Содержание к диссертации
Введение
1 Структура асимптотического разложения решения вблизи линии слабого разрыва 12
1.1 Асимптотический ряд 12
1.2 Асимптотика первого коэффициента 14
1.3 Асимптотика второго коэффициента 18
1.4 Асимптотика остальных коэффициентов 34
2 Асимптотика вблизи точки градиентной катастрофы 38
2.1 Анзац 38
2.2 Решения первых двух уравнений 40
2.3 Существование решений остальных уравнений 52
3 Пограничный слой вблизи линии сильного разрыва для решения уравнения Бюргерса 63
3.1 Точное решение 63
3.2 Асимптотика функций Ф+иФ" 65
3.3 Асимптотика функции Ф 71
3.4 Асимптотика решения задачи 72
Работы автора по теме диссертации 74
Литература
- Асимптотика первого коэффициента
- Асимптотика остальных коэффициентов
- Решения первых двух уравнений
- Асимптотика решения задачи
Введение к работе
Современные асимптотические методы в теории дифференциальных уравнений развивались благодаря работам Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Митро-польского [7], А.Н. Тихонова [77], А.Б. Васильевой [13], Л.С. Понтряги-на [72], Е.Ф. Мищенко и Н.Х. Розова [62], О.А. Олейник [69], М.И. Ви-шика и Л.А. Люстерника [17], [18], О.А. Ладыженской [48], В.П. Масло-ва [57], [58], [59], [60] (и др. [10], [11], [12], [14], [53], [61], [64], [71], [80], [86]), а также работам М.С. Аграновича и М.И. Вишика [1], А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузова, А.В. Нестерова [8], [9], [14], [15], [16] по теории экспоненциальных пограничных слоев.
В ряде случаев решения вспомогательных задач пограничного слоя имеют нарастающие степенные особенности. Такие бисингулярные задачи характерны для областей с негладкими границами, а также при наличии малых полостей, тонких щелей и тел и т.п. Их исследование является одним из направлений научной школы A.M. Ильина. В частности, изучаются решения задачи Коши для нелинейных уравнений в частных производных с малым параметром при различных начальных данных.
Основным методом построения равномерных асимптотик бисингуляр-ных задач является метод согласования асимптотических разложений. И, хотя идеи метода высказаны Прандтлем еще 1904 году [91], а процедура согласования использовалась Ван-Дайком [12], Л. Френкелем [89] и В. Экхаузом [88], однако строгое обоснование асимптотических разложений, построенных таким методом, особенно для задач с распределенными параметрами, появился сравнительно недавно в работах В.М. Бабича и B.C. Булдырева [2], [3], [4], A.M. Ильина [34], [35], [36], [37], [38], [40], [41], А.Р. Данилина [24], [25], [26], [27], P.P. Гадылынина [19], [20], [21],
Асимптотика первого коэффициента
Рассмотрим задачу Коши для квазилинейного параболического уравнения ди д(р(и) _ дги . . дї + дх = Єдх ( ] с ограниченной, непрерывной и кусочно гладкой начальной функцией и(х, — 1) = й(х). Будем предполагать, что (р Є С(Е) и ср"(и) 0. Без ограничения общности можно считать, что ф) = у (0) = 0, /(0) = 1. Тогда, как известно (см. [54, гл. V]), при є 0 данная задача Коши единственным образом разрешима в классе С(S) П C(S), где S = {(x,t) : х Є R, -Kt T]. Задача состоит в том, чтобы выяснить поведение решения u(x,t,e) при є- +0.
Нас будет интересовать случай, когда решение щ(х,і) вырожденной задачи (є = 0) при t 0 является гладкой функцией всюду за исключением линии _ = {(x,t) : х = 0, -1 0}} в точках которой само решение щ{х, t) непрерывно, а его производная по х имеет разрыв первого рода. Для простоты возьмем в качестве начальных данных, воспроизводящих описанную ситуацию, ограниченную функцию вида й{х) = -(х + ах2) в(-х) (1 + q(x)), (1.2) где а 0, 9 — функция Хевисайда, а носитель гладкой функции q лежит вне некоторой окрестности нуля. Кроме того, пусть начальная функция такова, что характеристики вырожденного уравнения не пересекаются при t 0, а для сколь угодно малого t 0 существуют характеристики, пересекающиеся в момент t. Чтобы это выполнялось, параметр а, входящий в правую часть (1.2), должен удовлетворять неравенству 6 = а - ср "(0)/2 0.
Отметим, что при t 0 для решения вырожденного уравнения справедлива формула ио(х,г) = и(у), (1.3) где у выражается через х и t с помощью уравнения характеристик x = y + yt{u{y))(t + l). (1.4) Из формул (1.2)-(1.4) вытекает, что du0(x,t) 1 du0(x,t) hm = - , lim = 0 . х- -0 ox t х- +0 ох Таким образом, на линии - решение щ{х, t) имеет слабый разрыв, за которым при t — 0 следует градиентная катастрофа: du{x,t) lim hm — = со. - -0a;- -0 OX При t 0 решение uo(x,t) разрывно на гладкой кривой х = s(t), определяемой из условия Гюгонио. Вблизи линии - асимптотика решения и(х, t, є) имеет вид ряда по полуцелым степеням є (см. [79]). Коэффициенты этого ряда имеют весьма сложную асимптотику при t — —0, которая и исследуется в этой главе. Разложение решения u(x,t, є) в окрестности линии слабого разрыва ищется в виде формального ряда V = J2ek/2Vk(Ct), (1.5) X где С = —= — новая независимая переменная. Тогда из уравнения (1.1), условия (1.2) и предположений относительно функции ip вытекает рекуррентная система начальных задач Подставляя эти выражения в (1.10), имеем Vl(C,0 = + о ( - g (7)) . г е sW = ч 4- (1-19)
Так как в области Z) функция g I ) достигает максимального зна чения при = р, справедлива формула (1.13). Пусть (,) Є D$. Если переписать выражение (1.16) через автомодельную переменную и разложить выражения для пределов интегрирования по формуле Тейлора, то при t - — 0 получатся следующие асимптотические формулы: ф(с, ) = йЩ7=1 + 5 + Е п+1(й) Г1/2+о( ( +1)4) , (1.20) п= где оо / ехр(-у2) dy а Рк(в) — полиномы степени к. Подставляя разложения (1.20) и (1.21) в (1.10), получаем формулу (1.14).
Для дальнейшего полезно иметь формулы для нескольких первых коэффициентов разложения (1.14) Ri,oM = Zo(0), Ді,од(0) = -Л(0)о(0), Rltot2(0) = - Нв) -29 (l + -) А2(в) + - Ц3(0), \/7Г \ 7Г/ А/7Г а также асимптотические разложения Л(0) = v 0 + + 0(Г3), 0- +оо, ) = - + 0(Г5), 0- +оо. Наконец, пусть ((,) Є .D+. Из формулы (1.12) следует, что при t — — О (с t]=Ш+ехр (-?) 2 т - л ю+о (ІІГ1-2 »- ) , v m=l (1.22) _____exp __j____ + , C p4m(C)+ + 0 JV(l-2pb2p \ (1 23) где C/2 DfO exp - +CjTe- c/y. — 00 Подставляя разложения (1.22) и (1.23) в (1.10), получаем формулу (1.15). Тем самым утверждение доказано.
Следующие коэффициенты разложения (1.5) являются решениями линейных уравнений с одним и тем же оператором, поэтому исследование их асимптотики проводится единообразно. Остановимся подробнее на асимптотике функции V2(,t) при t — —0. В области Q+ = {(х, t) : -KkO, х є 2} решение экспоненциально мало: 1 1\ Є-++0. u(x,t,e) = О I ехр 4є (1+ )]/ В области Q- = {(x,t) : -1 t 0, х -єС1" )/2}, 0 /5 1/2, асимптотика решения u(x,t,e) имеет вид ряда по целым степеням є с гладкими коэффициентами, зависящими от ж и (см. [42], гл.УТ):
Асимптотика остальных коэффициентов
Доказательство. Сначала найдем линейно независимые решения однородного уравнения (1.48). Для этого заметим, что любое решение этого уравнения имеет вид R = w , где w удовлетворяет уравнению w" -2(9 + ZQ(9)) W + 2 (1 + v) w = 0, которое в свою очередь приводится к уравнению Н"-29Н + 2ІУН = 0 (1.50) с помощью замены w = НА(9). Как известно (см. [87]), существуют два линейно независимых решения этого уравнения, такие, что при 9 ——сю одно из них — функция медленного роста, а другое представляет собой произведение функции медленного роста на ехр(#2). Обозначим эти решения Н и Н+, соответственно. Тогда в качестве решений однородного уравнения (1.48) возьмем функции R- = (#-Л) R+ = (Я+Л) , 1.3. Асимптотика второго коэффициента 29 которые при в — 1 удовлетворяют следующим неравенствам: Д-(0) M\0\mi ехр(-02), \R+(9)\ М\9\т\ (1.51) причем производные этих функций удовлетворяют аналогичным оценкам. Введем обозначение Y(9) = F{9)W l{9), где обозначает вронскиан. Тогда из вида W{9) и оценки (1.47) следует, что Y{9) является функцией медленного роста на —оо. В качестве решения неоднородного уравнения (1.48) возьмем функцию вида в в R{9) = R {9) J R+{s)Y(s) ds - R+(9) f R {s)Y{s) ds. 0 -oo
Осталось заметить, что из неравенств (1.51) вытекает оценка (1.49). Тем самым утверждение доказано. Интересно отметить, что при целом v = п решения Н и Н+ уравнения (1.50) можно записать в явном виде. Именно, при п О Н (в) = Я„(0), в Н+(9) = Hn{9)fexp(z2)dz-Sn-1(9)exp(92), о а при п — 1 в Н {9) = Я_п_х(0) ехр(02) J exp(-z2) dz + S_„_2(0), -00 H+(9) = H.n (9)exp(92), где Нп и Нп — полиномы Эрмита вещественного и мнимого аргументов яв(в) = (-1)- ( ) . 2.dnexp(02) d9n Нп(в) = ехр(-02) а полиномы Sn определяются следующим образом (для 5П формулы те же, если вместо Н подставить Я): п S_i(0) = O, Sn(e) = Y,(-l)mHtl(0), гь О. (1.52) m=0 С учетом этого замечания решения уравнения (1.45) при т = 0,1 и уравнения (1.46) при т = 0 удается записать в сравнительно простой форме: #2,0,0(0) = -Ь 4в + 2 + А(9)- А\в) Зтг ЗуД (1.53) #2,0,1(0) = g V5F Д2,і,о(0) = " ( ) (-166 4 + 12)Л(6») + 32(02 +1) Л3(0) №3 + ЩАЧе) 7Г 1 + =Л(0) - -Л2(0) (1.54) (1.55) Произвол, связанный с возможностью добавить решение однородного уравнения, устраняется условием согласования асимптотик функции У2(С) 0 в областях D nD[
Из формул (1.45), (1.53)-(1.55) вытекает, что функция #2,0,2(0)+ 2 ЛО)02-26 удовлетворяет линейному уравнению с оператором Т_2 из левой части (1.45) и неоднородностью порядка О (в6е 9 ) при в - —со. Следовательно, уравнение (1.45) при т = 2 имеет единственное решение, для которого выполняется асимптотическое соотношение 2,0,2( ) = -2 (0) + 26 + 0( 6- ), 9- -оо. (1.56) Это вытекает из леммы 1.2 и из того, что к решению неоднородного уравнения нельзя добавлять решения соответствующего однородного уравнения, одно из которых 1 + - Л(0)--Л2(0) \/7Г 7Г имеет конечный ненулевой предел при в — — оо, а другое 1 + іл(в) оо е у dy в ИМееТ ПОРЯДОК 0( 93ехр(#2)) При в — +00. Отметим, что каждая из оставшихся функций R2}S,m(0) определена с произволом в одну константу, так как к этим функциям можно добавить экспоненциально убывающее при в — —оо решение соответствующего однородного уравнения. Прежде чем обосновывать асимптотику функции г г(С, t) в области D$, докажем следующее вспомогательное утверждение. Лемма 1.3 Пусть для достаточно большого N гладкая в полосе {{x,t) : -l t O, хвЩ функция F((,t) удовлетворяет неравенствам М Г(1 + СЛ). rn N. (1.57) dmF(U) dtm Тогда для С const справедливо разложение t +00 jV_1 G(r] -C,t- s)F(r,, s) drjds = Y, tmQm{0 + 0 (\t\N) , t -» -0, -1 -oo m=0 (1.58) где Qm — гладкие фу?ікции.
Доказательство. Левую часть формулы (1.58) обозначим через g((,t). Представим функцию #(С, ) в виде (1.41). Производные, входящие в это выражение, оценим с помощью формулы (1.42). Из (1.57) вытекает, что каждое слагаемое в (1.42) ограничено, если ограничена величина . Следовательно, все пределы в формуле (1.41) имеют смысл и справедливо разложение (1.58). Тем самым утверждение доказано.
Решения первых двух уравнений
Приведем также некоторые явные выражения из первой главы, существенные для дальнейших доказательств: i,o,oW = oW = (lnA(e)),l (2.19) Rw(0) = -Л (0), (2.20) Д2,о,о(0) = ь бу/ТТ 37Г (2.21) Лемма 2.1 При п —2 уравнение TnR = F мооїсет иметь только одно ненулевое решение R такое, что #(0)Ксі0п, в 1, (2.22) \R(9)\ c2\9\-n-\ 0 -1, (2.23) где с\ 0 и С2 0.
Доказательство. Предположим, что есть два таких решения. Обозначим через Q их разность. Таким образом, TnQ = 0. Путем замены Q = (НА) приходим к уравнению Эрмита Н" - 2ЄН + 2пН = 0. Хорошо известно (см., например, [55, гл. X]), что при п 0 решения этого уравнения выражаются через вырожденную гипергеометрическую функцию. Однако здесь более удобно выбрать решения как в работе [5 ]: в Н (в) = /L„_i(0) ехр(02) J exp(-z2) dz + 5_n_2(0), (2.24) -со э2 Н+(в) = у/ЇН-п-іУ) ехр(02), (2.25) где Нп(в) — полиномы Эрмита мнимого аргумента, а полиномы Sn{&) определены в (1.52). Функции (Я+Л) и (Н А) образуют фундаментальную систему решений уравнения TnQ = 0. Из (2.24) и (2.25) вытекает, что функция Я = Я+ - Н является единственным (с точностью до множителя) решением уравнения Эрми-та, для которого выполняется соотношение Щ(0) = ап0п + О (вп-2), 0- +оо. (2.26) Поэтому из условия (2.22) следует, что Q{6) = ап[Н п{ЄЩв)], ап ф 0. Пользуясь формулами (2.24) и (2.25) получаем Щ(в) = /Зпв "-1 ехр(02) (1 + 0 (9-п-2)), 9 - -со. (2.27) Из последних двух соотношений и (2.14) вытекает, что Q(9) = М п 2(1 + о(1)), В - -со, Ьп ф 0. А это противоречит условию (2.23). Лемма доказана. Из (2.2) при р = 2 и s = 0 получаем ряд, в который должно разлагаться решение уравнения (2.4): оо «ЪоК, г) = J2 г(2-3 )/2ЛМ)о№, г - -со. (2.28) k=i Положим --ЩТ (2 29) оо Ф(, г) = У ехр ґ-ys3 + rs2 - &А ds. (2.30) о Теорема 2.1 Функция W2,o, определенная вьіраоїсепиями (2.29) и (2.30), является решением уравнения (2.4), для которого в области Х = {«,т) : К М1- , г 0} (0 7 1/2), справедлива асимптотическая формула (2.28). Доказательство. В формуле (2.30) сделаем замену s = Тогда
Если разбить область интегрирования на два промежутка: от 0 до ІтІ1/2-7 и от 1т]1/2-7 до со, и разложить на первом промежутке ехр{—у 3г 3/2} по формуле Тейлора, то в области Х получится следующее выражение: ( )- {Ej(-3 )T I-(« + l«b, [Р- о + О (т-3 +1)7) 1. Распространим интегрирование до бесконечности, тогда, остаточный член изменится на величину 0Лт-2(ІУ+1)7ехр{_1г1-27Л После замены переменной интегрирования ш + в = у получившиеся интегралы можно вычислить по частям. Сравнивая результат с (2.24) и (2.25), получаем 00 АР фк ) = г{3р+1У2 №W«) - и м (2-31) Подставляя ряд (2.31) в (2.29), приходим к разложению оо «%оК, г) = \rf-3k)/2RkM»), (2-32) =1 где первые два коэффициента Лідо(#) и R,2,o,o(0) совпадают с R\fifi(0) и - 2,о,о( )) соответственно, как видно из явных выражений (2.19) и (2.21). Поэтому осталось доказать, что Rk,o,o(0) = Rk о,о(0) ПРИ к 3.
Ряды в правых частях (2.28) и (2.32) имеют одинаковый вид и являются асимптотическими решениями уравнения (2.4); следовательно, функции Rk,o,o и Rk,o,o удовлетворяют одной и той же рекуррентной системе обыкновенных дифференциальных уравнений Л—2 Т-зк+2ІЇк,о,о = 2 2_j Rk-m,o,oR m+i,o,o, к 3. (2.34) ТТ1=1
Воспользуемся леммой 2.1 при п — —Зк + 2. Согласно (2.15) и (2.18) условия этой леммы выполняются для функций Rk,o,o- Из оценки (2.33) вытекает выполнение условия (2.23) для функций Rk,o,o, а из (2.26), (2.31) и (2.29) — выполнение условия (2.22). Применяя индукцию по индексу к, заключаем, что Rk,o,o(0) = Rk,o,o{Q) при к 3. Таким образом, теорема 2.1 полностью доказана. Теперь перейдем к уравнению (2.5). Положим "3 Т)=[Ф( Г)Р ді (2-35) Теорема 2.2 Функция и з,(ь определенная вираоїсеииями (2.30) и (2.35), является решением уравнения (2.5), для которого в области Х справедлива асимптотическая формула юз,о(,т) = W Q( ,T) при т - —сю
Асимптотика решения задачи
Решение предельного (є = 0) уравнения (главный член внешнего разложения) проще всего найти с помощью метода характеристик:
Асимптотика функций Ф+ и Ф При t 0 характеристики пересекаются, поэтому функция г о имеет разрыв на линии х = s(t), определяемой из условия Гюгонио АО = \ЫФ) - о, t) + «оМО + 0, )]
Однако линию разрыва можно найти из других соображений; а именно, из уравнения F-(y-(x,t),x,t) = F+(x,x,t), где y (x,t) есть точка локального максимума (см. выражение (3.6)). С помощью формулы (3.8) это уравнение приводится к виду 9а2(1 + t)x2 + 2a(9t + S)x - Zt2 = 0. Откуда , (+ 4)3/2 - 9 - 8 S« S 9 (3-4) При t — 0 справедлива формула V ; 16a 128a V Цель работы состоит в нахождении асимптотики решения и{х, t,e) при є — +0 в окрестности (точный вид которой выяснится ниже) линии + — {х = s(t)}. Несмотря на существование явного решения его асимптотика носит довольно сложный характер. Нахождение асимптотики требует весьма аккуратного исследования интегралов, зависящих от нескольких параметров.
Сделаем замену переменной интегрирования у = х + 2zy/e{l + t) в интеграле +(x,t,e): со 2 Ф+(х,,є) = expl-о (ж - УУ 4(1 +і) \dy = 2y/e(l + t) f e z2dz г7ф+ї) 3.2. Асимптотика функций Ф+ и Ф Видно, что здесь естественным образом возникает растянутая переменная С = х/л/є. 2\A+t Ф+(я,t,e) = 2л/єтт{1 + ) - 2хА(1 + t) I e z2dz. —оо После интегрирования по частям получаем выражение Ф+(х, t, є) = 2 ЩїТТ) - MLtll ехр J -j y} + л/ф+7) У fe. (3.5) Интеграл Ф (я, і, є) удобно представить в виде суммы у+Ы) о Ф-(ГЕ, І, Є) = Ф;(я, і, є) + ФЬ (М, є) = /" eF ledy+ J eF edy, -оо 2/+( ,0 где 2/+(я,) — точка локального минимума функции F (y,x,t) по переменной у.
Асимптотика интеграла tyj(x,t,s) находится с помощью метода Лапласа. Поэтому в дальнейшем потребуются выражения для экстремальных точек функции F по переменной у (при фиксированных х и t) и значений функции F и ее производных в этих точках.
Сформулируем основной результат этой главы. Теорема 3.1 В области С1а для решения задачи (3.1) справедлива асимптотическая формула и N-1 (x,t,E) = Y eP/2hp(c7,(:,t) + 0(eN), р=0 (3.17) где N — со при N — со. Главный член этого разлооїсения имеет вид 2/ф) -С/(2ч/ГЙ) ho{v,C,t) = 1 + K{t)e a + А У э —2 -С?2Г -00 кроме того, /її (a, , i) = 0. Доказательство. Подставим выражения (3.5), (3.15), (3.16), в формулу (3.3) и умножим числитель и знаменатель получившегося выражения на
Это приводит нас к формуле (3.17). Вне Qa при t 0 решение и(х, t, є) разлагается в асимптотический ряд по целым степеням є. Тем самым построено и обосновано равномерное асимптотическое рвзложение решения задачи (3.1) всюду в полосе —1 t Т, где Т - любое положительное число. Работы автора по теме диссертации [1 ] Захаров С. В., Ильин А. М. Асимптотика решений квазилинейного параболического уравнения вблизи линии слабого разрыва // Тезисы докладов международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения". Челябинск: ЧГУ, 1999. С. 53. [2 ] Захаров С. В., Ильин А. М. Asymptotics of a solution of a quasilin-ear parabolic equation near the line of weak discontinuity // Тезисы международной конференции "Differential and Functional Differential Equations". Москва: МАИ, 1999. С. 47-48. [3 ] Захаров С. В. О влиянии малой диссипации на эволюцию слабого разрыва решения транспортного уравнения // Тезисы международной конференции "International Conference on Differential Equations and Dynamical Systems". Владимир: ВГУ, 2000. С. 133-134. [4 ] ІГіп A. M., Zakharov S. V. On the influence of small dissipation on the evolution of weak discontinuities // Functional Differential Equations. 2001. N. 3-4. P. 257-271. [5 ] Захаров С. В., Ильин А. М. От слабого разрыва к градиентной катастрофе // Матем. сб. 2001. Т. 192. № 10. С. 3-18. [6 ] Данилин А. Р., Захаров С. В., Ильин А. М. Применение метода согласования асимптотических разложений к решению краевых задач //Современная математика и ее приложения. Т. 5. Асимптотические методы анализа: Академия Наук Грузии, Институт Кибернетики. 2003. С. 33-78. Работы автора по теме диссертации [7 ] Захаров С. В. Зарождение ударной волны в одной задаче Коши для уравнения Бюргерса // Жури, вычисл. матем. и матем. физики. 2004. Т. 44. № 3. С. 536-542.
