Содержание к диссертации
Введение
1 Полиномиально относительно ограниченные пучки операторов 27
1.1 Относительные резольвенты пучков операторов 27
1.2 Относительно спектральные проекторы 32
1.3 Относительно присоединенные векторы 39
1.4 Полиномиальная ограниченность относительно фредгольмова оператора 41
2 Фазовые пространства 46
2.1 Пропагаторы 46
2.2 Семейство вырожденных М, iV-функций 47
2.3 Производящие операторы аналитического семейства вырожденных М, TV-функций 55
2.4 Морфология фазового пространства 56
2.5 Задача Коши для неоднородного уравнения 63
3 Приложения 68
3.1 Функциональные пространства и дифференциальные операторы 68
3.2 Уравнение Буссинеска - Лява 73
3.3 Уравнение de Gennes звуковых волн в смектиках 79
Список литературы 85
- Относительно спектральные проекторы
- Производящие операторы аналитического семейства вырожденных М, TV-функций
- Функциональные пространства и дифференциальные операторы
- Уравнение de Gennes звуковых волн в смектиках
Введение к работе
Впервые уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, по видимому, изучались в работе А. Пуанкаре [94] в 1885 году. Затем они рассматривались в некоторых работах математиков и механиков. В первую очередь это было связано с исследованиями конкретных уравнений гидродинамики.
Особенно большой интерес к уравнениям вида (0.2) появился в связи с результатами C.W. Oseen [93], F.K.G Odqvist, J. Leray [36], J. Leray и J. Schauder, E. Hopf по системе Навье-Стокса (vt — vAv + Wp = 0, div v = 0) и исследованиями С.Л. Соболева [63] задачи о малых колебаниях вращающейся жидкости, проведенными им в 40-е годы. Этот цикл работ был первым глубоким исследованием уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, и лег в основу нового направления, которое первоначально развили ученики С.Л. Соболева Р.А. Александрян [1], Г.В. Вирабян, Р.Т. Ден-чев, Т.И. Зеленяк, В.Н. Масленникова, С.А. Гальперн [12] и другие. Хорошо известно также, что после появления работ С.Л. Соболева, И.Г. Петровский отмечал необходимость изучения общих дифференциальных уравнений и систем, не разрешенных относительно старшей производной по времени (системы, не принадлежащие типу систем Ковалевской) (цит. по [14]).
В литературе уравнения вида (0.2) и конкретные его интерпретации часто называют уравнениями Соболевского типа, отдавая честь первооткрывателю. В дальнейшем всюду мы считаем этот термин синонимом терминов "псевдопараболические уравнения"([28]), "уравнения типа Соболева"([49], [52], [55], "уравнения типа Соболева-Гальперна"([44], [30]) и "уравнения не типа Коши-Ковалевской"([37]). Кроме того, мы считаем уравнения Соболевского типа самостоятельной частью обширной области неклассических уравнений математической физики.
Возрастание интереса к уравнениям, не разрешенным относительно старшей производной, обусловлено было необходимостью решения важных прикладных задач, в частности, в области физики атмосферы, физики плазмы, а также естественным стремлением математиков к изучению новых математических объектов. В связи с этим можно выделить два направления исследований - решение некоторых задач для конкретных уравнений и систем математической физики [11], [29], [34], [5], [5], [86], [101], [102] и изучение абстрактных уравнений типа (0.2) и систем математической физики [9], [31], [32].
К первому направлению следует отнести работы, в которых результат о разрешимости начально-краевых задач для таких уравнений и систем получается посредством коэрцитивных оценок как следствие из какой-либо глубокой топологической теоремы типа теоремы о неподвижной точке. К этому разделу можно отнести результаты С.А.Гальперна [12], А.Г.Костюченко и Г.И.Эскина [30], В.Н.Врагова [10], А.И.Кожанова [26] - [28] и многих других.
Ко второй части относятся работы, в которых объектом исследования выступают абстрактные операторные уравнения вида (0.2), а конкретные, начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений служат иллюстративными примерами общих абстрактных результатов. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают И.В.Мельникова и ее ученики ([38] - [43], [2]), Н.А.Сидоров [60],[97] и его ученики [61], R.E.Showalter [95], [96],W. Arendt [74], P.Colli [78], A.Favini, A.Jagi [81], [82]. К этому же разделу следует отнести работы Г.А.Свиридюка и его учеников ([48] [59], [3], [4], [15], [19], [20], [25], [33], [68], [72]).
В большей части работ, посвященных теории краевых задач для уравнений (0.2), рассматривался случай, когда оператор при старшей производной невырожден ([71], [75], [77], [85], [92], [104] - [106]). Естественно, что постановки задач имеют свои особенности по сравнению с классическими уравнениями, однако для некоторых классов уравнений установлены результаты о разрешимости задач, которые являются аналогами соответствующих классических теорем [69], [14]. Если условие невырожденности нарушается, то необходимы дополнительные требования на данные задачи типа условий ортогональности. Впервые этот факт был замечен в работах С.А.Гальперна [12]. Аналогичная особенность для смешанных краевых задач в четверти пространства была обнаружена в работах Г.В.Демиденко [14].
В [32], [23] основательно изучена задача (0.1), (0.2) в случае фредгольмова оператора Л (т.е. indA = 0). В частности, здесь содержится исследование феномена "несуществования решения", т.е. показано, что задача (0.1), (0.2) может быть однозначно разрешима точно тогда, когда начальные значения лежат в некотором подпространстве U1 С U конечной размерности.
Г.А.Свиридюк ввел понятие фазового пространства, уравнения (0.2), как множества, содержащего все его решения и являющегося замыканием множества допустимых начальных значений задачи Коши для этого уравнения. Впервые термин "фазовое пространство "в данном контексте появился в работах [51], где заменил собой ранее употреблявшийся термин "многообразие решений"([49].
Фазовое пространство уравнения (0.2) при п — 1, A = L, BQ = М изучено достаточно полно. Прежде всего здесь следует отметить работы Г.А.Свиридюка [50], [53], в которых полностью изучены фазовые пространства уравнения (0.2) в случаях, когда оператор М (L,a)- ограничен и (Ь,р)-секториален.
Работа [53] стала основой для многих глубоких исследований. Среди всех отметим результаты В.Е.Федорова ([55], [56],[68]), в которых всесторонне изучены фазовые пространства уравнений (0.2) при n = 1, A = L, Во = М при условии (,р)-радиальности оператора М. В настоящее время эти результаты обобщают результаты A.Favini и A.Jagi [83] и служат основой для многочисленных приложений.
Первые результаты о разрешимости и корректности задачи Копій (0.1),(0.2) при п — 2 были получены методом сведения к задаче Коши для уравнения первого порядка в произведении пространств и исследования резольвенты получающегося оператора-матрицы [31],[98]. На пути сведения к уравнению первого порядка [31],[89] получены достаточные условия на операторы А и В в случае, когда один из них можно считать "главным". Здесь не были получены условия необходимые и достаточные для корректности Задачи Коши (0.1),(0.2)в общем случае, так как при сведении к системе появляются дополнительные условия на решение или на операторы, обусловленные методом. Требование корректности задачи Коши для получаемых систем, как показано X. Фатторини [80], в общем случае сильнее требования корректности задачи Коши (0.1),(0.2). Что же касается уравнений высокого порядка, то попытка изучения фазового пространства уравнения (0.2) при п 1 была впервые сделана в [58], [59]. Здесь согласно идеологии М.В.Келдыша уравнение (0.2) редуцировалось к эквивалентному ему уравнению Соболевского типа первого порядка, которое затем изучалось методами [53]. Однако обратная редукция привела к неоправданно сложному алгоритму построения фазового пространства. Более того, не удалось показать, что все начальные значения лежат в одном фазовом пространстве. В настоящей работе предложен более простой алгоритм построения фазового пространства, причем решены все вопросы, оставшиеся открытыми в [58], [59].
Относительно спектральные проекторы
Определение 1.2.1 Пучок операторов В называется полиномиально ограниченным относительно оператора А (или просто полиномиально А-ограниченным), если Замечание 1.2.1 (і) Пусть существует оператор A l Є С{ ]Ы)-Тогда пучок В полиномиально А-ограничен. (ii) Если операторы А,Вп-\, ...,5 = О, 0 к п — \ и существует оператор В г Є (jF;ZY); то пучок В полиномиально А-ограничен. (Ш) Пучок В, где Bk = О, к = 0, ...,п — 1, не является О-ограниченным. Доказательство, (і) Так как операторы Bk Є C{U\ JF), к = 0,..., п— 1, а оператор А непрерывно обратим, то операторы Ck = A lBt, к = О,..., п — 1 также ограничены. Покажем, что спектр пучка операторов (Cn_i,..., Со) ограничен. Действительно, если \/i\ max{l, Cn_i-f ... + Ci + Со}, то /І_1СП_І 4- ... + /i nCo 1 и оператор lin(I — {fi lCn-\ + 4- /i-nCo)) нерерывно обратим. (ii) Полиномиальная О-ограниченность пучка (О,..., О, -Bfc-i,..., -Во) эквивалентна полиномиальной ограниченности пучка (-В/с-2, , -Во) относительно оператора Вк-\. В силу (і) получим требуемое. (ііі) Так как ker A = kerB; = Ы г = О, ...,п — 1, то в силу замечания 1.1.2 рА(в) = 0. Введем и обсудим одно важное в дальнейшем условие. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен. Тогда і где контур у = {/л Є С : \fi\ = г а}. Замечание 1.2.2 Пусть существует оператор А"1 Є С(р ,и), тогда условие (А) выполняется. Доказательство. Возьмем вектор v U\{0}, тогда при всех /І Є С, \fi\ а имеем В силу теоремы 1.1.1 интеграл (А) не меняется при увеличении радиуса контура у, поэтому после замены /І = гег получим при г — оо. Замечание 1.2.3 В случае п = 1 условие (А) не имеет смысла. — Пусть пучок В полиномиально А-ограничен и выполнено {А). Фиксируем контур 7 = {/л Є С : /i = г а}. Тогда имеют смысл следующие операторы как интегралы от аналитических функций: Лемма 1.2.1 Пусть пучок В полиномиально А-ограничен и выполнено условие (А). Тогда операторы Р Є C(U) и Q Є С( ) - проекторы. Доказательство. В силу "римановости"интеграла оператор Р Є (U)- В силу (1.1.3), теоремы 1.1.1, условия (А) и теоремы Коши имеем где контур 7i = {А Є С : A = ri г}. Для оператора Q лемма доказывается аналогично.о Положим и0 = kerP, JF = kerQ, ZY1 = imP, Fl = imQ. Из предыдущей леммы следует, что U — Ы Ф U1, / = 071. Через Ак {Вк) обозначим сужение оператора А (Ві) на Ык, к = Теорема 1.2.1 Пусть пучок В полиномиально А-ограничен и выполнено условие {А).
Тогда действия операторов расщепляются: fraj существует оператор (А1)-1 Є (.771 jZ 1) Доказательство, (і) Заметим сначала, что при любых и0 Е W0, и1 eW4 = (/- Р)и, и1 = /V. Поэтому Ли0 = А{1 - i= = (I — Q)Au є J70. Здесь мы использовали тот факт, что в силу непрерывности оператора А Далее, Аи1 = АРи1 = QAu1 Є Тх. Операторы А0 и А1 непрерывны как сужения непрерывного оператора. (ii) Фиксируем I = 0, 1, ...,п — 1. Тогда в силу условия (А) Операторы Вг0 и ? непрерывны как сужения непрерывных операторов. (iii) Обратным к А1 является сужение оператора на подпространство Тх. Оператор (А1)-1 является непрерывным в силу замкнутости контура и аналитичности в его окрестности А-резольвенты пучка операторов В- (-41)-1 : F1 — Li1, согласно утверждениям (і), (ii) данной теоремы. Нетрудно увидеть, что действительно (А ) А = Р A\Al) l = Q Обозначим через р(В), &k(B) А -резольвентное множество и Л -спектр пучка В = (#_1 -ч Следствие 1.2.1 В условиях теоремы а (В) = 0-Доказательство. Рассмотрим оператор так как в силу аналитичности подынтегральной функции вне 7 в выражении (1.2.1) для Р можно заменить контур 7 на более широкий контур 7 экоторый содержит внутри себя точку Л Теперь пусть д Є Т Таким образом VA Є С существует непрерывный оператор (ХпА — A- flX_1-...-Bg)-1 = A- Следствие 1.2.2 Пусть пучок В полиномиально А-ограничен и выполнено (А). Тогда существует оператор (BQ)"1 Є JC(JF; /). Доказательство. В силу следствия 1.2.1 точка О Є PQ{B)- О Обозначим Н0 = (Bg)"1 A0, Hk = (В ) 1 В_к, к = 1, 2, ...,п- 1; 5А; — ( 41)-1 -?, /с = 0,1, ...,п — 1, и построим оператор-функции Очевидно, В силу следствия 1.2.1 R Q(B) является целой функцией. Поэтому представим ее рядом Тейлора абсолютно и равномерно сходящимся на любом компакте в С- Операторы Sk Є C(Ul), к = 0,1,...,п — 1 по построению. Поэтому Rt,\{B) можно представить рядом Неймана абсолютно и равномерно сходящимся на любом компакте, лежащем вне некоторого круга с центром вначале координат. В силу (1.2.2) - (1.2.4) доказано Следствие 1.2.3 Пусть пучок В полиномиально А-ограничен и выполнено (А). Тогда существует константа Ъ Є Ш+ {Ь а) Здесь мы ограничимся случаем п — 2, т.е. рассмотрим операторы A, JE?i, BQ Є C{U] JF), где U J- банаховы пространства. Определение 1.3.1 Пусть кет А Ф {0}, вектор /?0 ker Л \ {0} будем называть собственным вектором оператора А. Упорядоченное множество векторов { i, 2-, } называется цепочкой В-присоединенных векторов собственного вектора V cb если Для присоединенного вектора q определим высоту, равной порядковому номеру вектора в цепочке. Линейную оболочку всех собственных и В присоединенных векторов оператора А назовем его В-корневым линеалом. В-корневым пространством будем назы- — вать замкнутый В-корневой линеал оператора А. Цепочка -присоединенных векторов может быть бесконечной. В частности, она может быть заполнена нулями, если PQ Є ker А П ker В\ П ker BQ. НО она будет конечной в случае существования такого -присоединенного вектора pq, что либо Bi Pq ішЛ, либо BQ Vq im А. Высоту q последнего -присоединенного вектора в конечной цепочке { 1, 2,---} будем называть длиной этой цепочки. Замечание 1.3.1 В-корневой линеал оператора А состоит только из собственных, В-присоединенных векторов оператора А и нуля. Доказательство. Пусть ipq+i и рр+і - -присоединенные векторы высоты q + 1 и р+1 соответственно. Покажем, что aipq+\ + bipp+i, a,b Є С, является -присоединенным вектором высоты max{g + 1,р + 1}. Пусть q р, a { 0, 1, 2,---, -1, } и { о, 1, 2, -, Рр—і, /?р} - цепочки, соответствующие векторам 1pq+l и v?p+i- Тогда в силу линейности операторов Л, Si, Таким образом, вектор афд+і + Ь(рр+\ в цепочке, соответствующей собственному вектору bcpo имеет высоту р + 1. Если ? = р, утверждение очевидно Лемма 1.3.1 Пусть tpq - В-присоединенный вектор оператора А высоты q, тогда при любом fi Є Доказательство. Докажем равенство (1.3.2) методом математической индукции.
Так как fii - В-присоединенный вектор оператора А высоты 1, то из определения 1.3.1 имеем откуда следует утверждение леммы при ? = 1. Предположим, что при произвольном q (1.3.2) выполняется, сделаем шаг индукции. Докажем второе равенство. Так как fj, = 0 рА(В), то равенство (1.3.2) можно поделить на //. Получим 1.4 Полиномиальная ограниченность относительно фредгольмова оператора Пусть ВА Є {и;Ґ),к = 0,1,..., n- 1, оператор А Є ТЦЛ;Ґ) -фредгольмов (т.е. образ ітЛ замкнут и оо). Редуцируем уравнение 0.2 к операторно-дифференциальному уравнению Lu = Mu, (1.4.1) а оператор фредгольмов. Пространства Л4 := Ып]М := Un l х Т - банаховы с естественной топологией прямого произведения банаховых пространств. Определение 1.4.1 Оператор М Є C(A4;Af) называется спектрально ограниченным относительно оператора L Є C(M.\N) (короче, (L, а)-ограниченным), если 3/хо 0 Wfi Є С (// мо) =» {[iL - М)-1 Є (ЛА; X). Лемма 1.4.1 Оператор М Є С(Л4]ЛГ) ограничен относительно оператора L Є {М.\М) точно тогда, когда пучок операторов В полиномиально ограничен относительно оператора А. Доказательство- Пусть оператор М (L, а)-ограничен. В силу открытости множества TiU J7) во множестве С{Ы,Т) для любого достаточно большого по модулю числа /І Є С имеем \±А — Вп-\ Є F(U,!F). Увеличивая, если необходимо, /z и повторяя предыдущее рассуждение, получим її2 А — /J.Bn-i — Вп-2 Є Т{Ы Т). Поступая таким же образом, через п — 2 шага получим: цпА - Mn_1Bn-i - -. -50G Л Л- (1-4.2) для всех достаточно больших \/л\. В силу (1.4.2) и теоремы Банаха о замкнутом графике для непрерывной обратимости оператора (1.4.2) необходимо и достаточно, чтобы ядро этого оператора было тривиальным. Предположим противное, т.е. 3v ф 0 (finAv — fin lBn-\v — ... — BQV = 0), И выберем ц Є С настолько большим по модулю, чтобы выполнялось (1.4.2) и оператор был непрерывно обратим. Рассмотрим вектор (и0, и1,..., ип 1) := (г ,/лг ,..., дп_1г;) ф (0,0...,0). Поскольку (u, it1, ...,1//1-1) Е ker(/iL — М) \ {0}, то получим противоречие. Теперь пусть оператор (1-4.2) непрерывно обратим для всех достаточно больших /І. Выберем \і Є С настолько большим по модулю, чтобы fiL-M Є F(M}N), и пусть (u, и1, ...,ип 1) Є ker( -M)\ {0}.
Производящие операторы аналитического семейства вырожденных М, TV-функций
В этом параграфе мы выделим пять условий в терминах семейства М, iV-функций, необходимых и достаточных для полиномиальной Л-ограниченности пучка операторов В- (С1) Существуют аналитические семейства {Мц{т), Л (т) : г Є С} и {Mjr(r), Njr(r) : г Є С} М, N-функций на пространствах U и !F соответственно. Поскольку Р = Мц(0) и Q = Mjr(O) - проекторы по определению М, Л/"-функций, то пространства U и JT расщепляются в прямые суммы: U = U @Ul и JF = jT ejF1, где Очевидно, что сужения {Mh(t), N (t) : t Є Ш} и {M (t), iVj(i) : і Є R} семейств М, iV-функций на их образы являются невырожденными аналитическими семействами М, iV-функций. Они имеют производящие операторы SQ = M ii) , S\ = j&N t) ственно. (C2) Существует линейный гомеоморфизм A1 : Ul — Tx такой, что A1 S0 = TQA1 и AlSx = (C3) Существуют операторы В, В Є (U ,F0). (C4) Существует оператор А0 Є С{и\Т ) такой, что Л-спектр пучка операторов В о (В ) не содержит конечных точек. Теорема 2.3.1 Пучок операторов В полиномиально А-ограничен и выполнено условие (А) точно тогда, когда выполнены все условия (С1)-(С5). Доказательство. Рассмотрим Поскольку первое слагаемое является целой функцией в силу условия (С4), а второе слагаемое существует при /І тах{1, 5іІ( і)+ II о ІІ(г/)} ТО пучок операторов В полиномиально Л-ограничен. Рассмотрим задачу Коши для однородного линейного уравнения Соболевского типа второго порядка Определение 2.4.1 Вектор-функцию г; Є C2(R]U), удовлетворяющую уравнению (2.4.2), назовем решением этого уравнения. Если решение v = v(t) удовлетворяет условиям (2.4.1), то оно называется решением задачи (2.4.1), (2.4.2). Определение 2.4.2 Множество V С Ы называется фазовым пространством уравнения (2.4.2), если (і) любое решение v = v(t) уравнения (2.4.2) лежит в J , т.е. v(t) eV Ш R; (ii) при любых Vk Є V, к = 0,1 существует единственное решение задачи (2.4.1),(2.4.2). Замечание 2.4.1 Если существует оператор А 1 Є C(U), то в силу результатов М.В.Келдыша, фазовым пространством уравнения (2.4.2) является все пространство Ы- Лемма 2.4.1 Пусть пучок В полиномиально А-ограничен и выпол- —няется условие (А). Тогда В-корневой линеал оператора А лежит Доказательство. В силу замечания 1.3.1 достаточно показать, что любой -присоединенный вектор Pq высоты q оператора А лежит в UQ- Если q = О, то есть 4 q - собственный вектор оператора А, то, Если q 0, то Здесь мы воспользовались тождеством (1.3.2), условием (А) и теоремой Коши. о Пусть пучок В полиномиально Л-ограничен и выполняется условие (А), оперторы А и В\ псевдокоммутируют.
В силу теоремы 1.2.1 и следствия 1.2.2 имеет место расщепление пространств U и F, расщепление действия операторов, существуют операторы (SQ)_1 Є Определение 2.4.3 Определим семейство операторов {Kq, Kq} следующим образом: Лемма 2.4.2 /?g является В-присоединенным вектором оператора А высоты q 1 точно тогда, когда о — Kq-i Pq +Kq-\ Vq-i, где o собственный вектор оператора А. — Доказательство. Пусть ч - В-присоединенный вектор оператора А высоты q. Согласно предыдущей лемме все векторы из цепочки { Ро Pq} лежат в и0- По определению 1.3.1 при q = 2 имеем Л 2 = Я? Pi +Я о = fo = Н0 Ч 2 -Hi 4 i = Kl f2 +КІ Ч \. Предположим, что для произвольного q верно Но по определению 1.3.1 A0 q+i = В\ 4 q +В q_i. Следовательно, Докажем утверждение в обратную сторону. Пусть выполнено — (2.4.4). Покажем, что fq является -присоединенным вектором оператора А высоты q. В силу (2.4.3) Положим V g-2 = HQ Ч q —H\ 4 q-\. Повторяя эту процедуру еще q — З раза, получим цепочку -присоединенных векторов { l, ..., Pq-2, fq-l, Pq} Очевидно, они будут удовлетворять определению 1.3.1. Определение 2.4.4 Точка оо называется (і) устранимой особой точкой А-резольвенты пучка В, если К\ = О, К\ = О; (іі) полюсом порядка р Є N А-резольвенты пучка В, если К ф О, КІ ф О, но Щ+1 = О, К2р+1 = (ііі) существенно особой точкой А-резольвенты пучка В, если К\ ф О при любом к Є N. Замечание 2.4.2 В силу следствия 1.2.3 и определения 2.4.3 существует Ь Є R+ {Ь а) V// Є С Теорема 2.4.1 Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, и точка оо является (і) устранимой особой точкой функции Яц(В)- Тогда оператор А не имеет В-присоединенных векторов высоты q \, ker Л = U0, ітА = Тг. (и) полюсом порядка р Є N функции Rt(B)- Тогда длина любой цепочки В-присоединенных векторов оператора А ограничена числом р (цепочка длины р при этом существует), и В-корневой линеал оператора А совпадает с подпространством U0 Доказательство. (і) По условию теоремы операторы Н0 = (g)-M = О, Яі = CBg)-1 = О. Пусть фг и ф2 - В-присоединенные векторы оператора А высоты 1, соответствующие собственному вектору яро. Согласно лемме 2.4.1, все эти векторы лежат BW\ {0}. Тогда по определению В-присоединенных векторов Аф! = Вх% и Аяф2 = BV i + Б$фо, т.е. яр0 = Н0яр2 - Нхярх = 0. Противоречие. Включение ker А С ker Р очевидно. Покажем обратное включение. Из того, что HQ = О следует А0 = О в силу обратимости (BQ)_1. Другими словами, для и EU Аи = 0, что и требовалось. Далее, Аи = А{1 - Р + Р)и = А{1 - Р)и + AlPU = 0 + (/-Q)A1Pu + QAlPu = AlPu- AlP2u + QAlPu = Q + QA1Pu. Обратное включение im Q С im А показывается так: Qu = A f fiRj_L{B)dii, г поскольку оператор А непрерывен, а последний интеграл существует. (ii) Пусть V /c+i - В-присоединенный вектор высоты k + 1 оператора А, тогда по лемме 2.4.2 Из того, что Кр+1 = Кр+1 = О, следует, что к не может быть больше р. В силу леммы 2.4.1 осталось лишь доказать, что UQ лежит в В-корневом линеале оператора А. Возьмем и Є Ы. Если и = О, то, очевидно, и лежит в В-корневом линеале оператора А. Если и ф 0, то К1к+1и = 0, Kl+1u = 0, и К\и ф 0, tfu ф 0 при некотором к р. Отсюда ЛА"и = (В ) г К +1и = 0, т.е. K\Q + К\и = о 7 0 - собственный вектор. В силу леммы 2.1.2 и является Б-присоединенным вектором высоты к, соответствующим о- Так как Кр ф О, Кр ф О, то существует -присоединенные векторы высоты р. Следствие 2.4.1 Б условиях теоремы 2.4-1 (і) Доказательство.
Первое равенство следует из определения подпространства U0, теоремы 2.4.1 (і) и леммы 1.1.3 (і). В силу того, что Л = О Здесь мы воспользовались результатами теоремы 1.2.1. Возьмем вектор f ZkerARA(B). Тогда согласно лемме 1.1.3 (ii) / = цВ\и + BQU, где и Є ker А. По теореме 1.2.1 (іі) / Є JF. Теперь возьмем вектор / J=. По теореме 1.2.1 (i),(ii) R {B)f Є W = ker Л. Поэтому f Є ker ARjJ(B). По теореме 1.2.1 (і) 1 = imQ = imA = imA1 = \mA1R l(B) = imAR (B), так как A0 = О, a R i(B) - гомеоморфизм пространств 1 и Ul . Следствие 2.4.2 В условиях теоремы 2.4-1 Доказательство. Утверждение следует из определения пространств UMl и JF0, 1 и следствия Теорема 2.4.2 Пусть пучок В полиномиально А-ограничен и выполняется (А), причем со - полюс порядка р {0} U N его А-резоль-венты. Тогда фазовое пространство уравнения (2.4-2) совпадает с образом проектора Р. Доказательство. По теореме 1.2.1 и следствию 1.2.2 уравнение (2.4.2) эквивалентно системе уравнений виде v = и + w и докажем, что и = u(t) = 0 при всех t Є R. Из (2.4.6) следует, что при любом к Є N- Предположим, что при к = q это верно и докажем при к = q + 1. В силу (2.4.6) Так как оо - полюс порядка р А-резольвенты пучка В, то в силу определения 2.4.4 из (2.4.8) при к = р + 1 получаем, что u(t) = О при всех і Є Ж. Итак, любое решение v Є C(]R;Zi) уравнения (2.4.2) лежит в И1 (= imP), т.е. v(t) ей1 V Є R. Теперь пусть vk eW1, fe = 0,1. Тогда в силу классических результатов существует единственное решение задачи (2.4.1),(2.4.7), которое к тому же имеет вид где M(t), N(t) - семейство невырожденных М, iV-функций на подпространстве U1- Очевидно, что вектор-функция v = О + w будет единственным решением задачи (2.4.1),(2.4.2). 2.5 Задача Копій для неоднородного уравнения Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения Соболевского типа где вектор-функцию / : (—т, т) — Т определим позже. Вектор-функцию и Є С2((—т, г);К) назовем решением задачи (2.5.1),(2.5.2), если она удовлетворяет равенствам (2.5.1),(2.5.2). Пусть пучок операторов В полиномиально А-ограничен и выполняется условие (А), тогда в силу теоремы 1.2.1 задача (2.5.1),(2.5.2) распадается на две независимые задачи где операторы Я0 = (Bg)-1 0, #i = (В0,)"1 Б? Є (М), S0 = (A1)-1 5i = {Al)-lB\ Є C{Ul); вектор-функции и = (I -P)vJ = (I-Q)f, w = Pu, f1 = Qf; векторы vf Uk, k,l = 0,1. Кроме того существует аналитическое семейство вырожденных М, iV-функций однородного уравнения 2.5.2.
Функциональные пространства и дифференциальные операторы
Ограниченную область О С Шп будем называть областью класса Ск, если существуют числа а,/3 0 и конечное число локальных карт {СІІ : і = 1,.. . ,m} С Ск, соответствующих локальным системам координат {Of, х\, хг2,..., хгпг — 1,..., т} таких, что граница области dQ = \J{(x\,xl) : х\ = щ(хг), \хг\ а}, причем где х1 — (хг2,..., хгп), а условие \хг\ а означает \хгА а і — 1,2, .. .,771, J = 2,..., п. Замечание 3.1.1 Условие (3.1.1) формализует расплывчатые гипотезы типа "область Q локально расположена по одну сторону своей границы". В дальнейшем предполагаем, что область Сі по меньшей мере класса С. Введем обозначение = дх?дх?...дх%» Здесь а = (аі,..., ап) — мультииндекс, оц — неотрицательные целые числа, а = Пространство Wlv рефлексивно при 1 р оо, что эквивалентно утверждению о слабой компактности единичного шара. При I V ограниченное множество {и Є Wl : \\u\\i,p const} компактно в Wp . Если при р — 2 пространство Wlv снабдить скалярным произведением: daudavdx, то оно будет гильбертовым. Пространства Гельдера: где / — неотрицательное целое число, 0 д 1; а ЦІ — означает равномерную норму в Пространства Сг+М банаховы с нормой \\i+fi. При I + ц V + у! ограниченное множество {и Теоремы вложения Соболева: — если целое число к, О к I таково, что то вложение Wp с— Wq непрерывно. Если вдобавок q q, то вложение Wp с— WJ5 компактно. — если целое число к, 0 к I таково, что V то вложение Wp с— Cfc+M компактно.
Эллиптические дифференциальные операторы. Семейство {Bj : j; = 0,1,..., к} дифференциальных операторов на дО, называется нормальной системой, если 0 ті rri2 ... m& и для всякого нормального к 9Гі вектора г/ж, а: 9П, выполнено условие Пусть семейство {Bj : j = 0,1,..., к} образует нормальную систему, причем rrij I. Введем в рассмотрение пространства Wp{Bj} и Cl+ {Bj} —- банаховы подпространства пространств Wlv и Сг+/І соответственно. Дифференциальный оператор удовлетворяет условию эллиптичности (по Петровскому), если а(ж,0= Y, а«(х)С 0 Семейство {Bj,j = 0,1,...,777,-1} дифференциальных операторов на dQ вида (3.1.2) удовлетворяет условию дополнительности (Шапиро-Лопатинского) по отношению к Л, если \/х Є dQ для нормального вектора vx и любого касательного вектора х ф 0 многочлены от переменной т линейно независимы по модулю многочлена где r А; = 1,...,777- корни с положительной мнимой частью многочлена а(ху + rrj) от переменных т; , 77 Є К и линейно независимы. Пусть /с — неотрицательное целое число, {Bj : j? = 0,1,.. ., m — 1} нормальная система дифференциальных операторов, дополнительная по отношению к оператору А, удовлетворяющему условию эллиптичности. Оператор А, определенный на пространствах Wpm+k{Bj} и C2m+k+ll{Bj} будем называть эллиптическим дифференциальным оператором. Основные результаты: — эллиптический дифференциальный оператор является нетеровым и его индекс indA не зависит от к = 0,1,...", -УиЄ Wpm+k{Bj} имеет место оценка: где сі52 — константы, зависящие от Q, A, {Bj}, к, р, но не зависят от щ — Уи Є C2m+k+ {Bj} имеет место оценка: где как и выше, с г — константы, не зависящие от и\ — в силу сказанного, существует проектор Р вдоль ker А на coimA, причем имеют место оценки: где сз;4 и eg 4 — константы, не зависящие от и; — ядро ker А и коядро cokerA не зависят оті р оо,0 1 и к = О,1,.... Имеют место включения — либо резольвентное множество оператора А пусто, либо спектр а (А) состоит из изолированных точек, являющихся собственными значениями конечной кратности, и сгущаются только на бесконеч ности. Пусть О С Ж.п - ограниченная область с границей 50 класса С. В цилиндре О х К рассмотрим задачу Коши-Дирихле для уравнения описывающее продольные колебания упругого стержня с учетом инерции и при внешней нагрузке [66].
Начально-краевую задачу для уравнения (3.2.2) можно описать в терминах задачи (2.5.1) для уравнения (2.5.2), причем отрицательные значения параметра Л не противоречат физическому смыслу этой задачи. Редуцируя задачу (3.2.1),(3.2.2) к задаче (2.5.1), (2.5.2), положим где W (0) - пространства Соболева 2 q со, С/+7(Г2) - пространства Гельдера 0 7 1 — 0,1,... . Операторы Л , Bi и Во зададим формулами А = А — А , В\ — а(Д — Л ), В0 = (3(А — Л"). При любом Z Є {0} U N операторы А, Въ В0 Є C(U; Т) [65]. Обозначим через с (А) спектр однородной задачи Дирихле в области О для оператора Лапласа А. Напомним, что спектр ст(А) отрицателен, дискретен, конечнократен и сгущается только к —со. Обозначим через {\к} множество собственных значений, занумерованное по невозрастанию с учетом кратности, а через { &} семейство соответствующих собственных функций, ортонормированных относительно скалярного произведения , из L2(Q). Поскольку {срк} Лемма 3.2.1 Пусть выполнено одно из следующих условий: (%У (А Є 7(Д)) Л (А = А ) Л (А А"). Тогда пучок В = (BI,BQ) полиномиально А-ограничен, причем оо - устранимая особая точка А резольвенты пучка В- Доказательство. Так как оператор А, в силу самосопряженности, фредгольмов, то, в силу теоремы 1.4.2, достаточно показать отсутствие -присоединенных векторов у любого вектора (р Є ker Л\{0}. (і) Если А с(Д), то ker А = {0} и оператор А не имеет собственных векторов. (ii) Если А Є 0"(Д), тогда ker Л = span{(/?o, -, /}, где срк - ортогональные собственные функции однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа, отвечающие собственному значению А. Тогда если 2 \ак\ 0 и оператор А также не имеет -присоединенных векторов высоты 1. Замечание 3.2.1 В случае (і) Л-спектр пучка В о (В) — {/V : к Є N}, где /лк - корни уравнения В случае (іі) сгА{В) = {/Vfc } где /Vfc корни уравнения (3.2.3) при Л = Л/. В случае Замечание 3.2.2 Как нетрудно видеть, в случае (Л Є сг(Д))Л(Л = Л = Л") пучок В не будет полиномиально А-ограниченным. Теперь проверим условие (А). В случае (і) существует оператор Л-1 Є С{Т\Ы\ поэтому в силу утверждения 1.2.2 условие (А) выполняется. В случае (іі) т.е. (А) не выполняется, поэтому этот случай исключается из дальнейших рассмотрений. В случае (iii) (А) выполняется.
Уравнение de Gennes звуковых волн в смектиках
Уравнение звуковых волн в смектиках, впервые полученное P.G.de Gennes, имеет вид Исходная модель имеет смысл в цилиндрической области по переменным {2:,0:1,3:2} Є [а, Ь] х Г2. В случае установившихся звуковых колебаний u(xi,X2,z,t) = v(xi,x2: z) exp(—iu;t) в смектике исходное уравнение примет вид Пусть 7 - ограниченная область с границей SQ класса С. В цилиндре Г2 х R рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения (3.3.2). Начально-краевую задачу для уравнения (3.3.2) можно описать в терминах задачи (2.5.1) для уравнения (2.5.2). Редуцируя задачу (3.3.3),(3.3.2) к задаче (2.5.1), (2.5.2), положим или где W (H) - пространства Соболева 2 q со, Сг+7(П) - пространства Гельдера 0 j 1, I = 0,1,... . Положим для удобства а = — ог2, А = А2. Операторы А , В\ и BQ зададим формулами А = А — а , В\ = О, Б0 = аД. При любом і Є {0} U N операторы Обозначим через {А } множество собственных значений однородной задачи Дирихле в области Q, для оператора Лапласа А, занумерованное по невозрастанию с учетом кратности, а через { /?&} - семейство соответствующих собственных функций, ортонормиро-ванных относительно скалярного произведения , из L2(Q). У ]Ка + Л0А 2 + а\к] (рк,- Рк, k=i где , - скалярное произведение в L2(Q). Лемма 3.3.1 Пусть а Є R. Тогда пучок В = (Bi, BQ) полиномиально А-ограничен, причем оо - устранимая особая точка А резольвенты пучка В- Доказательство. Так как оператор Д в силу самосопряженности, фредгольмов, то, в силу теоремы 1.4.2, достаточно показать отсутствие -присоединенных векторов у любого вектора (р Є ker А\{0}. (і) Если а сг(Д), то ker А = {0} и оператор А не имеет собственных векторов. (ii) Если а Є сг(А), тогда ker A = span{ /?o, , fi}, где рк - ортогональные собственные функции однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа, отвечающие собственному значению а.
Тогда и поэтому если \ак\ 0 и оператор А также не имеет -присоединенных fc=l векторов. Замечание 3.3.1 В случае (і) А-спектр пучка В сгЛ(В) = { к Є N}, где /xfc - корни уравнения В случае (ii) аА(В) — {$к к Є N}, где fj}lk - корни уравнения (3.3.4) при а ф \\. Теперь проверим условие (А). В случае (і) существует оператор А 1 Є C.ijF ilA), поэтому в силу утверждения 1.2.2 условие (А) выполняется. В случае (ii) Построим проекторы. В случае (і) Р — I и Q = І, в случае (ii) а проектор Q имеет тот же вид, но определен на пространстве Т Итак, в силу теоремы 2.4.2 справедлива Теорема 3.3.1 (г) Пусть а 0 0"(Д). Тогда при любых VQ:V\ Є Ы существует единственное решение задачи (3.3.3), (3.3.2), которое к тому же имеет вид (ii) Пусть (а Є сг(Д)). Тогда при любых существует единственное решение задачи (3.3.3),(3.3.2), имеющее вид (3.3.5). Доказательство, (і) Так как в этом случае оператор А непрерывно обратим, то задача однозначно разрешима для любых VQ,V\ ЄІЛ, и решение представимо в виде где M(-), N(-) - семейство невырожденных M,N функций. Учитывая, что (ii) В силу леммы 3.3.1 пучок В полиномиально А-ограничен, причем со - устранимая особая точка А резольвенты пучка В- Таким образом, можно применить теорему 2.4.2. Образом проектора Р будет множество Ы1 из условия теоремы. В данном случае операторы (Л1)-1, (/x2I—So)-1, А (ЛІ2І — So)-1 имеют тот же вид, что в пункте (і), за исключением того, что суммирование ведется по всем к таким, что Хк ф а. В силу теоремы 2.4.2 при любых г о, v\ Є Ы1 получим, что существует единственное решение задачи (3.3.3),(3.3.2), которое целиком лежит в фазовом пространстве U1 и его можно представить в виде (3.3.5).
