Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы все большее внимание математиков уделяется задачам дм уравнений с частными производными, в которых краевые условия представляют собой соотношения мезду значениями искомых функций, ВЫЧИСЛеНШМИ в различных (переменных) точках, лежащих на границе, или шзутри рассматриваемой области.
Этот интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и возможностями важных приложений. Подобные граничные условия возникают при математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, теплопроводности, излучения: лазера, прогнозирования почвенной влаги, при изучении процессов размножения.клеток, бактерій и т. п. В некоторых случаях (физика сверхпроводников, радиационный перенос, процессы распространения загрязнений в воде биосферы, демография, популяционная генетика и др. биологические проблемы) граничные условия имеют интегральную форму, легко прп-водящуюся Е обсуждаемому виду.
Простейшие примеры указанных краевых условий, возникающих в теплопроводности, были сформулированы В.А. Стекловым (1922 г.), а в газовой дішамике - Ф.И. Фрашслем ( IS56 г.). В одной из публикаций автора (1962 г.) такое граничное условие появилось из теоретических соображений: в результате объединения в одной формулировке двух возможных вариантов задачи Трякош. А.М.Нахуиевым в IS69 г. были поставлены и изучены сразу несколько задач данного типа, а для их названия предложен термин "со смещением". В том не 1969 г. появилась статья А.В.Бицадзе и А.А.Самарского, где впервые исследована задача "со смещением внутрь области". Содержание последних публикаций привело к осознанию качественной новизны краевых задач со смещениями для теории дифференциальных уравнений в частных производных. С этого момента и начинается период интенсивного изучения этих задач. Во многих публикациях обсуждаемые задачи называются также нелокальными.
Настоящая диссертация посвящена постаногке краевых задач со смещениями и исследованию вопросов их разрешимости для дифференциальных уравнений смешанного, смешанно-составного и ги-
_ 4 -
перболического типа.
Порвые исследования уравнений смешанного типа были выполнены Ф. Трикоми, С. Геллерстедтом и др. около 60 лет назад, но период наиболее интенсивного развития данной теории приходится на последнее тридцатилетие. Начало этого периода связано с именами М.А.Лаврентьева, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко, Ф.И.Франкля, Й.Н.Векуа. Ими получены основополагающие математические результаты и обнаружены связи с задачами трансзвуковой газовой динамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах Ю.Ы.Березанского, В.Ф.Волкодавова,, В.Н.Врагова, Д.К.Гва-завы, Т.Д.Джураева, Т.Ш.Кальменова, Е.И.Моисеева, А.М.Нахуие-ва, Л.В, Овсянникова, СМ.Пономарева, С.И.Пулькина, М.С.Сала-хитдинова, М. ні. Смирнова, А.П.Солдатова, С.А.Тереенова, Т.В.Чек-марева, их учеников и последователей. В круг зтих исследований оказались включенными и более сложные уравнения смешанно-составного типа. Были обнаружены применения получаемых результатов в магнитной гидродинамике, теории электронного рассеяния, при математическом моделировании биологических процессов . В настоящее время этот ванный и интересный раздел теории дифференциальных уравнений с частными производными продолжает интенсивно развиваться, Все возрастающее внимание привлекают и здесь краевые задачи со смещениями. В г.г, Алма-Ате, Куйбышеве, Ленинграде, Нальчике и Ташкенте имеются коллективы, ведущие в данном направлении сьотематические исследования. Указаішем на практическую важность этой работы может служить задача Франкля об обтекании профилей газом с местной сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения.
Цель работы - исследование вопросов разрешимости краевых задач со смещениями для уравнений
к*** +4nyw*-M
W„J-„ +S?«vlV,„„ =C (3)
и распространение полученных результатов на случай уравнения высшего порядка вида
1пи + Т. aKZ и. « о. (4)
/fa/
При этом 1<'(%)з sflft$ (уравнение (It)), или *к(у)<~-± (уравнение (Ід)), а Л совпадает с
~! * Щ')-1? (5)
в случае одно! искомой функции, а
ь.
' -2- 1
Од: і! ,
ісогда # =s ^//, , ^;
ные координаты. "
Методика исследования. Широко используются методы краевых задач теории функций комплексного переменного и сингулярных интегральных уравнений. Применяя эти методы, автор стремился переформулировать соответствующе положения к более естественной для имеющейся ситуации форме и дополшіть их новыми фактами, не вытекающими непосредственно из известных теорий. При доказательствах теор.м единственности, а также в различных других рассуэдениях используются методы дифференциальных уравнений с частными производными и интегральные уравнения Вольтерра, или Фредгольма.
Научная новизна. К чі лу новых в диссертации относятся следующие результаты:
I. Развитие идеи смещений в граничных условиях и условиях обобщенного склеивания. Реализация этой идеи в постановках новых краевых задач для уравнений смешанного, смешанно-составного и гиперболического типа.
-
Разработка методов редукции этих краевых задач к сингулярным интегральным уравнениям, или к интегральным уравнениям Больтерра и Фредгольма. Выделение частных случаев, допускающих возможность явного решения рассматриваемых задач. Выявление условий, обеспечивающих выполнение принципов, экстремума. Доказательства теорем существования и единственности решений.
-
Получение формул, характеризующих структуру решения рассматриваемых дифференциальных уравнений и систем уравнений высшего порядка.
-
Дальнейшая разработка аппарата сингулярных интегральных уравнений и связанных с ними краевых задач теории аналитических функций: исследование одной новой краевой задачи, выделение новых случаев явной разрешимости обобщенной краевой задачи Гильберта, выявление дополнительных возможностей применимости к решению этой задачи метода последовательных приближений.
Рассмотренные задачи отличаются от изучавшихся другими авторами тем, что в них значения искомых функций связываются более, чем в двух точках. Некоторые из задач содержат смещения и в условиях сопряжения на линии изменения типа уравнения. Однако, и в частных случаях одного смещения большинство этих задач не были изучены ранее, а частт- их являются новыми, даже если смещения отсутствуют вовсе.
Впервые к изучению уравнений смешанного типа применены
некоторые результаты теории осратных краевых задач и задач со
сдвигами для аналитических функций, причем сами используемые
результаты несколько дополнены (см, выше п. 2). Новые моменты
внесены и в другие методы. Здесь можно отметить развитие ме
тода а. 6^ при решении задачи типа Франкля. а также распро
странение на другие случаи метода, предложенного И.Н.Векуа
для построения общего решения К - метагармонического уравне
ния. ' -
Теоретическая и'практическая ценность. Работа носит теоретический характер. В ней дается систематическое развитие идеи,смещений в краевых условиях для ряда уравнений с частными производными.. Используемая методика позволила исследовать различные новые задачи, а также вграоотать общую точку
зрения на ряд изученных ранее случаев. Сведения о некоторых результатах автора были включены в монографии М.М.Смирнова (1970 и 1972 гг), в обзор В.И.Смирнова, помещенный в "Истории отечественной математики" (Киев, 1970 г., т. 4, с. 486-627), в книгу Ю.М.Крикунова "Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа (Казань, 1986 г.).
Общие идеи работ автора, лежащих в основе диссертации, нашли отражен;, л в статьях и диссертациях ряда других математиков. Конкретные же её результаты и методы использовали и развивали В.И.Показеев, А.В. Мерлин (1972 г.), Л.И. Галиева (1973 г.)-, А.И.Патронов (1975 г.), И.Е.Плешднская (1983 г.), Л.К.Астафьева (1984 г.). Уже после оформления диссертации автору стало известно, что результаты 18 главы УІ получили развитие в статье Л.Вегд >а> опубликованной зJt MaihemailscAc jfatkxichicn" за 1975 г. (т. 67). Есть основания ожидать,что методы и результаты данной диссертации найдут дальнейшие применения в исследованиях краевых задач со смещениями для более сложных уравнений. Существующие связи между уравнениями смешанного типа и различными научно-техническими проблемами позволяют надеяться на использование этих результатов и в прикладных задачах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации по мере их получения обсуздались на кафедре дифференциальных уравнений Казанского университета (руководитель семинара - проф. Л.И..%брикова), или на Казанском городском семинаре по крае-'-вым задачам, а также на Волжском семинаре по уравнениям в частных производных (г. Куйбышев, 1977 - 1984 гг - енегодно , руководители - проф. С.П.Рулькин и проф. В.Ф.Золкодавов ) „ Отдельные результаты сообщались на: семинарах по дифференциальным уравнениям в Московском (1970 г., руководитель - проф. М.И.Виник) и Ленинградском (1980 г., руководитель - проф.С.Г,.-Михлин) университетах; республиканских конференциях "Проблемы развития прикладных математических исследований" I г. Минск, 1975 г.)и "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" (Киев, 1983 г.); всесоюзной конференции да краевым задачам и их приложениям.а механике жидкости и газа (Казань, 1969 г.); всесоюзных школах-семинарах по урап"<эшям неклассического типа (Новосибирск, 1980 и 1981 гг); У (Казань, 1984 г.) и 71
(Горький, 1986 г.) всесоюзных школах "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики"; III международной конференции по дифференци -альным. .уравнениям и их применениям ( Болгария, г. Руссе , 1985 г.); всесоюзной конференции по краевым задачам для уравнений в частных производных (г. Куйбышев, 1987 г.). . ,* .
С обзорными докладами по материалам диссертацииавтор выступал на: итоговых научішх конференциях Казанского университета (1982 и 1983 гг); семинаре по уравнениям смешанного типа в Ленинградском университете (апрель 1980 г. , руководитель -проф. М.М.Смирнов); Киевсісом городском семинаре по теории потенциала и' краевым задачам (октябрь 1983 г., руководитель: ~ проф. С.М.Белоьосов); в институте прикладной математики им. М.В.Келдша АН СССР (Москва, ноябрь 1984 г.,. руководитель- чл.-корр. АН СССР, проф. К.И.Еабенко); в институте математики СО АН СССР (Новосибирск) на семинарах:, по .неклассическим
-. уравнениям математической физики (май 1984 г., руководитель -проф. В.Н.Врагов),, по.уравнениям переменного типа ( декабрь 1984 г., октябрь 1987 г., руководитель— проф. СА.Терсенов), по гиперболическим уравнениям.'(февраль 1985 г., руководитель -чл.-корр. АН СССР, проф. С К. Годунов), по качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными (июнь 1985 г., руководитель - проф. Т.И.Зеленяк); в вычислительном центре СО АН СССР (май IS84 г., руководитель семинара - проф. В.Г.Романов);.в.теоретическом отделе института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО АН СССР(ф»эвраль 1985 г.,руководитель-
I семинара - чл.-корр. АН СССР, проф. Л.В.Овсянников); в институте математики игл. В. И. Романовского АН Уз.ССР на семинаре
I по уравнениям сметанного к смешанно-составного типа (Ташкент, январь 1985 ?., руководитель - академик АН Уз.ССР, проф.Сала-хитдинов М.С.); в Уральском университете на сешнаре "Методы современной математической физики" (Свердловск, октябрь 1985 г., руководитель - чл.- корр. АН СССР. проф. В.К.Иванов ) ; в институте математики и механики УНЦ АН СССР (февраль 1986 г., руководитель семинара-проф. А.Ф.Сидоров); на семинаре по качественной теории уравнений с частными производными ь Московском университете (март 1986 г., руководители - проф.Кон-дратьев В.А. и проф. Ландис S.M.); на семинаре по современно-
му анализу е Кабардино-Балкарском университете (г.Нальчик, октябрь IS86 г., руководитель - проф. А.М.Нахушев); на семинаре отдела дифференциальных уравнений с частными произвол -нши математического института шл. В.А.Стеклова АК СССР (г. Москва, ноябрь 1986 г., руководитель - чд.-корр. All СССР , проф. А.В.Бицадзе ).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликовали в работах [3 - 32] . Прсстейпие реализации идей некоторкі: из этих работ содержатся в более ранних статьях автора [I - 2 ]. В иностранных публикациях [26, 32] и [30] речь идет об аналогах задач, рассмотренных соответственно в [25, 27] и [21].
Структура и объем работы. Диссертация изложена па 297 страницах машинописного текста п состоит из введения, шести глав, разбитых на 20 параграфов, и списка литературы , содержащего 200 наименований работ отечественных н зарубежных авторов.
