Содержание к диссертации
Введение
1. О существований и единственности решений задачи коши и начально-краевых задач в неограниченных областях
1. Определения и вспомогательные предложения 20
2. Первая начально-краевая задача в ограниченном цилиндре 24
3. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши 29
4. Теоремы существования и единственности решений первой начально-краевой задачи в неограниченных областях. 47
2. О поведений решений началшо-краешх задач в окрестности нерегулярных точек границы и на бесконечности
5. Априорные оценки решений псевдопараболических уравнений в ограниченных областях 68
6. Априорные оценки решений начально-краевых задач в окрестности нерегулярных точек границы и на бесконечности 90
7. Примеры оценок для конкретных областей 104
3. О поведении решений краевых задач при Ь-*">. задача без начальных условий
8. Априорные оценки решений в нецилиндрических областях. Поведение обобщенных решений первой краевой задачи при i-> + oo 115
9. Задача без начальных условий 124
Литература 134
- Первая начально-краевая задача в ограниченном цилиндре
- Теоремы существования и единственности решений первой начально-краевой задачи в неограниченных областях.
- Априорные оценки решений начально-краевых задач в окрестности нерегулярных точек границы и на бесконечности
- Задача без начальных условий
Введение к работе
В диссертации рассматривается псевдопараболическое уравнение вида
- эллиптические операторы. Здесь и в дальнейшем предполагается суммирование по повторяющимся индексам от У до /г . Частным случаем /I/ является уравнение
и± -уди± -ли /3/
с положительной константой П , которое описывает такие процессы, как охлаждение сложных сред [I, 2], фильтрация однородных жидкостей в трещиноватых породах ГЗ], затвердевание глины [4], излучение в газах [5], движение неныотоновских жидкостей [6], влагопе-ренос в почвогрунтах [7, 8].
Одним из вопросов, рассматриваемых в диссертации, является вопрос о единственности решений задачи Коши и краевых задач в неограниченных областях для псевдопараболических уравнений в классах растущих функций.
Впервые задача Коши для общей системы линейных дифференциальных уравнений вида
##,/&$-/, К *&)*.
где X = №i}...7 CO*.) » V^...,^;, М и ./, - квадратичные
- 4-матрицы с полиномиальными относительно операций j %~- коэффициентами, зависящими от , была рассмотрена в [9] С.А.Гальпер-ном в классе функций, интегрируемых с квадратом по & вместе с некоторым числом производных. В [10] для системы /4/ с постоянными коэффициентами А.Г.Костюченко и Г.И.Эскин построили классы единственности и корректности задачи Коши для случая растущих начальных данных и решений.
Исследование вопросов единственности и существования решений задачи Коши для уравнений /I/, /3/ и систем более общего вида в различных функциональных пространствах получило дальнейшее развитие в работах [11-17]. Так единственность решения задачи Коши в классах растущих функций была доказана В.Ранделлом и К.Коснером в [16] для уравнения
где I - тождественный оператор, в двух случаях: I/ операторы М и L - эллиптические вида /2/, причем I±-L , а коэффициенты допускают некоторый рост на бесконечности, 2//Y - эллиптический оператор вида /2/, /, - произвольный дифференциальный оператор порядка не выше второго, а коэффициенты уравнения ограничены и не зависят- от В случае I/ доказательство основано на использовании принципа максимума, который для псевдопараболических уравнений выполняется при наличии целого ряда ограничений [I], [18-20].
В диссертации теоремы единственности решений задачи Коши и первой начально-краевой задачи в неограниченных областях для уравнения /I/ с растущими коэффициентами доказаны в классах растущих функций, причем класс функций, в котором имеет место един-
- 5 -ственность решения первой начально-краевой задачи в неограниченной области, определяется геометрическими характеристиками области. Эти теоремы получены с помощью априорных оценок, аналогичных принципу Сен-Венана в теории упругости, которые выведены в диссертации методом весовых функций, предложенным О.А.Олейник и Г.А.Иосифьяном в [21]. Этим методом получены также априорные оценки решений задачи без начальных условий, из которых следует единственность решения данной задачи.
С помощью оценок, аналогичных принципу Сен-Венана, в диссертации доказаны теоремы о существовании обобщенных решений задачи Коши, первой начально-краевой задачи в неограниченной области и задачи без начальных условий на основе метода, разработанного О.А.Олейник и Г.А.Еосифьяном в Г25], а также исследовано поведение решений начально-краевых задач и их производных по X в окрестности нерегулярных точек границы и на бесконечности с помощью метода, предложенного О.А.Олейник и Й.Копачеком в [28]. Априорные оценки сен-венановского типа для псевдопараболического уравнения /3/ получены в [22, 23], а для уравнений более общего вида в [24].
Изучению асимптотического поведения решений задачи Коши и краевых задач в цилиндрических областях для псевдопараболических уравнений при г ->*> посвящены работы [II], [12], [14], [27], [26].
В диссертации получены оценки, характеризующие поведение решений первой краевой задачи для уравнения /I/ при г-?"0 в нецилиндрических областях, учитывающие геометрические характеристики этих областей.
Следует отметить, что теория псевдопараболических уравнений является в настоящее время активно развивающейся областью теории дифференциальных уравнений в частных производных и различным ее
- б -
аспектам посвящены, кроме перечисленных ранее, работы [29,30], [34-48].
Перечислим коротко основные результаты диссертации.
В главах І-ІІ уравнение 111 рассматривается в области
G-{xt{:XtQ, 0
Пусть функции /71% Ґ{ Ґ/} /п' // /п, , 4, /П1Х (*») измеримы и ограничены в любой конечной подобласти области г і,/'-/г...
для всех f**, (xj)e ; пусть существуют'постоянные llo?0 P^d^/ и J$>0 такие, что
в " при всех !?$? . В случае, когда (х,г)= О в " [С- /г.т /г) , положим и-О .
Заметим, что полученные результаты можно распространить на более широкий класс уравнений, так как заменой U(X^)=&"&$ уравнение III сводится к уравнению
для функции V(xt і) .
Пусть задано начальное условие
U/fm0=(f(X), Х&, /5/
и граничное условие
U/ = 0 1Ы
- 7 -где %*&, Ху, C?
В главе I строятся классы единственности и существования решений задачи Коши и первой начально-краевой задачи в неограниченных областях для случая растущих начальных данных. Для этого предварительно выводятся энергетические оценки, аналогичные принципу Сен-Венана в теории упругости. В I вводятся некоторые обозначения и понятия, формулируются определения Функциональных пространств и для элементов этих пространств доказываются неравенства, аналогичные неравенству іридрихса. В 2 доказывается теорема о существовании и единственности обобщенного решения первой начально-краевой задачи в ограниченном цилиндре. В 3 сначала выводятся энергетические оценки типа Сен-Венана, а затем на основе этих оценок доказываются теоремы о существовании и единственности обобщенного решения задачи Коши в классах растущих функций.
Пусть СО - некоторая подобласть области . Обозначим
0)М=/х,і: Х6СО, І=Т}9 tt[OyT].
Для любых целых неотрицательных чисел fi и % через Ндг / &J обозначим пространство функций, полученное пополнением по норме
//и// % - (J (я ^ffdxdif м
множества бесконечно дифференцируемых в U функций U($} ) с компактным носителем в QK ff , где &С$U'U)(o). Положим На it (Q) 'fyfc (Q, 0) ЧеРез fy (Од, fy) обозначим пространство функций, полученное пополнением по норме
МЙ*(ЇИ (S&vfdxf1
T со W*t множества бесконечно дифференцируемых в СО функций V(z) с компактным носителем в СО ч 6^ , где бісдсд .
Пусть для любого ограниченного цилиндра Q
Определение I. Функция UfOCji) называется обобщенным решением задачи /I/, /5/, /6/ с П.-Г в неограниченной области /?, если для любого ограниченного цилиндра QC и функция U-
j(/n$u.v yr +mcu. v * ти, v + Ґ'их. vx, +
+ е'и^ v + fuv) dxdi=Sfvdxdt. /8/
В случае y?~/Rx задача /I/, /5/, /6/ является задачей Коши и изучается в 3.
Обозначим Щ ={х:/Х/<А}7 && = fy*Wfy S = ЭсО^Щ
Е^иЫ^ ищ+(/*№$фиХ/ иХс + (т -/^4 )иї+
Пусть /n^xJj-^/n^/X.V^ Л70(/Х/) и пусть в случае, когда tf^ О в & , выполнено одно из условий:
либо г*(х,щ-ь *с(Ао,/*1)(/1.**к*НФ*.Щ-ft,
либо /nVfcttf.Z ? лг„ {/cc/)/F/*- М
- 9 -для любых ?*JP- , (%,) G- , где /7?0(&) и /Пое>(&) - (функции, измеримые и ограниченные снизу положительными числами на каждом конечном отрезке f^ff^J1с'[0} ^ , Cuofi)- положительная функция, измеримая и ограниченная на каждом отрезке /5^,^7^
Лемма I. Пусть U(X,) является обобщенным решением задачи Коши /I/, /5/ . в слое &*{х,: CC<fc%} Р<*Т}ъ пусть ($:^)=0 в /у , (fCx)=0 в &/jy . Тогда для любого^л/^ справедлива оценка
"*
«г #^ /^ A)rtAjJ$u, и)е-У*Лх^ /I0/
где (?<И0<щ H , Л fan)- любая непрерывная на Гп^п^] функция, удовлетворяющая соотношению
<- <У /; л/ jjEfaMe^dS 1 /и/
-f-d
'"'/X/
где ^Tfc - множество бесконечно дифференцируемых в окрестности Ь>у функций, равных нулю в окрестности элемент /Z -мерной поверхности bs .
Оценка /10/ соответствует принципу Сен-Венана в теории упругости. С ее помощью доказывается следующая теорема о единственности обобщенного решения задачи Коши.
Теорема I. Пусть функция U(&,) является обобщен-
- 10 -ным решением задачи Коши /I/, /5/ 0,1=0 в сг и У'О в /\ х и пусть при некотором yU-?yU0 Л(д, А) - непрерывная ъа.Г(7,о) функция, удовлетворяющая соотношению /II/ при А г О . Тогда, если для некоторой последовательности положительных чисел {nKj такой, чноПи'?0^ при: К-9 со, выполнены соотношения
J Efa u)e2yU dx di .< tofjjdCu, A)dM{«), /12/
где ё{6х)-*0 щък-1 , то U^O в G-'.
С помощью доказанных в I неравенств, аналогичных неравен-
ству фридрихса, оценивается 0(М,Ю и показывается, как можно
выбрать ЯСи,^) при различных условиях на коэффициенты. В
частности, для уравнения ^i"U^xx ~0 в $х * (0,Т) легко по
казать, что в качестве можно взять jlfrufy* & . Решение
данного уравнения с начальным условием U/^_ 0 г О вида
ир^аШе^+ёШе'* где a(6)J(t)eefCot7]* а(о)=Ш=оч
показывает, что условие /12/ в определенном смысле неулучшаемо. Теорема 2. Предположим, что существует бесконечная последовательность ограниченных цилиндров ч!;-СО- х(0,Tt))у= О,/,...t таких, что ф с$/+4} (/б- = ^={х,і- Я^х} 0
& .. .. *«
Пусть /Л и выполнено условие /9/, а на
рост tf(x,) и ^7^ наложено следующее ограничение
- II -
где K-0,-f,~.., постоянные ё , at , Mf не зависят от /С и удовлетворяют неравенствам P<<-f-c, 0
/nfyfW I $ ц* fir* etvdt J'
Тогда существует единственное обобщенное решение задачи Коши /I/, /5/, для которого имеет место оценка
где постоянные не зависят от /С.
Аналогично для первой начально-краевой задачи в неограниченной области в 4 сначала выводятся оценки типа Сен-Венана, учитывающие геометрические свойства области и затем с их помощью доказываются теоремы о существовании и единственности обобщенного решения. При этом рассматриваются области як , лежащие в полупространстве /сс: Х7>0]у у которых пересечение с гиперплоскостью {^:^f-AJ. &>0} не пусто и ограничено, а также области jc , имеющие конечное число ветвей, уходящих по различным направлениям в бесконечность.
Первая начально-краевая задача в ограниченном цилиндре
В цилиндре b(-iX,r:CC6Jt 0 t rj f где СО - ограниченная область пространства /Кх с кусочно гладкой границей дсО , рассмотрим псевдопараболическое уравнение с начальным условием и граничным условием Здесь и в дальнейшем предполагается суммирование по повторяющимся индексам от I до /Z . Пусть функции ЛІ?Є?Є$ /П ?/71, Є} Є6) /П при /Г=С измеримы и ограничены в Q, feb/Q), ftLJQ), 4/4.... л . пусть в области Q e&fr, /J= Є#(х,і)9 eVf.fi о, т /f.fi тсо /f/f Є(х,і)?0 для любого f /Re , где /n00 Co/ist?0 ; пусть существуют постоянные /уСр ZOt Р С й / и /В? О такие, что при всех Будем говорить, что функция &№, ) является обобщенным решением уравнения /2.1/ в Q , удовлетворяющим начальному условию /2.2/ и граничному условию /2.3/, если U&, )-(/№) Hi(1(Q,S UCO(o))K если при любой функции trfylJe-fyeffyS) ътт.- нено интегральное тождество В частности, о может быть пустым множеством, либо совпадать с о . В случае, когда (f(Z) принадлежит пространству Hf(cdfV), УбдсО , функцию U(cct) будем назьюать обобщенным решением уравнения /2.1/ в Q. , удовлетворяющим начальному условию /2.2/ и однородному граничному условию UL, = 0 , где Теорема 2.1. Пусть выполнены перечисленные ранее условия на коэффициенты. Тогда существует единственное обобщенное решение уравнения /2.1/ в в. , удовлетворяющее начальному условию и/, -О на &)fo) и граничному условию UL - О . Доказательство. Дяя доказательства достаточно показать, что существует функция Uficti) n/jiQ (/Сд[о))% удовлетворяющая интегральному тождеству при любой функции и каком-нибудь М? 0 Действительно, если Vftct) fy0,(Q S)% то функция Ф fa,/)-- jV-ficTje c/z принадлежит пространству fyti(Q, SVteM) Подставляя Ф(Х,) в /2.6/, получим /2.5/. Зафиксируем произволь-М?М и введем обозначения Легко проверить,что ftfi Uj является билинейным ограниченным положительным функционалом, заданным на П/і((2 Sl/COfo)J . Его ограниченность следует из ограниченности коэффициентов уравнения.
Проверим положительность функционала. Интегрируя по частям, учитывая условия на коэффициенты и используя неравенства /1.2/-/1.5/, получим Линейный функционал fpj определен для любой функции Tfa JeZ/fffiS, SUcO(o)) и ограничен, так как По теореме Лакса-Мильграма [33] существует единственная функция U(x )6f/it1(Q,SU0O(o)) такая, что 4г(Ф)=а,@,и) для любой Ф(%,)Hi, (QSl/0)(o)j, то есть выполнено тождество /2.6/. Теорема доказана. Теорема 2.2. Пусть выполнены перечисленные в начале параграфа условия и /lfyi, )=0 в Q% /,—, П Тогда существует единственное обобщенное решение задачи /2.1/, /2.2/, /2.3/ с S--S и в случае, когда P&d / при любых Р /-d и для него справедливо неравенство Доказательство. Доказательство существования функции Ufr,) такой,что pfrfisUte,i)-fte)tttf(6L, SUcJfo)) и удовлетворяющей интегральному тождеству /2.5/ равносильно доказательству того, что существует функция й(х,{)/ (0 (/СО(о)У которая при любой функции VftCfl)f/j0(QtS) удовлетворяет интегральному тождеству где =/ - -/.. , P =fy#. , /,..., к Оч идно, что /? Z(Q) и р1 /, (Q) i" /t.f ft По теореме 2.1 такая функция &&,) существует и единственна, а это означает, что и задача IZ.YI, /Z.2/ , /2.3/ с S =0 однозначно разрешима. Для того, чтобы получить оценку /2.7/ в интегральном тождестве /2.5/ положим 7 =61 0 /y0(Q?S) и преобразуем отдельные члены интегрированием по частям. Получим В силу условий на коэффициенты Оценим интеграл: Учитывая эту оценку и условия на коэффициенты, из /2.10/ получим /2.7/. Теорема доказана. 3. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши В слое fi={xfi- X$Xf с? 2 FJ для уравнения /2.1/ рассмотрим задачу Коши с начальным условием для (Х,і)є и любых ,{Є ft" , где oT&J, МЩ Xft), tJfftn)- положительные функции, измеримые и ограниченные на каждом конечном отрезке . Пусть существуют постоянные lioZO, 0 u- j[ и А 0 такие, что в & выполнены неравенст ва /2,4/и пусть в случае, когда выполнено одно из условий: либо для любого ре $л , где С (//о, 6) положительная функция, измеримая и ограниченная на каждом конечном отрезке /fy Jijcfo, )» Mpofa) кция» измеримая и ограниченная снизу положительной константой на любом конечном отрезке /я, ](/"&, Сґ0) Обобщенным решением задачи Коши /2.1/, /3.1/ будем называть функцию U/x, і) , которая для любого ограниченного цилиндра является обобщенным решением уравнения /2.1/ в Q , удовлетворяющим начальному условию Обозначим 6 =/k /ЯкЖ}, @ = & х ґ& /7 где f(M,U) определена в /2.8/, УТЬ- множество бесконечно дифференцируемых в окрестности S функций, равных нулю в окрестности SA/lcOA(o) 4dS- элемент площади /2-мерной поверхности о& . Покажем, что & fa,"-) 0 при любых / 4 и » Пусть V foo ) - произвольная бесконечно дифференцируемая в окрестности S& функция, равная нулю в окрестности I. Рассмотрим сначала случай, когда /&,)=(? в ff /і ]/ z /%1 Учитывая условия на коэффициенты и применяя неравенство Коши, оценим где f - произвольная положительная константа, Р ь(&)= -mtxfrM A) ШМ М)Ь + , МУТЬ Но это означает, что $fa"-)t J7s)y Заметим, что, если /7ilf oc,-i:)EO fct---,1)) в оценке /3.7/ можно положить vtyffi()=0. Если, кроме того, в /3.7/ положить = oYfy то II. Рассмотрим случай, когда и выполнено условие /3.3/. Тогда в цг для любого f e и любого 1( имеет, место неравенство при С и, / ) = [/уи.+ С - #„, /х/)2 "У /з. ю/ В самом деле, из /ЗЛО/ следует, что Условие /3.3/ можно записать в виде используя /3.11/, получим откуда сразу следует /3.9/. Учитывая условия на коэффициенты и /3.9/, оценим интеграл: где г - произвольная положительная константа. Из /3.7/ и /3.12/ получаем Заметим, что, если /7lL[xti)=0 в & &=/,..-,п) , в оценке /3.13/ можно положить J/f(-A)=0 . Если, кроме того, в /3.13/ по- ложить - f III.
Теоремы существования и единственности решений первой начально-краевой задачи в неограниченных областях.
В области Сг 1%,и:ХЬс, 0 t /J t Где 2 - неограниченная область пространства /\х , определенной в I, рассмотрим уравнение /2.1/ с начальным условием и граничным условием для любой ограниченной области COcQ. Обобщенным решением задачи /2.1/, /4.1/, /4.2/ в цг будем называть функцию U№, ) , которая для любого ограниченного ци линдра является обобщенным решением уравнения /2.1/ в Q , удовлетворяющим начальному условию на cOfo) tt/,_0 Y&) и граничному условию L = & » где Пусть функции /tf jf /f// / / // /72, / 4 1 ПР11 в измеримы и ограничены в любой конечной подобласти области @ = fa)f tj /3...fn Пусть существуют постоянные 0&a j/ и 0 такие, что в выполнены условия /2.4/. Рассмотрим сначала случай, когда область ж лежит в полу пространстве /х: о) и множество не пусто и ограничено при любом 71 О , Пусть, кроме перечисленных условий, для fc,i) и любых fytft , где ;ед; Л%г / ,/ &f#f) - положительные функции,определенные при Я , 0 , измеримые и ограниченные на каждом конечном интервале (" -i, )c (ffyoo) , причем ftlpofai) , кроме того, ограничена снизу положительной константой на любом конечном интервале A Cfy / Положим прИу / и ; ? где $ &Л& :2i nj, # = /.. Ь - множество бесконеч но дифференцируемых функций в окрестности V , равных нулю в окрестности определено в /2.8/, Р(ф =Pfv)m определено в /3.5/.
Покажем, что при выполнении перечисленных условий на коэффициенты GCU,A) Заметим, что, если Ufyi) - бесконечно дифференцируемая функция в окрестности е%, равная нулю в окрестности /1 0 , то для нее верны неравенства которые доказываются аналогично неравенствам /1.2/ и /1.3/.Здесь Си) - постоянная такая же, как в /1,3/, а положительная посто- янная Cffy) зависит только от размеров множества -Ж/11% Stf-nJ в пространстве /л = /а ..., Ооп) . Так, если /& лежит в параллелепипеде, наименьшее ребро которого равно {&), то Пусть функция Vfxt) бесконечно дифференцируема в окрест ности j и равна нулю в окрестности и пусть 1 лежит в параллелепипеде, наименьшее ребро которого равно $?() Оценим для нее интеграл где =&,&,",&) Используя далее условия на коэффициенты и неравенства /4.5/, /4.6/, получим Следовательно, рьф & ss@[лг(А)Лч(А)/г$ ft) Для любого множества положим Лемма 4.1. Пусть U(Xf і) является обобщенным решением уравнения /2.1/ в области и , 0 r/-/soo , удовлетворяющим начальному условию U/, -О на Jf2H (о)ж граничному условию UL- O , и пусть /{Z /EO В иц . Тогда при любом /г?//с справедливы оценки. при любая непрерывная функция такая, что P 2Ut, А) (-f-d)g(yU, А). Доказательство. Очевидно, что функция Ф$и,Хі&,$яьт&Е ьк решением уравнения удовлетворяющим условию PLU, йі} щ, 7?)=1 Определим функцию у fir J 9 полагая yfiCf) - $(/, &і, %} fi) при А СС А, и У fir J- $fiu, 6 ,fyff) при 0 3/ &o . Положим в интегральном тождестве /2.5/ Q ft% V U ty-/)? , f- & преобразуем некоторые члены интегрированием по частям. Используя введенные в /2.8/, /3.5/ обозначения и учитывая, что у зависит лишь от Х , получим В силу условий /2.4/ Оценим третий интеграл в /4.II/. Пусть последова- тельность функций, бесконечно дифференцируемых в Uj и равных нулю в окрестности /$ - & » сходящаяся в норме пространства //ft I&у ) к функции U(Zf ) Легко видеть, что Учитывая условия на коэффициенты, /4.12/ и /4.15/ из /4.II/ получаем Положим в /4.16/ сначала /?- ? и преобразуем к виду Из этого неравенства сразу следует оценка /4.8/. Пусть теперь ft 0 . Преобразуем /4.16/ к виду Отсюда следует, что Устремляя в этом неравенстве &0 к нулю, получим оценку /4.9/. Лемма доказана. Теорема 4.1. Пусть U(%,T) является обобщенным решением задачи /2.1/, /4.1/, /4.2/ в U, причем (ffx)E О на 3 , и пусть при каком-нибудь /г0 2С ЛУ непрерывная YLK{0?G O) функция, удовлетворяющая соотношению Р Я(/г,А)$ $(f-d)fiCtffy Тогда, если для некоторого =C0/isf?& и некоторой последовательности положительных чисел &. -т при /-ЇС вы- полнены соотношения Доказательство. Фиксируем произвольное пк из последовательности с;} Из леммы 4.1 и условия /4.17/ вытекает для любого /Ж . Устремляя в этом неравенстве / к , полу чим, что . Так как пк выбрано произвольно, то U=0 в и . Теорема доказана. Заметим, что для конкретных уравнений 7А) можно оценить точнее, чем в /4.7/. Рассмотрим примеры. Будем предполагать, что положительная непрерывно дифференцируемая на / 00 J функция. Пример 4.1. В области О рассмотрим уравнение По формулам /2.8/ и /3.5/ для него (#,&) = У- У-4Х /%Л" -U, U, Пусть V fst ) бесконечно дифференцируемая в__окрестности . функция, равная нулю в окрестности . Исполь- зуя неравенство /4.6/, оценим интеграл где ё?0 - произвольная константа.
Выберем ё так, чтобы . Тогда неравенство /4.19/ примет вид и, следовательно, О(//,&)? %tfo) Если в теореме 4.1 положить {)- Л{//&) =! то условие /4.17/ примет, вид Заметим, что это условие для уравнения /4.18/ является точным, так как существует нетривиальное решение U(cc,i)= $()-S(о)) х C#f-y- - -Sri ! уравнения /4.18/ с однородным начальным и граничным условиями, где щ)- произвольная непрерывно дифференцируемая на функция, для которого Пример 4.2. Пусть в области цг задано уравнение Для него по формулам /2.8/ и /3.5/ (/г?и)= U . + U +ulx » Р{и)-ІІх U, Пусть Vfict) бесконечно дифференцируемая в окрестности Sf функция, равная нулю в окрестности (FL/}(o))flS. Используя неравенство /4.6/, оценим интеграл где ж К - произвольные константы такие, что 0, 0 У . Выберем и X так, чтобы -=/(.1 = примет вид и, следовательно, U{,&)? (/+ 1/уаг(6)). Если в теореме 4.1 положить Ct{A) f, ЛСи,)= (/ &?&)) то условие /4.17/ примет вид Это условие является точным для уравнения /4.20/, т.к. существует нетривиальное решение U(x,v)= f()-(о))C&J—-& х xSnn-f--o х. уравнения /4.20/ с однородными начальным и граничным условиями, где &/т) - произвольная непрерывно дифференцируемая на функция, для которого Пример 4.3. В области V рассмотрим уравнение По формулам /2.8/ и /3.5/ для него PfuJ-fU + ГІ) І Г и и ус и аа . Пусть trfx,4) бес конечно дифференцируемая в окрестности Л/ функция, равная нулю в окрестности используя неравенство /4.6/, оценим интеграл . При этом неравенство /4.23/ примет вид и, следовательно, fj/t )?{j+ У?аУЛ)) № -%uJA # В теореме 4.1 для уравнения /4.22/ можно положить ЛСи А) - /У& (TLJJ н0 ИСП0ЛЬЗуя прием, с помощью которого из теоремы 3.1 бьша получена теорема 3.2, можно доказать следующее утверждение. Пусть U(Xi)- обобщенное решение уравнения /4.22/ в области От с однородными начальным и граничным условиями. Тогда, если при некоторых ot Of JUI 0} О 0 и некоторой последовательности положительных чисел 71г ? э при / -? имеем Для доказательства заметим, что ALu ) щжіг-їео равномер но сходится к на множестве (0? ooj . Поэтому для любого {%%) существует / (? такое, что для любого м /-Я (A, )- )/ при любом scY є/ vo) . Пусть Mt rrutxUtj /г ) , тогда 4.1 U= С? Утверждение доказано. Если 2/%)=-/ , то класс единственности рассматриваемой выше задачи для уравнения /4.22/ определяется функцией frcpfg I/-/+ j-Z жЛ . Заметим, что эта же функция определяла класс единственности для уравнения /4.20/, что естественно в силу того, что уравнение /4.22/ заменой и=2ґб сводится к уравнению /4.20/ для функции fr tyi). Рассмотрим теперь случай неограниченной области Qz , имеющей конечное число ветвей, уходящих по различным направлениям в бесконечность. Пусть { 2 -j - семейство ограниченных подобластей области && , зависящее от параметра Т= (Ti}... T J /J= =/r-0 r oof X=S,.. ;A/JH пусть SS Q , , если Г при /f= /,...f/V, Обозначим Vt д2р ч д 52 Предположим, что существуют, векторы jf s ( ..-,f/iJ, i"; f единичной длины такие, что принадлежит гиперплоскости /р , ортогональной вектору , и расстояние между f и /1, равно /Тк - Тк/ . Обозначим «%7% /5?#, = І?,. 7 Л # I J JTL / -,//.
Априорные оценки решений начально-краевых задач в окрестности нерегулярных точек границы и на бесконечности
В эт-ом параграфе с помощью оценок, доказанных в 5, получим оценки, характеризующие асимптотическое поведение решения начально-краевой задачи для уравнения /2.1/ и его производных по sc при больших значениях одного из пространственных перемен- ных, а также оценки, которые позволяют исследовать характер обращения в нуль решения и его производных по л? в нерегулярных точках границы. В области - неограни- ченная область пространства $ , определенной в I, рассмотрим уравнение /2.1/ с начальным условием и граничным условием Пусть функции /?zf f /П /П, 4 4, тх ПРИ г измеримы и ограничены в и 0 -/,.-,/і) для &z,i)efi и любых jf Л , где Х,М,,М, Л? /ПО0 -положительные константы; пусть существуют постоянные J&j. р , P d / и, у такие, что в выполнены условия /2.4/. Всюду далее в главе II будем рассматривать обобщенные решения уравнения /2.1/ в неограниченной области " из пространства Функцию и(ос,-) назовем обобщенным решением уравнения /2.1/ в области С?, удовлетворяющим начальному условию /6.1/ и граничному условию /6.2/, если и ес- ли для любой (функции / ї) Є r/f0 (ftГ/справедливо интегральное тождество /2.5/ с вместо Положим, как и ранее в 4, для любого множества Лемма 6.1. Пусть неограниченная область «W такова, что множество не пусто и ограниче- но, п-CP/lsiX? . Пусть функция U(cc,-i) является обобщенным решением уравнения /2.1/ в / с yfo JHO в н » удовлетворяющим граничному условию М/гт+ -О и начальному условию на &с!ц(о). Тогда для любого АС lt0 и любого & Н справедливы оценки У?&, где tCU}U) определена в /2.8/, функция определена при любая непрерыв- ная функция такая, что PtJlUl, sCi) ff-d)3CU,X-i) при Я « где Q(M,Xi) определена в /4.4/, - постоянная из условия /2.4/. Доказательство.
Определим функцию (f i)» по лагая tffah$U, а , //, ф) при // Xt и ffaM $А, 4 Н%) при t%f?fy . Заметим, что функция бМ,%/,М,#) является решением уравнения Jx - (f- )Jl/UtXi)x, 3Cf%H , удовлетворяющим условию {/U, //,//,$) Положим в интегральном тождестве /2.5/ С помощью интегрирования по частям, используя введенные в /2.8/ и /3.5/ обозначения и учитывая, что Y зависит только от Яу , получим Точно так же, как в лемме 4.1 была получена оценка /4.15/, доказывается, что Учитывая /6.9/ и условия на коэффициенты, из /6.8/ получаем Положим в /6.10/ сначала /?- и преобразуем к виду Из этого соотношения сразу следует оценка /6.5/. Пусть теперь /7у О . Из /6.10/ следует, что Устремляя в этом неравенстве к w , получим оценку /6.6 /. Лемма доказана. Будем говорить, что локальное преобразование координат принадлежит классу (АС, &.) в области СО , если сущест вует обратное преобразование CC=F" (ц) , переводящее СО; в сд и если производные вектор-функций до порядка 4? включительно соответственно в областях СО и СО ограничены по-отоянной /Ґ. Следующая теорема характеризует поведение обобщенного решения уравнения /2,1/ в области (г при Xf-?&o . Теорема 6.1. Пусть область й? такая, что множество fy -&/1{Х Я}=А}щм.П7гЧне пусто и ограничено f/A eo/isfooj и при некоторых постоянных /\ А1 i" Q. t+ f+fg j, t#0 и любом выполнено одно из условий: I/ существует(f(A) (ft-vfnpnj и преобразование координат U=F(x) из класса /л, у » переводящее множество Ы (п в (А)7 7L-+6 №)) во множество 6% такое, что % 8(A)?ft (A)yft(AMJ\ 2/ любая точка X=(-6,x) из либо является центром шара радиуса/?/%А /, принадлежащего л» / , либо (А? $) принадлежит окрестности СО некоторой точки 3:/? #?, и существует окрестность СОг ЭСО/ точки X такая,что при некотором преобразовании U- F(z) из класса (К% 1/ переходит в шар радиуса Я А (А) , причем СОг/] 2 переходит в полушар, плоская часть границы которого является образом с02Ґ)dJ3 ,и образ /Лб? содер- жится в концентрическом полушаре радиуса А (A), ZP3 (п/й / пусть тїгїїС &), ти .теС Щ), М - Щ Тогда для любого обобщенного решения урав- нения /2.1/ в области fry , принадлежащего пространству па і [CrfH, A)J при любом it /п, ) и удовлетворяющего начальному условию и граничному условию М-/р+ = О , для любого U U0 справедлива оценка если для п выполнено условие і/, гії)=дЩ если для (п,я) выполнено первое из условий 2/ и Tfn) -Sup/ h- Xil ес« ли для (п,&) выполнено второе из условий 2/. Постоянная С не зависит от Utyt) и точки {,%, ) . функция 5 АгМ,&) определена в /6.7/, a C/UtA) - любая непрерывная функция, удовлетворяющая соотношению при ?// , где А- М-Ш),6+?(4)) к Uif берется по пространству //f/i[A, Ж - Доказательство. Пусть для Н выполнено условие I/. При локальном преобразовании координат fy rfe) область &(Л-6 (4і) A + fr(A)) перейдет в область U-fc . Затем в области Ufa перейдем к новым независимым переменным л - JO/IT) % =--- f i= Л,..v / и обозначим через CO образ Очевидно, что U)=fy: /Zf/ V&, /й/ }с / :// /}, Ч[ г,.../0 Обозначим Q/isfe,t:2ffy9 Яг Г}, 9Є& ={ , :/$/ $! 1 . Ясно, что во множество дву перейдут только точки из = trfef{A№,+f/i!Jt/}/%j, І) ФУНКЦИЯ TlTfct) является обобщенным решением уравнения в области Qfc с начальным условием 1 %-0 Р на сО (о)ж граничным условием М /ор» 0 , где - якобиан преобразования Х- f ty) . Очевидно, что №(,) будет также обобщенным решением уравнения /6.13/ в области 0= сох ft rj fc / /яг,А А, /І А с начальным условием и граничным условием &/ = ? , где Je=fej:/% / % /Z/=J, P t Tj . Заметим, что в $ для уравнения /6.13/ выполнены все условия теоремы 5.1. Действительно, из /6.14/ и того, что Ffic) принадлежит классу (к,#+/) получаем, что , о , С r (bcj t2 f и, ё С% ($)7 % /,..., /Z . Из условий /6.4/ следует, го F V , а из условия /6.3/ следует, что С& УТк Яоо /f/Z Для fci) и любого $#$ , где положи- тельная постоянная &09 оценивается через Л И Я7о0. Так как по условию ,Ф// [ (А-Ш), А+Г(Л))] то функция Поэтому, применяя теорему 5.1, получим, что у функции ZtTfafy для любого опреде- лен след на множестве lpj и справедливо неравенство где положительная постоянная л/ зависит от / /f /і, 0 t?00 и максимума норм функций & , , то из /6.14/ следует, что .// не зависит от w.
Из теоремы вложения С.Л.Соболева следует, что для любого / t[P ТУ функция №(к, с0) принадлежит пространству / ( C J, и выполняется неравенство /»/ Щгшы2 "MfyfrWJ. /6.16/ Вернемся к старым переменным , учитывая, что где (TI;CC)J, , постоянная « зависит от л , а постоянная./ зависит от Объединяя /6.17/ и /6.18/, будем иметь для / / где ( ,3/ и постоянная « г не зависит от : . Из /6.19/ и /6.12/ следует, что И J Рассмотрим случай, когда для п. выполнено условие 2/. Если ос= (Л, %у является центром шара радиуса А (А) , который содержится в , то, полагвя - получим, что в области //ц0= Hu0 (Qu , где &У- шар в про- странстве К и единичного радиуса с центром в точке У = /п /) функция #7 ) является обобщенным решением уравнения с начальным условием P"/, =0}Ц&и Применяя теорему 5.1, получим, что для любого функции-V"fUt і) определен след V(t/,o) на множестве Зи№ )= fy tt By 4 /» и выполняется оценка где ву&у шар радиуса J , лежащий в гиперплоскости f/=j с центром в точке (j/io) » а положительная постоянная не зависит от 7t . Применяя теорему вложения С.Л.Соболева, из /6.21/ получим неравенство Вернемся к переменным (х,4), учитывая, что /6.23/ Из /6.2I/-/6.23/ и оценки /6.5/ леммы 6.1 получим Если выполнено второе предположение в условии 2/, то положим . функция является в области /7=Jfx{0,7T) » где JET, - полушар пространства $у радиуса d, обобщенным решением уравнения с начальным условием W/ =0Є и граничным условием Wj e-O , где ? - плоская часть границы дХ СО,Т)? где а/ - якобиан преобразования Х=Ґ М Применяя теорему 5.1, теорему вложения С.Л.Соболева и лемму 6.1, как и в предыдущих случаях, получим оценку /6.II/. Теорема доказана. Следующая теорема характеризует поведение обобщенного решения уравнения /2.1/ в окрестности нерегулярных точек границы.
Задача без начальных условий
В эт-ом параграфе с помощью оценок, доказанных в 5, получим оценки, характеризующие асимптотическое поведение решения начально-краевой задачи для уравнения /2.1/ и его производных по sc при больших значениях одного из пространственных перемен- ных, а также оценки, которые позволяют исследовать характер обращения в нуль решения и его производных по л? в нерегулярных точках границы. В области - неограни- ченная область пространства $ , определенной в I, рассмотрим уравнение /2.1/ с начальным условием и граничным условием Пусть функции /?zf f /П /П, 4 4, тх ПРИ г измеримы и ограничены в и 0 -/,.-,/і) Пусть й (vcft O в / --/,..., м) и fe/,/ff). Пусть для &z,i)efi и любых jf Л , где Х,М,,М, Л? /ПО0 -положительные константы; пусть существуют постоянные J&j. р , P d / и, у такие, что в выполнены условия /2.4/. Всюду далее в главе II будем рассматривать обобщенные решения уравнения /2.1/ в неограниченной области " из пространства Функцию и(ос,-) назовем обобщенным решением уравнения /2.1/ в области С?, удовлетворяющим начальному условию /6.1/ и граничному условию /6.2/, если и ес- ли для любой (функции / ї) Є r/f0 (ftГ/справедливо интегральное тождество /2.5/ с вместо Положим, как и ранее в 4, для любого множества Лемма 6.1. Пусть неограниченная область «W такова, что множество не пусто и ограниче- но, п-CP/lsiX? . Пусть функция U(cc,-i) является обобщенным решением уравнения /2.1/ в / с на &с!ц(о). Тогда для любого АС lt0 и любого & Н справедливы оценки У?&, где tCU}U) определена в /2.8/, функция определена при любая непрерыв- ная функция такая, что PtJlUl, sCi) ff-d)3CU,X-i) при Я « где Q(M,Xi) определена в /4.4/, - постоянная из условия /2.4/. Доказательство. Определим функцию (f i)» по лагая tffah$U, а , //, ф) при // Xt и ffaM $А, 4 Н%) при t%f?fy . Заметим, что функция бМ,%/,М,#) является решением уравнения Jx - (f- )Jl/UtXi)x, 3Cf%H , удовлетворяющим условию {/U, //,//,$) Положим в интегральном тождестве /2.5/С помощью интегрирования по частям, используя введенные в /2.8/ и /3.5/ обозначения и учитывая, что Y зависит только от Яу , получим Точно так же, как в лемме 4.1 была получена оценка /4.15/, доказывается, что/j/te e dxd ifi- - Учитывая /6.9/ и условия на коэффициенты, из /6.8/ получаем Положим в /6.10/ сначала /?- и преобразуем к виду Из этого соотношения сразу следует оценка /6.5/.
Пусть теперь /7у О . Из /6.10/ следует, что Устремляя в этом неравенстве к w , получим оценку /6.6 /. Лемма доказана. Будем говорить, что локальное преобразование координат принадлежит классу (АС, &.) в области СО , если сущест вует обратное преобразование CC=F" (ц) , переводящее СО; в сд и если производные вектор-функций до порядка 4? включительно соответственно в областях СО и СО ограничены по-отоянной /Ґ. Следующая теорема характеризует поведение обобщенного решения уравнения /2,1/ в области (г при Xf-?&o . Теорема 6.1. Пусть область й? такая, что множество fy -&/1{Х Я}=А}щм.П7гЧне пусто и ограничено f/A eo/isfooj и при некоторых постоянных /\ А1 i" Q. t+ f+fg j, t#0 и любом выполнено одно из условий: I/ существует(f(A) (ft-vfnpnj и преобразование координат U=F(x) из класса /л, у » переводящее множество Ы (п в (А)7 7L-+6 №)) во множество 6% такое, что Ї/ ((А -, ,) причем во множество i/z/ - A WJпереходят только точки из 3LQ. % 8(A)?ft (A)yft(AMJ\ 2/ любая точка X=(-6,x) из либо является центром шара радиуса/?/%А /, принадлежащего л» / , либо (А? $) принадлежит окрестности СО некоторой точки 3:/? #?, и существует окрестность СОг ЭСО/ точки X такая,что при некотором преобразовании U- F(z) из класса (К% 1/ переходит в шар радиуса Я А (А) , причем СОг/] 2 переходит в полушар, плоская часть границы которого является образом с02Ґ)dJ3 ,и образ /Лб? содер- жится в концентрическом полушаре радиуса А (A), ZP3 (п/й / пусть тїгїїС &), ти .теС Щ), М - Щ Тогда для любого обобщенного решения урав- нения /2.1/ в области fry , принадлежащего пространству па і [CrfH, A)J при любом it /п, ) и удовлетворяющего начальному условию и граничному условию М-/р+ = О , для любого U U0 справедлива оценка если для п выполнено условие і/, гії)=дЩ если для (п,я) выполнено первое из условий 2/ и Tfn) -Sup/ h- Xil ес« ли для (п,&) выполнено второе из условий 2/. Постоянная С не зависит от Utyt) и точки {,%, ) . функция 5 АгМ,&) определена в /6.7/, a C/UtA) - любая непрерывная функция, удовлетворяющая соотношению при ?// , где А- М-Ш),6+?(4)) к Uif берется по пространству //f/i[A, Ж - Доказательство. Пусть для Н выполнено условие I/. При локальном преобразовании координат fy rfe) область &(Л-6 (4і) A + fr(A)) перейдет в область U-fc.
Затем в области Ufa перейдем к новым независимым переменным л - JO/IT) % =--- f i= Л,..v / и обозначим через CO образ Очевидно, что U)=fy: /Zf/ V&, /й/ }с / :// /}, Ч[ г,.../0 Обозначим Q/isfe,t:2ffy9 Яг Г}, 9Є& ={ , :/$/ $! 1 . Ясно, что во множество дву перейдут только точки из = trfef{A№,+f/i!Jt/}/%j, І) ФУНКЦИЯ TlTfct) является обобщенным решением уравнения в области Qfc с начальным условием 1 %-0 Р на сО (о)ж граничным условием М /ор» 0 , где - якобиан преобразования Х- f ty) . Очевидно, что №(,) будет также обобщенным решением уравнения /6.13/ в области 0= сох ft rj fc / /яг,А А, /І А с начальным условием и граничным условием &/ = ? , где Je=fej:/% / % /Z/=J, P t Tj . Заметим, что в $ для уравнения /6.13/ выполнены все условия теоремы 5.1. Действительно, из /6.14/ и того, что Ffic) принадлежит классу (к,#+/) получаем, что , о , С r (bcj t2 f го F V , а из условия /6.3/ следует, что С& УТк Яоо /f/Z Для fci) и любого $#$ , где положи- тельная постоянная &09 оценивается через Л И Я7о0. Так как по условию ,Ф// [ (А-Ш), А+Г(Л))] то функция Поэтому, применяя теорему 5.1, получим, что у функции ZtTfafy для любого опреде- лен след на множестве lpj и справедливо неравенство где положительная постоянная л/ зависит от / /f /і, 0 t?00 и максимума норм функций & , , то из /6.14/ следует, что .// не зависит от w. Из теоремы вложения С.Л.Соболева следует, что для любого / t[P ТУ функция №(к, с0) принадлежит пространству / ( C J, и выполняется неравенство где (TI;CC)J, , постоянная « зависит от л , а постоянная./ зависит от Объединяя /6.17/ и /6.18/, будем иметь для / / где ( ,3/ и постоянная « г не зависит от : . Из /6.19/ и /6.12/ следует, что Применяя оценку /6.5/ леммы 6.1, получим И J Рассмотрим случай, когда для п. выполнено условие 2/. Если ос= (Л, %у является центром шара радиуса А (А) , который содержится в , то, полагвя - получим, что в области //ц0= Hu0 (Qu , где &У- шар в про- странстве К и единичного радиуса с центром в точке У = /п /) функция #7 ) является обобщенным решением уравнения с начальным условием P"/, =0}Ц&и Применяя теорему 5.1, получим, что для любого функции-V"fUt і) определен след V(t/,o) на множестве Зи№ )= fy tt By 4 /» и выполняется оценка где ву&у шар радиуса J , лежащий в гиперплоскости f/=j с центром в точке (j/io) » а положительная постоянная не зависит от 7t . Применяя теорему вложения С.Л.Соболева, из /6.21/ получим неравенство Вернемся к переменным (х,4), учитывая, что /6.23/ Из /6.2I/-/6.23/ и оценки /6.5/ леммы 6.1 получим Если выполнено второе предположение в условии 2/, то положим . функция является в области /7=Jfx{0,7T) » где JET, - полушар пространства $у радиуса d, обобщенным решением уравнения с начальным условием W/ =0Є и граничным условием Wj e-O , где ? - плоская часть границы дХ СО,Т)? где а/ - якобиан преобразования Х=Ґ М Применяя теорему 5.1, теорему вложения С.Л.Соболева и лемму 6.1, как и в предыдущих случаях, получим оценку /6.II/. Теорема доказана. Следующая теорема характеризует поведение обобщенного решения уравнения /2.1/ в окрестности нерегулярных точек границы. Теорема 6.2. Пусть область & лежит в полупространстве /сс1?(?} и для некоторого п=const 0 множество 1/ при Р А$/-/ не пусто и ограничено.
