Содержание к диссертации
Введение
2 Уравнения с нелокальными младшими членами 12
2.1 Определение фундаментального решения в случае одной пространственной переменной 13
2.2 Свертка фундаментального решения с ограниченными функциями 16
2.3 Решение задачи Коши 25
2.4 Многомерный случай 32
2.5 Единственность решения 44
2.6 Асимптотические свойства решения 49
2.7 О смысле условия положительной определенности 69
3 Уравнения с нелокальными старшими членами 74
3.1 Случай факторизуемого фундаментального решения 74
3.2 Существование и единственность решения задачи Коши 78
3.3 Поведение решения при t —> оо 82
3.4 Случай нескольких пространственных переменных 91
3.5 Стабилизация решения в случае нескольких пространственных переменных 99
3.6 Общий случай неоднородного эллиптического оператора 104
3.7 Общий случай нефакторизуемого фундаментального решения 120
4 Сингулярные интегродифференциальные уравнения 149
4.1 Основные определения и обозначения 149
4.2 Фундаментальное решение сингулярного интегро-дифференциального уравнения 151
4.3 Обобщенная свертка фундаментального решения с ограниченными функциями 153
4.4 Решение неклассической задачи Коши 159
4.5 Случай неоднородного уравнения 169
5 Сингулярные функционально-дифференциальные уравнения 175
5.1 Постановка задачи 176
5.2 Фундаментальное решение сингулярного функционально-дифференциального уравнения 177
5.3 Обобщенная свертка фундаментального решения с ограниченными начальными функциями 180
5.4 Решение неклассической задачи Коши для сингулярного функционально-дифференциального уравнения 183
5.5 Случай неоднородного сингулярного уравнения 191
5.6 Единственность решения сингулярной задачи 198
5.7 Асимптотика решения сингулярной задачи 203
Литература
- Свертка фундаментального решения с ограниченными функциями
- Существование и единственность решения задачи Коши
- Обобщенная свертка фундаментального решения с ограниченными функциями
- Обобщенная свертка фундаментального решения с ограниченными начальными функциями
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена следующим вопросам: существование классических решений задачи Коши для параболических функционально-дифференциальных уравнений, представление указанных решений интегральными формулами пуассоновского типа и качественные свойства указанных решений.
Рассматриваются уравнения второго порядка, содержащие, кроме дифференциальных операторов, операторы сдвига (обобщенного сдвига), действующие по пространственным переменным. Эта задача принадлежит к классу нелокальных задач, изучение которых было начато еще в классических работах Я.Д.Тамаркина, М.Пиконэ и Т.Карлемана. Дальнейшее свое развитие теория функционально-дифференциальных (в частности, дифференциально-разностных) уравнений получила в трудах А.Д.Мышкиса, а впоследствии она глубоко и интенсивно развивалась многими математиками (см. монографии1,2,3 и имеющуюся там библиографию. Общая теория эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений (разрешимость, априорные оценки, гладкость обобщенных решений, спектральные свойства операторов) разрабатывалась в 4,5,6,7,8,3,9,10,п (см. также имеющуюся в этих работах библиографию) и многих других работах различных авторов.
Основное внимание диссертационной работы сосредоточено на интегральных представлениях и качественных свойствах решений исследуемых задач. Как известно, весьма характерным для параболических задач эффектом является стабилизация их решений. Это явление, впервые отмеченное еще в довоенных работах И.Г.Петровского и А.Н.Тихонова, заключается в существовании у решения конечного предела (в том или ином смысле) при t —> оо. Классическим примером результатов такого рода является
1 Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир,
1967.
2 Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир,
1984.
3 Skubachevskii A. L. Elliptic lunctional differential equations and applications.
Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 1997.
4 Di Blasio G., Kunisch K., Sinestrari E. irregularity for parabolic partial
integrodifferential equations with delay in highest-order derivatives // J. Math. Anal.
Applications. 1984. V. 102. № 1. P. 38-57.
5 Skubachevskii A. L. The first boundary value problem for strongly elliptic
differential-difference equations // J. Diff. Eq. 1986. V. 63. № 3. P. 332-361.
6 Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функционально-диффе
ренциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Матем. сб. 1995. Т. 186.
№ 8. С. 67-92.
необходимое и достаточное условие (поточечной) стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности с ограниченной начальной функцией: указанное решение стремится (поточечно) к константе тогда и только тогда, когда
1 Г
lim -—: / uo(x)dx
r^oo mes{|x|
\x\
существует и равен той же самой константе. Это необходимое и достаточное условие было найдено в12, а свое дальнейшее развитие теория стабилизации решений параболических уравнений получила в13,14,15,16,17 (см. также имеющуюся в этих работах библиографию) и многих других работах различных авторов.
В настоящее время классическую теорию стабилизации можно считать в основном построенной; в последние десятилетия исследовательские интересы сместились в направлении неклассических параболических задач. Данная диссертационная работа посвящена одной из таких неклас-
7 Skubachevskii A. L. Nonlocal elliptic problems and mulidimensional diffusion
processes J/ Rus. J. Math. Phys. 1995. V. 3. № 3. P. 327-360.
8 Скубачевский А. Л. О некоторых свойствах эллиптических и параболических
функционально-дифференциальных уравнений // УМН. 1996. Т. 51. № 1. С. 169—
170.
9 Скубачевский А. Л. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболи
ческого функционально-дифференциального уравнения // Дифф. ур-я. 1998. Т.
34. № 10. С. 1394-1401.
10 Skubachevskii A. L. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic
functional differential equations arising in optoelectronics // Nonlinear Anal. 1998.
Vol. 32. № 2. P. 261-278.
11 Скубачевский А. Л., Шамин P. В. Первая смешанная задача для парабо
лического дифференциально-разностного уравнения // Матем. заметки. 1999. Т.
66. № 1. С. 145-153.
12 Репников В. Д., Эйделъмам С. Д. Необходимые и достаточные условия уста
новления решения задачи Коши // ДАН СССР. 1966. Т. 167. № 2. С. 298-301.
13 Гущин А. К., Михайлов В. П. О стабилизации решения задачи Коши для
параболического уравнения // Дифф. ур-я. 1971. Т. 112. № 2. С. 297-311.
14 Гущин А. К. Стабилизация решения второй смешанной задачи для парабо
лического уравнения второго порядка // Матем. сб. 1976. Т. 101. № 3. С. 459-499.
15 Жиков В. В. О стабилизации решений параболических уравнений // Матем.
сб. 1977. Т. 104. № 4. С. 597-616.
16 Денисов В. П., Репников В. Д. О стабилизации решения задачи Коши для
параболических уравнений // Дифф. ур-я. 1984. Т. 20. № 1. С. 20-41.
17 Денисов В. П., Жиков В. В. О стабилизации решения задачи Коши для
параболических уравнений // Матем. заметки. 1985. Т. 37. № 6. С. 834-850.
сических областей - функционально-дифференциальным параболическим уравнениям.
Кроме регулярных уравнений (т. е. уравнений, коэффициенты которых не содержат особенностей), в диссертации изучаются сингулярные функционально-дифференциальные параболические уравнения, в которых по одной или нескольким пространственным переменным действует оператор Бесселя
1 д ( к д\ _ д2 к д
Ук ду V ду) ду2 уду
с положительным параметром к.
Особенности такого рода возникают в тех моделях математической физики, где характеристики среды (например, диффузионные или тепло-проводящие) имеют вырождающиеся неоднородности степенного вида.
Функционально-аналитические методы, необходимые для исследования таких особенностей, и построенная на основе этих методов общая теория указанных сингулярных уравнений разработаны в18. Параболические уравнения, содержащие оператор Бесселя, глубоко и подробно исследовались в19,20 (см. также имеющуюся в этих работах библиографию). Необходимые и достаточные условия стабилизации решений указанных сингулярных параболических уравнений найдены в [4], [14].
В диссертации исследуются сингулярные уравнения, содержащие, кроме оператора Бесселя, операторы обобщенного сдвига. Таким образом, изучаемые функционально-дифференциальные уравнения являются не только дифференциально-разностными, но и интегродифференциаль-ными.
Приложения теории параболических функционально-дифференциальных уравнений возникают в теории многослойных пластин и оболочек (см.3), теории диффузионных процессов, включая биоматематические приложения (см.7), моделях нелинейной оптики (см.21,22,9,10).
18 Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М: Наука,
1997.
19 Киприянов И. А., Катрахов В. В., Ляпин В. М. О краевых задачах в области
общего вида для сингулярных параболических систем уравнений // ДАН СССР.
1976. Т. 230. № 6. С. 1271-1274.
20 Матийчук М. И. Задача Копій для одного класса вырождающихся парабо
лических систем // Укр. матем. ж. 1984. Т. 36. № 3. С. 321-327.
21 Razgulin А. V. Rotational multi-petal waves in optical system with 2-D feedback
II Chaos in Optics. Proceedings SPIE. 1993. V. 2039. P. 342-352.
22 Vorontsov M. A., Firth W. J. Pattern formation and competition in nonlinear
optical systems with two-dimensional feedback // Phys. Rev. A. 1994. V. 49. № 4. P.
Цели исследования.
Доказать существование классических решений задачи Коши для дифференциально-разностных параболических уравнений второго порядка и получить представления указанных решений интегральными формулами пуассоновского типа.
Доказать существование классических решений сингулярной (неклассической) задачи Коши для сингулярных функционально-дифференциальных параболических уравнений второго порядка, содержащих операторы Бесселя, действующие по нескольким пространственным переменным, и получить представления указанных решений весовыми интегральными формулами пуассоновского типа.
3. Исследовать поведение найденных решений при t —> оо.
Основные результаты. Научная новизна
1. До сих пор разрешимость задачи Коши для исследуемых диффе
ренциально-разностных уравнений была установлена в весовых Соболев
ских классах (существование сильных решений)23,24.
В диссертации доказано существование классического решения, т.е. решения, обладающего всеми производными (в классическом смысле), содержащимися в уравнении, и удовлетворяющего уравнению поточечно в полупространстве R х (0, +оо), а начальному условию - в смысле одностороннего предельного соотношения при t —> +0 (поточечно в пространстве R"). Построен аналог фундаментального решения и доказано, что его свертка с любой непрерывной ограниченной начальной функцией определена во всем полупространстве Rn х (0, +оо) и удовлетворяет (в указанном классическом смысле) исследуемой задаче Коши. Доказано, что указанная свертка ограничена в слое R х [0, Т] для любого положительного Т, а значит, полученное решение единственно в классе функций, ограниченных в слое R х [0, Т] для любого положительного Т.
2. Результатами изучения качественных свойств полученных класси
ческих решений являются теоремы об их близости к решениям «эталон
ных» дифференциальных параболических уравнений (уравнений, для ко
торых асимптотические свойства решений хорошо изучены). Ранее такое
исследование было невозможно, поскольку указанные теоремы о близости
являются утверждениями о поведении решений на многообразиях малых
2891-2906.
23 Рабинович В. С. О дифференциально-разностных уравнениях в полупро
странстве // Дифф. ур-я. 1980. Т. 16. № 11. С. 2030-2038.
24 Рабинович В. С. О задаче Коши для параболических дифференциально-
разностных операторов с переменными коэффициентами // Дифф. ур-я. 1983.
Т. 19. № 6. С. 1032-1038.
размерностей (вплоть до одномерных многообразий), а существование следа на таком многообразии не может быть гарантировано вообще говоря, даже, для сильного решения.
В диссертации показано, что имеют место два принципиально различных случая: случай, когда нелокальными являются только члены нулевого порядка в уравнении (т.е. операторы сдвига действуют только на саму неизвестную функцию, но не на ее производные), и случай, когда нелокальными являются все члены уравнения (включая старшие производные). В первом случае по коэффициентам исходного параболического дифференциально-разностного уравнения строится вспомогательный дифференциально-разностный оператор, который затем исследуется на сильную эллиптичность в пространстве R": если она имеет место, то доказывается теорема о (весовой) близости решений, заключающаяся в равенстве нулю, при каждом фиксированном х из R, предела
t—>+оо
t і ., fxi + q\t xn + qnt ,
u[x, t) — v[ , .. ., , t
\ Pi Pn
здесь константы x,p\, ,p„, q„ определяются коэффициентами исходного дифференциально-разностного параболического уравнения, u{x,t) - исследуемое классическое решение, a v{x,t) - классическое решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с начальной функцией vo(x) = v>o(pixi,... ,рпхп), где uq{x) - начальная функция задачи Коши для исходного дифференциально-разностного параболического уравнения. Отметим, что в случае дифференциальных параболических уравнений подобный эффект преобразования аргумента «эталонного» решения наблюдается только при наличии в уравнении младших членов первого порядка, в то время как исследуемое дифференциально-разностное параболическое уравнение содержит только младшие члены нулевого порядка.
В случае, когда нелокальными являются члены любого порядка, ключевую роль играет сильная эллиптичность дифференциально-разностного оператора в правой части исходного дифференциально-разностного параболического уравнения: она обеспечивает и классическую разрешимость, и справедливость теорем о близости решений. В качестве «эталонного» уравнения в данном случае выступает дифференциальное параболическое уравнение, полученное из исходного функционально-дифференциального уравнения обнулением всех сдвигов.
Отметим, что, как и в случае ограниченной области (см. 9 монографии3), сильная эллиптичность дифференциального и дифференциально-разностного операторов различаются существенным образом.
3. Для сингулярных функционально-дифференциальных параболических уравнений, в которых по нескольким пространственным переменным (особые переменные) действуют операторы Бесселя и соответствующие им операторы обобщенного сдвига, а по остальным пространственным переменным (неособые переменные) - вторые производные и операторы сдвига, рассматривается задача в сегменте пространства, в котором время и все особые пространственные переменные положительны. На гиперплоскости {t = 0} задается обычное начальное условие, а на остальных граничных гиперплоскостях (т.н. особые гиперплоскости) - равенство нулю первой производной по соответствующей (нормальной) особой переменной (эти условия называются условиями четности). Сингулярные функционально-дифференциальные уравнения указанного вида ранее не изучались, а для сингулярных дифференциальных параболических уравнений указанная задача (называемая сингулярной задачей Копій) исследовалась в19,20 (см. также имеющуюся в этих работах библиографию).
В диссертационной работе доказано, что классическое решение исследуемой задачи, т.е. решение, обладающее всеми производными (в классическом смысле), содержащимися в уравнении, и удовлетворяющее уравнению в области поточечно, а условиям на граничных гиперплоскостях -в смысле одностороннего предельного соотношения, существует. Найден аналог фундаментального решения и получено интегральное представление решения задачи Коши в виде его обобщенной свертки с (непрерывной и ограниченной) начальной функцией (в обобщенной свертке по особым переменным вместо операторов сдвига действуют соответствующие операторы обобщенного сдвига, а мера Лебега заменяется на соответствующую весовую вырождающуюся меру). Установлен класс единственности решения. Доказана неклассическая (весовая асимптотическая) близость найденного решения и решения сингулярной задачи Коши для соответствующего сингулярного дифференциального параболического уравнения.
Теоретическая и практическая ценность
Результаты работы имеют теоретическое значение. Методы и результаты работы, кроме самостоятельного интереса с точки зрения теории параболических функционально-дифференциальных уравнений и неклассических сингулярных задач, могут иметь применения в нелинейной оптике, теории многослойных пластин и оболочек, теории диффузионных процессов (включая случаи, когда характеристики среды имеют вырождающиеся неоднородности степенного вида).
Апробация диссертационной работы
Результаты диссертации докладывались на семинаре Математического института им. В.А. Стеклова РАН под руководством акад. СМ. Ни-
Кольского и чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева; на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством В.А. Кондратьева, под руководством В.В. Власова и А.Г. Костюченко, под руководством В.В. Жикова, А.С. Шамаева и Т.А. Шапашниковой; на семинаре факультета ВМК МГУ под руководством акад. Е.И. Моисеева; на семинаре МАИ под руководством А.Л. Скубачевского; на семинаре МЭИ под руководством Ю.А. Дубинского; на семинаре МИИТ под руководством А.Д. Мышкиса; на симпозиуме Международного союза теоретической и прикладной механики (ГОТАМ) в Уорике (Великобритания) в 2000 году; на международных конференциях по дифференциальным уравнениям и смежным вопросам, посвященных И.Г. Петровскому, в Москве в 2001, 2004 и 2007 годах; на второй и третьей международных конференциях «Аналитические методы в анализе и дифференциальных уравнениях» в Минске в
и 2003 годах; на третьей международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям в Москве в
году.
Публикации По теме диссертации опубликовано 27 работ, из них 15 статей в научных журналах и 12 тезисов докладов на международных конференциях.
Структура диссертации. Диссертация "Интегральные представления и качественные свойства решений функционально-дифференциальных параболических уравнений" состоит из пяти глав и списка литературы из 112 наименований.
Свертка фундаментального решения с ограниченными функциями
Тогда из леммы 2.6.2 следует, что каждый из указанных (одномерных) интегралов ограничен сверху по модулю функцией gj(rjj 2 С НЄКОТОрОИ положительной постоянной My Теперь, используя ограничен s ность функции щ, выберем такое Д что J2 - для любого t из [1,+оо). Зафиксируем выбранное А и рассмотрим J\. В силу леммы 2.6.1 и ограниченности внутренних интегралов выражения (2.20), разность в квадратных скобках выражения (2.20) стремится к нулю при t — оо равномерно относительно у єЖп. Действительно, в силу леммы 2.6.1 существует такое положительное Т, что для любого t Є (Т, +оо), для любого j Є 1,71, для любого r/j Є (—оо, +оо оо
Экспоненциальный вес, который возникает в полученной теореме о близости решений, обусловлен не наличием в уравнении разностных членов, а диссипативностью задачи. Указанный вес сохраняется и в классическом случае: при обращении всех коэффициентов bjk в нуль предельное соотношение (2.16) обращается в тождественное (при всех t) равенство. Дело в том, что добавление в параболическое уравнение младших членов (более точно - членов нулевого порядка) выводит решение за пределы класса ограниченных функций (даже в случае ограниченной начальной функции), а умножение его на соответствующий экспоненциальный (по t) вес возвращает решение в указанный класс.
Отметим, что теоремы о близости решений, вообще говоря, являются более сильными, чем теоремы о стабилизации. Поэтому и теорема 2.6.1 устанавливает более общий характер поведения решения при t — оо, нежели стабилизация. Стоит, однако, указать важный частный случай, в котором имеет место классическая поточечная стабилизация решения: это случай, когда оператор L симметричен. В этом случае мы можем применить результат Репникова-Эйдельмана (см. [58]) о том, что необходимым и достаточным условием стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности (обозначим это решение через v(x,t)) является выполнение следующего предельного соотношения для ограниченной начальной функции (обозначенной здесь через VQ(X)): конечное множество векторов Ми, что для любого /г, принадлежащего .М, вектор —h тоже принадлежит М, и % = а_ для любого h из Ad. Отсюда q\ = = qn = 0. Теперь остается лишь применить к функции w(x,t) указанную теорему о стабилизации из [58]. ЗАМЕЧАНИЕ 2.6.2 Из следствия 2.6.1 видно, что в дифференциально-разностном случае поверхности, ограничивающие области осреднения начальной функции, вообще говоря, уже не являются сферами: они обращаются в эллипсоиды. Напомним, что в классическом случае дифференциальных уравнений такой эффект возникает, если заменить оператор Лапласа эллиптическим оператором с различными коэффициентами при различных вто п 2
Условие положительной определенности вспомогательного оператора, накладываемое в теореме 2.6.1 (равно как и само введение указанного вспомогательного оператора), на первый взгляд выглядит довольно искусственным. Покажем, что оно имеет вполне определенный смысл. коэффициенты а и b предполагаются вещественными, а начальная функция щ - непрерывной и ограниченной), и рассмотрим условие положительной определенности вспомогательного оператора, обеспечивающее справедливость теоремы о (весовой) асимптотической близости (стабилизации) решений. В этом случае оператор С имеет вид
Таким образом, условие положительной определенности оператора R выполнено при всех неотрицательных а, а при всех отрицательных а оно эквивалентно существованию такого положительного С , что неравенство 2 + а(1 — cos &) С2 справедливо для всех вещественных . Последнее неравенство приводится асимптотическая близость решения задачи (2.22),(2.23) и решения задачи (2.26),(2.23) (с тем же самым весом e at); отметим, что e at - это та самая весовая функция, которая возвращает решение (дифференциального уравнения) v(x,t) в класс ограниченных функций. Дифференциальное уравнение (2.26) - это не что иное, как дифференциально-разностное уравнение (2.22), в котором нелокальный член заменен его разложением Тейлора до порядка два (т.е., до порядка уравнения) включительно. Рассматриваемое условие положительной определенности вспомогательного оператора эквивалентно условию параболичности этого дифференциального уравнения (т.е., эллиптичности его правой части). Это справедливо и для всех более общих случаев нелокальных младших членов, рассмотренных ранее (доказательство производится точно так же).
Таким образом, условие положительной определенности вспомогательного оператора, обеспечивающее справедливость теоремы о (весовой) асимптотической близости (стабилизации) решений, заключается в следующем: если в исходном дифференциально-разностном уравнении заменить все нелокальные члены их разложениями Тейлора до второго порядка включительно, то полученное дифференциальное уравнение должно быть параболическим.
Отметим, что здесь особенно четко видна двойственная природа младших нелокальных членов: при исследовании разрешимости они не имеют никакого значения (разрешимость задачи Коши определяется старшими членами - имеет значение только параболичность уравнения, получаемого из исходного отбрасыванием всех нелокальных членов), а при исследовании асимптотических свойств они уже не могут трактоваться как младшие -имеет значение параболичность уравнения, которое строится по коэффициентам этих нелокальных членов.
Существование и единственность решения задачи Коши
Реализация (внедрение) результатов работы. Подтверждены включением в Программу национальной стандартизации РФ для создания нового ГОСТа, актами (частично представлены в приложении): ОАО «Лыткаринский завод оптического стекла», ЧАО «Интеркерама», ОАО «Роберт Бош Саратов», ОАО «Красный Октябрь», ООО «Одинцовская кондитерская фабрика», ОАО «Раменский комбинат хлебопродуктов», ОАО «Лобненский завод строительного фарфора», ОАО «Волховский комбикормовый завод», ОАО «Компания МАЙ», ЗАО «Солнечногорский завод ЕВРОПЛАСТ», Центральный институт авиационного моторостроения им.Баранова, ОАО «Керамический завод Сокол», завод по производству кабеля ООО «ТД Паритет», ЗАО «Терна Полимер», ООО «SACMI MOSCA», ООО «Дмитровская плитка», и др. – более 50 предприятий. Экономия от внедрения составила более 40 млн. руб.
Реализация и внедрение результатов работы на разнопрофильных предприятиях отмечены премией Правительства РФ в области науки и техники для молодых ученых «за исследование и разработку новых методов магнитофоретической очистки жидкостей и сыпучих сред от феррозагрязнений при эксплуатации машин в производстве хлебных, полимерных и керамических изделий» (2009г.), золотой медалью международного салона промышленной собственности «Архимед» (2009г.) и соответствующим дипломом «за значимый вклад в международное развитие науки и технологии». Автор удостоена также именной почетной медали «За заслуги в деле возрождения науки и экономики России», почетного диплома «За активную работу по развитию изобретательства в г.Москве», почетной грамоты победителя молодежного инновационного конвента Центрального федерального округа (2009г.).
Результаты работы использованы также в НИР, выполнявшихся автором по гранту Минобразования РФ (ТОО-13.0-711) по фундаментальным исследованиям в области технических наук, а также по Гранту Президента
РФ для поддержки молодых кандидатов наук (МК-115.2007.8), материалах установленного нового физического явления (опубликованного в престижных физических изданиях) в области магнетизма дискретных сред, в учебных курсах, выполнении (под руководством автора) кандидатских диссертаций. Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на международных конференциях «International Conference of Materials Science and Mechanical Engineering» (Куала Лумпур, Малайзия, 2013 и Тайпей, Тайвань, 2014), на международной научно-практической конференции «Общество, современная наука и образование: проблемы и перспективы» (Тамбов, 2012), на 10-й юбилейной международной научно практической конференции «Техносферная безопасность, надежность, качество, энерго- и ресурсосбережение», (Туапсе, 2008), на 8-й международной конференции «Multiphase Flow in Industrial Plants» (Альба, Италия, 2002г.), на научно-практическом семинаре при МГУПП по актуальным вопросам продовольственной безопасности (Москва, 2010), на международных конференциях «РеПласт» (Москва, 2005, 2007гг.), на научно-практической конференции «Индустрия пластмасс: сырье, оборудование, современные технологии получения и переработки» (Москва, 2007), на Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы экологии» (Тула, 2008), на Всероссийской научно-технической конференции «Новые материалы и технологии НМТ-2008» (Москва, 2008), на Всероссийской научно-технической интернет-конференции «Экология и безопасность в техносфере» (Орел, 2008), на научно-практических семинарах в рамках выставки «Зерно-комбикорма-ветеринария» (Москва, 2008, 2010 гг.) и др.
Результаты работы также докладывались диссертантом в различных организациях, в частности, в университетах Европы гг. Грац (Австрия), Болонья, Падова (Италия) во время научных стажировок, на заседании Совета директоров при префекте ВАО г. Москвы (Правительство Москвы, 2008), на Первом молодежном инновационном конвенте Центрального федерального округа (г.Дубна, 2009), при обсуждении НИР, выдвинутой в соавторстве на соискание Премии Правительства РФ 2009г. в области науки и техники для молодых ученых: ОАО НИИТ Автопром, АНО «Инновационный центр ВАО г.Москвы», МГУПП, ООО «Ле-гранд», ООО «ПКФ Тара», ЗАО «Хлебокомбинат ПЕКО», МЭИ, завод полимерного машиностроения «Тригла», МАДИ и др. Результаты фундаментальных исследований, приведших к установлению нового физического явления, докладывались в Научном центре «Нелинейной волновой механики и технологии РАН», МГУ им. М.В.Ломоносова и др.
Обобщенная свертка фундаментального решения с ограниченными функциями
Всего в 2005 г. зарегистрировано 194Q случаев полиомиелита. йызванного дипид полновнрусами 1 її III типа, втом числе 1045 завошых (ни дон і сын ВОЗ ка 29 марта 2006 г.)
Существуют зидемичные страны, а значит, существует ПОСТОЯННАЯ ОПЙС-востъ заноса дикого гюлкоьируси даже в страны с эффективно работающими программами иммунизации н хороню разлитыми системами здравоохранения. її 2004 г. большая часть заболеваний полиомиелитом f7В9 против 355 в 2003г.) пришлась м.; Нигерию, где проволнмвя ВОЗ Котики пи вакцинации детей Йы,пв cOpBalta. ИЗ-73 противодействия представителей религии и местных властей. Иэ-за дснстинн нигерийцев пострадали и соседние страны - увеличение числа случаен болезни в d# раї {255 протне 52 а 2003гг)г В 2Э05 г. обращает внимание большое число зд-возных случаев л страны, в которых в 2004 г. заболеваемость полиомиелитом мс регистрировалась: Йемен - 478. Индонезия - 28& Сомалн- lS5r Ангола-9 ВозмоЖНЫ социальные фоне [СсЗтібилніаннн соЦНй LbHO-экшгомнческнх условии жизни населения осложняется эпидемиологическая ситуация н возрастает значимості, давло известных (классических) инфекций называемых "цохвратилшньикя н:т re-eme ing (В.Л. Чсрка хкнй 2004). Так в 95г. возник очаг полиомиелита в Чеченской Республнкеч где в IM2-1994 г.г. практически не проводилась вакснінопрофнлаігтнка. Заболело 143 ребенка, нэ которых пять умерло. Имел МЄСТО зэиос носіномиелніа Hi очага инфекции НО другие территории страны. Веста в 995rL зарегистрировано (54 случал заболевание (L.B. Лещннскач, И.14. Мэртынеико4 И.Я Леонтьева 199&L Г.Г. Омнщенко» I99EJ.
Следует учитывать риск возникновения паралитического полиомиелита в результате работы с диким нодновнруеом hi использования їм. связанный с применением живай полновакшіньіг вклвічает н себя случаи возникновения щкинпоассоии кропанного паралнтнческогт), вспышки по причине циркулирующих полноонрусов, нмеюшн вагипниое ПрОНС носителей среди лиц с иммукодефипитамн (В.Н. Салов-ннковя, 2002; В.Н. Свловннкова, E.G. Лсніиіккая. 2003; Г.Г. Онишсико, 2005; U. PaoVfaHBrr, 198ІІ W.R, Cirisl, I9S3; A.R. Hinman, І9Й4- R.G Vallaneourt, I9S4; К Esteves, J933: E.A. Korotkova. R. Park. Г.А. el all. 2003 G. Obtapcnko, S. Wasstlak N. Emiroglu et all. 2003; Weekly Epidemiological Record, 2Q03J Примером являются вспышки а недостаточно полно привиты группах де тей и 2000 - 2002 IT. а Домнннканеігорі Республике, на
Мадагаскаре СТА Бсктнмнров. 2002; ВЬ\ СсПбкль, 2002; Updaie, 2001: Weekly Epidemiological Record, 2О00. 2002; О. Kew and скі., 2002).
В Российской Федерации за период 1991 - !9 № гг. регистрировалось от 1 до 6 случаев в гадь в 2000 — 2005 гг. от ] ] до 15 (данние Федеральной служби Рослоттжй"нвдзпра РФ). Мастита вакннкоос-социнроніннйіо полиомиелита составляет ] случай на 1 мл і г. 354 тыс. доз вакни-ни. что куже международные показателей І случай на 2,5 UJEB. доэ вакцины (Е-Н. Ьеляса, 20041 При анализе острых нейронифекЕшй (Н,Ф. Пульман, 2003) установлен что на долю ннаккпнонных заболеваний спинного мозг? (ИЗСМ) прнкоднт-ся 17,7% случаев. В структуре ИЭСМ б,% систавляст острый паралитический iio HOSHienHT, ассошкроаэпный с яахпшюй.
Фундаментальные научные исследования по изучению клнннкн4 течения полиомиелита, комплексного восстановительного лечения приходятся на XX сто-леще, когда -заболевание стакоьитсч периодически повторяющимся бедствием иа веек континентам земного шара. В период эпидемий полиомиелита в наиген стране {50-60 гг.) сформировалась стройная научно-обоснованная система профилактики этапного лечения больных,
Начиная с 90-х. годов, в литературе доминируй обсуждение вопросов по ликвидации полиомиелита. Актуальным станпантсм научное изучение проблемы реверсии или рскомбинанпп вакциниык штаммов, которые могут вызвать как нарал итнческие, так н легкие форми полиомиелита.
За последние ill лет модифнетрованных методов, комплекс кой реабнлита-пни детей в восстановительном периоде полиомиелита не предлагалось, что связано с резким сокращением частоты дикой формы заболевания. Снижение чаболеваеМОСТи гтолномнсЛнТйМ в НШИСЙ стране До спорадических случаев, мрнии-лн к «уттрэлдненнюи как специализированных учреждении, обеспечивающих лечение больных н системы этапного лечения больных. Отмечено значительное увеличение числа больных полиомиелитом, которые: на м ссгановнгелыте м зтатге получили ікщостл точное лечение в спецкалиэнронанны лечебны учреждениях. Заметно снизился интерес к проблеме восстановительного лечения полиомиелита у научных работников и прзкткчееких. врачей (А.К. Аблакулов .О. Сандмуратов 3991 L А.П. Чернов, 1991» 1992)
Одновременно утрачена настороженность возможности острое лолпомне лита а современных услььняк и, как следствие, нарушения а организации сдое временного лечения во время вспышки полиомиелита в Чеченской Республике (Б Е Караваев, 3-Е. Аслаханова, ММ. Камоско, А.А. Алнханов, 10У6.
Наличие больных с дикой и вшаданоаДОЦинрованной формой полиомиелита, рЙЯ рашитня заболенанви у леп-й на. современном этопе высокая стелінь ни вдлнднзаиин уилъншюг. таким образом, на актуальность разработки коны подходов к поэтапной реабилитациибольных.
Впервые HJ современном этапе проведен сравнительный анализ особенно стен клинических проявлений восстановительного периода лнкой и иаклнншесоформы полиомиелита. течение паралитического полиомиелита ж изменилось: типичные периоды развития заболевания законе
Обобщенная свертка фундаментального решения с ограниченными начальными функциями
Отметим, что, хотя теорема 3.7.2 и следствие 3.7.1 справедливы при одних и тех же условиях, утверждение теоремы (как утверждение о близости решений) является более сильным в следующем смысле: в отличие от утверждения следствия (т. е. теоремы о стабилизации) оно дает информацию о поведении решения также и в том случае, когда (необходимое и достаточное) условие стабилизации не выполнено. Аналогично, при п = 1 следствие 3.7.2 является более сильным (в том же смысле), чем следствие 3.7.1.
Распространим теперь исследование на более общий случай однородного эллиптического дифференциально-разностного оператора, содержащего и смешанные производные второго порядка. Мы будем подробно останавливаться лишь на тех моментах, которые существенно отличаются от уже рассмотренного модельного случая. Итак, вместо (3.20) рассмотрим следующее уравнение:
Следовательно, функция S(x,t) удовлетворяет уравнению (3.33) вМих (0, +оо) (формальное дифференцирование под знаком интеграла законно, так как в силу сильной эллиптичности оператора —Lh все интегралы, полученные в результате, сходится абсолютно и равномерно относительно (x,t) Є Wnx [to,T] для любых 0 t0 Т оо). Лемма 3.7.1 для рассматриваемой функции S(x,t) доказывается точно так же, как и в модельном случае чистых вторых производных. Общий случай отличается лишь другими коэффициентами полиномов Р(), однако эти коэффициенты по-прежнему зависят только от l,t и коэффициентов уравнения (3.33). для любых достаточно малых положительных С, г найдется такое из Ми, что = г и А0() С2 Действительно, зафиксируем произвольные положительные С и г и возьмем такое г/ из Ми, что L0(TJ) СН2- Если г/ = 0, то непрерывная функция А0() строго отрицательна в начале координат, следовательно, она строго отрицательна и в некотором шаре с центром в начале координат, т.е. последнее неравенство выполняется и с некоторым г) = 0. Поэтому мы можем, не ограничивая общности, считать, что г/ = 0. Тогда мы можем опреде-лить ?- = г 7, = 1,п. является параболическим дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, следовательно, задача (3.35),(2.4) имеет единственное классическое ограниченное решение; будем обозначать его через v(x,t).
Для общего случая уравнения (3.33) также справедлива теорема о стабилизации решения, аналогичная следствию 3.7.1 для уравнения (3.20). При этом области интегрирования начальной функции, фигурирующие в (необходимом и достаточном) условии стабилизации решения, определяются коэффициентами bkj параболического дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (3.35) (см. [22]).
В этой главе нелокальными членами уравнения являются специальные операторы обобщенного сдвига, введенные в [39], которые играют роль операторов сдвига в теории уравнений, содержащих оператор Бесселя. Указанные операторы обобщенного сдвига являются интегральными, поэтому и исследуемые уравнения с необходимостью являются не дифференциально-разностными, а интегродифференциальными. Таким образом, интерес к указанной тематике обусловлен как стремлением обобщить модели [75, 79-83] на сингулярный случай, так и сугубо теоретическими аспектами перехода от дифференциально-разностного уравнения к интегродифференциальному.
Отметим, что решение задачи (4.1)—(4.3) определено только в четверти плоскости (0,+оо) х (0,+оо), в то время как для применения оператора обобщенного сдвига требуется, вообще говоря, чтобы функция была определена и при отрицательных значениях переменной х\ в этом случае используется четное по х продолжение решения - такое продолжение возможно в силу условия четности (4.2). Иными словами, задачу (4.1)—(4.3) можно рассматривать на всей полуплоскости (—сю, 0) х (0, +оо), заменяя условие (4.2) требованием четности решения по переменной х. Для дифференциальных параболических уравнений с оператором Бесселя такие задачи корректны (см., например, [35-37,40-44] и имеющуюся там библиографию).
