«Комплексная задача Коши в пространствах аналитических функций с интегральными метриками» Бирюков Алексей Михайлович

Введение к работе

Актуальность работы. Настоящая диссертация посвящена исследованию задачи Коши для системы комплексных линейных дифференциальных уравнений

u_t(t,z) - A(t,z,D)u = h(t,z) (0.1)

u(to,z) = ip(z) (0.2)

в классах аналитических функций с интегральными метриками. Исследование такого рода задач было начато в 1842 году О. Коши. Он изучил систему уравнений

4-І N

7&+ Е Е4(^,^д)ж = ММ), (о.з)

к=0 j=l

z = l,...,N. и получил, что, если коэффициенты операторов AfAt, z, D) аналитические в некоторой области V С C"j~ функции, и порядки этих операторов подчинены условиям

ordA\₃(t,z,D)_l-k, (0.4)

то для произвольных hi(t, z), аналитических в некоторой окрестности U(to, Zq) точки (to, ^о) Є V^а и любых начальных функций (fiik(z), аналитических в окрестности U(to, Zq) П {t = to}, существует единственное решение задачи Коши

5? + EE4(M,D)^ = fe,(M) (0.5)

к=0 j=l

д її'
^-^r(to,z) = (p_lk(z) (0.6)

і = l,...,N,k = 0,1,..., в» - 1,

являющееся вектор-функцией u(t, z), аналитической в некоторой окрестности U\(to, Zo), которая, вообще говоря, меньше исходной окрестности?/(to, Zo).

В 1875 году С. Ковалевская также установила условия (0.4). Более того, она выявила существенность этих условий, а именно, привела примеры, подтверждающие, что при нарушении неравенств (0.4) аналитической разрешимости может не быть.

В дальнейшем тоерией Коши-Ковалевской занимались многие исследователи. В 1974 году С. Мизохата доказал, что в случае одного уравнения неравенства Ковалевской являются необходимыми и достаточными для аналитической разрешимости задачи Коши.

Для систем уравнений этот результат не справедлив, как это следует из работы 1964 года Ж.Лере, Л. Гординга, Т.Котаке. Они доказали аналитическую разрешимость задачи Коши для систем, удовлетворяющих условиям Лере-Волевича

ordA^ < rrii — rrij + Si — к, где mi, ..._}rriN— произвольные целые числа, rrij > 1.

Далее в работе Ю.А. Дубинского 1996 года получены необходимые и достаточные условия для локальной корректности задачи Коши (0.1), (0.2) в классах аналитических функций с супремум-нормами. Этот вопрос рассматривается в следующих случаях

1) Функции из пространства решений могут допускать особенности сте
пенного характера при подходе к границе цилиндра или конуса (аналити
ческая задача Коши).

2) Функции из пространства решений могут допускать определённый
экспоненциальный рост по "пространственной' переменной z на бесконеч
ности (экспоненциальная задача Коши).

Таким образом, важно продолжить исследование разрешимости задачи Коши (0.1), (0.2) в различных функциональных пространствах, как для развития методов комплексной математической физики, так и для более глубокого изучения свойств аналитических функций.

Цели и задачи исследования. В диссертации мы изучаем вопрос об условиях для корректности задачи (0.1), (0.2) в классах аналитических функций аналогичных тем, которые рассматривались в работе Ю.А. Дубинского, но с интегральными нормами типа норм пространств L_p с весом и Харди-Лебега с весом.

Как оказалось, благодаря детальному изучению и получению новых свойств аналитических функций в диссертации, в ряде случаев условия, необходимые и достаточные для локальной корректности рассматривае-

мой задачи, одинаковы как в пространствах с супремум-нормами, так и в пространствах с интегральными нормами.

Рассмотрим и кратко опишем функциональные пространства, в которых устанавливается разрешимость задачи Коши (0.1), (0.2)

1) Случай распространения особенностей степенного характера по "бо
ковой" границе "цилиндра". Здесь пространство решений задаётся следую
щим образом:

${5]D_m^_p){tQ,Zo)— пространство аналитических в "цилиндре" Us,R{to, zq) = {{t, z) :\t- t₀\ <6,\z- zq\ < R} вектор-функций u(t, z) = (ui(t, z\ ...,U]y(t, z)), для которых конечна норма

N NT

\\u\\s;m,R;_P = J2 \\^иЛз;т^Щр = J2 I I \uj(t, z)\^p(R-\z-z₀\)^m^dxdyd^dr]

j=^l J=^l \-\t-t0\_R(z₀)

ГДЄ t = t; + ІЇ].

2) Случай распространения особенностей по боковой границе "конуса".
Здесь пространство решений задаётся таким образом:

$(—; D_m^_a;p)(to, Zo)(a > 0)— пространство вектор-функций u(t, z\ ана-

литических в "конусе"

V_a,R{t₀, Zq) = {{t, z) :\t- t₀\ < f, \z - Zq\ < R - (j\t - t₀\}

для которых конечна норма

III v^. || ||

\^U\\f;m,R^;P ~ l^i \\^UJ\\f;m_hR,a-p ~
І=1
N г , , 2тг _л l/p

= ^SUP [ ^SUP {[! \uj{t^^e^ie)\^pde) (R-a\t-t₀\-r)^mA
j=i |t-t₀|г<^д-^М0| о ' '-

И в первом и во втором случаях полностью описана структура систем дифференциальных уравнений, для которых имеется локальная корректность задачи Коши в заданной шкале функциональных пространств.

Далее изучается экспоненциальная задача Коши. Также рассматриваются два случая:

1) Тип экспоненциального роста, который могут допускать функции из пространства решений, не зависит от "временной" переменной t. Здесь используется следующий класс

i)(5; Exp_m^_q]p){to)— пространство целых по z и аналитических по t при \t — to\ < 5 вектор-функций u(t,z) = (щ(і, z), ...,им(і, z)), для которых

конечна норма

\\U\\S;m,R,q;p = 2_^ \\Uj \\S;mj,R,q;p
3=1
N г / / 2тг _х 1/р

= J2 ^SUP ^SUP (( I \uj{t,re^%e)\^pd9\ (1+r) ^mjexp{—Rr^q})
j=l \t-t₀\<6 Lo'

2) Тип экспоненциального роста зависит определённым образом от "временной" переменной. В качестве пространства решений используется

i)(5; Exp_m^_a^p){to)— пространство аналитических по t при \t — to\ < 5 и целых по z вектор-функций u{t, z), для которых конечна норма

N \\U\\S;m,R,a,q;p = /_^ \\Uj \\б;т^Д,а,д;р =

N г , , 2тг _л 1/р

= J2 ^sup ^sup J M^re^)l^6> (i+r)"^mj'

j=l \t-t₀\ Lo

exp{-(R + a\t-to\)r^q}\ .

Научная новизна. Основное отличие настоящей работы от других работ по данной теме состоит в том, что здесь изучается вопрос о разрешимости комплексной задачи Коши в пространствах функций с интегральными метриками. В диссертации устанавливается, что существуют функции, которые принадлежат пространствам с интегральной метрикой, но не принадлежат соответствующим классам с супремум-нормой. А значит доказательства теорем о разрешимости, которые имеются в работах Ю.А. Дубинского для случая пространств с супремум-нормами, не работают в нашем случае, поскольку там используются поточечные оценки, которые могут быть не справедливы для функций из функциональных пространств, рассматриваемых в диссертации.

Основные положения, выносимые автором на защиту.Сформули-руем основные теоремы о разрешимости задачи Коши (0.1), (0.2) в каждом из рассматриваемых случаев.

1) Аналитическая задача Коши. Случай распространения степенных особенностей по "цилиндрической" поверхности.

Теорема. Задача (0.1), (0.2) локально корректна в шкале D_m^_;p тогда и только тогда, когда порядки дифференциальных операторов удовлетворяют следующим условиям

ordAij(t, z, D) = rriij

для всех i,j = 1,..., N. При этом, если правая часть последнего неравенства отрицательна, то считаем, что ordAij(t_}z_}D) = — оо_; по определению, a Aij(t, z_} D) = 0.

2) Аналитическая задача Копій. Случай распространения особенностей
по "конической" поверхности.

Теорема. Задача Коши (0.1), (0.2) локально корректна в шкале D_m^_a]p тогда и только тогда, когда порядки дифференциальных операторов удовлетворяют следующим неравенствам

ordAij(t, z, D) < rrii — rrij + 1

для всех i,j = 1,..., N. При этом, если правая часть неравенства получается отрицательной, то считаем, что Aij(t, z_} D) = 0, а его порядок ordAij = — оо.

3) Экспоненциальная задача Коши. Случай, когда экспоненциальный
рост на бесконечности по переменной z не зависит от "временной" перемен
ной t.

Теорема. Задача (0.1), (0.2) локально корректна в шкале Ехр_тд_Л]р, если выполнены следующие условия:

1. afj(t,z)— суть полиномы по z;

2. степени этих полиномов удовлетворяют неравенствам degaj(t, z) < rrii — rrij — \a\(q — 1),

причём, если правая часть неравенства получается отрицательной, то по определению считаем afj(t,z) = 0, а его степень degafj(t_}z) = —оо.

4) Экспоненциальная задача Коши. Случай, когда тип экпоненциально-
го роста по переменной z зависит определённым образом от "временной"
переменной t.

Теорема.Задача (0.1),(0.2) локально корректна в шкалеЕхр_тд^_Л]р{С), если выполнены следующие условия

1. afj(t,z)— суть полиномы по z;

2. Степени этих полиномов удовлетворяют неравенствам для всех
i,j = l,...,N:

degafj(t, z) < rrii — Щ — \a\{q — l) + q,

причем, если правая часть неравенства получается отрицательной, то по определению считаем, что afj(t,z) = 0, а его степень degafj(t_}z) = —оо.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских конференциях:

V Международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания";

Восемнадцатой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика";

- XXI Международной научно-технической конференции "Информаци
онные средства и технологии"

и научно- исследовательском семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Дубинского Ю.А. и проф. Амосова А.А.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи печатных работах, четыре из которых в статьях изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав. Диссертация содержит 75 страниц основного машинописного текста. Список использованной литературы включает 12 наименований.

Похожие диссертации на «Комплексная задача Коши в пространствах аналитических функций с интегральными метриками»

Задача Коши для параболических уравнений с некоторыми вырождениями в пространствах обобщенных функцийЖитарюк, Иван Васильевич

Задача Коши для параболических псевдодифференциальных уравнений с начальными условиями в пространствах обощенных функций типа распределенийЛитовченко, Владислав Антонович

Некоторые вопросы корректности абстрактной задачи Коши первого порядка в банаховом пространствеАльшанский, Максим Алексеевич

Асимптотическое поведение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространствах постоянной отрицательной кривизны Погорелов Юрий Владимирович

Об оценках решений задачи Коши для уравнений типа Шредингера в пространствах Lp и BpqШлекис, Пятрас Пятрович

Задача Коши для вырождающегося уравнения гиперболического типа в гильбертовом пространстве Семенов Сергей Митрофанович

Задача Коши для эллиптических уравнений, порождаемых оператором Лапласа в комплексном пространствеШалагинов Сергей Дмитриевич

Приближенно-автомодельные и асимптотические методы изучения задачи Коши и краевых задач для квазилинейных параболических уравненийАрипов, Мерсаид

Задача Коши и граничные задачи для некоторых сингулярных параболических систем Веренич Ираида Ивановна

Решение задачи Коши и некоторых краевых задач для гиперболического уравнения с оператором БесселяГафурова Сириня Мубарякшиновна