Содержание к диссертации
Введение
1 Существование и единственность слабого решения для одной модельной системы в теории неньютоновских жидкостей 19
1.1 Интегродифференциальная сисіема А.П. Осколкова . 19
1.2 Обозначения, постановка задачи о слабых решениях и основной результат главы 20
1.3 Операторные уравнения эквивалентные задаче о слабых решениях и исследование свойств операторов из этих уравнений 22
1.4 Априорная оценка 45
1.5 Доказательство теоремы 1.2.1 52
1.5.1 Теорема существования слабого решения модель ной задачи 52
1.5.2 Теорема единственности решения 54
1.G Доказательство теоремы 1.2.2 56
2 Две корректных постановки начально-краевых задач для обобщенной модели Кельвина-Фойгта. Существование и единственность слабого решения в каждой из постановок 58
2.1 Об обобщенной модели Кельвина-Фойпа 58
2.2 Обозначения, используемые в данной главе 59
2.3 Две корректных посіановки начально-краевых задач и формулировка основных результатов 60
2.3.1 Первая постановка 60
2.3.2 Вторая постановка 63
2.4 Доказательство теоремы 2.3.2 G6
3 Слабая разрешимость начально-краевой задачи для системы уравнений, описывающей движение слабых вод ных растворов полимеров 73
3.1 Об одной модели движения слабо концентрированных водных растворов полимеров 73
3.2 Обозначения, постановка задачи о слабых решениях и основной результат главы 74
3.3 Аинроксимационная задача 76
3.3.1 Операторная трактовка аппроксимационной задачи 77
3.3.2 Априорная оценка 93
3.3.3 Теорема существования решений аппроксимационной задачи 100
3.4 Доказательство теоремы 3.2.1 102
Литература
- Операторные уравнения эквивалентные задаче о слабых решениях и исследование свойств операторов из этих уравнений
- Теорема существования слабого решения модель ной задачи
- Обозначения, используемые в данной главе
- Операторная трактовка аппроксимационной задачи
Введение к работе
Актуальность темы. Изучение движения жидкости с давних времен является источником большого числа задач в математике. При попытках изучения даже самых простых математических моделей движения жидкости возникает большое число проблем, многие из которых не решены и по сей день.
Исторически первой научной работой в этом направлении видимо является трактат Архимеда "О плавающих телах", в котором впервые вводится понятие давления как основной характеристики взаимодействия частиц жидкости и используется предположение о несжимаемости жидкости. На основе этих двух механистических предпосылок начала развиваться гидростатика, для развития которой был использован существовавший на тот момент математический аппарат геометрии Евклида. Собственно создание гидродинамики (науки о движении жидкости) связано с именами Галилео Галилея, Гюйгенса, Блеза Паскаля и Исаака Ньютона и было обусловлено созданием основ дифференциального и интегрального исчисления. Дальнейшее развитие гидродинамики связано с именами Леонарда Эйлера, Даниила Бернулли, Лагранжа, Пуассона, Людвига Прандтля, Коши, Навье, Стокса, Сен-Венана, Пуазейля, Осборна Рейнольдса и многих других. Именно этими учеными был существенно развит существовавший на тот момент математический аппарат и была собственно создана классическая гидродинамика. Для того чтобы характеризовать физическое поведение жидкости ими были получены различные системы дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять скорость и давление жидкости как функции координат и времени.
Движение несжимаемой жидкости с постоянной плотностью р = const, заполняющей ограниченную область Q С Mn, п = 2,3, на промежутке времени [О, Т], Т > 0 описывается системой уравнений в форме Коши (здесь и далее используется соглашение о суммировании по повторяющимся индексам):
(
dv dv \
~dt+Vidx~) +gradP = Diva + ^> (М) ЄП х [0,Т], (1)
divv = 0, (x,t)eQx[0,T\, (2)
где v(x,t) — вектор скорости частицы в точке х в момент времени t и г>1,.. . vn — компоненты г>; р = р(х, t) — давление жидкости в точке х в момент времени t\ f = f(x,t) — плотность внешних сил (их также
называют объемными), действующих на жидкость. Через Diver обо-
п du\j " da2j " 5crnj
значен вектор ( ^ ——, ^ ——,... , ^ —— J, координаты которого
являются дивергенцией строк матрицы о" = (<7у(ж)), где о" — девиатор тензора напряжений, trcr = 0.
Без ограничения общности будем считать в дальнейшем плотность р равной единице.
Введение в уравнение (1) девиатора тензора напряжений а имеет целью учёт реакций, возникающих в жидкости в процессе её движения. Система (1),(2) описывает течение всех видов жидкости, но при этом она содержит девиатор тензора напряжений, который явно не выражен через неизвестные этой системы. Чтобы выразить девиатор тензора напряжений через неизвестные системы (1),(2), как правило, используют соотношения между девиатором тензора напряжений и тензором скоростей деформаций S = (ij) =1 , ij = ij{v) =
2 ( sf1 ~^~ Ъх- ) и их производными. Устанавливая связь между девиатором тензора напряжений и тензором скоростей деформаций и их производными, мы тем самым устанавливаем тип жидкости. Такое соотношение называют определяющим или реологическим соотношением. Необходимо отметить, что эти соотношения относятся к разряду гипотез, которые должны подтверждаться для конкретных жидкостей экспериментальными данными.
Простейшим примером определяющего соотношения, отвечающим идеальной несжимаемой жидкости, является уравнение и = 0. Движение идеальной несжимаемой жидкости описывается уравнениями Эйлера.
В течение последних полутора столетий основным объектом исследования математиков в области гидродинамики является модель ньютоновской жидкости. Её реологическое соотношение имеет вид: о" = 2v, где v — кинематический коэффициент вязкости. Подставляя это соотношение в (1),(2), получаем хорошо известную систему уравнений Навье-Стокса. Эта система уравнений описывает течение при умеренных скоростях большинства встречающихся на практике вязких несжимаемых жидкостей.
Однако, уже в середине XIX века стали известны такие вязкие несжимаемые жидкости, которые не подчиняются ньютоновскому определяющему соотношению. Они получили название "неньютоновские жидкости". Таковыми являются, например, жидкости, в которых после прекращения движения напряжения не обращаются мгновенно в
нуль, а спадают по некоторому закону, то есть имеет место релаксация напряжений; а также жидкости, в которых после снятия напряжений движение не прекращается мгновенно, а затухает по некоторому закону, то есть имеет место запаздывание деформации; и те жидкости, в которых имеют место оба этих эффекта. Впервые модели таких жидкостей были предложены в XIX веке Дж. Максвеллом, В. Кельвином и В. Фойгтом и были развиты в середине XX века в значительной степени благодаря работам Дж. Г. Олдройта. Впоследствии на основе этих работ были построены различные модели, описывающие движение таких "неньютоновских" сред как эмульсии и суспензии одной ньютоновской жидкости в другой, сильно разбавленные суспензии твердых частиц в ньютоновской жидкости, слабоконцентрированные водные полимерные растворы.
Как уже отмечалось ранее, в течении последних полутора столетий в основном изучались различные начально-краевые задачи для классических систем уравнений гидродинамики — системы уравнений Эйлера и системы уравнений Навье-Стокса. Наиболее известными являются работы Ж. Лере, Ю. Шаудера, С.Л. Соболева, О.А. Ладыженской, Р. Темама, Ж.-Л. Лионса, В.А. Солонникова, А.В. Фурсикова. В этих работах были предложены различные функциональные методы решения начально-краевых задач гидродинамики. Одним из этих методов является переход к обобщенной постановке задачи, при которой исходное уравнение заменяется уравнением в некотором пространстве функционалов. Решение такой задачи называют обобщенным решением. Отметим, что любое классическое решение всегда является обобщенным решением, обратное же верно не всегда.
Важно отметить, что "неньютоновские" среды не столь подробно изучены с точки зрения математических постановок задач. Однако, в последнее время данный класс задач широко изучается и в этом направлении имеется большое число работ таких авторов, как О.А. Ладыженская, В.Г. Литвинов, А.П. Осколков, Н.А. Каразеева, В.В. Шелюхин, П.Е. Соболевский, Ю.А. Агранович, К. Гильопе, Ж. Со, М. Ренарди, П.-Л. Лионе, Н. Масмуди, В.П. Орлов, В.Г. Звягин, В.Т. Дмитриенко, Д.А. Воротников и многих других.
Целью работы является исследование вопросов существования, единственности и некоторых свойств решений начально-краевых задач для математических моделей движения упругих сред Кельвина-Фойгта и их обобщений.
Методика исследований. Использовались идеи и методы совре-
менного нелинейного анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных, в частности, методы теории нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, аппроксима-ционно-топологический метод исследования задач гидродинамики, разработанный В.Г. Звягиным и В.Т. Дмитриенко, методы теории топологической степени, априорных оценок и др.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:
Доказаны существование и единственность слабого решения начально-краевой задачи для системы уравнений Осколкова.
Предложены две корректные постановки начально-краевых задач для систем уравнений движения сред, описываемых обобщенной моделью Кельвина-Фойгта произвольного порядка. В каждой из постановок доказаны существование и единственность слабого решения.
Доказано существование слабого решения начально-краевой задачи для системы уравнений, описывающей движение слабо концентрированных водных полимерных растворов.
Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты применяются при исследовании различных течений вязкоупругих жидкостей и сред.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на "Зимней школе по механике сплошных сред (тринадцатой), Школе молодых ученых по механике сплошных сред" (Пермь, 2003), Воронежских зимних математических школах (2004,2005), "Зимней школе по механике сплошных сред (четырнадцатой)" (Пермь, 2005), международной математической школе-семинаре "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете" (Абрау-Дюрсо, 2005), международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения" (Воронеж;, 2005), международном математическом конгрессе по приложениям математики "International Congress on the Applications of Mathematics - ICAM 2006" (Сантьяго, Чили, 2006), семинаре в математическом институте имени В А. Стеклова (2006), семинаре под руководством профессора А.В. Фурсикова (МГУ, 2006), семинаре под руководством профессора А.Л. Скубачевского (РУДН, 2006).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[11].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на четырнадцать пунктов, и списка лите-
Операторные уравнения эквивалентные задаче о слабых решениях и исследование свойств операторов из этих уравнений
Однако, уже в середине XIX века стали известны такие вязкие несжимаемые жидкости, которые не подчиняются ньютоновскому определяющему соотношению. Они получили название "неныотоновские жидкости". Таковыми являются, например, жидкости, в которых после прекращения движения напряжения не обращаюіся мгновенно в нуль, а спадают по некоторому закону, то есть имеет место релаксация напряжений. А также жидкости, в которых после снятия напряжений движение не прекращается мгновенно, а затухает по некоторому закону, то есть имеет место запаздывание деформации. И также те жидкости, в которых имеют место оба этих эффекта. Впервые модели таких жидкостей были предложены в XIX веке Дж. Максвеллом [40],[41], В. Кельвином и В. Фойгтом [6] и были развиты в середине XX века в значительной степени благодаря работам Дж. Г. Олдройта [26],[61]. Данные модели учитывают предысторию течения жидкости.
На основе моделей жидкостей Максвелла, Кельвина-Фойпа и Олдройта впоследствии была построена феноменологическая теория линейных вязкоупругих жидкостей с конечным числом числом дискретно распределённых времен релаксации и времен запаздывания [7],[56], [57]. Такое название получили жидкости, реологическое соотношение которых имеет вид:
Здесь Лг — времена релаксации, v — кинематический коэффициент вязкости, а коэффициенты нг — времена запаздывания (ретардации). Числа M,N — натуральные. В основе теории линейных вязкоупругих жидкостей лежит предположение — принцип суперпозиции J1. Больц-мана — о том, чю все воздействия на среду независимы и аддитивны, а реакции среды на внешние воздействия линейны. К таким жидкостям относятся эмульсии и суспензии одной ньютоновской жидкости в другой, сильно разбавленные суспензии твердых частиц в ньююновской жидкости, некоторые полимерные растворы [7].
Ещё одним классом неныоюновских жидкое і ей являются слабоконцентрированные водные полимерные растворы. В таких растворах наряду с вязкими необходимо учитывать также и упругие свойства. Напряжения в таких полимерных расі ворах зависят как от истории деформирования, так йот мгновенного значения скорости деформации, причём проявление вязкостных свойств в поведении материала связано с влиянием растворителя и в случае низкой концентрации полимера этот вклад не являє і ся пренебрежимо малым. Это подтверждается экспериментальными исследованиями расі воров полиэгиленокеида и полиакриламида [1] и растворов полиакриламида и гуаровой смолы [2] На основе этих исследований в работе [39] было предложено следующее реологическое соотношение: a = 2uU + xu-1— J , х,і/ 0. (0.0.9) Здесь v — кинематический коэффициент вязкосчи, а я — время за иаздывания. Коэффициент х назі івают также временем релаксации деформаций. Выражение = +vt-r обозначает полную (субстанциональную) производную по времени. Соотношение (0.0.9) отличается от ньютоновского определяющего соотношения (0.0.5) наличием добавочного члена х , учитывающего релаксационные свойства жидкости. В случае очень слабых релаксационных свойств жидкости (при х близких к нулю), а также в случае уеіановившегося характера движения жидкосіи, когда полная производная по времени от тензора скоростей деформаций равна нулю, добавочный член пропадает. Однако, в случае турбулентного режима и при неусіановившемся ламинарном режиме движения жидкости добавочный член будет отличен от нуля и должен играть значительную роль.
Теорема существования слабого решения модель ной задачи
Мы предполагаем, что / Є CL{[0,T],V ),(IQ Є V,6t Є L2(ft,Afe(n)), z = 0,L-l. Отметим, что в рабоїах [27) и [28] уже рассматривались начально-краевые задачи для системы уравнений (0.0.14)-(0.0.16). В данных работах начально-краевая задача (().0.14)-(0.0.19) сводилась к некоторой другой задаче и доказывалось существование решения этой новой задачи при любых начальных данных. При эюм в указанных рабоїах не проверяешь что полученное решение начально-краевой задачи будет удовлетворять начальным условиям на a, S и их производные. Однако, отметим, чю начальные условия должны удовлетворять системе уравнений (0.0.14),(0.0.15), иначе решение с іакими начальными условиями также не будет ему удовлетворять. Также важно отметить, что ранее для данной модели изучались іолько сильные решения и в гладких обласіях. Нами же получены іеоремьі существования и единственности слабых решений в обласіях с негладкой, а только локально-липшицевой границей.
Вторая глава состоит из чеіьірех пунктов. В первом пункче производится описание уравнений для сред, удовлетворяющих обобщенной модели Кельвина-Фойгга. Во втором пункче вводятся основные обозначения, используемые в данной главе.
В третьем пункте производятся постановки начально-краевых задач и формулируются основные результаты главы о существовании и единственности слабого решения начальной задачи (0.0.14)-(0.0.19) (теорема 2.3.1) и о существовании и единственности слабого решения начальной задачи (0 0.14)-(0.0.16),(0.0.18),(0.0.20),(0.0.19) (чеоре-ма 2.3.2). В четвертом пункте на основе теорем 1.2.1 и 1.2.2 из первой главы доказывается теорема 2.3.2.
В третьей главе исследуеіся исследуется слабая разрешимость начально-краевой задачи для сисчемы уравнений, описывающей движение слабых водных растворов полимеров в ограниченной области Q С Шп, п = 2,3 с локалыю-липшицевой границей на промежутке времени [0,Т]. Различные линеаризации данной начально-краевой задачи изучались в работах А.П. Осколкова [30],[38]. Однако, позднее им же в [31] было замечено, в доказательствах этих работх есть ошибки и, следовательно, полученные результаты являются неверными. Одна из линеаризации для данной начально-краевой задачи была изучена им при граничных условиях проскальзывания в рабою [29]. О.А. Ладыженская в своей рабою [22] оімечает, что меюд введения вспомогательной вязкости, предложенный ей в [21], и использованный А.П. Осколковым для изучения линеаризации начально-краевой задачи (0.0.21)-(0.0.24) в уже упомянутых рабоїах [27],[28], является ошибочным и вопрос о существовании решений данной начально-краевой задачи оставался открытым.
Для доказательства разрешимости нами используется модифицированный метод введения искусственной вязкости, а іакже апирокеима-ционно-топологический подход к исследованию задач гидродинамики, который описан в [14] на примере сисіемьі Навье-Стокса.
Третья глава состоит из четырех пунктов. В первом пункте производится описание модели и ставится начально-краевая задача.
Во втором пункте вводятся основные обозначения, вводится определение слабого решения начально-краевой задачи, описывающей движение слабоконцентрированных водных полимерных растворов и формулируется теорема существования слабого решения (теорема 3.2.1).
В третьем пункте вводится начально-краевая задача с малым иара-меіром, аппроксимирующая исходную и доказывался существование слабого решения этой задачи.
В пункте приводится доказательство чеоремы 3.2.1, а именно показывается, что из последовательности решений аппрокси-мационной задачи можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к решению исходной начально-краевой задачи при стремлении параметра аппроксимации к нулю.
Суммируя вышеизложенное, отметим, что в диссертации получены следующие новые результаты:
1. Доказаны сущесівование и единственность слабого решения начально-краевой задачи для одной модельной системы в теории ненью- тоновских жидкостей.
2. Предложены две корректные постановки начально-краевых задач для систем уравнений движения сред, описываемых обобщенной моделью Кельвина-Фойгта произвольного порядка. В каждой из постановок доказаны существование и единственность слабого решения.
3. Доказано существование слабого решения начально-краевой задачи для системы уравнений, описывающей движение слабоконцентрированных водных полимерных растворов.
Обозначения, используемые в данной главе
В эюм параграфе будег показано существование единственного слабого решения начально-краевой задачи (1.1.1)-(1.1.4). Доказательство будег проведено в два этапа. Сначала будег показано существование слабого решения, а после эюго будет доказано, что если слабое решение начально-краевой задачи (1.1.1)-(1.1.4) существует, і о оно единственно.
Теорема существования слабого решения модельной задачи В этом параграфе с помощью теории сіепени будег доказана теорема существования слабого решения задачи (1.1.1)-(1.1.4). Теорема 1.5.1. Для любых / Є Lp(0,T;V ), 1 р со, а Є V операторное уравнение (1.3.4) имеет по меньшей мере одно решение v Є Wp.
Доказательство. Обозначим Я = CQ + 1. Из оценки (1.4.25) следует что все решения семейства уравнений (1.4.24) лежат в шаре BR С Wp с центром в нуле. Поэюму ни одно из уравнений этого семейства не имеет решений на границе эюго шара BR. В силу непрерывной обратимости оператора L : Wp х V - Ьр(0, Т\ V ) все решения следующего семейства операторных уравнений v - ф 1 \K(v) - (/, а)] = О, т/ Є [0,1] (1.5.33) лежат внутри того же шара BR.
В силу второго пункта леммы 1.3.5 оюбражение {К(-) — (/,а)) : Wp х V - Lp(0, Т; V ) х V вполне непрерывно. В силу первого пункта той же леммы оператор L l : LP(Q,T;V ) X V - Wp — непрерывен. Таким образом отображение L-1 [К{-) — (/, a)]: Wp --» Wp вполне непрерывно. Введём отображение G : [0,1] х Wp - Wp, Gfo, и) = т/L"1 [ВД - (/, а)}.
Тогда в силу вышесказанного о і ображение G вполне непрерывно по совокупности переменных т] и v. Следовательно векторное поле Ф(т],у) = v - G(T],V) вполне непрерывно и невырождено на границе шара Вц. И таким образом для него определена сіепень Лере-Шаудера degLS( ,S 0). По свойству гомотопической инварианіности сіеиени получим, чгю degL5( (0, ). Вш 0) = аеб15(Ф(1, ), BR, 0).
Поскольку в силу определения Ф(0, ) = J, а по свойству нормировки степени deg f (I, В ц,0) = i) имеем чю degAS (l,.), Яд, 0) = 1.
Таким образом существует хотя бы одно решение v Є Wp уравнения v-L-l[K(v)-(f,a)] = V и, следовательно, уравнения (1.3.4). D
Тогда имеет решение и операторное уравнение (1.3.3), причём это решение удовлетворяет начальному условию (1.2.2). Отсюда имеем, чю существует хотя бы одно слабое решение начально-краевой задачи (1.1.1)-(1.1.4). 1.5.2 Теорема единственности решения Теорема 1.5.2. Слабое решение задачи (1.1.1)-(1.1.4) единственно.
Доказательство. Предположим противное. Пусть и и v (и ф v) — два слабых решения задачи (1.1.1)-(1.1.4). То есгь и и, и v удовлетворяют равенству (1.2.1) и начальному условию (1.2.2). Вычитая из равенства (1.2.1) для и равенство (1.2.1) для v и обозначив через w = и — v, получим следующее равенство для ги:
По лемме 1.3.4 пункт 4 мы имеем, что B(v) Є С([0,Т], V ); в силу третьего пункта леммы 1.3.1 получим, что ЩАУ Є С([0,Т], V ); воспользовавшись леммой 1.3.3 пункт 2 получаем, что Nv Є С([0,Т], V ). Так как / Є С([0, Т], V ), получим, что правая часть равенства (1.6.36) лежит в С([0, Т], V ). Применяя теперь к (1.6.36) оператор ( A+J)-1, получим: Vі = (ц2А + J)"1 {-fiiAv - Ni{v) + B(v) + /). (1.6.37) Из последнего равенства в силу треіьего пункта леммы 1.3.2 следует, что г/ Є С([0,Т], V). Таким образом получили, что г; 6 С!([0,Т], V). То есть при к = 0 утверждение верно. Пусть утверждение верно при к = гп — 1. Докажем его при к = т.
Так как в силу предположения v Є Cm([0,T], V), то по четвертому пункту леммы 1.3.4 мы получим, что B(v) Є Cm([0,T],K ); в силу леммы 1.3.1 пункт 3 имеем, что \i\Av Є Cm([0,T], V ); из второго пункта леммы 1.3.3 следует, что Nv Є Сш([0,Т], V ). Так как / Є Cm([0, Т], V ), получим, что правая часть равенства (1.6.36) лежит в Ст([0,Т], V ). Применяя теперь к (1.6.36) оператор (fi2A + J) \ получим равенство (1.6.37), у которого правая часть по третьему пункту леммы 1.3.2 лежит в Ст([0,Т],У).
Операторная трактовка аппроксимационной задачи
Покажем теперь его обратимость. Сначала докажем, что множество значений оператора (J + eN + хА) совпадает со всем 1/2(0, Т;Х ). Для э юго надо иоказаіь, что для любого w Є L 2(0,T;X ) уравнение (J + eN + нА)и — w имеет решение и Є L2(0,T;X). В силу того, чю оператор (J + eN + хЛ) : X - X обра і им, мы имеем, что при почти всех t Є (0,Т) уравнение (J + eN + кА)и = w имеет решение u(t) = (J + JV + xvl)_1u (). Осталось показать, что определённая таким образом функция и Є L2(0,T;X). В силу левой части оценки (3.3.21) при почти всех t Є (0,Т) мы имеем: 4Ф)\\х \\(J + eN + xA)u{t)\\x. = \Ht)\\x..
Поскольку w Є Ь2(0, T]X ), то из последнего неравенства следует, что и Є 2(0,Т;Х). Возводя эю неравенство в квадрат и интегрируя его по отрезку [0,Т], получим требуемое неравенсіво (3.3.23).
Из неравенства (3.3.23) следует, чю kcr(J+eN+ cA) = {0}. В итоге получили, что (J + eN + к А) обра і им как онера юр из Ь2(0, Т\Х) в L2(0,T;X ). В силу оценки (3.3 22) для любых f,g Є 1/2(0, Т; X ) при почти всех t Є (0,Т) имеет месю оценка
Возводя данную оценку в квадрат и интегрируя по t от 0 до Т мы и получим оценку (3.3.24), из которой следует, что оператор (J + eN + я A)-1 : L2(0,T ,X ) - L2{0,T]X) - непрерывен. Лемма 3.3.3. Для отображения В\ имеют место следующие свойства: 1. Отображение В\ : ЬДГ))71 - V — непрерывно, для пего имеет место оценка: \\Bi(v)\\v. СзМадв. (3.3.25) 2. Для любой функции v Є Z/4(0,T; L Q)11) функция В\(v) Є 1/2(0, Т; V ) и отображение Вх : L4(0, Т; L4(Q)") - L2(0, Т; V ) неп;;е-рьшпо. 3. Для любой функции v Є Е2 функция B\{v) Є 2(0,Т; X ) и огао#-ражение В\\Е2- г L2{Q,T\X ) — вполне непрерывно и для пего имеет место оценка: (3.3.26)
Доказательство. Доказательство первого и второго пунктов эюй леммы дословно повторяет доказательсіво періюі о и второго пунктов леммы 1.3.4. Я) Воспользуемся чеоремой 2.1 из [45] (с. 217-223). Её формулировка была приведена в лемме 3.3.1. В данном случае Х0 = X,F = L4(Q)n, Хг = Ь2(П)\ а0 = 4, Qi = 2, Y = {v:ve Li{0,T;X);v Є L2(0,T;L2(fi)n)}.
Так как в силу теоремы вложения Соболева мы имеем компактное вложение X С L4(fi)n, чо выполнены все условия указанной теоремы и из неё вытекает компактность вложения Y в L4(0,T; L4(l)n) .
Из непрерывных вложений С([0,Т\,Х) С L4(0,T;L4(an, L2(0,T;X) С L2(0,T; L2(fi)n) следует, что 2 С К, причём вложение непрерывно. Далее, из второго пункта зі ой леммы мы имеем, что отображение В\ : L4(0, Т; L4(fi)n) - L2(0,T;K ) — непрерывно. Таким образом имеем Е2 С Y С L4(0,T;L4(ft)") - L2(Q,T;V ) С L2(0,T;X ), где первое вложение непрерывно, вюрое вложение — вполне непрерывно, а оюбражение В\ и последнее вложение — непрерывны. Таким образом получили, что для любой функции v Є 2 функция Si(и) Є L2(0,T;X ) и отображение В\ : X -» L2(0,T;X ) - вполне непрерывно.
Вложение X С V - компактно, позі ому пространство У вложено в 1/4(0, Т; V) компактно.
Из непрерывности следующих вложений С([0,Т],Х) С 4(0, Т;Х) и 1/2(0, Т; X) С L2(0,T; L2(f2)") следует, что Е"2 С У, причём вложение непрерывно. Из второго пункча эюй леммы мы имеем, что оюбраже-ние В2 : L4(0, Т; К) - L2(0, Т; X ) непрерывно. В итоге E2CYC LA{Q,T;V) - L2(0,T;X ). Здесь первое вложение непрерывно, вюрое вложение - вполне непрерывно, а отображение Б2 — непрерывно. Таким образом для любой функции v Є Е 2 функция 52(f) Є L2(0,T;X ), а оюбражение I?2 : 2 - L2(0,T;X ) — вполне непрерывно.
