Введение к работе
Актуальность темы. Присутствие хаоса является неотъемлемой частью большинства нелинейных динамических систем, описывающих достаточно сложные физические, химические, биологические и социальные процессы и явления. Впервые хаотическое поведение нелинейной динамической системы было открыто в связи с задачей прогноза погоды крупнейшим американским метеорологом-теоретиком Э. Н. Лоренцем. Эта система трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащая три параметра {а, г, В):
х= а{у~ х)
y^rx-y-xz , (1)
z = ху — bz
представляет собой простую модель тепловой конвекции в атмосфере. Она была получена в результате некоторых упрощений из уравнения Навье-Стокса и впоследствии исследовалась в многочисленных работах, став к настоящему времени одной из самых известных моделей хаотического поведения [1, 2]. Лоренц не ограничился констатацией неустойчивости решений системы (1), при более тщательном анализе поведения решений он обнаружил притягивающее множество (аттрактор) - подмножество фазового пространства, на котором фазовые траектории сочетают в себе глобальную устойчивость (остаются со временем в ограниченном объеме) с их локальной неустойчивостью (чувствительная зависимость к начальным данным, которая характеризуется экспоненциальным разбеганием траекторий).
До последнего времени совершенно естественным представлялся единый геометрический подход к изучению нелинейных динамических систем, позволяющий рассматривать с общих позиций нелинейные системы, описываемые как дискретными отображениями, так и обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных [3-8]. Интенсивное применение геометрического подхода к анализу динамических систем началось со знаменитой работы американского математика С. Смейла, предложившего конструкцию отображения, которое впоследствии получило название подкова Смейла [4].
Однако многочисленные попытки в течение длительного времени обосновать методами геометрической теории динамических систем наличие странного аттрактора в окрестностях петель сепаратрис седло-узла и седло-фокуса в системе Лоренца закончились неудачей [9-17]. Более того, задача показать совпадает ли поведение решений системы Лоренца с динамикой геометрического аттрактора Лоренца была сформулирована С. Смейлом как одна из 18 наиболее значительных математических проблем XXI века [18]. А результаты недавних работ [19, 20] позволили определенно утверждать, что геометрический подход, развитый для дискретных отображений и позволивший получить для них ряд блестящих результатов, является не совсем адекватным применительно к непрерывным динамическим системам, описываемым дифференциальными уравнениями. В работе [19] авторами было показано, что на самом деле в системе Лоренца реализуется совершенно иной переход к хаосу - через двойной гомоклинический каскад бифуркаций.
Кроме наиболее распространенных локальных бифуркаций особых точек (положений равновесия), циклов и торов в нелинейных системах дифференциальных уравнений существуют сложные и малоизученные нелокальные бифуркации гомоклинических и гетероклинических контуров, являющихся сепаратрисами седловых предельных множеств -тех же особых точек, циклов и торов. Известно, что наличие в системе сепаратрисных контуров особых точек, приводит к усложнению динамики системы и рождению нерегулярных аттракторов. Поэтому основной задачей данной диссертации был анализ как локальных бифуркаций стационарных точек и циклов, так и нелокальных бифуркаций, к которым относятся различные бифуркации гомоклинических и гетероклинических контуров, ведущих к качественному изменению поведения системы в целом.
Цель работы состоит в построении в пространстве параметров системы Лоренца {а, Ь, г) бифуркационных поверхностей и кривых существования различных сепаратрисных контуров, таких как гомоклини-ческая бабочка, гомоклинические петли сепаратрис седло-фокусов 0: и О2, гетероклинические траектории Г2, соединяющие седло-фокусы О] и 02 и контуры Г3, соединяющие седло-узел О с седло-фокусами О, и 02. Построение полной диаграммы нелокальных бифуркаций в пространстве параметров системы Лоренца. Разработка метода нахождения и стабилизации существующих в системе неустойчивых циклов.
Научная новизна. Основные научные результаты диссертации
являются новыми, получены автором самостоятельно, приведены с полным доказательством и состоят в следующем : в общем случае для нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений доказаны теоремы о существовании гетероклиниче-ских контуров сепаратрис седло-фокусов и гетероклинического контура, связывающего три особые точки; найдены коразмерности и построены бифуркационные поверхности и кривые всех контуров особых точек; разработан метод нахождения и стабилизации существующих в системе неустойчивых циклов; доказана некорректность некоторых положений классического сценария перехода к хаосу в системе уравнений Лоренца.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации относятся к теории нелинейных динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Доказанные в работе теоремы и разработанные методы носят общий характер, поэтому подход, применимый в диссертации для исследования системы Лоренца, может быть использован для построения диаграмм нелокальных бифуркаций, поиска и стабилизации неустойчивых циклов, в широком классе других нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты диссертации могут быть использованы для решения практических задач гидродинамики, метеорологии, лазерной динамики.
Методы исследования. В работе применяются методы теории динамического хаоса, теории бифуркаций и устойчивости в нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, а также численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертации были представлены в виде докладов на научно-исследовательских семинарах кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета ВМиК МГУ (рук. Магницкий Н. А.), а также на следующих семинарах и конференциях:
Научная конференция "Тихоновские чтения" (Москва, МГУ, октябрь 2003 г.)
Международная конференция "Стратегии динамического развития России : единство самоорганизации и управления" (Москва, РАГС, июнь 2004 г.)
Всероссийский научно-исследовательский семинар "Нелинейная динамика и управление" (Москва, МГУ, ноябрь 2004 г.)
Публикации. Содержание диссертации опубликовано в шести статьях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем диссертации — 104 страницы. В работе приведено 56 рисунков и 2 таблицы. Список литературы содержит 52 библиографические ссылки.
