графов нет даже намека на задачи для уравнений в частных производных, определенных на графе. Краевые и начально-краевые задачи для уравнений в частных производных на графах начали изучать в конце прошлого века практически одновременно в разных регионах нашей планеты. S. Kosugi [95] рассмотрел задачу для полулинейного элиптического уравнения Аи + /(и) = 0 infi(0, a"=oinS(c), ^ u = ac іпГ(С) в тонкой сетевой области, которая вырождается в граф, исследовал предельное уравнение на графе. С. Cattaneo [86] нашла явное решение уравнения теплопроводности дУ _ д2У dt ~ д2х2 на однородном дереве с ребрами положительной индуктивности, отождествленными с [0,1] и удовлетворяющими условию типа Кирх-гоффа. G. Medolla, A.G. Setti [96] рассмотрели волновое уравнение {d2t + - Ь)и = 0 оп, где X - однородное дерево, - оператор Лапласа и 6 - дно его L2 спектра. F. Barra, P. Gaspard [S3] рассмотрели классическую эволюцию частиц на графе с использованием непрерывного по времени оператора Фробениуса-Перрона I*Flbt г] = pp(tt ф-% x])F( В [44] определяется класс функций С*(Г). И на графе Г рассматривается задача Дирихле V = /(/GC,(r), и\ат = О, решение которой ищется в С2(Г). Первые итоги исследований школы Ю.В. Покорного подведены в монографии [48], где изучаются качественные свойства дифференциальных уравнений на многообразиях типа сети, изучаются функция Грина, дифференциальные неравенства, осцилляци-онные спектральные свойства, излагается теория эллиптических уравнений на стратифицированных (ветвящихся) многообразиях. Работы этой школы инициировали результаты А.И. Шафаре-вича [80], [81] по изучению обобщенных уравнений Прандтля-Мас-лова, заданных на графах, описывающих растянутые вихри в несжимаемой жидкости. В [85] J. von Below на конечном связном ориентированном графе G рассмотрел уравнения реакции-диффузии ujt = щхх + /(и,), з Є {0,lj),t Є R+, (0.11) где /-гладкая функция общая для всех дуг Ej. Для уравнений (0.11) заданы условия (0.1), (0.2). J. von Below доказал однозначную разрешимость этой задачи в специально построенном функциональном пространстве. В последнее время задача (0.1)-(0.2) для уравнений (0.11) привлекает внимание многих исследователей. Например, Е. Yanagida [103] исследовал устойчивость пространственно неоднородных установившихся состояний в системах реакции-диффузии на графе. Между тем было замечено, что в ряде случаев уравнения Соболевского типа описывают процессы реакции-диффузии лучше, чем полулинейные параболические уравнения вида (0.11). Поэтому в [59] Г.А. Свиридюк рассмотрел задачу на графе G с краевыми условиями (0.1), (0.2) и начальными условиями (0.3) для уравнений Соболевского типа Xujt - Ujxxt = uixx + f{uj), (0.12) где параметр А Є Ж одинаков для всех уравнений. Данная диссертация является непосредственным продолжением и развитием результатов этой работы. Таким образом, изучение разрешимости начально-краевых задач для уравнений Соболевского типа на графах является актуальным как с точки зрения теории уравнений на графах, так и с точки зрения теории уравнений Соболевского типа. Методы исследования. Основным методом наших исследований является метод фазового пространства, обоснованный в работах [66], [65]. Суть его заключается в следующем: сначала начально-краевая задача (0.1)-(0.3) для конкретных уравнений (0.4)-(0.7) без потери общности сводится к задаче Коши (0.10) для либо линейного (0.8), либо полулинейного (0.9) уравнения Соболевского типа. Техника такой редукции вполне стандартна, основы ее заложены в классической монографии С.Л. Соболева [73]. Основная трудность здесь - правильный подбор подходящих функциональных пространств. Второй шаг применения метода заключается в редукции уравнений (0.8) и (0.9) к стандартным уравнениям и = Su 23 й = Su + F(u), соответственно, определенных, возможно, не на всем пространстве, а на некотором его подмножестве, понимаемом нами как фазовое пространство исходного (т.е. (0.8), (0.9)) уравнения. Возможность такой редукции обоснована в монографии Г.А. Свири-дюка и В.Е. Федорова [102]. Основная трудность -доказательства (Л, ^-ограниченности оператора М и гладкости оператора N. Последний шаг заключается в изучении фазового пространства. Здесь мы используем классические методы нелинейного анализа такие, как теорема о неявной функции и теорема Коши (см., например, [11], [34]) и теорию монотонных операторов (см., например, [15]). Основной результат - заключение о морфологии (т.е. структуре, форме, строении, устройстве) фазового пространства начально-краевой задачи для конкретного уравнения (0.4)-(0.7). Как правило, морфологию удается описать в терминах нелинейных фредгольмовых отображений (см. Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов [8]). Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость диссертации заключается в том, что впервые описаны фазовые пространства начально-краевых задач для уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной, Хоффа, Осколкова и Корпу-сова-Плетнера-Свешникова, определенных на графах. Полученные результаты носят окончательный характер, т.е. содержат исчерпывающую информацию о фазовых пространствах задач, но- сящих прикладной характер. В целом результаты диссертации реализуют программу исследований, намеченную Г.А. Свиридюком Практическая значимость заключается в том, что полученные результаты должны учитываться при проведении численных расчетов. Необходимость этого обстоятельства уже была отмечена в конечномерном варианте линейной теории уравнений Соболевского тина [60], [12]. Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на XIII межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2003), Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2004), Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2004), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004), Воронежской зимней математической школе (Воронеж:, 2005), XII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва, 2005), VI Международной конференции, посвященной памяти академика М.А. Лаврентьева, "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005), Международной конференции "Нелинейные уравнения в частных производных" (Алушта, 2005), на семинаре кафедры математического анализа Магнитогорского государственного университета и на семинаре проф. Г.А. Свиридюка. Краткое содержание диссертации. Диссертация кроме Вве- дения состоит из двух глав и Списка литературы. Сразу отметим, что Список литературы полностью отражает положение дел лишь в узкой пограничной области, непосредственно примыкающей к теме диссертации и находящейся на стыке теории уравнений Соболевского типа и теории уравнений в частных производных на графах. В остальном Список отнюдь не претендует на полноту, а отражает лишь личные вкусы и пристрастия автора. Первая глава носит пропедевтический характер. В ней содержатся все известные на данный момент факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. В первых двух параграфах представлены основные факты теории относительно (т-ограниченных операторов, а также соответствующих вырожденных аналитических группах операторов. Все факты почерпнуты из монографии Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [102]. В третьем параграфе изложены основные факты теории гладких банаховых многообразий и векторных полей на них. Основным результатом этого параграфа следует считать классическую теорему Коти в обобщенной формулировке. Доказательства этих результатов можно найти в фундаментальной монографии С. Лен-га [34]. В четвертом параграфе приведены результаты по задаче Штурма-Лиувилля на графе. В основном все результаты почерпнуты из монографии Ю.В. Покорного и др. [48]. Пятый параграф первой главы содержит результаты, почерп- нутые из работ Г.А. Свиридюка и В.О. Казака [61], [62]. Здесь сформулировано определение квазистационарной траектории, приведен пример, показывающий необходимость рассмотрения квазистационарных траекторий уравнения Соболевского типа, изложен результат о разрешимости задачи (0.9), (0.10) в случае kerL ф щ. В шестом параграфе первой главы находятся некоторые результаты нелинейного функционального анализа: основные сведения из теории монотонных операторов, взятые из монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [15], и теорема о неявной функции [39]. Во второй главе содержатся основные результаты диссертации. В ней описаны фазовые пространства начально-краевых задач (0.1)-(0.3) для уравнений (0.4)-(0.7). Вторая глава состоит из четырех параграфов, каждый из которых построен следующим образом: постановка задачи на графе для соответствующего уравнения, редукция этой задачи к абстрактной задаче Коши для линейного, либо полулинейного уравнения соболевского типа, описание фазового пространства рассматриваемой задачи. В конце каждого параграфа приведено схематическое изображение фазового пространства. Параграф 2.1 посвящен изучению фазового пространства начально-краевой задачи для уравнений Баренблатта-Желтова-Ко-чиной. В п. 2.1.1 ставится начально-краевая задача (0.1)-(0.3) на графе для уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной (0.4). В п. 2.1.2 проводится редукция задачи (0.1)-(0.3), (0.4) к задаче (0.8), (0.10). П. 2.1.3 содержит основной результат параграфа 2.1 - доказательство теоремы о существовании и единственности решения задачи (0.1)-(0.3), (0.4). В параграфе 2.2 исследуется фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнений Хоффа. В п. 2.2.1 ставится начально-краевая задача (0.1)-(0.3) на графе для уравнений Хоффа (0.5). В п. 2.2.2 проводится редукция задачи (0.1)-(0.3), (0.5) к задаче (0.9), (0.10). В п. 2.2.3 доказано, что фазовым пространством рассматриваемой задачи на графе является простое банахово С-многообразие. В параграфе 2.3 изучается фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнений Осколкова. В п. 2.3.1 ставится начально-краевая задача (0.1)-(0.3) на графе для уравнений Осколкова (0.6). В п. 2.3.2 проводится редукция задачи (0.1)-(0.3), (0.6) к задаче (0.9), (0.10). В п. 2.3.3 доказано, что фазовое пространство этой задачи состоит из двух связных компонент, каждая из которых является простым банаховым С-многообразием. В параграфе 2.4 проводится исследование начально-краевой задачи для уравнений Корпусова-Плетнера-Свешникова. В п. 2.4.1 ставится начально-краевая задача (0.1)-(0.3) на графе для уравнений Корпусова-Плетнера-Свешникова (0.7). В п. 2.4.2 проводится редукция задачи (0.1)-(0.3), (0.7) к задаче (0.9), (0.10). В п. 2.4.3 доказано, что фазовое пространство этой задачи содержит объединение двух компонент, каждая из которых является гладким банаховым С^-многообразием. Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность своему начному руководителю профессору Г.А. Свиридюку за неоценимую помощь в работе над диссертацией. Кроме того, автор считает своим приятным долгом поблагодарить заведующую кафедрой математического анализа профессора Т.К. Плышевскую за ценные советы и моральную поддержку, а также коллективы кафедр математического анализа МаГУ и ЧелГУ за ряд полезных пожеланий, способствовавших усовершенствованию работы. Особую благодарность автор выражает своим родным: маме Лидии Федоровне и мужу Андрею Викторовичу за веру в успех. Уравнение Баренблатта-Желтова-Кочиной моделирует динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещи нновато-пори стой среде [3], где параметры А Є М, а Є Ш+ характеризуют среду. Нас интересует давление жидкости в случае, когда среда представляет собой связный пласт, имеющий слоистую структуру. Уравнение Хоффа моделирует выпучивание двутавровой балки [94]. Здесь параметр А є К.+ соответствует нагрузке, а параметры а,/3 Є R характеризуют свойства материала, причем а.0 0. Искомая функция и = u(x,t) показывает отклонение балки от вертикали. Нас будет интересовать поведение конструкции из двутавровых балок, находящихся под постоянной нагрузкой. Уравнение моделирует течение вязкоупругой несжимаемой жидкости по трубе. Это уравнение является одномерным аналогом системы Осколкова [42] описывающей динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кель-вина-Фойгта, и представляет собой гибрид уравнений Бенджамина-Бона-Махони и Бюргерса [84]. Наше внимание будет занимать случай, когда жидкость течет по трубопроводам. Уравнение моделирует квазистационарные процессы в токопроводящих средах без дисперсии [29]. В центре нашего внимания будет случай, когда среда представляет собой несколько цилиндрических полупроводников, соединенных между собой в произвольном порядке. Во всех приведенных выше ситуациях многомерное, вообще говоря, уравнение может быть сведено к одномерному уравнению, определенному на ориентированном графе. Процедура такой редукции описана в [95]. Не задерживаясь на деталях, мы сразу будем считать, что соответствующие одномерные уравнения определены на подходящих графах. Иными словами, пусть G — G(QJ; С)-конечный связный ориентированный граф, где 5J = {Ц} - множество вершин, а С — {Ej} множество дуг. Мы предполагаем,что каждая дуга имеет длину lj 0 и толщину dj 0. На графе G нас будут интересовать задачи с краевыми условиями для уравнений Здесь через Ea (УІ) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине V{. Условие (0.1) требует, чтобы все решения были непрерывными на вершинах графа; а (0.2) - аналог условия Кирхгоффа - в случае, когда граф состоит из единственной дуги с двумя вершинами, превращается в условие Неймана. Целью диссертации является изучение однозначной разрешимости задачи (0.1)-(0.3) для уравнений {0.4)-(0.7). Как легко видеть, все уравнения имеют прикладной характер и относятся к уравнениям соболевского типа, составляющим обширную область неклассических уравнений математической физики [14]. Основная трудность при изучении начально-краевых задач для таких уравнений заключается в их принципиальной неразрешимости в случае, когда дифференциальный оператор "по пространственным переменным" при производной "но времени" необратим [87]. Отметим еще, что задача (0.1)-(0.3) для уравнений (0.4)-(0.7) рассматривается впервые. Актуальность темы диссертации. Уравнения, не разрешенные относительно выделенной производной, впервые появились в работе А. Пуанкаре в 1885 году. Затем время от времени интерес к таким уравнениям возникал в работах Ф.К.Г. Одквиста, СВ. Осеена, С.Г. Россби и многих других. Однако начало систематических исследований таких уравнений было положено в работе С.Л. Соболева [72], опубликованной в 1954 году. Результаты этой работы открыли новое направление, которое первоначально развивали ученики С.Л. Соболева - Р.А. Александрии [1], С.А. Галь-перн [16], А.Г. Костюченко и Г.И. Эскин [30], Т.И. Зеленяк [21] и многие другие. Немного позже и независимо от этих работ С.Г. Крсйи и его ученики [32], [22] начали изучать абстрактные дифференциально-операторные уравнения в банаховых пространствах с вырожденным оператором при выделенной производной. Для работ представителей этого направления характерно отсутствие приложений. В настоящее время в этом направлении активно и плодотворно работает И.В. Мельникова и ее ученики [36], [37], [38]. Первыми, кто абстрактные результаты начал иллюстрировать конкретными прикладными задачами, были R.E. Showalter [98], [99] и Н.А. Сидоров с учениками [69], [70], [71]. К этому же направлению можно отнести работы М.И. Вишика [13], A. Favini [90], [91], A. Yagi [92] и многих других. В диссертации А.В. Келлер [25] исследованы ограниченные решения линейного нестационарного неоднородного уравнения Соболевского типа и однозначной разрешимости задачи Коши (0.10) для этого уравнения. Выделен класс уравнений, для которых получены достаточные условия существования и единственности этой задачи, получены необходимые и достаточные условия ограниченности решения однородного (неоднородного стационарного) уравнения на полуоси (на всей оси). Абстрактные результаты применены к конкретным задачам математической физики для уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной и эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости, а также к сингулярной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В диссертации Г.А. Кузнецова [33] найдены достаточные условия относительной сильной / векториальности линейных операторов, доказан критерий cr-ограниченности относительно бирасщеп-ляющего и фредгольмова оператора, найдены достаточные условия относительной сильной р-радиальности линейных операторов. Эти результаты позволили исследовать разрешимость конкретных прикладных задач, сводящихся к абстрактной задаче Коши для линейного уравнения Соболевского типа. В диссертации С.А. Загребиной [19] найдены достаточные условия разрешимости задачи Всригина для линейных уравнений Соболевского типа с относительно а- ограниченны ми и относительно -секториалъными операторами. Получены точные решения задачи Дирихле-Веригина для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной и линейного уравнения фильтрации жидкости со свободной границей, а также исследована задача Дирихле-Веригина для обобщенного уравнения Буссинеска. Основным результатом диссертации СВ. Брычева [10] является построение численного алгоритма решения задачи Коши для линейного операторного уравнения Соболевского типа, основанного на теории относительно сг-ограничепных и относительно радиальных операторов и вырожденных аналитических групп операторов. Полученный алгоритм был применен к расчету экономики коммунального хозяйства г. Еманжелинска Челябинской области. В диссертации А.А. Замышляевой [20] найдены достаточные условия разрешимости задачи Коши для линейных уравнений Соболевского типа высокого порядка с относительно полиномиально ограниченными пучками операторов. Получены точные решения начально-краевых задач для уравнений Буссинеска-Лява и de Gennes звуковых волн в смектиках. Основным результатом диссертации В.О. Казака [24] являются достаточные условия существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений Соболевского типа. Полученные абстрактные результаты реализованы в конкретных начально-краевых задачах для уравнений Хоффа и обобщенного фильтрационного уравнения Осколкова. Линейные результаты были подытожены в монографии Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [102], которая инициировала дальнейшие исследования [49]. Успех линейной теории, обеспечившей многочисленные приложения, был обусловлен тем обстоятельством, что в случае линейного уравнения (0.8) фазовым пространством служит образ разрешающей (полу)группы, который в свою очередь является банаховым пространством. Поэтому в [56], [58] Г.А. Свиридюком был поставлен вопрос о поиске таких уравнений вида (0.9), фазовое пространство которых является простым банаховым многообразием, моделируемым образом разрешающей (полу)группы линеаризации уравнения (0.9). До сих пор удавалось получать лишь локальную информацию о фазовом пространстве (см. диссертацию Т.Г. Сукачевой [74], в которой приведен оригинальный метод получения такого сорта результатов, основанный иа обобщении линейных результатов С.Г. Крейна и его учеников [32], [22]). Первый ответ на этот вопрос был дан в диссертации М.М. Яку-пова [82], в которой установлены простота фазового пространства начально-краевых задач для уравнения Осколкова моделирующего плоскопараллельную динамику вязкоупругой несжимаемой жидкости, и различных его модификаций таких, как например, гибрид уравнения Осколкова и уравнения теплопроводности в приближении Обербека-Буссинеска, моделирующий термоконвекцию вязкоупругой несжимаемой жидкости (см. по этому поводу [55]). Основываясь на этих результатах, Г.А. Свири-дюк и В.О. Казак установили простоту фазового пространства начально-краевой задачи для уравнения Хоффа [61J и для обобщенной фильтрационной модели Осколкова [62], частный случай которой рассмотрен в [63]. Наработанная техника позволила рассмотреть случай [68], когда фазовое пространство не является простым, но состоит из двух простых компонент. Кроме того, результаты Г.А. Свиридюка и М.М. Якупова [67] уже нашли применение в теории оптимального управления [64]. Данная диссертация основывается на результатах цитированных работ и использует их методы. Практическая значимость заключается в том, что полученные результаты должны учитываться при проведении численных расчетов. Необходимость этого обстоятельства уже была отмечена в конечномерном варианте линейной теории уравнений Соболевского тина [60], [12]. Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на XIII межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2003), Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2004), Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2004), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004), Воронежской зимней математической школе (Воронеж:, 2005), XII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва, 2005), VI Международной конференции, посвященной памяти академика М.А. Лаврентьева, "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005), Международной конференции "Нелинейные уравнения в частных производных" (Алушта, 2005), на семинаре кафедры математического анализа Магнитогорского государственного университета и на семинаре проф. Г.А. Свиридюка. Краткое содержание диссертации. Диссертация кроме Введения состоит из двух глав и Списка литературы. Сразу отметим, что Список литературы полностью отражает положение дел лишь в узкой пограничной области, непосредственно примыкающей к теме диссертации и находящейся на стыке теории уравнений Соболевского типа и теории уравнений в частных производных на графах. В остальном Список отнюдь не претендует на полноту, а отражает лишь личные вкусы и пристрастия автора. Первая глава носит пропедевтический характер. В ней содержатся все известные на данный момент факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. В первых двух параграфах представлены основные факты теории относительно (т-ограниченных операторов, а также соответствующих вырожденных аналитических группах операторов. Все факты почерпнуты из монографии Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [102]. В третьем параграфе изложены основные факты теории гладких банаховых многообразий и векторных полей на них. Основным результатом этого параграфа следует считать классическую теорему Коти в обобщенной формулировке. Доказательства этих результатов можно найти в фундаментальной монографии С. Лен-га [34]. В четвертом параграфе приведены результаты по задаче Штурма-Лиувилля на графе. В основном все результаты почерпнуты из монографии Ю.В. Покорного и др. [48]. Пятый параграф первой главы содержит результаты, почерп нутые из работ Г.А. Свиридюка и В.О. Казака [61], [62]. Здесь сформулировано определение квазистационарной траектории, приведен пример, показывающий необходимость рассмотрения квазистационарных траекторий уравнения Соболевского типа, изложен результат о разрешимости задачи (0.9), (0.10) в случае kerL В шестом параграфе первой главы находятся некоторые результаты нелинейного функционального анализа: основные сведения из теории монотонных операторов, взятые из монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [15], и теорема о неявной функции [39]. Во второй главе содержатся основные результаты диссертации. В ней описаны фазовые пространства начально-краевых задач (0.1)-(0.3) для уравнений (0.4)-(0.7). Вторая глава состоит из четырех параграфов, каждый из которых построен следующим образом: постановка задачи на графе для соответствующего уравнения, редукция этой задачи к абстрактной задаче Коши для линейного, либо полулинейного уравнения соболевского типа, описание фазового пространства рассматриваемой задачи. В конце каждого параграфа приведено схематическое изображение фазового пространства. Параграф 2.1 посвящен изучению фазового пространства начально-краевой задачи для уравнений Баренблатта-Желтова-Ко-чиной. В п. 2.1.1 ставится начально-краевая задача (0.1)-(0.3) на графе для уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной (0.4). В п. 2.1.2 проводится редукция задачи (0.1)-(0.3), (0.4) к задаче (0.8), (0.10). П. 2.1.3 содержит основной результат параграфа 2.1 - доказательство теоремы о существовании и единственности решения задачи (0.1)-(0.3), (0.4). В параграфе 2.2 исследуется фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнений Хоффа. В п. 2.2.1 ставится начально-краевая задача (0.1)-(0.3) на графе для уравнений Хоффа (0.5). В п. 2.2.2 проводится редукция задачи (0.1)-(0.3), (0.5) к задаче (0.9), (0.10). В п. 2.2.3 доказано, что фазовым пространством рассматриваемой задачи на графе является простое банахово С-многообразие. Уравнение моделирует квазистационарные процессы в токопроводящих средах без дисперсии [29]. Нас интересует случай, когда среда представляет собой несколько цилиндрических полупроводников, соединенных между собой в произвольном порядке. В этом случае, как показано в [103], многомерное, вообще говоря, уравнение (2.4.1) можно редуцировать к одномерным, определенным на некотором графе. Пусть G = G(Q?; ) - конечный связный ориентированный граф, где QJ = {Vi} - множество вершин, а = {Ej} - множество дуг, причем каждая дуга Ej имеет длину Ij О и толщину dj 0. На графе G рассмотрим задачу с краевыми Здесь через Ea (Vi) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине Vf. Условие (2.4.2) требует, чтобы решения были непрерывными на вершинах графа, а условие (2.4.3) - аналог условия Кирхгоффа - в случае, когда граф G состоит из единственной нециклической дуги, превращается в условие Неймана. Для редукции задачи (2.4.2)-(2.4.5) к задаче (0.9), (0.10) через Lt2(G) обозначим множество L2(G) = {g= (01,32,..., -,.--) : & Є 2(0,У}. Множество I 2(G) является гильбертовым пространством со скалярным произведением Через И обозначим множество W}(G) = {и= {щ, «2)..., uh ...) : щ Є И/ О, lj), причем выполнено (2.4.2)}. Множество И является банаховым пространством, в котором нормы можно ввести следующим образом Очевидно, что введенные в нем нормы эквивалентны. В силу теорем вложения Соболева пространство 14 (0, -) состоит из абсолютно непрерывных функций, а значит пространство И корректно определено, плотно и компактно вложено в L2(G). Отождествим L2(G) со своим сопряженным, и через # обозначим сопряженное относительно двойственности {,) пространство к Н. Очевидно, -банахово пространство, причем вложение Я 4 $ компактно. Формулами зададим линейные операторы L,M : it — #. Введем также в рассмотрение оператор h (N(u),v) = — У. j f 0v jUjxVjxdx Vu, г? Є It. Лемма 2.4.1. Яру всех а,Х ЄМ. операторы L,M Є (Я; У) и фредгольмовы. (и) Спектр оператора L вещественен, дискретен, конечнокра-тен и сгущается только к точке сю. Доказательство, (і) В силу неравенства Коши-Буняковского и теоремы Рисса имеем при всех и, v Є il и некоторых Ск Є R+, к 1,2 линейный оператор L : Н - # непрерывен и инъективен. Кроме того, из первой оценки (2.4.6) вытекает сюръективность сопряженного оператора L : 5 — ІІ - В силу рефлексивности пространства Д и самосопряженности оператора L получаем, что оператор L є (Н;#) биективен. Отсюда по теореме Банаха следует существование оператора L 1 Є (#;Я). Поскольку вложение ІІ - компактно, то оператор і--1 Є ($) является компактным. Значит, спектр оператора L вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только К —00. Лемма 2.4.2. (г) При любых а Є R\{0} и f3 Є M(L, 0)-ограничен. (іі) Оператор N Є С(ІІ;3). оператор Доказательство, (і) Пусть {А } - собственные значения оператора Лапласа для данной задачи, занумерованные по невозрастанию с учетом их кратности. Пусть { Рк\ - соответствующие им собственные функции, ортонормированные в смысле L/2(G). Если А $ {Ajt}, то существует оператор L-1 Є С{$\Щ и утверждение леммы очевидно.Аналитические группы уравнений Соболевского типа
Некоторые методы нелинейного функционального анализа
Морфология фазового пространства
Морфология фазового пространства
Похожие диссертации на Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах
