Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Групповой анализ трехмерных уравнений термодиффузии 20
1.1 Групповые свойства уравнений модели 20
1.2 Преобразования эквивалентности 25
1.3 Групповые свойства уравнений диффузии и переноса тепла . 33
1.4 Структура допускаемой алгебры операторов 37
1.5 Схема классификации подалгебр 43
1.6 Оптимальные системы подалгебр BL4 и 0L5 49
1.7 Оптимальная система подалгебр первого порядка 54
Глава 2. Групповые свойства уравнений термодиффузии в плоском случае 59
2.1 Групповая классификация 59
2.2 Структура допускаемой алгебры операторов 64
2.3 Оптимальная система подалгебр первого порядка 68
2.4 Оптимальная система подалгебр второго порядка 70
2.5 О нормализаторах подалгебр в бесконечномерной алгебре Ли . 79
2.6 Классификация подалгебр из оптимальной системы 9i L . 86
Глава 3. Инвариантные подмодели и точные решения уравнений термодиффузии 94
3.1 Инвариантные подмодели ранга 2 98
3.2 Инвариантные подмодели ранга 1 102
3.3 Термодиффузия в плоских слоях 128
3.4 О вращательно-симметричных решениях трехмерных уравнений 141
3.5 Термодиффузионное движение в слое между
вертикальными коаксиальными цилиндрами 147
Заключение 158
Список таблиц 160
Литература
- Групповые свойства уравнений диффузии и переноса тепла
- Оптимальные системы подалгебр BL4 и 0L5
- Оптимальная система подалгебр второго порядка
- О вращательно-симметричных решениях трехмерных уравнений
Введение к работе
Известно, что математические модели многих явлений реального мира формулируются в виде дифференциальных уравнений. Одним из эффективных инструментов исследования таких уравнений служит групповой анализ — математическое направление, предметом которого является совместное рас-» смотрение непрерывных групп преобразований и допускающих эти группы дифференциальных уравнений,
Групповой анализ дифференциальных уравнений как научное направле ние возник в работах выдающегося норвежского математика XIX в. Софуса Ли (1842-1899). Им было начато систематическое исследование непрерывных групп преобразований с целью создания теории интегрирования обыкновен ных дифференциальных уравнений, аналогичной теории Абеля решения ал гебраических уравнений. Основные идеи и результаты С. Ли, касающиеся групп преобразований, были впоследствии развиты в многочисленных рабо- ^ тах, однако дифференциальные уравнения на долгое время остались в сто- роне от этого развития. В середине XX в. американский математик Г. Бирк-гоф применил теорию групп к построению классов частных решений уравнений механики сплошной среды [6]. Решения, которые обладают свойством инвариантности относительно некоторой группы преобразований, оставляю- * щей систему уравнений неизменной, он назвал "симметричными". Им также была исследована взаимосвязь теории групп преобразований с теорией раз мерности и подобия.
Систематические исследования по применению методов группового анализа к моделям механики сплошной среды были начаты Л.В. Овсяннико- вым и его школой в конце 50-х годов прошлого столетия [25,26]. В работах Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, В.В. Пухначева, Л.В. Капитанского,
Ю.Н. Павловского, А.А. Бучнева, В.О. Бытева и других авторов впервые были изучены групповые свойства дифференциальных уравнений механики жидкости и газа, а также показано, каким образом эти свойства можно использовать для решения физически важных задач [8,9,18,19,21,34,36,37]. В настоящее время наряду с указанными авторами исследование уравнений механики сплошной среды продолжается В.К. Андреевым, О.В. Капцовым, СВ. Мелешко, СИ. Сенашовым, СВ. Хабировым, А.П. Чупахиным, СВ. Головиным и др. [2,3,15,23,51,55,56,58,61,66,68}. Из работ зарубежных авторов отметим монографию П. О л вера [33].
В 1991 г. на Седьмом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике Л .В. Овсянниковым была предложена концепция программы ПОДМОДЕЛИ, направленная на полное и систематическое изучение групповых свойств различных моделей механики сплошной среды [27]. Под руководством Л.В. Овсянникова группой исследователей ведется активная работа по реализации этой программы для уравнений газовой динамики. Работа над данным проектом привела к оформлению более четких алгоритмов, используемых в групповом анализе, а также к расширению его теоретической базы. В частности, были обобщены результаты по построению нормализованных оптимальных систем подалгебр [28,29], а также введены понятие х-автономии [30] и понятие регулярного и нерегулярного частично инвариантного решения [31]. Что касается исследования других моделей, то здесь следует отметить работы [61,62], которые посвящены систематическому изучению уравнений Навье-Стокса с помощью теоретико-групповых методов.
Кратко остановимся на основных понятиях и алгоритмах группового анализа [26], используемых в дальнейшем. Если система дифференциальных уравнений Е остается неизменной, когда зависимые и независимые переменные подвергаются преобразованиям некоторой группы G, то говорят, что система Е допускает группу G. Фундаментальное свойство допускаемой группы состоит в том, что группа G действует на множестве решений системы Е> переводя любое решение системы снова в решение.
Пусть Н — подгруппа группы G. Решение системы Е называется инвариантным Н-решением, если соответствующее ему многообразие в пространстве зависимых и независимых переменных является инвариантным многообразием подгруппы Н. Инвариантные Н- решения образуют класс частных решений системы Е. Они выражаются через новые искомые функции (инвариантны подгруппы Н), удовлетворяющие выводимой из Е системе дифференциальных уравнений, которая называется факторсистемой Е/Н. Обычно факторсистема является более простой по сравнению с исходной системой Е> в частности, за счет того, что Е/Н содержит меньшее число независимых переменных. Поэтому факторсистема Е/Н называется подмоделью исходной модели Е. Число независимых переменных в факторсистеме называется рангом подмодели. В стандартном случае четырехмерного пространства событий (три координаты и время), на котором определена система І?, ранг подмодели может принимать значения 3,2,1,0.
Два решения системы Е называются несущественно различными относительно группы G, если одно из них можно перевести в другое некоторым преобразованием этой группы. Если такого преобразования нет, то два решения называются существенно различными относительно группы G. Рассмотрим множество инвариантных Я-решений, получаемых относительно всевозможных подгрупп Н С G. Оказывается, что любые два решения из этого множества несущественно различны, если соответствующие им подгруппы сопряжены (подобны) относительно внутренних автоморфизмов группы G. Действие внутренних автоморфизмов разбивает множество подгрупп группы G на классы подобных. Существенно различные решения получаются относительно различных классов подобных подгрупп. Таким образом, задача перечисления всех существенно различных инвариантных решений сводится к разбиению подгрупп группы G на классы подобных и определению представителей этих классов. Совокупность таких представителей называется оптимальной системой подгрупп и обозначается символом 6(7. Инвариантные решения, соответствующие подгруппам из G(7, образуют оптимальную си- стпему инвариантных решений. Все остальные инвариантные решения можно получить из этой системы с помощью действия группы G.
В теории Ли каждой группе преобразований G ставится в соответствие некоторая алгебра дифференциальных операторов L. Это соответствие явля ется взаимнооднозначным и распространяется на подгруппы и подалгебры. При этом внутренним автоморфизмам группы G соответствуют внутренние автоморфизмы алгебры L, действие которых разбивает множество подалгебр алгебры L на классы подобных. Совокупность представителей этих классов называется оптимальной системой подалгебр и обозначается символом 0L. Оказывается, что задачу о нахождении оптимальной системы подгрупп QG удобнее решать как задачу построения оптимальной системы подалгебр GL. По этой системе однозначно восстанавливается оптимальная система инвариантных решений, которая, в свою очередь, дает совокупность инвариантных подмоделей исходной системы дифференциальных уравнений Е.
Дифференциальные уравнения, описывающие физические процессы, ча сто содержат параметры или функции, которые находятся экспериментально и потому не строго фиксированы. В этом случае говорят, что система Е со держит произвольный элемент А в виде указанных параметров или функций. Группа преобразований, допускаемая системой независимо от имеющегося в ней произвольного элемента, называется основной группой. При любом огра ничении произвола элемента А допускаемая системой группа может только расширяться. Так возникает задача групповой классификации: для данной системы дифференциальных уравнений Е найти основную группу и все спе циализации элемента А% дающие расширение основной группы.
Преобразованием эквивалентности системы Е называется преобразова ние зависимых и независимых переменных, а также произвольного элемента А, которое изменяет только элемент Л, сохраняя структуру системы Е. Такие преобразования образуют группу, которая называется группой преобразова ний эквивалентности. Групповая классификация проводится с точностью до преобразований эквивалентности.
Актуальность проблемы. Среди множества моделей, используемых в механике жидкости и газа, можно выделить так называемые классические модели, к которым относятся уравнения газовой динамики, уравнения Эйле ра, Навье-Стокса, Обербека-Буссинеска и другие. В последнее время в связи с появлением новых задач, развитием математического аппарата и средств вычислительной техники возрос интерес к неклассическим моделям гидроди намики. В качестве примера можно привести модели вязкого теплопровод ного газа [22], микроконвекции [38], а также конвекции с учетом эффектов термодиффузии и диффузионной теплопроводности [10,59]. Такие усложнен- ^ ные модели с большей точностью (по сравнению с классическими) описывают реальные физические процессы и в последнее время активно используются в вычислительной гидродинамике. В связи с этим является актуальной задача качественного исследования таких моделей с помощью методов группового анализа. Отметим, что групповой анализ является единственным общим ме- * тодом построения точных решений дифференциальных уравнений независи мо от их типа. Точные решения всегда играли и продолжают играть огром ную роль в формировании правильного понимания качественных особенно стей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Эти решения часто используют в качестве "тестовых задач" для проверки кор- ректности и оценки точности различных асимптотических, приближенных и численных методов.
Изучению моделей микроконвекции и вязкого теплопроводного газа с помощью теоретико-групповых методов посвящена монография [3]. Отметим также монографию [2], в которой наряду с классическими моделями исследуются уравнения термокапиллярного движения, пограничного слоя Маран-гони, а также уравнения конвекции с коэффициентами переноса, зависящими от температуры.
Настоящая диссертационная работа посвящена изучению модели конвективного движения бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии. В качестве основного метода исследования выступает групповой анализ диффе- ренциальных уравнений.
Термодиффузией называют молекулярный перенос вещества, связанный с наличием в среде (жидком растворе или газовой смеси) градиента температу- рьік При термодиффузии концентрация компонентов в областях повышенной щ и пониженной температуры различна. Наличие градиента концентрации при- водит к возникновению обыкновенной диффузии. Стационарное состояние устанавливается тогда, когда процессы диффузии и термодиффузии уравновешивают друг друга (то есть процесс перемешивания компонентов смеси компенсируется процессом их разделения). На практике часто встречается * нормальная термодиффузия, при которой тяжелые компоненты стремятся перейти в более холодные области, а легкие компоненты — в более нагретые области. В некоторых случаях наблюдается аномальная термодиффузия, при которой направление движения компонентов меняется на противоположное. Термодиффузию в растворах также называют эффектом Соре.
Термодиффузия часто встречается в природе, а также имеет множество приложений в технике. В сочетании с тепловой конвекцией этот эффект ис пользуется для разделения изотопов в жидких и газовых смесях [39,40]. Про цесс разделения происходит в термодиффузионной колонне, которая пред ставляет собой две коаксиальные трубы, нагретые до разных температур. '* Термодиффузия используется для определения состава нефти и разделения ее компонентов [73], нанесения различных покрытий на изделия из металлов, а также играет важную роль в процессе выращивания кристаллов. Еще один пример практического применения рассматриваемого эффекта дает тепловой насос [7]. Термодиффузия также влияет на течения в морях и океанах, где массы соленой воды подвергаются различным режимам нагрева [64,72].
Основу модели термодиффузии бинарной смеси составляет система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями тепло- и массопереноса. Используется приближение Обербека-Буссинеска, предназначенное для описания конвективных течений в естественных земных условиях. Предполагается, что плотность смеси линейно зависит от температуры и концентрации легкой компоненты:
Здесь ро ~ плотность смеси при средних значениях температуры и концентрации, а через Т и С обозначены малые отклонения от средних значений; Pi — коэффициент теплового расширения смеси, / — концентрационный коэффициент плотности (/?2 > 0, так как С ~ концентрация легкой компо ненты). Движение смеси описывается системой уравнений [10,59] щ + {и V)u Vp + vAu - g(/?iT + foC), # Tt + u-VT = XAT, (1) Ct + и . VC = dAC + adAT, divu = 0, где и — вектор скорости, р — отклонение давления от гидростатического, # . v ~ коэффициент кинематической вязкости, х ~ коэффициент температу- ропроводности, d — коэффициент диффузии, а — параметр термодиффу зии, g — вектор ускорения свободного падения. Все характеристики среды предполагаются постоянными и соответствуют средним значениям темпера туры и концентрации. Параметр термодиффузии имеет вид a = —dx/dTo,щ где dr — коэффициент термодиффузии, То — средняя температура. Нор- мальной термодиффузии соответствуют значения а < О, а для аномальной термодиффузии а > 0.
В частном случае (7 = 0, а = 0 система (1) переходит в систему уравнений свободной конвекции однородной жидкости (модель Обербека-Буссинеска).
Для данной модели известно достаточно много точных решений, значительная часть которых приведена в монографиях [10,11]. Эти работы посвящены исследованию устойчивости различных типов конвективных течений, а также механического равновесия. Групповые свойства уравнений свободной конвекции в плоском случае изучались в [16], а для стационарных плоских течений — в более ранней работе [20] (см. также монографию [2]). В указанных работах построен ряд точных решений, часть из которых была найдена ранее другими методами.
Точные решения уравнений конвекции бинарной смеси рассматривались в работах [12,74], посвященных в основном изучению устойчивости соответствующих движений. Результаты исследования устойчивости механического равновесия бинарной смеси с учетом термодиффузии можно найти в [10]. Устойчивость термодиффузионного движения в вертикальном слое при наличии поперечной разности температур рассматривалась в [13], а при наличии еще и продольного градиента концентрации — в работе [24]. В статье [54] изучалась неустойчивость плоского горизонтального слоя несжимаемой бинарной газовой смеси под действием поперечного, модулированного по времени градиента температуры. Отметим также работу [63], посвященную исследованию устойчивости горизонтального слоя при наличии вибрации и с учетом термодиффузии.
В указанных выше работах были найдены точные решения уравнений (1), описывающие основное течение. Методы группового анализа дифференциальных уравнений при этом не использовались. Однако, как будет показано в настоящей работе, все эти решения имеют групповую природу. Групповые свойства системы (1) в случае g = 0 изучены в [4], где также построено точное решение, описывающее движение двух смесей с общей поверхностью раздела. Однако систематическое исследование данной модели с помощью методов группового анализа еще не проводилось, В связи с этим изучение групповых свойств уравнений термодиффузии, построение инвариантных подмоделей и их точных решений является актуальной задачей. При этом преследуются две цели: обобщение ранее известных решений на случай термодиффузионного движения бинарной смеси и нахождение новых классов точных решений рассматриваемой модели. Заметим, что физически содержательное точное решение дает описание некоторого процесса в широком диапазоне параметров модели (система (1) содержит восемь постоянных). При численном решении уравнений эти параметры (либо их безразмерные комбинации) необходимо заранее задавать.
Цель диссертационной работы заключается в изучении групповых свойств модели термодиффузии бинарной смеси, построении инвариантных подмоделей, их интегрировании и физической интерпретации найденных точных решений.
Методы исследования. Используются методы группового анализа дифференциальных уравнений: алгоритм вычисления допускаемой алгебры операторов и соответствующей группы преобразований, алгоритм групповой классификации, метод построения оптимальной системы подалгебр, а также алгоритм построения инвариантных решений и соответствующих фак-торсистем (подмоделей). Кроме этого, используются методы общей теории дифференциальных уравнений.
Научная новизна. Впервые проведен групповой анализ модели термодиффузии бинарной смеси: найдены преобразования эквивалентности и решена задача групповой классификации уравнений относительно параметров. Использование преобразований эквивалентности позволило существенно упростить систему уравнений (в частности, привести уравнение диффузии к однородному уравнению). Изучены групповые свойства уравнений диффузии и переноса тепла в предположении, что поле скоростей удовлетворяет уравнениям Навье-Стокса. Построен новый пример точного решения нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса.
Проведена классификация инвариантных решений: построены оптимальные системы подалгебр первого и второго порядков для бесконечномерной алгебры операторов, допускаемой двумерными уравнениями модели. Выписаны соответствующие инвариантные подмодели рангов два и один. Большая часть подмоделей ранга один проинтегрирована в явном виде. Найдены новые классы точных решений и обобщения ранее известных решений на случай термодиффузионного движения бинарной смеси. Построены точные решения трехмерных уравнений, описывающие стационарное вращательно-симметричное движение. Дана физическая интерпретация найденных решений (движение в вертикальных, наклонных и цилиндрических слоях при наличии продоль- ных градиентов температуры и концентрации). Изучено влияние эффекта термодиффузии на режим течений.
Предложен новый подход к классификации бесконечномерных алгебр Ли. Показано, что в качестве классифицирующего признака можно использовать понятие нормализатора подалгебры. Для подалгебры, базис которой зависит от произвольных функций, введено понятие преобразования подобия и сформулирована задача классификации. Эта задача может быть эффективно использована для классификации инвариантных решений дифференциальных уравнений и изучения групповых свойств соответствующих факторенстем.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: моделирование конвективных течений, групповой анализ дифференциальных уравнений, теория групп и алгебр Ли. Проведенное в работе исследование уравнений термодиффузии бинарной смеси вносит вклад в качественную теорию дифференциальных уравнений данной модели, а также в теорию описываемых этой моделью явлений — конвекции, диффузии и термодиффузии, Полученные результаты могут быть использованы при решении соответствующих задач как аналитическими, так и численными методами. Данная работа соответствует концепции программы ПОДМОДЕЛИ, направленной на максимальное извлечение возможностей, заложенных в свойствах симметрии дифференциальных уравнений механики сплошной среды.
Найденные точные решения дают качественную информацию о процессах конвекции, диффузии и термодиффузии в вертикальных, наклонных и цилиндрических слоях, а также позволяют оценить влияние параметров задачи на режим течений. Эти решения также можно использовать в качестве тестов для проверки корректности и оценки точности численных методов. Упрощение исходной модели путем сведения уравнения диффузии к однородному может быть использовано при интегрировании уравнений модели аналитическими, а также численными методами.
Предложенный автором подход к проблеме классификации бесконечно- мерных алгебр Ли представляет интерес как с точки зрения теории Ли, так и ее приложений к дифференциальным уравнениям. Многие модели механики сплошной среды допускают бесконечномерные алгебры операторов, однако задача классификации таких алгебр еще не получила окончательного решения. Предложенный алгоритм позволяет продвинуться в решении этой сложной проблемы.
Перейдем к описанию структуры и содержания диссертации.
Первая глава посвящена групповому анализу трехмерных уравнений термодиффузии. В параграфе 1.1 рассматривается задача групповой клас- ф сификации уравнений модели относительно параметров. При вычислениях предполагается, что параметры a,/?i,/?2 могут обращаться в ноль, означая отсутствие соответствующих членов в уравнениях. Такой подход позволяет изучить зависимость групповых свойств модели от того, какие эффекты учитываются при ее построении (термодиффузия, зависимость плотности от температуры и концентрации). Преобразования эквивалентности параметров вычисляются в параграфе 1.2. Показано, что с помощью этих преобразований из уравнения диффузии можно исключить член adAT, в результате чего данное уравнение становится однородным относительно функции С. Приводятся результаты групповой классификации уравнений с учетом пре- образований эквивалентности. В параграфе 1.3 проведен групповой анализ уравнений диффузии и переноса тепла в предположении, что поле скоростей удовлетворяет уравнениям Навье-Стокса. Построен новый пример точного решения нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса.
Далее изучается структура алгебры операторов L, допускаемой уравне- * ниями модели в случае, когда параметры а,/?1,/?2 одновременно отличны от нуля (таким образом, учитывается эффект термодиффузии и зависимость плотности от температуры и концентрации). Эта алгебра представима в виде полупрямой суммы L = ЬъфЬ пятимерной подалгебры L5 и бесконечномер ного идеала Ь с базисом из четырех операторов. В параграфе 1.4 вычислены коммутаторы базисных операторов алгебры L и построена группа внутрен- них автоморфизмов IntL. Показано, что алгебру Ьь можно представить в виде прямой суммы четырехмерной подалгебры L4 и одномерного центра. Далее описывается алгоритм построения оптимальной системы подалгебр. В параграфах 1.6 и 1.7 проводится построение оптимальных систем GL4, QL5 и оптимальной системы первого порядка 0iL.
Во второй главе изучаются групповые свойства двумерных уравнений термодиффузионного движения. Необходимость отдельного рассмотрения этого случая связана с тем, что при понижении размерности системы уменьшается число базисных операторов допускаемой алгебры Ли, которая является бесконечномерной. Это позволяет полностью построить оптимальную систему подалгебр не только первого, но и второго порядков. Двумерные подалгебры дают инвариантные подмодели ранга 1 исходной системы, которые представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений и служат источником многочисленных физически содержательных точных решений.
В параграфе 2.1 приводятся результаты групповой классификации уравнений модели как с учетом, так и без учета преобразований эквивалентности. Это связано с тем, что для построения точных решений и их физической интерпретации важно знать групповые свойства уравнений, содержащих все необходимые физические параметры. Структура алгебры операторов L, допускаемой уравнениями в случае, когда постоянные a,Pi,02 одновременно отличны от нуля, изучается в параграфе 2.2 (найдены коммутаторы базисных операторов и вычислена группа внутренних автоморфизмов). Алгебра L представляется в виде полупрямой суммы четырехмерной подалгебры L4 и бесконечномерного идеала L с базисом из трех операторов. Оптимальные системы подалгебр первого и второго порядков для алгебры L построены в параграфах 2.3 и 2.4.
Новый подход к проблеме классификации бесконечномерных алгебр Ли предложен в параграфе 2.5. Показано, что в качестве классифицирующего признака можно использовать понятие нормализатора. Для подалгебры, ба- зис которой зависит от произвольных функций, введено понятие преобразования подобия и сформулирована задача классификации. Эта задача заключается в нахождении специализаций произвольных функций путем вычисления нормализатора подалгебры и исследования возникающих при этом случаев. Классификация проводится с точностью до преобразований подобия. В качестве примера рассматривается классификация подалгебр из оптимальной система 0\L. Показано, что предложенный алгоритм может быть эффективно использован для классификации инвариантных решений дифференциальных уравнений и изучения групповых свойств соответствующих факторсистем.
Третья глава посвящена построению инвариантных подмоделей, их интегрированию и физической интерпретации найденных точных решений. В параграфе 3.1 выписаны инвариантные подмодели ранга 2 для двумерных уравнений. В параграфе 3.2 изучаются 18 инвариантных подмоделей ранга 1, которым соответствуют стационарные и автомодельные решения. Большая часть подмоделей проинтегрирована в явном виде. Физическая интерпретация найденных решений дается в параграфе 3.3. Рассматривается задача о стационарном движении смеси в вертикальном слое между двумя твердыми стенками, нагретыми до разной температуры. Предполагается, что в слое также имеются продольные градиенты температуры и концентрации. Приводится точное решение задачи, которое обобщает ряд ранее известных решений уравнений конвекции бинарной смеси, (а также однородной жидкости). Изучено влияние эффекта термодиффузии на режим течения. Показано, что при определенном значении безразмерного параметра термодиффузии имеет место механическое равновесие. В том же параграфе найдено точное решение задачи о движении жидкости в наклонном слое, ограниченном твердой стенкой и свободной границей, которые являются прямыми линиями. Далее кратко описывается возможная физическая интерпретация других точных решений подмоделей ранга 1.
Стационарные вращательно-симметричные решения трехмерных уравнений рассматриваются в параграфе 3.4. Дается представление допускаемых операторов в цилиндрических координатах и проводится построение части подалгебр из оптимальной системы третьего порядка 6з. Выписаны соответствующие инвариантные подмодели ранга 1 и найдены некоторые точные решения. Физическая интерпретация этих решений приведена в параграфе 3.5. Рассматривается задача о стационарном движении смеси в вертикальном слое между двумя коаксиальными цилиндрами, нагретыми до разной температуры. Изучено влияние эффекта термодиффузии, а также толщины слоя на режим течения. Отдельно рассмотрен случай, когда кроме поперечной разности температур в слое также имеется продольный градиент температуры. Показано, что при определенном значении безразмерного параметра термодиффузии имеет место механическое равновесие.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
На защиту выносятся следующие положения:
Результаты групповой классификации двумерных и трехмерных уравнений конвекции бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии.
Классификация инвариантных решений (построение оптимальных систем подалгебр первого и второго порядков для бесконечномерной алгебры Ли допускаемых операторов).
Точные решения инвариантных подмоделей уравнений термодиффузии и их физическая интерпретация (решение задач о движении смеси в вертикальных, наклонных и цилиндрических слоях).
Метод классификации подалгебр бесконечномерной алгебры Ли и его приложения к классификации инвариантных решений дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, семинарах и научных школах: — IV Всероссийской конференции по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003),
35-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2004),
Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение" (Новосибирск, 2004), — Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Чеботаревские чтения по проблемам современного группового анализа и его приложениям в нелинейной механике" (Казань, 2004), XX Всероссийской школе-семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" (Абрау-Дюрсо, 2004),
Десятой международной конференции по современному групповому анализу (MOGRAN X) (Ларнака, Кипр, 2004), VI Международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005),
Конференции молодых ученых Института вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 2003-2005 гг.),
Конференции молодых ученых Красноярского научного центра (Красноярск, 2004), — Теоретическом семинаре Института гидродинамики им. М.А. Лаврентье- ва СО РАН под руководством академика Л.В. Овсянникова,
Семинаре лаборатории дифференциальных уравнений и смежных вопросов анализа Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН под руководством профессора М.В. Фокина и профессора B.C. Белоносова,
Семинаре Института вычислительного моделирования СО РАН "Математическое моделирование в механике" под руководством профессора В.К. Андреева,
Семинаре Института вычислительного моделирования СО РАН "Математические модели и методы интегрирования" по руководством про фессора О.В. Капцова.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [41-50] и [70,71].
Автор выражает благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В.К. Андрееву за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также к.ф.-м.н. А.А. Родионову за обсуждение и полезные замечания.
Работа по теме диссертации выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты НШ 902.2003.1 и 05-01-00836-а) и Красноярского краевого фонда науки (проект 12F003M).
Групповые свойства уравнений диффузии и переноса тепла
Из предложения 1 следует, что оператор группы преобразований эквивалентности констант определен с точностью до множителя, произвольным образом зависящего от этих констант. Для конкретных уравнений этот факт был установлен в [65,67]. В первой из этих работ найдена группа эквивалентности для уравнений Навье-Стокса, а во второй — для модифицированного уравнения Бюргерса, зависящего от двух параметров. Отметим также работу [32], в которой вычислены преобразования эквивалентности констант для системы уравнений, эквивалентной уравнениям газовой динамики в случае барохронного движения газа. Здесь решение определяющих уравнений не содержало произвольных функций констант, входящих в систему. Это произошло потому, что при вычислениях к системе не были добавлены условия равенства нулю производных от констант по независимым переменным. При этом предполагалось, что компоненты инфинитезимального оператора, соответствующие константам, являются функциями этих констант, а также зависимых и независимых переменных. Условие того, что указанные компоненты зависят только от констант, ставилось после нахождения решения определяющих уравнений.
Перейдем к вычислению преобразований эквивалентности для уравнений термодиффузии (1.1)-(1.4). Инфинитезимальный оператор группы будем искать в виде предполагая, что его компоненты зависят от всех зависимых и независимых переменных, а также параметров, входящих в систему (здесь X есть оператор вида (1.11)). Заметим, что к уравнениям (1.1)-(1.4) необходимо добавить условия равенства нулю производных от а, /3j, /?2} Х d, ро, Л g по переменным t xt ut p,T1C і = 1,2,3. Компоненты продолженного оператора X вычисляются по формулам, выведенным в [23,68]. Действуя продолженным оператором на систему и переходя на соответствующее многообразие, получим определяющие уравнения. Из этих уравнений следует, что компоненты оператора Xt соответствующие параметрам, не зависят от переменных Решение определяющих уравнений дается формулами = при этом должны выполняться условия
В приведенных формулах величины Cj, і = 1,..., 10, а также компоненты rf , 77р0( 7 являются произвольными функциями параметров a, /?i, /) X) rf, ро, Л g- Кроме этого, функции /г(), г — 0,1,2,3 также произвольным # образом зависят от этих параметров. Согласно предложению 1, без ограни чения общности можно считать величины с постоянными, а неопределенные компоненты инфинитезимального оператора выбрать следующим образом: rf = Cnf, 77Ро = Ci2Po, Ф ci3g гДе сіь с12» сіз произвольные постоян ные. Далее, константу с\ можно исключить из выражений для rf1, rf2 путем введения новых констант су = Зс + с-?} с% — Зс4 + щ. Тогда операторы, по рождающие однопараметрические группы преобразований эквивалентности параметров, записываются так:
Здесь — групповые параметры преобразований эквивалентности. Согласно условиям (1.21), оператор Е% (и соответствующее преобразование) допускается только в случае а = 0 d = x Перейдем теперь к задаче групповой классификации уравнений термодиффузии. Прежде всего заметим, что использование преобразований ES,EQ,EJ позволяет считать v = ро — g = 1- Рассмотрим классифицирующие уравнения (1.15). Из этих уравнений следует, что независимо от значений параметров система (1.1) — (1.4) допускает операторы (см. (1.17))
Можно показать, что операторы (1.23) образуют алгебру Ли. Найдем возможные расширения этой алгебры. A. Предположим, что d ф х- В этом случае с помощью преобразования Е с параметром е — ad/(d x) можно сделать а = 0. Тогда из уравнений (1.15) имеем eg = Сю = 0. Далее рассматриваются возможные значения постоянных /?1, /. Если какая-либо из этих постоянных не равна нулю, то использование преобразований Е\ или Е2 позволяет считать ее равной единице. При этом из классифицирующих уравнений следует с2 = с$ = 0 Сводка результатов групповой классификации дается в таблицах 1.2 и 1.3. В первых двух столбцах приведены значения постоянных 0\t 02, в третьем столбце — допускаемые операторы, а в четвертом — дополнительные операторы, допускаемые в случае d = % (таблица 1.2). Операторы, указанные в таблицах, имеют вид (1.17), где следует положить 0\ = 0ч = ро = g = 1.
Остановимся подробнее на случае, когда в системе (1.1) — (1-4) параметры с , /?ь 02 отличны от нуля, и d ф х (таким образом, учитывается эффект термодиффузии и зависимость плотности от температуры и концентрации).
Оптимальные системы подалгебр BL4 и 0L5
На втором этапе строится оптимальная система &L как совокупность оптимальных систем QrL порядка г. Так как L — бесконечномерная подалгебра, то г может принимать любые целые неотрицательные значения. На практике, как правило, ограничиваются построением оптимальных систем небольших порядков. Опишем построение оптимальной системы GrL для некоторого фиксированного. Эту задачу, очевидно, можно свести к построению оптимальной системы матриц вида (1.54) относительно действия группы ЛВГ, где Br = GL(r) — группа линейных преобразований строк матрицы Nr (изменения базиса в подалгебре S С L). Принимая во внимание следствие из утверждения 2, при указанном построении достаточно рассмотреть матрицы ранга г, имеющие вид где Xpq — элементы матрицы Mw, ff = ff (x) — произвольные (нефиксированные) гладкие функции, . При фиксированных r,p, q на множестве матриц Nrpq с неопределенными элементами) действует группа преобразований ЛРЯВГ. Здесь Лщ С Л — подгруппа группы внутренних автоморфизмов, оставляющая подалгебру Я? 1 (и соответствующую матрицу Мт) неизменной. Необходимо классифицировать мно жества матриц Nrpq относительно действия соответствующих групп при указанных выше значениях р и q. При этом преследуется цель получения максимально возможного количества нулевых элементов в матрицах, в результате чего могут возникнуть альтернативные ситуации. Получаемая таким образом совокупность матриц образует оптимальную систему матриц, а совокупность соответствующих подалгебр — оптимальную систему QrL. Базисные операторы подалгебры SrpQ, соответствующей матрице Nrpq, даются формулами S = \ ХІ + Hjifg), где А = 0 при к р. Полагая Я(/») = #,(/#), эти формулы можно переписать в виде S 4 = Щ1 + #(/), причем Щ — 0 для к р. Операторы базиса должны удовлетворять условиям подалгебры (1.55), что накладывает ограничения на элементы матрицы Nrpq. При конкретных вычислениях можно работать как с матрицами, так и непосредственно с операторами, используя преобразования Ат, Вг и уравнения подалгебры.
В заключение заметим, что если справедливо разложение подалгебра, a собственный идеал в , то оптимальные системы можно строить в следующем порядке
В данном параграфе была предпринята попытка перенести алгоритмы построения оптимальных систем для конечномерных алгебр на бесконечномерный случай. Однако на практике это оказывается не всегда возможным.
Дело в том, что построенные по описанному алгоритму оптимальные систе мы могут содержать подобные подалгебры. Это происходит, например, когда базис подалгебры зависит от произвольной (нефиксированной) функции, на которую группа внутренних автоморфизмов Лп действует нетривиально (см. пример в параграфе 1.7). Рассматривая различные специализации этой функ ции, можно получить подобные подалгебры. Поэтому представляется акту альным поиск новых классифицирующих признаков для бесконечномерных алгебр Ли. Один из возможных подходов к этой проблеме будет рассмотрен в параграфе 2.5.
Перейдем к построению оптимальной системы для алгебры Ли операторов L = L5L допускаемой уравнениями термодиффузии. Заметим, что нахождение оптимальных систем требует большого объема аналитических вычислений, и подробное описание проделанной работы заняло бы много страниц. Поэтому приводятся только узловые моменты построения, и лишь в некоторых случаях рассматривается классификация отдельных подалгебр.
Согласно схеме, изложенной в предыдущем параграфе, сначала необходимо построить оптимальную систему GL5. Группу внутренних автоморфизмов алгебры L5 будем обозначать IntL5. Рассматриваемая алгебра представима в виде прямой суммы Ьь — L4 {-} подалгебры L4 = {Хі)Х2,Хз,Х } и своего центра {Х5}.
Прежде всего найдем оптимальную систему в//4. Из таблицы 1.5 следует, что для рассматриваемой алгебры справедливо разложение в полупрямую сумму L4 — J N собственного идеала J — {J , } и подалгебры N = {Х Х }. Соответствующее разложение группы внутренних автоморфизмов А4 имеет вид Л4 = AJAN при этом AJ — А1А2 и AN = А3А4 (см. таблицу 1.6).
Построение OL4 осуществляется в два этапа. На первом этапе строится оптимальная система 6iV с использованием автоморфизмов AN, Пусть {к3Х$ + fc4Xi, 1гХ$ -М4ХІ} — произвольная подалгебра алгебры Ли N. Задача о нахождении 0JV равносильна построению оптимальной системы матриц относительно действия группы ANB\ где В2 — группа линейных преобразований строк матрицы (изменения базиса подалгебры). Ранг г() матрицы является инвариантом группы AN, поэтому построение ведется по значениям этого ранга. Если г() — 2, то преобразованиями В2 матрица приводится к единичной, а при г() = 1 — к одной из двух форм: (1 0) и (А 1). С помощью автоморфизма А {—А/3) вторая из них сводится к (0 1). При r() = матрица нулевая. Таким образом, первый этап дает оптимальную систему
На втором этапе строятся оптимальные системы для алгебр J ф Np, р — 1,2,3j 4. Объединение этих систем дает оптимальную систему GL4. Задача сводится к классификации (4x4)- матриц блочного строения на множестве которых действует группа А4В4, где В4 — группа линейных преобразований строк матрицы 7] (изменения базиса подалгебры). В рассматриваемых матрицах является одной из подматриц, соответствующих (1.64), а блок Г}2 следует за первой ненулевой строкой в . Ранг r{if) матрицы rf оказывается инвариантом группы Л4, поэтому построение ведется по значениям этого ранга.
Оптимальная система подалгебр второго порядка
Приравнивая коэффициенты при одинаковых операторах в (2.42), получаем систему уравнений относительно неизвестных координат операторов X, Yk и постоянных р,к1. Если в базисе подалгебры S все функции fk (x) заданы (см. (2.41)), то в уравнениях (2.42) неизвестными будут только координаты оператора X и постоянные цк1 (эти уравнения могут быть как алгебраическими, так и дифференциальными). Нормализатор S в L находится путем решения полученной системы и выбором из найденных координат оператора X независимых. Если же среди функций /fcj(a?) имеются произвольные, они также войдут в систему (2.42) в качестве неизвестных. Такая система уравнений является классифицирующей, так как устанавливает зависимость нормализатора подалгебры от вида функций в ее базисе. Таким образом, возникает задача классификации: используя определение нормализатора, най-ти все специализации произвольных функций для данной подалгебры S С L; вычислить нормализаторы подалгебру соответствующих полученным специализациям. Итогом решения задачи классификации является таблица, в которой указаны возможные типы функций и приведены нормализаторы соответствующих подалгебр.
Преобразования подобия. Рассмотрим применение задачи классификации к некоторым специальным типам подалгебр и приведем соображения, позволяющие уточнить формулировку данной задачи с учетом специфики изучаемых объектов.
Предположим, что алгебра операторов Ь допускается некоторой системой дифференциальных уравнений. Тогда задача классификации позволяет выделить некоторые типы инвариантных решений, которые могут быть построены относительно данной подалгебры, а также выяснить (хотя бы частично) групповые свойства соответствующих факторсистем. Последнее следует из того, что факторсистем а, построенная относительно данной подалгебры, допускает операторы ее нормализатора (теорема 2).
Заметим, что инвариантные решения обычно ищутся относительно неподобных подалгебр. Получаемые таким образом решения нельзя перевести друг в друга с помощью преобразований допускаемой группы. Список неподобных подалгебр образует оптимальную систему подалгебр. Каждая подалгебра в оптимальной системе является представителем класса подобных подалгебр. Как уже говорилось, задача построения оптимальной системы для
т произвольной бесконечномерной алгебры Ли еще не получила окончательно го решения. Однако для конкретных алгебр Ли, встречающихся в приложениях, все же удается построить оптимальные системы. Такие системы часто имеют существенный недостаток: содержащиеся в них подалгебры являются подобными относительно действия части внутренних автоморфизмов. При ш чина этого в том, что не все автоморфизмы рассматриваемой алгебры опера торов могут быть использованы для выделения неподобных подалгебр, базис которых зависит от произвольных (нефиксированных) функций.
Поясним сказанное на примере подалгебры S С L с базисом (2.41). Для простоты будем считать, что все функции fk {x) в (2.41) являются произволь ными (если некоторые из них заданы, то соответствующие операторы входят в конечномерную часть базисных операторов Y ). Рассмотрим внутренние автоморфизмы алгебры L и линейные преобразования базиса подалгебры S, действующие на функции и оставляющие неизменной конечномерную составляющую базисных операторов. Будем предполагать, что отображения х — Х{х) и / — F(f ) являются взаимнооднозначными. Преобразования вида (2.43) будем называть преобразованиями подобия. В частности, такие преобразования порождаются автоморфизмами, зависящими от вещественных параметров. Например, отображение f(x) — cf(ax + b) с параметрами а О, с 0 и 6 R является одним из возможных преобразований подобия для функции одной переменной. Другие примеры преобразований вида (2.43) можно найти в параграфах 1.7 и 2.3. Ясно, что такие преобразования не позволяют "упростить" функции или привести их к какому-либо конкретному виду. Однако преобразования подобия разбивают подалгебру на классы подобных. Каждый класс однозначно определяется конкретным видом функций и содержит подалгебры, в которых эти функции связаны соотношением вида (2.43). Существование преобразований подобия должно быть выяснено при построении оптимальной системы, при этом для различных подалгебр они могут быть различны. Важно отметить, что преобразования подобия данной подалгебры порождают преобразования эквивалентности соответствующей факторсистемы, отнесенные к произвольным функциям.
В заключение заметим, что существование преобразований вида (2.43) для подалгебр, базис которых зависит от произвольных функций, отмечалось в [62]. В этой работе была построена оптимальная система для алгебры операторов, допускаемой уравнениями Навье-Стокса. Для каждой подалгебры из этой системы было найдено преобразование вида (2.43) и отмечено, что две подалгебры подобны, если входящие в базис функции связаны указанным соотношением.
О вращательно-симметричных решениях трехмерных уравнений
Условие (3.75) выполняется в замкнутом слое конечной длины. В данной задаче вместо указанного слоя рассматривается бесконечный в вертикальном направлении слой. Такое приближение является допустимым, если длина слоя значительно больше его толщины. При этом решение поставленной задачи будет приближенно описывать движение жидкости в центральной части конечного замкнутого слоя.
Заметим сразу, что выбор одного из трех решений (3.48) — (3.50) будет зависеть от значений параметров, входящих в уравнения и граничные условия. Дальнейшие рассуждения относятся к решению (3.48) (остальные случаи рассматриваются аналогично). В указанном решении имеется произвольный параметр А, который определяет коэффициент при у в выражении для концентрации. Аналогичный коэффициент в выражении для температуры.является фиксированным. Однако задание градиента температуры А и градиента концентрации В требует наличия двух произвольных параметров, определя ющих коэффициенты при у в формулах для Т и С. Необходимый параметр можно ввести в решение, подействовав на него преобразованием, задаваемым оператором растяжения Xj (см. (2.12)). Это преобразование действует по формуле
Можно показать, что решения (3.91) и (3.92) получаются из решений (3.29) и (3.30) подмодели 2.9, если на последние подействовать преобразованием (3.77), перейти к безразмерным переменным и удовлетворить граничные условия рассматриваемой задачи. Формулы (3.93), в свою очередь, представляют собой решение (3.9) подмодели 2.2, которое интерпретируется как движение бинарной смеси в вертикальном слое при наличии термодиффузии и посто # янной разности температур между стенками.
Решение (3.92) рассматривалось в работах [12,24], где исследовалась его устойчивость по отношению к малым возмущениям. В первой из этих работ эффект термодиффузии не учитывался (є = 0). Исследованию устойчивости решения (3.93) посвящена работа [13]. Далее, если в формулах (3.88) —(3.89) положить Ra = є = 0, то полученное решение будет описывать движе ние однородной жидкости в вертикальном канале с продольным градиентом температуры [11]. Отметим также работу [74], посвященную исследованию устойчивости решений (3.88) — (3.90) в случае є = 0, Ra 0, Ra 0. Та ким образом, найденные решения обобщают ряд ранее известных решений на случай термодиффузионного движения бинарной смеси в вертикальном слое при различных граничных условиях.
Из полученных формул видно, что во всех случаях при є = — 1 скорость обращается в ноль, а распределение температуры и концентрации становится линейным по координате х. Таким образом, в системе возможно механическое равновесие. Кроме этого, в решениях (3.88), (3.89) можно подобрать гради енты температуры и концентрации (или соответствующие числа Ra и Ra ) таким образом, чтобы давление в слое было постоянным с точностью до гид ростатического. Заметим, что рассматриваемые решения определены не для всех значений параметров. Например, в решении (3.90) при Ra(& + 1) = скорость v обращается в бесконечность. Однако, как показано в [11,74], при таких значениях параметров стационарное течение является неустойчивым и на практике не реализуется. однозначно определяются заданием указанных параметров. При отсутствии термодиффузии жидкость поднимается вверх около нагретой границы и опускается вниз около холодной границы. В этом случае отсутствуют неоднородности концентрации (С = 0). Если параметр є положителен, то происходит нормальная термодиффузия, и легкая компонента диффундирует в сторону нагретой границы. Это приводит к увеличению скорости (кривая є — 1.5). При отрицательных значениях параметра имеет место аномальная термодиффузия. Легкая компонента стремится в сторону холодной границы, в результате чего скорость движения уменьшается. При є — — 1 наступает механическое равновесие. Дальнейшее уменьшение параметра термодиффузии приводит к инверсии профиля скорости (кривая є = —1.1). Концентрация легкой компоненты у холодной границы становится достаточно высокой для того, чтобы вблизи этой границы жидкость начала подниматься вверх, а вблизи нагретой границы — опускаться вниз. При дальнейшем уменьшении параметра опять наблюдается инверсия профиля скорости (кривая є = —2). Вблизи холодной и нагретой границ жидкость движется вверх и вниз соответственно, а в остальной части слоя направление движение меняется на противоположное. При этом наблюдаются значительные неоднородности температуры и концентрации в слое.
