Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Спектральный анализ одного класса обыкновенных дифференциальных операторов с почти-апериодическими коэффициентами
1.1. Вспомогательные факты 18
1.2. Построение специальных решений уравнения 23
1.3. О фундаментальной системе решений уравнения 41
1.4. Исследование резольвенты и спектра оператора 46
1.5. Разложение по собственным функциям и теорема о равносходимости 65
ГЛАВА II. О возмущении операторов с периодическими коэффициентами
2.1. Спектр и резольвента оператора 80
2.2. Разложение по собственным функциям оператора 109
Литература 126
- О фундаментальной системе решений уравнения
- Разложение по собственным функциям и теорема о равносходимости
- Спектр и резольвента оператора
- Разложение по собственным функциям оператора
Введение к работе
Некоторые вопросы физики, в частности, квантовой механики, теории кристаллов приводят к изучению дифференциальных операторов с периодическими или почти-периодическими коэффициентами.
Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы с периодическими коэффициентами изучаются давно. В этой теории имеется ряд существенных результатов, которые хорошо изложены в книге Данфорд Н., Шварц Дж. [id] і см.также Титчмарш Э.Ч. [29] ). В настоящее время имеется завершенная теория по исследованию спектра и спектрального разложения самосопряженных операторов с периодическими коэффициентами.
Определенный интерес представляет изучение дифференциальных операторов с комплекснозначными периодическими коэффициентами. Такая задача впервые была поставлена в работе Гельфанда И.М.[9J.
Начиная с 60-х годов усилиями Рофе-Бекетова Ф.С. [24] , Мак-Гарвея [l7,I8,I9] , Серова М.Н. [27,28] , Гасымова М.Г. [б,7] , Ткаченко В.И. [ЗО] , Велиева О.А. [і,5] , Максудова Ф.Г. и Велиева О.А. [15,1б] , теория таких операторов значительно продвинулась.
Работы Рофе-Бекетова .С., Мак-Гарвея, Серова М.Н, посвящены изучению спектра несамосопряженных периодических операторов. Разложение по собственным функциям несамосопряженных периодических операторов исследована в работах Гасымова М.Г., Максудова Ф.Г., Велиева О.А. Окончательная формула разложения получена Велиевым О.А. В последние годы сильно возрос интерес к дифференциальным операторам с почти-периодическими коэффициентами. К настоящему времени существует серия работ посвященных изуче- нию почти-периодических операторов. В этом направлении можно указать работы Динабург Е.И., Синай Я. Г. [її] , Марченко А. В. [20] , Чулаевского В.А. [32] , Av-tOh У, SLtnoh 8^ [і,2] Qhd Simon 6/з] , Mos&'l У [%fj .
Шубиным M.A. рассмотрены [ЗЗ] почти-периодические дифференциальные операторы в частных производных. Следует отметить, что в перечисленных работах рассмотрены разные классы самосопряженных почти-периодических операторов второго порядка; при этом в основном исследуется структура спектра в случаях, когда коэффициенты оператора имеют специальный вид. Пока при более общих предположениях относительно коэффициентов дифференциального оператора не удается изучить структуру спектра.
В данной диссертационной работе впервые изучается класс несамосопряженных дифференциальных операторов с почти-периодическими коэффициентами, а также исследуется спектральные свойства возмущения периодических операторов из рассматриваемого класса.
Передем к краткому изложению содержания диссертации, состоящей из двух глав.
В главе I изучается дифференциальный оператор [_ , порожденный выражением
В Пространстве /^ (-оо;оо) , где /iC) = 2_f^ , У=о,і, ...,m-«. (I) и ряд сходится. Здесь множество G = {lh}- удовлетворяет следующим условиям:
1) o
2) если о^ ,o^s Є G то o/t + ^&.
Нетрудно заметить, что от условия 2) можно отказаться.
При сделанных предположениях оператор L является несамосопряженным оператором и будет самосопряженным тогда и только тогда, когда Рд (02) = О , &*- О, i, . .., W-1.
В I.I даются необходимые определения и вспомогательные факты.
В 1.2 строится некоторые специальные решения уравнения
, т Cm) *Z2 ^ Or) т
С-0 0 + 11/,^ =^, (3' где О - комплексный параметр. пусть <4- = ё^р С '4v)
Здесь коэффициенты L9ftS однозначно определяются по коэффи- - б - циентам Р^ из определенной системы рекуррентных уравнений и сходится ряд ҐП-І ао ZZ4; 21 H/^Ms - (5)
Из (4), (5) вытекает, что J.(oc,p) является мероморфной функцией по р , которая может иметь полюсы первого порядка в точках р = р . , 7 = і, m-L \ h = i,Z, ,.. .
В этом же параграфе доказывается, что если 0,Ссс) равномерная почти-периодическая функция
Л rts=l ft? ' Л=і *h то уравнение имеет решение, представимое в виде і РОС. оо оо где ряд сходится. Аналогичное утверждение имеет место при выполнений условий olh = h, 0,(оё) в /_2 СО,а5Г") (см.теорема 1.2.3). Далее пусть р, - р Qf1 при h = d,2,.. ,;j'=i,2,...,m-i; S = О, і, 2, . . ,,кп-і. В І.З показано, что при РФО,р . система функций составляют фундаментальную систему решений уравнения (3) (см. лемма 1.3.I).
Далее, используя эту систему решений доказывается, что оператор L не имеет собственных значений (см. теорема 1.4.I).
В этом же параграфе известным методом [23J строится ядро резольвенты ftx= CL- ХІ) . Пусть Yn-2H> в0 = { р : 0< < Ct^Q Р ^ — I.. Тогда для X = р , р 50 резольвента является ограниченным интегральным оператором в /.^ (~» ) с ядром (см. теорема 1.4.2) где ^Сос^р) является решением уравнения представимое в виде
Здесь Kh постоянные числа, для которых сходится ряд оо ҐП-І oo . E ^ Г Hi О-:
Далее доказывается следующая:
ТЕОРЕМА 1.4.3. Оператор L (четного порядка) имеет чисто непрерывный спектр, который совпадает с положительной полуосью. На непрерывном спектре возможны спектральные особенности первого порядка в точках ( — } > ft = 1,2, ....
Отметим, что для оператора -Ч -± 0/(^ У утверждение теоремы 1.4.3 остается в силе, если fl(X) - равномерная почти-периодическая функция, удовлетворяющая условиям (б;.(см.теорема 1.4.4). Это усиливает результат Гасымова М.Г. [6J .
Пусть пі*гЄ-и, S0'=ff. o*a*^ 2 ЯГ ) m 2^+- ^ Qtop Р О. 30 U S резольвента является интегральным оператором с ядром ?^Wsf(x9^ie(?,f>(u f ос її при pegj g-1 s=e при Р Є S>0 (см.теорема 1.4.6). Имеет место ТЕОРЕМА 1.4.7. Оператор L (нечетного порядка) имеет чисто непрерывный спектр, который заполняет вещественную ось. В 1.4 для ядра резольвенты оператора L (нечетного порядка; получено следующее интегральное представление: Далее используя (7) в 1.5 доказана ТЕОРЕМА 1.5.1. Пусть Jl(CC} дважды непрерывно дифференцируемая финитная функция на f- оо, оо) . Тогда (0(1) разлагается по собственным функциям непрерывного спектра оператора L (нечетного порядка) по формуле: где интеграл сходится равномерно по X (- <*>,> ). В этом же параграфе формула (8) распространяется на функции (X") L0 (-, оо) ; при этом сходимость интегралов в (8) следует понимать в смысле метрики пространства /.«(г00'00). В 1.5 доказана следующая теорема о равносходимости. ТЕОРЕМА 1.5.3. Пусть ^у(Х') G L. (-cso7<^). Тогда при - оо <: эс< + оо разложение по главным функциям оператора (нечетного порядка) ведет себя в отношении сходимости так же как и обычный интеграл Фурье. В частности, оно сходится .~ІЧ>(Х4-д)+ -4- ^(Х-оИ если (ffx") имеет ограниченную вариацию в окрестности точки X. В главе 2 изучается возмущение периодического оператора 2 її) -го порядка из рассматриваемого в главе I класса с экспоненциально убывающим потенциалом» Отметим, что периодический оператор ZYr\ -го порядка, коэффициенты которого удовлетворяет условиям (2),(3) при olh =h изучен Гасымовым М.Г. [7 J , а возмущение периодического оператора Штурма-Лиувилля с финитным потенциалом исследована Керимовым Я.Р., Соловьевым А.Н. [I3J . Возмущение спектра самосопряженных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами изучались в работе Рофе-Бекетова Ф.С. [24] . Из свойства функций J!(ОС,о) и ФС Р) вытекает, что ядро K(3C,jy Р) уравнения (2.1.30) мероморфно зависит от р в полуполосе Ае Р — , //mp/ d/2 и имеет единственный полюс в нуле. Легко видеть, что Отсюда вытекает, что ядро порождает опе ратор-функцию К ( ?") , которая мероморфно зависит от Р в указанной полуполосе и при каждом р компактен. Легко видеть, что к уравнению (2.1.30) применима теорема 2.1.2. Тогда для счетного числа положительных значений р предельная точка которых может быть только в бесконечности, это уравнение может иметь решение из L2 є CFO. С другой стороны, нетрудно видеть, что при Р = -9- каждое решение уравнения (2.1.27) принадлежащее L2(fC) является решением уравнения (2.1.30) и наоборот. Используя принцип максимума модуля аналитической функции, нетрудно установить, что при р— оо справедлива оценка: где С - некоторая постоянная, не зависящая от р у ОС и 3. Из (2.1.3D следует, что для больших р уравнение (2.1.30) имеет только нулевое решение из LpCfO . Поэтому для конечного числа положительных значений р это уравнение имеет нетривиальное решение из L2(fV) . Понятно, что также для конечного числа зна-чений р , QZQQ = -L уравнение (2.1.30) будет иметь решение из i.2(R). Поскольку jQ дискретное множество в S{fM возможна конечное число положительных собственных значений, собственные значения оператора 7 могут иметь предельную точку только в бесконечности. Каждая точка положительной полуоси за исключением конечного числа точек принадлежит непрерывному спектру оператора Т , а конечное число точек может принадлежать точечному или остаточному спектру. Из утверждения теоремы 2.1.5 вытекает, что за исключением конечного числа значений \=\f\ ,tx,Xu 0 существует оператор R =("Т-ХІ) при Х О . Поскольку к операторуГтакже можно применить теорему 2.1.5, он имеет конечное число положительных собственных значений Х1,Х2? ... , X, . По - 96 этому, если Х О,ХА#Х1г ...,Хул . ] Х2 » то Л определен на всюду плотном множестве, т.е. X принадлежит непрерывному спектру оператора Т . Отличное от \if\z,..., X« положительные собственные значения оператора Т принадлежит остаточному спектру оператора Т . ТЕОРЕМА 2.1.6. \=0 не является собственным значением оператора ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Методом интегральных уравнений можно показать, что уравнение имеет систему решений с асимптотикой Здесь функции В (і ) ограничены, но не принадлежат L (Ofod) Доказательство этого утверждения стандартно, поэтому его не проводим (см. [Зі] ). Из вида функций U С О » S=0,4, ...,2/т?-1 вытекает, что они линейно независимы и никакая их нетривиальная линейная комбинация не принадлежит L«Cft)i т.е. Х=0 не является собственным значением оператора Т . Теперь изучим резольвенту оператора Т . Прежде всего из (2.1.3) получается, что при ОС S0\ ) Здесь мы выводим формулу разложения по собственным функциям оператора / . Для этого сначала методом контурного интегрирования получим интегральное представление ядра резольвенты. Пусть 0 v ynih (Є., 4/\ . По ранее доказанному достаточно большие по модулю полюсы ядра Q(ccД, р) принадлежащие SL расположены в близости точек { А 7 или і І2ІІ І . Точнее существует ft0Co) такое, что полюсы ядра G-fSc p) по модулю большие чем р = - 2 _ — принадлежат в У/ч окрест-ности точек h/z_ или hCO /v при П ъ h0 . При этом в окрестности каждой точки /1/ и htdifa лежит ровно один простой полюс ядра (rf ,T,P) » который мы обозначили через р ( Р соответственно). При фиксированном 6 и h0 существует конечное число полюсов ядра (г("Х,77Р) принадлежащие $0 , которые по модулю меньше чем р . Пусть из них U и , . . . U — лежащие на положительной полуоси, а и и . и — принадлежащие ,% . Пусть далее G" , (ft п0) выбраны следующим образом: G =p если р !о или р t р Ъ30 или j eS. .a 0-,,= если j3ao илир , Пусть 0 : Н : -я- таково, что круг Р Н не содержит ни одного отличного от нуля полюса ядра (г (" се, Т; р) . Выберем 0[ и cQ так, что о с/7 сГ , 0 dJ Уг\іґі(сГи ") _ Пусть С = { f. I_pl=(5 , 0 0 2. з-. Обозначим через Г контур, полученный из полуоси ["dl ,+« ) заменой отрезка Г ) о, Pol ломаной с вершинами в точках Я , и - І(Г , р сс , Р и заменой диаметров окружностей радиуса 6/z с центром в точках h/2 , ( n /?0) полуокружностями / Р- h/zj = (fi Угг) о О С 9 7? р о ) . При этом полуокружности расположены в нижней (верхней) полуплоскости, если Gn=P С = р ). Через IJ обозначим контур, полученный из Г поворотом вокруг нуля на угол ЗГ/уг\ в положительном направлении. Область с границей ГU Г U Cj- лежащая в правой полуплоскости,обозначим через о(/ ). Далее будем считать, что с выбрано так, что область 3 С Г) не содержит отличных от м , м ,...,/ , СГП ( h h полюсов ядра G- С Д, Р . Подставив (2.2.7) в (2.2.3) получим (2.2.1). Отметим, что существование решений уравнения (2.2.2), принадлежащих (\-()при Р( вытекает из свойства ядра G (30,1,0) и из теоремы 2.1.2. Далее, используя (2.1.34) непосредственно можно проверить, что функции V, (30, , V (CC,3:) определяемые равенствами (2.2.5) удовлетворяют уравнению (2.2.2). Для завершения доказательства теоремы установим сходимости рядов, также интеграла по Г , участвующих в (2.2.1), в смысле метрики пространства С»-С& ) Заметим, что при р гиг± существует оператор Г J A- QO(p)(j) В пространстве CrCR). Подставив (2.2.7) в (2.2.3) получим (2.2.1). Отметим, что существование решений уравнения (2.2.2), принадлежащих (\-()при Р( вытекает из свойства ядра G (30,1,0) и из теоремы 2.1.2. Далее, используя (2.1.34) непосредственно можно проверить, что функции (30, , V (CC,3:) определяемые равенствами (2.2.5) удовлетворяют уравнению (2.2.2). Для завершения доказательства теоремы установим сходимости рядов, также интеграла по Г , участвующих в (2.2.1), в смысле метрики пространства С»-С& ) Заметим, что при р гиг± существует оператор Г J A- QO(p)(j) В пространстве CrCR) и равномерно ограничено. Тогда из (2.1.34) вытекает, что G (ос, \3д О (С у равномерно по Х,К Я и Из (2.2.8) непосредственно вытекает, что интеграл по Г в (2.2.1) абсолютно сходится в смысле метрики С г- ( R J . Докажем сходимость рядов, участвующих в (2.2.1). Как известно G h совпадает с одним из чисел { Ph или -Г р I . Поэтому главную часть ядра в окрестности этих точек можем вычислять по формуле (2.1.50). Главная часть ядра в окрестности точки р равна: откуда вытекает сходимость соответствующего ряда. Вполне аналогичным образом доказывается сходимость ряда, составленного из Как видно в (2.2.1) входит некоторый интеграл по CY . Предел этого члена при 0 - О вообще отличен от нуля или даже бесконечен. Поэтому не всегда возможно избавиться от этого слагаемого. Отметим, что если ядро G fce,,р) в нуле имеет полюс не выше ("2т-Г) -го порядка, где o контур получаемый из Г соединением отрезка { 0,0г \ . Также отметим, что в работе Г127 построен оператор Штурма-Лиувилля с финитным потенциалом, ядро резольвенты, которого имеет в нуле полюс третьего порядка. Поэтому и для оператора Т возможен полюс ядра в точке Р = 0 порядка выше, чем (2W-1). Из теории обыкновенных дифференциальных операторов, известен метод построения главной части ядра резольвенты в окрестности полюсов с помощью собственных и присоединенных элементов оператора (см. [22] с. 47-51). Поскольку полюсы СТ. простые, то имеет место где Х?(ОС)к Щ tt) являются решениями уравнений соответственно, нормированные надлежащим образом. Пусть полюс U, имеет порядок h: . Тогда при і Р , где коэффициенты dj C00 выражаются через собственные и присоединенные функции операторов cootветствующие спектральным особенностям или собственным значениям. Далее, будем считать с/, Сх,1) известными, не записывая их представления через собственные и присоединенные функции. Нетрудно видеть, что с/ус (ХД) Cf(RZ ). Теперь выведем формулу разложения по собственным функциям. Ряды и интеграл по Г сходятся по метрике пространства Cj (R\ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Р SQ достаточно большая по модулю и отличная от полюсов ядра точка. Тогда из (2.2.1) получим: равномерно no X R , 2: / . Тогда из условия теоремы и из (2.2.20) и (2.2.21) вытекает, что Ф+ С%}) абсолютно интегрируема по / . Действительно, в этом можно убедится интегрируя но частям в равенстве и учитывая, что 0, Ж)? . (Х)— 0 при!х- л Из (2.2.20), (2.2.21), вытекает, что при 1] - , 5 Г . Отсюда и из абсолютной интегрируемости Ф+С2-,і?) по Г вытекает, что под интегралом по Г можно дифференцировать относительно переменной X . Далее, нам достаточно доказать возможность почленного дифференцирования по X ряда. Далее, используя эту систему решений доказывается, что оператор L не имеет собственных значений (см. теорема 1.4.I). В этом же параграфе известным методом [23J строится ядро резольвенты ftx= CL- ХІ) . Пусть Yn-2H в0 = { р : 0 Ct Q Р — I.. Тогда для X = р , р 50 резольвента является ограниченным интегральным оператором в /. ( » ) с ядром (см. теорема 1.4.2) где Сос р) является решением уравнения представимое в виде Здесь Kh постоянные числа, для которых сходится ряд Оператор L (четного порядка) имеет чисто непрерывный спектр, который совпадает с положительной полуосью. На непрерывном спектре возможны спектральные особенности первого порядка в точках ( — } ft = 1,2, .... Отметим, что для оператора -Ч -± 0/( У утверждение теоремы 1.4.3 остается в силе, если fl(X) - равномерная почти-периодическая функция, удовлетворяющая условиям (б;.(см.теорема 1.4.4). Это усиливает результат Гасымова М.Г. [6J . Пусть пі гЄ-и, S0 =ff. o a JL } , {p-jfct 2 ЯГ ) m 2 + Qtop c —z— S- . Тогда также доказывается, что при Х- Р Р О. 30 U S резольвента является интегральным оператором с ядром - 9 при Р Є S 0 (см.теорема 1.4.6). Имеет место ТЕОРЕМА 1.4.7. Оператор L (нечетного порядка) имеет чисто непрерывный спектр, который заполняет вещественную ось. В 1.4 для ядра резольвенты оператора L (нечетного порядка; получено следующее интегральное представление: _оо Далее используя (7) в 1.5 доказана ТЕОРЕМА 1.5.1. Пусть JL(CC} дважды непрерывно дифференцируемая финитная функция на f- оо, оо) . Тогда (0(1) разлагается по собственным функциям непрерывного спектра оператора L (нечетного порядка) по формуле: о где интеграл сходится равномерно по В этом же параграфе формула (8) распространяется на функции (X") L0 (-, оо) ; при этом сходимость интегралов в (8) следует понимать в смысле метрики пространства /.«(г00 00). В 1.5 доказана следующая теорема о равносходимости. ТЕОРЕМА 1.5.3. Пусть у(Х ) G L. (-cso7 ). Тогда при - оо : эс + оо разложение по главным функциям оператора (нечетного порядка) ведет себя в отношении сходимости так же как и обычный интеграл Фурье. В частности, оно сходится . ІЧ (Х4-д)+ -4- (Х-оИ если (ffx") имеет ограниченную вариацию в окрестности точки X. - 10 В главе 2 изучается возмущение периодического оператора 2 її) -го порядка из рассматриваемого в главе I класса с экспоненциально убывающим потенциалом» Отметим, что периодический оператор ZYr\ -го порядка, коэффициенты которого удовлетворяет условиям (2),(3) при olh =h изучен Гасымовым М.Г. [7 J , а возмущение периодического оператора Штурма-Лиувилля с финитным потенциалом исследована Керимовым Я.Р., Соловьевым А.Н. [I3J . Возмущение спектра самосопряженных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами изучались в работе Рофе-Бекетова Ф.С. [24] . Глава 2 состоит из двух параграфов. В 2.1 изучается спектр и резольвента оператора Т , порожденного выражением Здесь С0 , - некоторые положительные константы, а /?С#0, У= О і , . .. ,2/71-2. удовлетворяет условиям (2),(3) прио/н=/1. Очевидно, что Т является несамосопряженным оператором и может быть самосопряженным только тогда, когда Ру(Э) 01 X=0,lf ... ,2/71-2, 0.(30 вещественная. Обозначим через Т0 оператор, порожденный выражением 0(Ц} » Q оператор умно - II жения на OCX") . Если (?0Сэс,Т,Р) ядро резольвенты оператора Т0 , то уравнение.О фундаментальной системе решений уравнения
Разложение по собственным функциям и теорема о равносходимости
Спектр и резольвента оператора
Разложение по собственным функциям оператора
Похожие диссертации на Спектральный анализ одного класса несамосопряженных дифференциальных операторов
