Содержание к диссертации
Введение
1 Вспомогательные сведения 25
1.1 Относительно сг-ограниченные операторы 25
1.2 Аналитические группы операторов 30
1.3 Банаховы многообразия и векторные поля 33
1.4 Функциональные пространства и дифференциальные операторы 38
1.5 Квазистационарные траектории 46
2 Фазовые пространства уравнения Хоффа 50
2.1 Задача Коши - Дирихле 50
2.2 Морфология фазового пространства задачи Коши - Дирихле для уравнения Хоффа . 56
2.3 Фазовое пространство задачи Коши - Неймана для уравнения Хоффа 63
3 Фазовые пространства обобщенного фильтрационного уравнения Осколкова 69
3.1 Задача Коши - Дирихле 69
3.2 Морфология фазового пространства задачи Коши - Дирихле 76
3.3 Морфология фазового пространства задачи Коши -Неймана 82
Список литературы
- Аналитические группы операторов
- Функциональные пространства и дифференциальные операторы
- Морфология фазового пространства задачи Коши - Дирихле для уравнения Хоффа
- Морфология фазового пространства задачи Коши -Неймана
Введение к работе
Постановка задач. Пусть Q С Rn - ограниченная область с границей дО. класса С. В цилиндре ПхЁ рассмотрим задачу Коши - Дирихле
и(х, 0) = щ(х), х Є О, (0.1)
и(х, t) = 0, (я, t)ed$lxR (0.2)
для уравнений
(Л + А)щ = аи + /Зи3, (0.3)
щ - seAut = vAu - К (и). (0.4)
Уравнение (0.3) в случае п = 1 получено Н. Дж. Хоффом [83] как модель выпучивания двутавровой балки. Функция и = и(х, t), х Є ft, t Є R имеет физический смысл отклонения балки от положения равновесия. Параметр Л Є R+ характеризуют нагрузку, т.е. сжимающую силу, которая принимается нами, как величина постоянная. Параметры а, (З Є R+ характеризуют свойства материала.
Уравнение (0.4) получено А.П. Осколковым [44], оно моделирует широкий класс процессов, главным участником которых являются вязкоупругие жидкости [43]. Нелинейный член в (0.2) таков, что К(0) = 0, (К(и),и) > 0 ((,) - скалярное произведение в L2(Q)). В частности, нелинейный член в (0.4) может иметь вид К(и) =
y2m+i или к(у^ — shu. Вообще говоря, нелинейность может быть представлена рядом
K(u) = Y,au2m+1> а"гЄІ7. m=0
Параметры ае, v Є К+ характеризуют упругие и вязкие свойства жидкости соответственно.
Разрешимость задачи (0.1) - (0.3) впервые изучалась Н.А. Сидоровым и О.А. Романовой [62]. Ими же была отмечена принципиальная неразрешимость задачи (0.1) - (0.3) при произвольных начальных условиях. Затем задачей (0.1) - (0.3) занимался Г.А. Свиридюк [54], [56]. Он показал, что множество допустимых начальных значений для задачи (0.1) - (0.3) локально является банаховым С-многообразием. Наша цель - изучение морфологии множества допустимых начальных значений задачи (0.1) - (0.3), понимаемого как фазовое пространство уравнения (0.3).
Разрешимость задачи (0.1), (0.2), (0.4) исследовал А.П. Осколков [43], [44] при аэ, v Є R+. Однако еще в в [2] отмечено, что отрицательные значения параметра аэ не противоречат физическому смыслу задачи. Поэтому и в данном случае нашей целью является изучение морфологии фазового пространства уравнения (0.4) в случае, когда параметр ае Є К— Частный случай уравнения (0.4) -уравнение Осколкова нелинейной фильтрации - рассмотрели Г.А.
Свиридюк и Н.А. Манакова [58]. Именно поэтому в диссертации уравнение (0.4) названо "обобщенным фильтрационным уравнением Осколкова".
Историография вопроса. История изучения разрешимости начальных и начально-краевых задач для уравнений неразрешенных относительно старшей производной по времени всходят к А. Пуанкаре (см. прекрасный обзор в монографии Г.В. Демиденко и СВ. Успенского [17]). Однако систематическое изучение корректности этих задач начато в классической работе С.Л. Соболева [64], в которой им было получено уравнение, моделирующее колебания гравитирующей жидкости, и изучена задача Коши - Дирихле для него. Работа С.Л. Соболева легла в основу научного направления, созданного трудами его учеников-~ Р.А. Александряном [60]," С.А. Гальперном [15], А.Г. Костюченко и Г.И. Эскиным [ЗО], Т.И. Зеленяком [23] и многими другими. Эта работа инициировала работы В.Н. Врагова [13], А.И. Кожанова [28], [84] и С.Г. Пяткова [19] по неклассическим уравнениям математической физики.
Независимо от этих результатов В. D. Coleman, R. J. Duffin и V. J. Mizel [78] исследовали разрешимость задачи (0.5), (0.6) в одном частном случае, имеющем важное прикладное значение. Они первыми обнаружили возможную принципиальную неразрешимость
задачи при любом начальном значении. В дальнейшем их результаты были обобщены и развиты в работе Н. A. Levine [85]. Разрешимость задачи Коши
и{0) = 0 (0.5)
для абстрактного операторного дифференциального уравнения уравнения
Lu = Ми (0.6)
первыми начали изучать М.И. Вишик [11] и независимо от него С. Г. Крейн с учениками [33], [34]. В последних работах был детально изучен случай (L, сг)-ограниченного оператора М при условии фредгольмовости оператора L. Показано, что фазовым пространством уравнения (0.6) служит некоторое подпространство в ІІ коразмерности равной размерности М-корневого пространства оператора L. Все эти работы имеют сугубо теоретический характер и не содержат никаких приложений, как и тесно примыкающие к ним результаты И.В. Мельниковой и А.И. Филинкова [87].
Первым абстрактные уравнения вида (0.6) в их связи с уравнениями в частных производных начал изучать R. Е. Showalter [91], [89]. Он рассмотрел случай самосопряженного эллиптического оператора L, вырождающегося на некотором множестве ненулевой меры. R. Е. Showalter [90] и независимо от него Н. А. Сидоров со своими
учениками [93] первыми начали изучать полулинейные уравнения вида
Lu = Ми + Щи) (0.7)
с различными вырождениями оператора L и получать приложения абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам для уравнений в частных производных.
К настоящему времени сложилось несколько практически непересекающихся подходов в обширной области, дверь в которую распахнул С.Л. Соболев. Эти подходы, объединенные только объектом исследования, изложены в ряде монографий [17], [19], [82], [87], [88], [93], вышедших буквально в последние шесть лет. В этих монографиях как абстрактные уравнения вида (0.6), (0.7) так и конкретные их интерпретации вида (0.3), (0.4) изучаются в различных аспектах.
Так в монографии R.E. Showalter [91] уравнения вида (0.6), (0.7) с самосопряженным оператором L редуцируются к стандартным уравнениям
и = Su, , (0.8)
u = Su + F(u), (0.9)
определенными, однако, в полугильбертовом пространстве, т.е. пространстве, имеющем нехаусдорфову топологию. В монографии Г.В.
Демиденко и СВ. Успенского [17] методом интегральных представлений функций изучаются уравнения вида (0.6) и их обобщения, где L и М (возможно, матричные) дифференциальные операторы по "пространственным" переменным. В монографии A. Favini и А. Yagi [82] уравнения (0.6), (0.7) редуцируются к дифференциальным включениям вида
и Є Su, (0.10)
где многозначный линейный оператор S имеет однозначную резольвенту. В монографии И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова и СВ. Попова [19] развит подход, использующий пространства Понтрягина и пространства Крейна. В монографии Н.А. Сидорова, Б.В. Логинова, А.В. Синицина и М.А. Фалалеева [93] разработаны приложения метода Ляпунова - Шмидта к уравнениям вида (0.7) и их обобщениям. Наконец, в монографии И.В. Мельниковой и А.И. Филенко-ва [87] получены необходимые и достаточные условия равномерной корректности линейной задачи в терминах условий типа Хилле -Иосиды и расщепления пространств в прямые суммы.
В заключение этого кратного исторического обзора скажем несколько слов о терминнологии. К настоящему времени классы уравнений вида (0.3), (0.4) или (0.6), (0.7) не имеют устоявшегося названия. Наряду с терминами "вырожденные дифференциальные
уравнения" [82], [87] и "дифференциальные уравнения не разрешенные относительно старшей производной" [17], "неклассические диффернциально-операторные уравнения" [19] существуют термины "псевдопараболические" и "псевдогиперболические" уравнения [17], [29] и даже "уравнения не типа Коши - Ковалевской" [39]. В нашей диссертации мы будем поддерживать традицию, возникшую более полувека назад, и называть как абстактные уравнения вида (0.6), (0.7), так и их конкретные интерпретации вида (0.3), (0.4) уравнениями Соболевского типа [60], [7], [30], [31], [43], [44], [70], [71] [86] и т.д. Заметим еще, что на важность изучения таких уравнений указывали И.Г. Петровский [45] и Ж.-Л. Лионе [39].
Актуальность темы диссертации. На наш взгляд наиболее плодотворным (если считать-уже имеющиеся-приложения) - подходом к изучению уравнений Соболевского типа является метод фазового пространства, основы которого заложены Г.А. Свиридюком и Т.Г. Сукачевой [56], [60]. Суть этого метода заключается в редукции сингулярного уравнения вида (0.6), (0.7) к регулярному уравнению вида (0.8) или (0.9) соответственно, определенному однако не на всем исходном пространстве, а на некотором его подмножестве, понимаемом как фазовое простраство исходного уравнения (разумеется это множество состоит из допустимых начальных значений).
В линейном случае (т.е. при рассмотрении уравнения (0.6)) метод фазового пространства привел к созданию теории вырожденных (полу)групп операторов. Именно, в своей диссертации Г.А. Свиридюк сформулировал понятие относительно сг-ограниченного оператора и построил разрешающую вырожденную аналитическую группу операторов уравнения (0.6) в случае, когда оператор М (L, сг)-ограничен [53]. Здесь же были сформулированы начальные понятия относительно р-секториальных операторов. В диссертациях Т.А. Бокаревой [6] и Л.Л. Дудко [18] линейные результаты диссертации Г.А. Свиридюка были обобщены и развиты на случай относительно р-секториальных операторов и вырожденных аналитических полугрупп. В диссертации В.Е. Федорова [67] построена теория относительно р-радиальных операторов и показаны следующие включения:
[относительно сг-ограни- С [относительно р-секто- С [относительно р-ради-
ченные операторы] риальные операторы] альные операторы]
порождают порождают порождают
[вырожденные аналити- С [вырожденные аналити- С [вырожденные Со-полу-
ческие группы операто- ческие полугруппы one- группы],
ров] раторов]
Во всех этих работах основной целью было доказательство того, что во всех рассматриваемых случаях фазовое пространство
уравнения (0.6) совпадает с образом разрешающей вырожденной (полу)группы операторов, а побочной целью - получение аналогов классических теорем таких, как теорема Соломяка - Иосиды или теорема Хилле - Иосиды - Феллера - Филлипса - Миядеры. Некоторые из линейных результатов были обобщены в диссертации А.А. Замышляевой [22] на случай линейного уравнения Соболевского типа высокого порядка
AvW = Bn^vn-1 + ... +B0v,
которое является абстрактным обобщением уравнений Россби длинных волн, Буссинеска - Лява продольных колебаний, Дежен звуковых волн в смектиках и многих других.
., Полученные линейные результаты уже нашли свои приложения. Так, в диссертации Г.А. Кузнецова [35] найдены достаточные условия относительных сильной р-секториальности и сильной р-радиальности линейных операторов, доказан критерий а-ограни-ченности относительно бирасщепляющего и фредгольмова операторов. Диссертация А.В. Келлер [26] посвящена экспоненциальным дихотомиям линейных однородных и ограниченным решения линейных неоднородных уравнений соболевского типа. Диссертация А.А. Ефремова [20] содержит исследование оптимального управления линейными уравнениями соболевского типа. В диссертации
СВ. Брычева [8] на основе результатов В.Е. Федорова [68] построен новый численный алгоритм для решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (так называемых "систем леонтьевского типа", к которым относится знаменитая системы Леонтьева "затраты - выпуск" с учетом запасов). Этот алгоритм доведен до конечного программного продукта, который нашел применение в администрации г. Еманжелинска Челябинской области. Причем алгоритм отличается от ставшими классическими аналогов Ю.Е. Бояринцева и В. Ф. Чистякова [5], В. Ф. Чистякова [74]. Наконец, в диссертации С.А. Загребиной [21] рассматривается задача Веригина для уравнения (0.6), которая обобщает классическую задачу Коши (0.5). Здесь, как и во всех работах абстрактные результаты богато проиллюстрированы прикладными задачами. К настоящему времени потенциал метода фазового пространства в линейных уравнениях Соболевского типа еще далеко не исчерпан. Об этом свидетельствуют работы Г.А. Свиридюка и И.В. Бурлачко [57], В.Е. Федорова и М.В. Плехановой [69], В.Е. Федорова и О.А. Рузаковой [70], В.Е. Федорова и М.А. Сагадеевой [71].
Успех метода фазового пространства в линейном случае обусловлен тем фактом, что фазовое пространство уравнения (0.6) во всех рассмотренных случаях является аффинным многообразием,
т.е. атлас такого многообразия эквивалентен атласу, содержащему единственную карту. В дальнейшем гладкие банаховы многообразия с атласом из единственной карты было принято называть простыми, и была сформулирована задача поиска полулинейных уравнений Соболевского типа вида (0.7), фазовыми пространствами которых служат простые банаховы многообразия, причем эти многообразия моделируются образом вырожденной разрешающей (полу) группы линейного уравнения (0.6). Ожидалось, что поскольку такие уравнения в некотором смысле наиболее близки к линейным, то для них удастся получить соответствующие обобщения линейных результатов. Задача поиска полулинейных уравнений Соболевского типа с простыми фазовыми пространствами была успешно
* решена в диссертации М;М. Якупова [75]. Здесь была установле-
на простота фазового пространства задачи Коши - Дирихле для уравнения Осколкова, моделирующего плоско параллельную динамику вязко-упругой жидкости, и задача Коши - Бенара для гибрида уравнения Осколкова и уравнения теплопроводности в приближении Обербека - Буссинеска, моделирующего плоскопараллельную термоконвекцию вязкоупругой несжимаемой жидкости. Эти результаты уже нашли применение в теории оптимального управ-
'« ления [59]. Все это говорит об актуальности задачи поиска и опи-
сания простых фазовых пространств полулинейный уравнений Соболевского типа.
Новизна полученных результатов. Основным результатом диссертации являются достаточные условия существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений Соболевского типа. Заметим, что простыми мы будем называть многообразия, атлас которых состоит из единственной карты. Такие многообразия наименее отличаются от подпространств банаховых пространств и поэтому являются их первыми естественными обобщениями. Простые многообразия хороши еще и тем, что дают полную информацию о фазовом пространстве.
Полученные абстрактные результаты реализованы в конкретных начально-краевых задачах для уравнений (0.3), (0.4). Как отмечено выше, все эти задачи изучались и ранее, однако полученная информация являлась неполной. Установленная нами полнота фазовых пространств существенным образом обобщает эти результаты и потому носит окончательный характер. Отметим еще, что необходимость изучения именно простых фазовых пространств диктуется потребностями теории возмущений уравнений вида (0.7).
Методы исследования. Как сказано выше, основным методом исследования полулинейных уравнений Соболевского типа в нашей
диссертации служит метод фазового пространства. Поскольку этот метод изучения однозначной разрешимости задачи Коши (0.5) для полулинейного уравнений Соболевского типа (0.7) сводит к поис-ку и описанию фазового пространства, то для решения последней задачи мы используем такие мощные средства нелинейного функционального анализа как теорему о неявной функции (см. например, Л. Ниренберг [42]), теорию степени непрерывных отображений (см. например, М.А. Красносельский [32], Л. Ниренберг [42]), теорию монотонных операторов, в особенности теорему Вишика -Минти - Браудера (см. X. Гаевский, К. Грегер, X. Захариас [14]). Во всех рассмотренных задачах фазовое пространство уравнения (0.7) моделируется образом разрешающей (полу)группы соответствую-
\ щего ему линейного уравнения (0.6). Поэтому нам потребовались
основные результаты теории вырожденных (полу) групп операторов (см. Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров [88]). И наконец, для построения векторных полей на фазовых пространствах, интегральные кривые которых являются решениями уравнения (0.7), нам потребовалась теория гладких банаховых многообразий (см. Н. Бурбаки [9], С. Ленг [37]).
Краткое содержание диссертации. Диссертация кроме Вве-
ч дения и Списка литературы содержит три главы. Список литерату-
ры включает 103 наименования работ отечественных и зарубежных авторов, составляющих базу диссертации.
Первая глава состоит из пяти параграфов, причем первые че
тыре параграфа носят пропедевтический характер. Они содержат
ранее известные результаты, адаптированные к нашей ситуации.
Так, п. 1 и п. 2 посвящены теории относительно сг-ограниченных
операторов и порождаемых ими вырожденных аналитических групп
операторов, (см. монографию Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова
[88]). В п. 3 собраны основные факты теории гладких банаховых
многообразий и векторных полей на них. Апофеозом этого пара
графа следует считать классическую теорему Коши в обобщенной
формулировке. Доказательства этих результатов можно -найти в
фундаментальной монографии С. Ленга [37]. ~
В п. 4 первой главы представлены основные результаты по теории дифференциальных операторов в банаховых пространствах. Основное внимание здесь уделено формализации понятия "дифференциальный оператор" в областях с границей класса С. В основном все результаты, касающиеся собственно дифференциальных операторов, взяты из богатой содержанием справочной монографии X. Трибеля [66].
П. 5 содержит результаты, обобщающие работу Г.А. Свиридю-
ка [54], в которой методом Ляпунова - Шмидта исследована задача (0.5), (0.7) в случае, когда оператор L - фредгольмов. Предложенная нами абстрактная схема основана на других принципах и может быть использована даже если оператор L не является фредголь-мовым. Наша схема основана на понятии квазистационарной траектории, которое обобщает понятие стационарной траектории. Основной результат здесь - формулировка и доказательство теоремы о существовании и единственности квазистационарной траектории полулинейного уравнения Соболевского типа, проходящей через наперед заданную точку. Доказательство базируется на классической теореме Коши о сечениях векторных полей на гладких банаховых многообразиях.
Вторая глава состоит из трех параграфов и содержит исследо-
вание фазовых пространств уравнения Хоффа. П.1 второй главы проводится редукция задачи (0.1)-(0.3) к задаче (0.5), (0.7). Здесь активно используется теория функциональных пространств и дифференциальных операторов из п. 1.4. Основные результаты здесь - доказательства (L, ^-ограниченности оператора М и включения N Є С(ІІ;$). В заключении п. 2.1 приводятся основные понятия теории степени непрерывного отображения, взятые из Л. Нирен-берга [42] и адаптированные к нашей ситуации. П. 2 второй главы
посвящен изучению морфологии (т.е. строению, структуры) фазового пространства задачи (0.1) - (0.3). Здесь содержится один из основных результатов диссертации - доказательство простоты фазового пространства задачи Коши - Дирихле для уравнения Хоффа. Доказательство потребовало привлечения таких методов нелинейного функционального анализа, как теория степени непрерывного отображения, теорема о неявной функции, теорема Коши для гладких векторных полей на банаховых многообразиях. Завершается п.2 замечанием, в котором обсуждается "геометрический смысл" полученных результатов. Именно, показывается, что 2-сборка Уитни на самом деле является 0-сборкой Уитни (терминологию см. в [7]). В п.З второй главы изучается фазовое пространство задачи Коши - Неймана для уравнения Хоффа. Основной результат здесь - простота фазового пространства этой задачи. Поскольку исследования аналогичны предыдущему случаю, то все доказательства приводятся с заметными сокращениями.
Третья глава состоит из трех параграфов и включает в себя исследование фазовых пространств обобщенного фильтрационного уравнения Осколкова. В п.1 третьей главы проводится редукция задачи (0.1), (0.2), (0.4) к задаче (0.5), (0.7). Здесь используется теория дифференциальных операторов в функциональных про-
странствах и теоремы вложения Соболева, почерпнутые из п. 1.4. Основные результаты п.1 - доказательство (L, ^-ограниченности оператора М, s-монотонности и сильной коэрцитивности оператора N. Кроме того, здесь приводятся необходимые сведения теории монотонных операторов, в частности, теорема Вишика - Минти -Браудера. П.2 третьей главы содержит один из основных результатов диссертации - доказательство простоты фазового пространства задачи (0.1), (0.2), (0.4). Доказательство этого факта существенно использует понятия теории монотонных операторов, разработанные Г.А. Свиридюком [47], [49], [50] и представленные в п.1. В п. 3 третьей главы содержится доказательство простоты фазового пространства задачи Коши - Неймана для обобщенного фильтрационного уравнения Осколкова. Поскольку исследования аналогичны случаю задачи Коши - Дирихле, то все доказательства приводятся с заметными сокращениями.
Апробация. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на VI Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (2000 г., г. Новосибирск), Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (2000 г., г. Одесса), Международных школах-семинарах по геометрии и анализу в (2000 г., 2004 г., г. Ростов-на-Дону), Всероссийской науч-
ной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (2001 г., г. Екатеринбург), студенческих конференциях Челябинского государственного университета в 2001 и 2002 году (г. Челя-бинск), на Весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" (2004 г., г. Воронеж). Также результаты докладывались на семинаре проф. Г.А.Свиридюка в Челябинском государственном университете (г. Челябинск).
Кроме того, данное исследование поддержано грантами Минобразования РФ ЖА.03-2.8-83, Минобразования РФ и Правительства Челябинской области и стипендией Законодательного собрания г. Челябинска для студентов (2000 г.)
Публикации. Все результаты диссертации своевременно луб
'ї ликованы [95] - [104]. Необходимо отметить, что во всех работах,
выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему
принадлежит только постановка задачи и идеи доказательств. Все
доказательства выполнены автором диссертации самостоятельно.
Результаты, выносимые на защиту.
Разработка метода фазового пространства в случае, когда фазовое пространство содержит только квазистационарные траекто-рии.
Описание фазовых пространств основных начально-краевых
задач для уравнения Хоффа.
3. Описание фазовых пространств основных начально-краевых задач для обобщенного фильтрационного уравнения Осколкова.
Благодарности. В заключение автор считает своим приятным
долгом выразить искреннюю признательность своему научному ру
ководителю профессору Георгию Анатольевичу Свиридюку за чут
кое руководство и стимулирующие дискуссии. Автор так же вы
ражает огромную благодарность Вячеславу Леонидовичу Охотни-
кову за понимание и помощь при выходе из возникавших затруд
нений. Кроме того, автор благодарен коллективу кафедры матема
тического анализа Челябинского государственного университета за
конструктивную критику, а так же маме Елене Владимировне за
веру и самоотверженность.-
Аналитические группы операторов
Определение 1.1.3 Пусть оператор М (L, т)-ограничен. Для L-резольвенты оператора М бесконечно удаленную точку будем называть (і) устранимой особой точкой, если Н = О; (іі) полюсом порядка р Є N, если Нр О, a Hp+1 = О; (ш) существенно особой точкой, если Vp Є N Нр ф О.
Замечание 1.1.5 Если существует оператор L-1 Є (#511), а оператор М (L, сг)-ограничен, то оо окажется устранимой особой точкой резольвенты (I — L lM) l (или, что то же самое, резольвенты (I - ML"1)"1). В дальнейшем удобства ради будем называть устанимую особую точку полюсом порядка нуль. Пусть kerL ф {0}, вектор щ Є kerL \ {0} будем называть собственным вектором оператора L. Упорядоченное множество векторов {(ро, i,...} называется цепочкой М-присоединенных векторов собственного вектора ро, если Lipg+1 = M pq, = 0,1,..., (PlkeiL\{0},l = l,2,... (1.1.3) Порядковый номер вектора в цепочке будем называть его высотой. Условимся собственные векторы оператора L называть М-присоединенными векторами высоты 0. Линейную оболочку М-присоединенных векторов оператора L назовем его М-корневым линеалом. М-корневым пространством будем называть замкнутый М-корневой линеал оператора L.
Цепочка М-присоединенных векторов может быть бесконечной. В частности, она может быть заполнена нулями, если (ро Є ker М П kerL. Но она будет конечной в случае существования такого М-присоединенного вектора (pq, что Mtpq $. im L. Высоту q последнего М-присоединенного вектора в конечной цепочке {ipi,..., cpq} будем называть длиной этой цепочки.
Понятие относительно присоединенных векторов ввел в рассмотрение В.А. Треногий [10]. Замечание 1.1.6 М-корневой линеал оператора L состоит только из М-присоединенных векторов оператора L и нуля. Теорема 1.1.2 Пусть оператор L - фредгольмов (т.е. indL = 0). Тогда следующие утверждения эквивалентны (і) оператор М (L, а)-ограничен, причем со - полюс порядка рЄ{0}іЩ; (И) длины всех цепочек М-присоединенных векторов оператора L ограничены числом р. Замечание 1.1.7 В случае, когда пространства it и $ совпадают, а оператор М = I, то М-присоединенные векторы становятся просто присоединенными [16].
Пусть Яи - банаховы пространства, операторы L,M Є C(ii; F). Рассмотрим линейное уравнение Lu = Ми, (1.2.1) которое в случае pL(M) ф 0 можно редуцировать к паре эквивалентных ему уравнений RLa{M)u = (aL - М)-1Ми, (1.2.2) LLa(M)f = M(aL - АО"1/, (1-2.3) где а Є pL(M). Уравнения (1.2.2) и (1.2.3) удобно рассматривать как конкретные интерпретации уравнения Av = Bv, (1.2.4) где операторы А, В Є (23), а 93 - некоторое банахово пространство. Решением уравнения (1.2.4) будем называть функцию v Є C1(M;2J), удовлетворяющую этому уравнению.
Определение 1.2.1 Отображение V- : Ш — (93) называется группой разрешающих операторов (или просто разрешающей группой) уравнения (1.2.4), если (ii) для любого Vo Є 93 функция v(t) = VіVQ является решением уравнения (1.2.4).
Разрешающая группа называется аналитической, если она допускает аналитическое продолжение во всю комплексную плоскость С с сохранением свойств (і) и (ii). Следуя традициям, группу будем обозначать символом {Vі : t Є R}.
Функциональные пространства и дифференциальные операторы
Пусть Яи - банаховы пространства; операторы L, М Є (it;#), N Є С (ЇХ; ЗО, & Є N U {со}, причем оператор М (L, сг)-ограничен, а оо - полюс порядка р Є {0} U N. Рассмотрим задачу Коши для полулинейного уравнения Соболевского типа Lu = Mu + N(u), и{0) = щ. (1.5.1)
Вектор-функцию и Є С ((-Г,Г);ІІ) назовем решением уравнения (1.5.1), если она при некотором ТЄІ+ удовлетворяет этому уравнению. Решение и = u(t) уравнения (1.5.1) назовем решением задачи (1.5.1), если оно удовлетворяет начальному условию. Пример 1.5.1 Пусть И = # — Щ$ «)» операторы L, М и N зададим формулами. . Тогда задача Коши, где щ = (0,0), для уравнения (1.5.1) будет иметь два решения - (0,0) и (/2,2/4). Если же вместо оператора N в данном случае взять оператор N : и —» задача вообще не будет иметь решения.
Простой пример показывает необходимость сужения понятия решения уравнения (1.5.1). В силу теоремы 1.1.1 мы можем редуци ровать уравнение (1.5.1) к эквивалентной системе Ни0 = и + MQ- K - Q)N(u), (1.5.2) u1 = Sul-[-L 1QN(u), (1.5.3) где и1 = Ри, и0 — и — и1. Определение 1.5.1 Решение и — u(t) задачи (1.5.1) называется квазистационарной траекторией уравнения (1.5.1), проходящей через точку щ, если Нй(і) = 0 при всех t Є (—Т, Т).
Очевидно, что любое стационарное решение задачи (1.5.1) является квазистационарной траекторией, однако обратное, как мы покажем далее, не верно. В примере 1.5.1 квазистационарной тра-екторией, проходящей через точку (0,0), является только стацио — - нарноё решение, и в этом смысле такое решение единственно.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только квазистационарных траекторий. С этой целью мы введем в рассмотрение множество Ш = {и Є Я: (I - Q){Mu + N{u)) = 0}. В силу теоремы 1.1.1 и (1.5.2) любая квазистационарная траектория и = u(i) лежит в 9Я, т.е. u(t) Є ТІ при всех t Є (—Т, Т). Пусть точка щ 9Я, положим uj = Рщ Є И1. Немного отхо дя от стандарта [37], будем говорить, что множество 9Я в точке г о является банаховым Ск-многообразием, если существуют окрестности DQ1 С 9Я И DQ С it1 точек wo и wj соответственно и Ск-диффеоморфизм 5 : DJ —D такой, что б 1 равен сужению проектора Р на DQ1. Множество ШТ называется банаховым Ск-многообразием, моделируемым пространством it1, если оно является банаховым С -многообразием в каждой своей точке. Связное банахово С -многообразие называется простым, если любой его атлас эквивалентен атласу, содержащему единственную карту.
Теорема 1.5.1 Пусть в точке щ множество 9Я является банаховым Ск-многообразием. Тогда существует единственная квазистационарная траектория уравнения (1.5.1), проходящая через точку щ.
Пусть Do и )J окрестности точек щ Є ffl и и\ = Рщ соответственно, где Р - проектор (1.1.1). Пусть 6 C(Dl;DQlt) -диффеоморфизм. Его производную Фреше в точке и1 Є Oj обозначим символом 5 иг. Очевидно, оператор 5 и1 Є С{$)};ТиШ) при каждой фиксированной точке и1 Є Dj, ТиШ - касательное пространство в точке и = 5( ).
Морфология фазового пространства задачи Коши - Дирихле для уравнения Хоффа
В силу 2.1.2 вектор-функция / Є С(ІІ) (по крайней мере!). Кроме того, в силу фредгольмовости оператора L и равенства ker L = il пространство it0 конечномерно, т.е. dim Я0 = m.
Обозначим через ?д(0) - шар в пространстве Я0 с центром в точке 0 радиуса R. Поскольку (f((p),(p) 0 на границе дВц(0) шара BR(0), ТО f(cp) 0, если ер Є сШд(О). Пусть I - единичный оператор в пространстве it0, рассмотрим гомотопию (1 — т)1 + г/, т [0,1]. Поскольку ((1 — т)ір + т/((р),ір) О при всех tp Є дВц(0), то (1 - т)(р + rf( p) ф 0, если р Є аВд(О). Значит, deg(l, BR(0)) = deg(/, #д(0)) и поэтому при любом векторе V ей1 существует вектор (р Є il, который является решением уравнения /(у?) = 0. По нятно, что вектор (р - решение уравнения /( /?) = 0 точно тогда, когда вектор (р -f- v Є ЯЯ. Далее, пусть ері и (р2 два решения уравнения f((p) = 0. Тогда 0 = (f( Pi) - /ОЫ, i - V2 = ос Jn((pi - ip2)2dx+ + Jn( i з)2{u2 + uw + w2)dx, где и = (pi + v, a w = (f2 + v. Поскольку и2 + uw + w2 0 кроме случая и = v = 0, то отсюда вытекает, что и = v.
Если же о;, /? Є R_, то вместо отображения / следует взять —/. Итак, доказано существование биекции 5 : Я1 —» Ш1 имеющей вид б( ) = + , где у Є il. Поэтому -1 : 9Я — І11 есть сужение проектора Р на 9Я. Осталось доказать, что 5 есть С-диффеоморфизм, т.е. другими словами, что ffl есть простое С-многообразие, моделируемое образом разрешающей группы линейной части уравнения Хоффа.
Лемма 2.2.2 Пусть п 4 и числа a,/?GR\ {0}, Л Є R таковы, что а Р 0 и 0 Є o"(L). Тогда мносисество 9Я есть простое С-многообразие, моделируемое образом разрешающей группы линейной части уравнения, Хоффа. Для доказательства построим вектор-функцию т 9( Р, V) = T] ( + v)+ 0( р + v)3)(pkdxipk. В силу леммы 2.1.2 вектор-функция д Є С(Я0 х Я1, Я0) (здесь мы воспользовались естественным топлинейными изоморфизмами Я = Я0 Є Я1 = Я0 х it1, и Я0 = 3), а по построению уравнение 9(p,v) = 0 (2.2.1) определяет множество 9Я (т.е. если ( p,v) - решение уравнения (2.2.1), то точка и = ц + v Є 9Я). Применим к уравнению теорему о неявной функции (теорему 1.3.2). Следовательно, в силу теоремы о неявной функции существуют окрестности О0 С ИХ0 и О1 С Я1 точек іро и VQ соответственно и вектор-функция а Є C{Ol, О0) такая, что (р = a(v) точно тогда, когда (у?, v) есть решение уравнения (2.2.1).
Итак, доказано, что биекция 5 : Я1 — SDT, 5 = (p + v = a(v) 4-v имеет бесконечно много производных в каждой точке v Є Я1. Поскольку 5-1(гі) = 5-1( + г;) = г , то включение 5-1 Є C SOTjH1) очевидно.
Отметим еще, что все доказательство, как и в предыдущем случае, проводилось при условии а,/3 Є R+. Справедливость доказательства в случае а,]3еі_ очевидна.» Итак, множество 9Я есть простое банахово С-многообразие, моделируемое образом разрешающей группы линейной части уравнё- ния Хоффа. Поэтому в силу теоремы 1.5.1 справедлива
Теорема 2.2.1 Пусть п А и числа а,Р Є К \ {0}, Л Є Ш таковы, что а/3 0 и 0 Є cr(L). Тогда множество VJI есть фазовое пространство задачи Коши - Дирихле уравнения Хоффа.
Замечание 2.2.1 Если (3 = 0, то обе предыдущие леммы и теорема остаются в силе (см. теорему 1.2.2). Пусть ПСІ"- ограниченная область с границей дС1 класса С. В цилиндре QxR будем искать решения уравнения Хоффа Уравнение Хоффа (Л + А)щ = аи + {Зи3, (2.3.1) удовлетворяющее условиям Коши - Неймана Ои и(х, 0) = и0(х), я Є О, —{х, t) = 0, (ж, t) Є дП х R, (2.3.2) где п = п(х,t) - внешняя нормаль к цилиндру fixR. Отметим сразу, что задача (2.3.1), (2.3.2) никем ранее не изучалась и приводится здесь ради полноты картины. Поскольку исследование задачи (2.3.1), (2.3.2) почти полностью совпадает с исследованием задачи (2.1.1), (2.1.2), то чтобы избежать повторений, мы приведем основные этапы с заметными сокращениями.
Итак, для редукции задачи (2.3.1), (2.3.2) к задаче «(0) = щ (2.3.3) для полулинейного уравнения Ьй = Ми + Щи) (2.3.4) выберем пространства Я = W%, Ъ — (W2T: гДе через (И^1)* обозначено пространство сопряженное к W% относительно скалярного произведения (, ) из Ьч. Другими словами, поскольку вложение WL,2 плотно и непрерывно, то отождествив пространство Li со своим сопряженным, мы найдем пространство #. (Напомним еще, что все функциональные пространства определены на области О.). Операторы L, М зададим формулами {Lu, v) = I (Xuv — 22 uXkvXk)dx Vu, v Я, n k=l (Mu,v) =a I uvdx, Vu, v Є Я, где (.,.) - скалярное произведение в L^. По построению оператор L Є (Я; ЗО и фредгольмов (т.е. indL = 0). Кроме того, спектр cr(L) оператора L вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к точке —со. Кроме того, очевидно, оператор М Є (Я;#). Теперь построим оператор N (N(u), v) = р u3vdx VM, v Є Я. 64 Поскольку в силу неравенства Гельдера \(N(u),v)\<\(3\\\u\\l4M\L„ то оператор N : L4 —* (L4)* = L3/4. Если п < 4, то в силу теорем о Соболева вложение W #. Лемма 2.3.1 (%) Яри любых а Є Ш\ {0} и А Є R оператор М (L, а)-ограничен, причем со - полюс порядка нуль L-резольвенты оператора М. (и) Пусть N < 4, тогда при любых /З Є Ж оператор N Є С(Д;Й. Доказательство утверждения (і) - дословное повторение доказательства леммы 2.1.1. Для доказательства утверждения (їі) заметим, что в силу соболевских теорем вложения U с-> L4 непрерывно при п < 4, и повторим доказательство леммы 2.1.2.»
Морфология фазового пространства задачи Коши -Неймана
Уравнение (0.3) в случае п = 1 получено Н. Дж. Хоффом [83] как модель выпучивания двутавровой балки. Функция и = и(х, t), х Є ft, t Є R имеет физический смысл отклонения балки от положения равновесия. Параметр Л Є R+ характеризуют нагрузку, т.е. сжимающую силу, которая принимается нами, как величина постоянная. Параметры а, (З Є R+ характеризуют свойства материала.
Уравнение (0.4) получено А.П. Осколковым [44], оно моделирует широкий класс процессов, главным участником которых являются вязкоупругие жидкости [43]. Нелинейный член в (0.2) таков, что К(0) = 0, (К(и),и) 0 ((,) - скалярное произведение в L2(Q)). В частности, нелинейный член в (0.4) может иметь вид К(и) = б y2m+i или к(у — shu. Вообще говоря, нелинейность может быть представлена рядом ОО K(u) = Y,au2m+1 а"гЄІ7. m=0 Параметры ае, v Є К+ характеризуют упругие и вязкие свойства жидкости соответственно.
Разрешимость задачи (0.1) - (0.3) впервые изучалась Н.А. Сидоровым и О.А. Романовой [62]. Ими же была отмечена принципиальная неразрешимость задачи (0.1) - (0.3) при произвольных начальных условиях. Затем задачей (0.1) - (0.3) занимался Г.А. Свиридюк [54], [56]. Он показал, что множество допустимых начальных значений для задачи (0.1) - (0.3) локально является банаховым С-многообразием. Наша цель - изучение морфологии множества допустимых начальных значений задачи (0.1) - (0.3), понимаемого как фазовое пространство уравнения (0.3).
Пусть И С1п- ограниченная область с границей класса С. В цилиндре fixt рассмотрим задачу Коши - Неймана и(х, 0) = щ(х), х Є Гі, (3.3.1) ди -z-uix, t) = 0(x), (x, ЇЇЄдПх Ж, (3.3.2) on где n = n{x), x є дії - единичная нормаль внешняя к области О, для уравнения щ - &Ащ = vAu - К(и), (3.3.3) где функция К Є Ck(R), к Є NU {со}, как и в п.3.1, будет определена ниже; параметры аз Є R, v Є R+.
Для редукции задачи (3.3.1) - (3.3.3) к задаче Коши и(0) = щ, (3.3.4) для полулинейного операторного уравнения Соболевского типа Lu = Mu + N(u) (3.3.5) положим it = їй Є W2m+2 : - - = 0 на дПІ, = Wm, m Є N. Все функциональные пространства определены на области Q. Операторы L,M Є (il; #) при всех ае Є R \ {0}, v Є R, причем оператор L - фредгольмов. Аналогично лемме 3.1.1 на основе теоремы 1.1.2 может быть получена Лемма 3.3.1 При всех se, v Є И\{0} оператор М (L, а)-ограничен, причем со - полюс порядка пуль L-резольвенты оператора М.
Доказательство аналогично доказательству леммы 3.1.1, отметим лишь следующее обстоятельство. Первое собственное значение однородной задачи Неймана для оператора Лапласа в области Q равно нулю, а соответственная собственная функция - константа. Если бы мы определили оператор L аналогично п. 3.1, т.е. L = А — А, то в случае Л = 0 оператор М не был бы (L, а)-ограниченным, поскольку kerLflkerM {0}. Однако при нашем определении оператора L эту неприятность удается избежать. Далее по аналогии с леммой 3.1.3 справедлива Лемма 3.3.2 Пусть функция К C(R) и пусть т + 2 п/2. Тогда оператор N : г — К (и) принадлежит классу C(il ,$).
Констатируем окончание редукции задачи (3.3.1) - (3.3.3) к задаче (3.3.4), (3.3.5) и, дословно повторяя п. 3.1, построим проекторы Р и Q, множество Ж и пространство Я1. Так же как и в п. 3.1 справедлива
Теорема 3.3.1 (і) При любых ее 1 {А }, v Є К\{0}, т п/2—2, щ Є Я и некотором Т Є Ж+ существует единственное решение и Є (7((-Г,Г);Я) за(?а ($.$.. ; - (5.5.5J. (И) Пусть при аэ Є {А&}, v Є R \ {0}; m n/2 — 2 лшо-otcecmeo 9Я в точке щ является банаховым С00-многообразием. Тогда при нектором Т Є Ш+ существует единственное решение и Є С((-Г}Г);9Я) задачи f3.5Jj - (5.&$Л Сформулируем достаточные условия простоты фазового пространства ЇЇЯ уравнения (3.3.5) Теорема 3.3.2 Пусть я 1 Є {А }, и Є R+, оператор N Є C(il;#) s-монотонен и сильно коэрцитивен, причем N(0) = 0. Тогда множество 9JT является простым банаховым С-многообразием, моделируемым пространством І11. Доказательство дословно повторяет доказательство 3.2.1 с учетом замечания 3.2.3.
