Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Исследование решения почти всюду многомерной смешанной задачи для одного класса нелинейных параболических уравнений четвертого порядка 10
I Первая априорная оценка для решений почти всюду задачи (1.1)-(1.3) 11
2 О некоторых свойствах оператора
3 Вторая априорная оценка для решений почти всюду задачи (I.1)-(1.3) 36
4 Существование решения почти всюду задачи (1.1)-(1.3) .м 39
5 Единственность решения почти всюду задачи (1.1)-(1.3) 42
ГЛАВА II. Исследование классического решения многомерной смешанной задачи дня одного класса нелинейных параболических уравнений четвертого порядка 46
I Единственность классического решения задачи (2.1)-(2.3) 47
2 Существование классического решения задачи (2.1)-(2.3) в случае F= F(t,a?,U), TU12 47
3 Существование классического решения задачи (2.1)-(2.3) в случае F = F(t,0!)U,U3,>), IU9 82
4 Существование классического решения задачи (2.1)-(2.3) в случае F- F(t,!B,ll, 11^,11^ UM),
Литература 141
- Вторая априорная оценка для решений почти всюду задачи (I.1)-(1.3)
- Единственность решения почти всюду задачи (1.1)-(1.3)
- Существование классического решения задачи (2.1)-(2.3) в случае F= F(t,a?,U), TU12
- Существование классического решения задачи (2.1)-(2.3) в случае F- F(t,!B,ll, 11^,11^ UM),
Введение к работе
(-L)U =F№^,Ut,Uj(te[0,T],2!e.), (o.i)
11(0,00-9(1) (XQ), иДЗ^СС) (Kfi), (0.2)
и(іД)|г=0, LU(W)|-D, (-3'
Данная диссертационная работа посвящена изучению вопросов существования и единственности почти всюду и классического решений следующей многомерной смешанной задачи в конечной области с граничными условиями типа Рикье для одного класса нелинейных параболических уравнений четвертого порядка:
где Q
в области Q_
u=1 * * 1=1
?. - любые действительные числа; $ » Ф > F - заданные функции, a U(t,3C)~ искомая функция; кроме того, для краткости записи, в данной работе пользуемся обозначениями
а под почти всюду и классическими решениями задачи (0.1)-(0.3) понимаем следующее
ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Решением почти всюду задачи (0.1)-(0.3) назовем функцию U(i:,I!) V/t'I2 (QT) » удовлетворяющую уравнению (0.1) почти всюду в QT , принимающую начальные значения (0.2) и удовлетворяющую граничным условиям (0.3) в смысле следов, т.е. почти всюду соответственно в областях .О. и Г ; причем QT = (0,T)xa.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Под классическим решением задачи (0.1)-(0.3) понимаем функцию li(t,I!) L ' (QTJ , удовлетворяющую всем уело-виям (О.І)-(О.З) в обычном смысле.
В данной работе получены следующие результаты:
а) для любых размерностей ТІ доказана теорема существова
ния в целом решения почти всюду задачи (0.1)-(0.3);
б) для любых размерностей ТІ установлены теоремы единст
венности в целом для почти всюду и классического решений
задачи (0.1)-(0.3);
в) для случаев F= F(t,X,li) , F = F(t,jC,U, U^) и
F = F(t,X,U,\lx,Ub, UXx) уравнения (0.1) соответственно для размерностей 1 ^ fl^ 12 » 1 ^ Ті ^ 9 и 1 = ТІ ^ 5 доказаны теоремы существования в целом классического решения задачи (0.1)-(0.3).
А теперь отметим некоторые работы, непосредственно связанные с темой данной диссертации. Среди работ, посвященных исследованию линейного случая (т.е. случая F = F(t,0C)) задачи (0.1)-(0.3), следует особо отметить фундаментальную работу [і] В.А.Со-лонникова, в которой изучена общая краевая задача (удовлетворяющая условиям дополнительности) для линейных параболических (по Солонникову) систем, более общих, чем системы, параболические
в смысле И.Г.Петровского[2] и Т.Сирота[3]; из результатов рабо-ты[1] (см.стр. 118,теорему 5.4 и стр.107, теорему 4.9), в частности, следуют теоремы об однозначной разрешимости линейной
о + к 4+2К
(F=F(t,"X) задачи (O.I)-(0.3) в классах W, L Р СИ-тО
(где К> 0 - любое целое число) и Lt ^ CUtO (гл-е
Ь > 0 - любое нецелое число), которыми в данной работе мы существенно пользовались. А также отметим докторскую диссертацию [4] академика АН Азерб.ССР М.Л.Расулова, в которой разработаны и применены вычетной метод и метод контурного интеграла к решению общих смешанных задач для широкого класса линейных дифференциальных уравнений.
Среди работ, посвященных исследованию смешанной задачи (0.1)-(0.3) для нелинейного случая уравнения (0.1), отметим работы [5]- [10].
В работе[5] Ю.И.Ковача рассмотрен одномерный простейший частный случай задачи (0.1)-(0.3), когда
ли, LU=a2^, Q-(0,e), =^=0, F-FCt,r,U),
и специальным методом последовательных приближений доказана теорема существования и единственности классического решения рассматриваемой задачи.
А в работе[б] Ю.И.Ковача рассмотрена задача вида (0.1)-(0.3), когда
пи, Lu-aft^,^KDA-^-0, ?-т&ш-хъ,Щ
где йф Q - постоянное и в области [0J] * [Q ] T(t,T)>0,
и принципом сжатых отображений доказано существование в малом
классического решения рассматриваемой задачи.
В работах [7] и [8] автора принципом Лере-Шаудера доказано существование в целом решения почти всюду (из класса VI, CR^ общей задачи (0.1)-(0.3).
В работе [9] К.И.Худавердиева и автора отдельно исследованы следующие два частных случая задачи (0.1)-(0.3), когда
F=F(t,X,U) , 1<*n*1Q
F = F(t,I,U,Ux), НЕ?9,
и с помощью принципа Лере-Шаудера доказаны теоремы существования в целом классического (из класса G+'.1-/) ) решения рассматриваемых задач; кроме того, в работе [9] для общего случая уравнения (0.1) для любых размерностей R установлены теоремы единственности в целом почти всюду и классического решений задачи (0.1)-(0.3).
А в работе [10] автора исследована смешанная задача (0.1)-(0.3) в общем случае уравнения (0.1), но для размерностей Its 5 и принципом Лере-Шаудера доказана глобальная (т.е. справедливая при любом конечном значении Т ) теорема существования и единственности классического решения задачи (0.1)-(0.3).
Следует особо отметить работу [II] С.И.ЇЇохокаева, в которой изучена задача, аналогичная задаче (0.1)-(0.3); а именно, в работе [II] исследована задача о нахождении решения уравнения (0.1) в случае L= & , F=F(t,,U,U:clUt) , удовлетворяющего начальным условиям (0.2) и граничным условиям
,, j auct,
г '
где V - внешняя нормаль к Г , и доказаны теоремы существо-вания и единственности решения (из класса W L 0 (R^ ) задачи (0.1), (0.2), (0.3*).
Пользуясь случаем отметим, что для написания данной диссертационной работы стимулом и толчком послужила работа [її] СИ. Похожаева. Также отметим, что задача о нахождении класса нелинейных функций F(-..") , при которых соответствующая смешанная задача для уравнений типа (О.А) имеет решения, была поставлена Ж.-Л.Лионсом [12] .
В связи с работой [II] отметим работу [ІЗ] П.К.Зерагии, в которой рассмотрен одномерный (11= случай задачи (0.1), (0.2),
(0.3').
А теперь перейдем к краткому описанию содержания данной диссертации, которая состоит из введения и двух глав.
Во введении дается краткий обзор работ, непосредственно связанных с темой данной диссертации.
Вторая априорная оценка для решений почти всюду задачи (I.1)-(1.3)
В этом параграфе для любых размерностей 71 установлена следующая теорема о единственности решения почти всюду задачи (I.1)-(1.3). ТЕОРЕМ 1.7. Пусть 2. Функция F(t,3!,k ,..., (N = 2 + 11+ И ) непрерывна в замкнутой области Q х [- R RlN . 3. При П-1 X R 0 в области Цт [-R, R] N решения почти всюду. Эта теорема доказывается по идее (схеме) доказательства теоремы I.I, причем в этом случае нужно: вместо функции 11(ії) рассмотреть разность U(t,a!)-U(t,J!) медду любыми двумя решениями почти всюду U(t,a?) и ЇЇ(1:,3) задачи (1.1)-(1.3), иметь в виду, что в данном случае ± = Ф— О (следовательно 1п—0 ) и H=F , в соответствующих оценках считать Ф=Ф = Q , еще пользоваться оценками (1.49) (для Л= D ), (1.50), (I.51) (для Л= 0 ), (1.52) и (1.53) (для Д=0 ), неравенством (1.28) (в котором вместо U нужно взять Ц- U ). неравенства-ми (1.29) и (1.30) (в которых вместо U нужно взять II -Ц и считать = 0 ) и для V(t,a) (V(t,a!) равна либо U(t,0!) , либо ІіОчД]) ) неравенствами: причем, не нарушая общности, считаем, что 1 -л- —zr-?— После всего этого, в частности, получаем, что Vt.[D,T] UCt,ao- uCt,aD — 0. Следовательно, li(t,3?) = Ii(i,J!) почти r.Ca). всюду в П . Теорема доказана. Данная глава посвящена изучению вопросов существования и единственности классического решения следующей смешанной задачи: fe. - любые действительные числа; 9 , Ф , F - заданные функции, а U(t$- искомая функция; кроме того, пользуемся обозначениями а под классическим решением задачи (2.1)-(2.3) понимаем следующее ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Под классическим решением задачи (2.1)-(2.3) понимаем функцию U(t,vf)C, (.ЕО» удовлетворяющую всем услови-ям (2.1)-(2.3) в обычном классическом смысле. В этом параграфе совершенно аналогично теореме 1.7 главы I (даже еще проще) установлена следующая теорема о единственности классического решения задачи (2.1)-(2.3). ТЕОРЕМА 2.1. Пусть: 1. Выполнены условия I и 2 теоремы 1.7, 2. VR D в области Цт [ R,R]N 1=1 где CR D - некоторое постоянное. Тогда задача (2.1)-(2.3) не может иметь более одного классического решения. В этом параграфе рассматривается частный случай задачи (2.1)-(2.3), когда F = F(ti3!,U) и для размерностей IX 12 доказывается существование классического решения, причем отдельно исследуются случаи tl 5 , 6«IT 9 и 10 11 12 Сначала сформулируем следующую теорему, вытекающую из теоремы 1.6 главы I. ТЕОРЕМА 2.2. Пусть 1. Выполнено условие I теоремы 1.5 главы I. 2. F(t,3C,lf) =f(t,3C,U Kt, ОС, If) , причем выполнены условия 2а - 2г теоремы I.I главы I. 3. При її 4 в области Цт (""i Тогда задача (2.1)-(2.3) имеет по крайней мере одно решение почти всюду. Теперь, пользуясь теоремой 2.2, докажем следующую теорему о существовании классического решения задачи (2.1)-(2.3) в случае F=F(t,a,U).. TU5 ТЕОРЕМА 2.3. Пусть . , причем выполнены условия 2а, 26 и 2г теоремы І.І главы I. 4. Выполнено условие 3 теоремы 2.2. 5. Для каждого R 0 в области QT [-R,R] функция FCtj ОС, If) удовлетворяет по совокупности переменных t, 0С,Ц условию Гельдера порядка fRCD R 1) с коэффициентом Гельдера Со 6. Выполнены условия согласования порядка К = О . =D. Тогда задача (2.1.)(2.3) имеет классическое решение. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как из условий данной теоремы вытекают все условия теоремы 2.2, то по этой же теореме 2.2 задача (2.1)-(2.3) имеет решение почти всюду UftvQfc W+L п (Дт) Из (I-49) получаем, что для размерностей П. -5 U(t,if)k С (Q х, ОС т/ С0 Л "дг) Тогда, пользуясь условием 5 данной теоремы, получаем, что для каждого :T(U(t,3!)XC (Юдля некоторого . Далее, пользуясь последним фактом и условиями 2 и 6 данной теоремы, в силу известной теоремы В.А.Солонникова (см.[1], стр.107, теорему 4.9) получаем, что выше упомянутое решение почти всюду ll tjGC) задачи (2.1)-(2.3) принадлежит даже пространству Р (\\ \ для некоторого 6у0 6 -к-) и тем самым является классическим решением задачи (2.1)-(2.3). Теорема доказана. Теперь исследуем вопрос существования классического решения задачи (2.1)-(2.3) в случае F= F(t,vT,li). 0 11 9 .Предположим, что выполнены все условия теоремы 2.2. Тогда по теореме 1.5 главы I для всевозможных решений почти всюду L[(t ОС) задачи (2.1) (2.3) справедлива априорная оценка (1.88), из которой, в силу неравенств (1.49)-(1.56), вытекают следующие априорные оценки: , (2.26) где Ад 0 » Bp D » B D - постоянные, не зависящие от U ; кроме того, предполагаем, что область .Q. удовлетворяет условию конуса (см., напр.[15], стр.93) и пользуемся обозначениями (1.57)-(1.66). Справедлива следующая ТЕОРЕМА 2.4. Пусть і. 6 П«9-, SC. 2. Все функции atVflu (0 ИЯ + 2) непрерывны в замкнутой области IL/Q 00,0 ). Тогда оператор Г , определенный соотношением T(Ua,3O F(t,GC,UCt,0C))7 (2.27) вполне действует из пространства Yft (Ц Г) в Vlt СЧр) непрерывно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из неравенств (2.15) (для А = 0 ), (2.17), (2.18) и (2.20) следует, что при 6 П 9 оператор $ , определенный соотношением (2.27), действует из V( (й ") 1,2, 1,2 2 т В t оса т (даже в toc 2В. (10 ) ограниченно и непре
Единственность решения почти всюду задачи (1.1)-(1.3)
Из неравенств (2.15) (для А = 0 ), (2.17), (2.18) и (2.20) следует, что при 6 П 9 оператор $ , определенный соотношением (2.27), действует из V( (й ") 1,2, 1,2 2 т В t оса т (даже в toc 2В. (10 ) ограниченно и непре рывно. А для 6 tl 9 компактное действие оператора из VJ . (R в W . JJJ 2( т) следУет из справедливости для каждо-го ограниченного в Vl 2 С тО множества М следующих фактов: а) в силу (2.15), по теореме Арцеля, множество Ц [ием компактно в С(ЦТ ) ; б) так как вложение W Ol C д, а вполне непрерывно, то в силу (1.52) множество {UT ком пактно в 1, асп+2 (П и тем более в Li (Цт\ ибо для 6 ТК9 действительно А и ii— » в) так как вложение \\ -(Ц, С . W 2 CQT) вполне непрерывно, то множества ( U V и ЦІ ком , ,п I "Чием L 3 нем пактны в Ц Цт) . 3,6 Таким образом, оператор действует из W . 2 03т") в 1,2 СЧ ) вполне непрерывно. Теорема доказана. Теперь, пользуясь априорными оценками (2.8), (2.10), (2.12) и неравенствами (2.15)-(2.18), (2.20), при 6 Т1 12 Для всевозможных решений U(t,3P)W, 3, о СО-О заДачи (2.1)-(2.3) хотим получить оценку вида тсиа,зй) 6о и 1,2 Ц+1/р 3)6 , 0 &„ 1. (2.28) С этой целью докажем следующую теорему. ТЕОРЕМА 2.5. Пусть для 6 11 12 выполнены условия: I. Выполнены все условия теоремы 2.2. 2. Выполнено условие 2 теоремы 2.4. 3. В области Итх( сж=,іс : ) Тогда для всевозможных решений Ц(І,ОС)Є W, „ flDзадачи (2.1) (2.3) справедлива оценка (2.28). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть U(t,3T) - любое решение задачи (2.1)-(2.3), принадлежащее пространству Y/ (Ц . Тогда, как было выше отмечено после доказательства теоремы 2.3, справедливы априорные оценки (2.7)-(2.14). Данную теорему докажем пользуясь априорными оценками (2.8), (2.10), (2.12) и неравенствами (2.15)--(2.18), (2.20).
Доказательство разобьем на следующие четыре этапа и условимся обозначать через С произвольную постоянную. I. Пусть И = 6 Тогда очевидно, что т 24 о Л (2.29) Пусть И - 7,8?9 . Не нарушая общности, предположим, что г Т Т + — Г и возьмем 6 „ г . Тогда очевид ft-6 П-6 П-о п-Ь но, что 0 ё 1 и I,, 2W .86 7 с .«»-« \\uft,a!) dacdt ВД _ \\иа,а!) dacdt acv-s) . , да Ч26 «С-СіиїЛ. (2.30) (2.36) Теперь из оценок (2.29)-(2.36) легко получаем справедливость оценки (2.28). Теорема доказана. ТЕОРЕМА 2.6. Пусть 6 И «12 , причем:: і. а(оіхсс\й)і ацООбС й), L,j-pj 2. FCt,00,U)=Ct,O:,U) (i,!r,U), причем выполнены условия 2а-2г теоремы І.І главы I. - 61 3. Выполнено условие 3 теоремы 2.2. 4. Выполнено условие 2 теоремы 2.4. 5. Выполнено условие 3 теоремы 2.5. 6. Выполнено условие 6 теоремы 2.3. 3,6 Тогда для всевозможных решений U(t,T) W, ,_ Q СЧту чи (2.1).-(2.3) справедлива априорная оценка: зада К .№ тт\ гЛ Ъ (2.37) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как из условий данной теоремы вытекают все условия теоремы 2,5, то по теореме 2.5 для всевозможных решений 11(1,3))(: W/ (MS) задачи (2.1)-(2.3) справедлива оценка (2.28). С другой стороны, по известной теореме В.А.Солонникова (см.[і], стр.118, теорему 5.4), если 5 С , С1(00)С (QL) , (5) — — ц х ОцСзоес (Яра.]и,ю, KaOcWgCQ"), Кї)є wa (Q), F = F(t,!E)fc W± OCRTO И выполнены условия согласования поряд ка K = D , т.е. а, Q (a9 А =0, IK =0, im -F(0,3D.,Щ -О,LW 3,6 то задача (2.1)-(2.3) имеет единственное решение U(t$)\N, т ДО для которого справедлива оценка uwo3c (« + т йіш (2.38) где постоянная С 0 не зависит от ty , Ц) и F - 62 Тогда очевидно, что при условиях данной теоремы для любого 3 6 решения U(t,0C) Wi. ч(В задачи (2.1)-(2.3) справедлива оцен ка Щ , + ф(ф , +Щі,ї)) V4JCs5 .3,6 иад) од VI ОП (2.39) где TGKtjOD FCt,,11( 00)), а постоянная OQ не зависит от ty , ф , F и Ц . Из неравенства (2.39), пользуясь оценкой (2.28), получаем справедливость априорной оценки (2.37). Теорема доказана. ТЕОРЕМА 2.7. Пусть для 6 П 9 выполнены все условия теоремы 2.6. Тогда задача (2.1)-(2.3) имеет по крайней мере одно решение U(t,aD6VI ]2([lT). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим через у оператор, сопоставляющий каждой тройке ((t,3C)j Ф(00)} (( единственное решение линейной задачи ( -L)au(t,ai)-}fta) (расход и.») и(о,ао)=КФ(іеО), Ц(0,ф=ф(ссХа!Ш), лг.т іадг=о, ІЖІ,Ї) =D. (2.42) Тогда для решений U(t,3!) задачи (2.1)-(2.3) имеем: (2.43) причем в силу оценки (2.38) оператор действует из \i 2QQ% P) fk t a (От) непрерывно и ограниченно;av
Существование классического решения задачи (2.1)-(2.3) в случае F= F(t,a?,U), TU12
Тогда оператор $ , определенный соотношением (2.27), действует из пространства W 2 (Чт) в t cc,a CQT") вполне непрерывно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из неравенств (2.60) (для Л=В ) , (2.62) (для К= 0 ), (2.63), (2.65), (2.67) и (2.69) следует, что при 10 П 1Я оператор 9Г действует из W а CQT) в W Gl,.) (даже в V( 2(t+2) СQw ограниченно и непрерывно. А для " or . М 1Q tl 12 компактное действие оператора Т из W. п (JIS) в VI. „, 0 \Яч) следует из справедливости для каждого ограничен-ного в " -пСЦт) множества М следующих фактов: а); множество jULgfl . в силу (2.60) и по теореме Арцеля, компактно в С(Ц ") ї б) множество {ЦД Для H=1D711 , в силу (2.62) и по теореме Арцеля, компактно в C(QT) ; а для tl = 12 множество [U j иєМ , в силу компактности вложения (следовательно, компактности множества {liTf11pM по крайней мере в Ln(QT) ), утверждения 3), приведенного в процессе доказательства теоремы 1.4 главы I, и неравенства (2.63), компактно в ]_,рСЦ Г) Yp + C 0 ; множества 4U,.. м и і тямпсм » в силу компактности вложения (2.76) (следовательно, компактности множеств утверждения 3), приведенного в процессе доказательства теоремы 1.4 главы I, и оценки (2.65), компактны в множества Uta]UM и {U jueM , в силу ком пактности вложения (2.76) (следовательно, компактности множеств {Uta,]-DeM и {U j цМ по крайней мере в LQCRTO ), утверждения 3), приведенного в процессе доказательства теоремы 1.4 главы I, и оценки (2.67), компактный JLрCQтО Vр п - я J множества {UltjueM ,{Uta,a}u,M и{Ы }иМ, в силу компактности вложения (2.76) (следовательно, компактности множеств {UU}U6M , {Ula!2}ueM и {Ua!4r}ucM по крайней мере в LJJCGQ ), утверждения 3), приведенного в процессе доказательства теоремы 1.4 главы I, и оценки (2.69), компактны в Lp(QT) \fp 4рх 4,8
Таким образом, оператор & действует из V/, , Д т) в M \\L т п \BL) вполне непрерывно. Теорема доказана. Теперь, пользуясь априорными оценками (2.49), (2.51), (2.53) (2.55), (2.57) и неравенствами (2.60) (для A = D ). (2.62) (для Л=0 ), (2.63), (2.65). (2.67), (2.69), при Ю П 12 для всевозможных решений U(t,G0)G Wi р (QT) задачи (2.1) (2.3) в случае F= F(t,00,Uj хотим получить оценку вида: где оператор J определен соотношением (2.27). С этой целью докажем следующую теорему. ТЕОРЕМА 2.10. Пусть 1Q$tl 12 t причем: 1. Выполнены все условия теоремы 2.6. 2. Выполнено условие 2 теоремы 2.9. 3. В области Ц О-0 » ) a C D - некоторое постоянное. M 8 Тогда для любого решения U(t,0!K W, m Л (Ц.Л задачи (2.1) (2.3) справедлива оценка (2.77). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть U(t,3D) - любое решение задачи (2.1)-(2.3)/, принадлежащее пространству ty, 9 (Ц V Тогда по теореме 2.6 справедлива априорная оценка (2.37), из которой, как было отмечено выше, вытекают априорные оценки (2.48)-(2.59). Для доказательства данной теоремы будем пользоваться априорными оценками (2.49), (2.51), (2.53), (2.55), (2.57) и неравенствами (2.60) (для \=0 ), (2.62) (дляА=0 ), (2.63), (2.65), (2.67); (2.69). Очевидно, что выражения причем при 0= D под П ... понимаем I и не нарушая общности предполагаем, что Очевидно, что при 1 S « t среди произведений (2.79) "самыми плохими" (в смысле интегральных свойств) являются те произведе ния, для которых: Далее, в силу известных теорем вложения (см.напр.f15], стр, 95-96, лемму 3.3), VUCt XW CHT): Кроме того, как видно из (2.60) (для \- Q ), (2.15) (для )1=0 ) и (2.16):; , не зависящие от U , а показатели р везде считаем конечными, т.е. p +«s . Теперь оценим в LQCQ произведения (2.79) в случае 5=0 т с 9 7Ґ" Для этого достаточно оценить интеграл \\ Ц(і ї) СІЗС ut О SL. Пусть П = 10 . Тогда в силу априорной оценки (2.49) (2.89) о а Пусть 11=11 12 . Не нарушая общности, предположим, что 5— у v пу и выберем СЬ= Л— ТГ іп » очевидно, П-10 п-ю " ПИО 0 & 1 и S(ff-&) = v . Тогда, пользуясь неравенством (2.86) и априорной оценкой (2.49), имеем: Теперь оценим в Ц(ЦТ") произведения (2.79) в случае (2.81). Очевидно, что возможны лишь следующие два случая: I. Пусть З ЧЬ 1=1. Тогда VL-155 Щ+\% =1 и 6+2Ы+]Р =4- . В этом случае для оценки (2.91) достаточно оценить \\\Ш$ nu(t,ai) didt ($=& &m \f\ =4)(2.92) Ой кроме того, в обеих случаях П = 51І± , Я = _ 2СИ+Й С«-в)СЗ-6 п+2-(п-8Х5-6) и 2Ї RS .п ; тогда очевидно, что в обеих случаях (Т.е. При ft=10 И При 11=11 ) о & -i, a(s-6)i}- , мы здесь и всюду,в дальнейшем, обозначаем произвольную постоянную. Пусть 11=12 . Тогда, пользуясь неравенством (2.84) и априорными оценками (2.51), (2.49), имеем: H-1D " П. Пусть 2 s +fs к 2 Тогда очевидно, что 1 5 3 и S+SU + ji 4 . Пользуясь неравенством (2.85) и априорными оценками (2.49), (2.53), (2.55), (2.57), для (2.91) в случае 3. Выполнено условие 2 теоремы 2.9. 4. Выполнены условия 2,3 и 5 теоремы 2.6. 5. Выполнено условие 3 теоремы 2.10. 6. Выполнены условия согласования порядка 2, т.е.
Существование классического решения задачи (2.1)-(2.3) в случае F- F(t,!B,ll, 11^,11^ UM),
В.А.Солонникова (см.[1], стр.118, теорему 5.4), справедлива и оценка (2.39), из которой, в силу (2.28), следует справедливость априорной оценки (2.37). теорема доказана. теорема 2.30. если выполнены все условия теоремы 2.29, то задача (2.1)-(2.3) имеет по крайней мере одно решение доказательство. рассмотрим операторы ф и а , введенные при доказательстве теоремы 2.7. по теореме 2.27 оператор t , x с определенный соотношением (2.145), действует из ц. (зту в уу ,д1ц) вполне непрерывно, а как видно из оценки (2.39) t « 1,2 5 3 оператор г действует из \j 00 vlv ) х wn \q-) 3,6 t,3c,a т в yv, ,4v4t) непрерывно; следовательно, оператор а дейст 3 6 вует в w/«. осчч») вполне непрерывно. далее, совершенно так, как при доказательстве теоремы 2.7, доказывается, что для все 3,6 возможных в п. дц4) решений u уравнений (2.46) справедлива априорная оценка (2.47). тогда, в силу принципа лере-шаудера, оператор д имеет в vi. (о по крайней мере одну неподвижную точку u(t,3!) , которая, очевидно, что является решением почти всюду задачи (2.1)-(2.3), принадлежащим пространству w, (ц j) . теорема доказана. теорема 2.31. пусть 1. выполнены все условия теоремы 2.29. 2. выполнено условие 2 теоремы 2.8. тогда задача (2.1)-(2.3) имеет единственное классическое решение. доказательство. по теореме 2.30 задача (2.1)-(2.3) имеет по крайней мере одно решение u(t,3f)w ( ц,л . из (2.15), (2.17) и (2.19) следует, что для vfl = 2,5 справедливо (2.143). тогда при условиях данной теоремы vfl = 2,5 справедливо и (2.144). теперь по известной теореме в.а.солонникова (см.[і], стр.107, теорему 4.9) получаем, что ц(і;,ї)с d (со (о " ёп "п" ) и тем самым является классическим решением задачи (2.1)-(2.3). а единственность классического решения задачи (2.1)-(2.3) следует из теоремы 2.1. теорема доказана. и в заключение; пользуясь случаем, хочу выразить искреннюю благодарность моему научному руководителю профессору к.и. худавердиеву за постановку задачи и ценные советы. 1. солонников в.а, о краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида. - труды миан, 1965, т.83, с.3-163. 2. петровский и.г. о проблеме коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций. - бюлл. мгу, секц.а., т.1, вып.7 (1938), с.1-72. з. shizota т. on pouchy ргошт foz йптъ partial? diffezential equations wilk иагіа№ coeffitiens, -овака main. joe/?., ы. 9, №1 (195?), / . 45-9. 4. расулов м.л. вычетный метод решения смешанных и граничных задач для линейных дифференциальных уравнений с частными производными. дис ...докт. физ-мат.наук - москва, 1959. 5. ковач ю.и. о краевой задаче для оператора 1л«ь - го порядка параболического или гиперболического вида. - украинский математический журнал, 1969, т.21, № 5, с.579-593. 6. ковач ю.и. об оценке решения нелинейной системы с запаздыванием, содержащей оператор щ -ь - го порядка параболического или гиперболического вида. - сб. "численный анализ", труды семинара, вып.2, киев, 1969, с.20-38. 7.
Аджалова н.а. о существовании в целом решения почти всюду многомерной смешанной задачи для одного класса полулинейных дифференциальных уравнений четвертого порядка. - доклады ан азерб.сср, 1981, т.37, i, с.8-12. 8. аджалова н.а. о глобальной разрешимости многомерной смешанной задачи для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений четвертого порядка. - краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными (тематический сборник научных трудов). издание азгосуниверситета им.см. кирова, 1981, с.13-30. 9. худавердиев к.и., аджалова н.а. классическая разрешимость в целом многомерной смешанной задачи для одного класса нелинейных параболических уравнений четвертого порядка. - тематический сборник "исследования по дифференциальным уравнениям". издание азгосуниверситета им.с.м.кирова, 1984, с. 10-29. 10. аджалова н.а. о классической разрешимости в целом многомер ной смешанной задачи для одного класса нелинейных параболи ческих уравнений четвертого порядка. - тематический сборник "исследования по дифференциальным уравнениям". издание азгосуниверситета им.с.м.кирова, 1984, с.30-35. 11. п0х0жаев си. об одном квазилинейном параболическом уравнении. - ду, 1971, т.7, № i, с.73-80. 12. жонс ж.-л. некоторые методы решения нелинейных краевых задач. - м: мир, 1972. 13. зерагия п.к. о решении основной граничной задачи для одного нелинейного бикалорического уравнения. - труды тбилисского государственного университета, 1976, 166, с.5-11. 14. ееккенеах э., беллман р. неравенства. - м.: мир, 1965. 15. ладыженская о.а., с0л0нник0в в.а., уральцева н.н. линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - м.: наука, 1967. соболев с.л. некоторые применения функционального анализа в математической физике. - изд-во лгу, 1950. смирнов в.и. курс высшей математики, т.у - м: наука, 1959. похожаев си. о теореме вложения с.л.соболева в случае р- г к - м., доклады научно-технической конференции мэи, секция матем., 1965, с.158-170. функциональный анализ. смб (под общ.редакцией с.г.крейна и др.) - м: наука, 1972 - 544с. ильин в.а. о разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений. - умн, i960, 15, j 2, с.97-154. калантаров в.к. о смешанной задаче для полулинейных составных параболико-гиперболических систем уравнений. дне .. канд. физ-мат.наук - баку, 1974. ладшенская о.а. смешанная задача для гиперболического уравнения. - м: гостехиздат, 1953, - 279с. пикулин в.п. а) смешанная задача для нелинейной гиперболической системы с одинаковой главной частью. - тр.моск. энергет. ин-та, 1975 : вып.260, 135-147. б) 0 глобальном решении некоторых нелинейных гипербо лических уравнений. - матем.заметки, 1980, 28, 4, 555-563.
