Содержание к диссертации
Введение
I. Композиция методов для операторных уравнений
1.1. Модификация метода сжимающих отображений в линейном подпространстве Кй-линеала 8
1.2. Усреднение нелинейного уравнения и аппроксимация обратного оператора 20
1.3. Модификация метода сжимающих отображений в серии подпространств 30
1.4. Усреднение и проекционный метод в серии подпространств 36
II. Композиция методов для интегральных уравнений
II.1. Усреднение нелинейного интегрального уравнения и аппроксимация обратного оператора 45
II.2. Линеаризация интегрального уравнения в сочетании с аппроксимацией ядра и невязки 54
III. Композиция методов для обыкновенных дифференциальных уравнений
III.1. Усреднение полулинейного уравнения второго порядка и аппроксимация обратного оператора 72
III.2. Приближенное решение граничной задачи для полулинейного уравнения второго порядка в серии конечномерных подпространств 81
III.3. Приближенное решение начальной задачи для полулинейного уравнения второго порядка в серии конечномерных подпространств 90
IV. Композиция методов в задаче Коши для уравнения в частных производных гиперболического типа
IV.1. Усреднение полулинейного уравнения и аппроксимация обратного оператора 95
IV.2. Прямой метод приближенного решения полулинейного уравнения в серии подпространств 101
V. Заключение 108
VI. Литература 111
- Модификация метода сжимающих отображений в линейном подпространстве Кй-линеала
- Усреднение нелинейного интегрального уравнения и аппроксимация обратного оператора
- Приближенное решение граничной задачи для полулинейного уравнения второго порядка в серии конечномерных подпространств
- Прямой метод приближенного решения полулинейного уравнения в серии подпространств
Введение к работе
Актуальность исследования. Проблеме поиска приближенных решений линейных и нелинейных уравнений посвящена обширная литература. Исследования по данной тематике вели, в частности, Н. В. Азбелев, Н. С. Бахвалов, Ф. П. Васильев, Е.В.Воскресенский, Л. В. Канторович, М. А. Красносельский, Ю. А. Кузнецов, С. Н. Слугин, В. И. Сумин, М. И. Сумин и др.
Для построения процесса последовательных приближений к решению нелинейного операторного уравнения 4^) = 0 в банаховом пространстве с сильно дифференцируемой операцией 4х - применяется метод Ньютона касательных: очередная минус-поправка Д„ = и„ - untl является решением линейного уравнения Ч"(и„)Аіі =*^(ия)- При обосновании сходимости метода обычно требуется также наличие второй сильной производной операции Ч1. На каждом и-ом шагу этого процесса решается линейное уравнение с новой левой частью, и процесс вычисления минус-поправок может быть значительно затруднен за счет усложняющегося характера оператора Ч^ОО-
Поэтому для поиска приближений используется также модификация метода касательных: подбирается линейный ограниченный оператор R, аппроксимирующий сильную производную в достаточно большой области, и решаются линейные уравнения RA„ = Ч^и,). Достаточные условия сходимости основного и модифицированного методов устанавливаются в предположении, что линейные уравнения решаются точно.
Однако, практически линейные уравнения тоже решаются приближенно. Это приводит к искажению теоретической оценки погрешности приближения и к тому обстоятельству, что проблема сходимости метода фактически остается открытой.
Цель работы. Для построения схемы приближенного метода, удобной в применении к задачам для дифференциальных уравнений, в диссертации вводится другая форма нелинейного операторного уравнения - в виде задачи
Dx = F{x\ Nx = z, (1)
где Dx - главная линейная часть уравнения, F(x) - нелинейная часть, а последнее равенство означает выполнение начальных или (и) краевых условий.
Здесь оператор D , вообще говоря, неограниченный, а от операции F не требуется ее дифференцируемости.
Построение производится в банаховом полуупорядоченном пространстве Y, содержащем образы Dx, F(x). Использование свойства полуупорядоченности пространства позволяет получить более детальные результаты по сравнению с теми, где не постулирована полуупорядоченность. В диссертации пространство Y затем реализуется в качестве пространств С, Ij, Le с естественным - поточечным смыслом сравнимости у> 0.
БИБЛИОТЕКА \
srryb І
При таком смысле сравнимости - дифференцируемые функции не образуют полуупорядоченного пространства, поэтому пространство X элементов х здесь рассматривается как линейное подпространство в Y
Целью работы является построение и исследование такой схемы поиска приближенных решений задачи (1) и ее частного случая - уравнения х = F(x), в которой учитывается аппроксимативный характер вычисления минус-поправок и которая обеспечивает сходимость метода и оценку погрешности приближений.
Кроме того, целью работы является также конкретизация схемы в применении к некоторым классам нелинейных интегральных и дифференциальных уравнений.
Научная новизна. Поставлена проблема поиска приближений к решению задачи (1) в линейном подпространстве банахова полуупорядоченного пространства.
Сформулированы и обоснованы модификации обобщенного принципа сжимающих отображений с оценкой нормы итерации модулярной мажоранты и с аппроксимацией нелинейной операции в исходном пространстве и в серии подпространств.
Построена схема комбинированного метода поиска приближенных решений задачи (1) - композиция методов линеаризации нелинейного операторного уравнения и аппроксимации линейных уравнений, участвующих в алгоритме вычисления приближений.
Установлены достаточные условия существования и единственности решения задачи (1), сходимости метода, указана оценка погрешности приближений.
Схема конкретизирована в приложении к нелинейным интегральным уравнениям - типа Гаммерштейна и вольтерровым; к начальной и граничной задачам для полулинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка; к задаче Коши для полулинейного уравнения в частных производных гиперболического типа.
Методика исследования. Используется аппарат классического и неклассического функционального анализа в нормированных и в полуупорядоченных пространствах, теории интегральных и дифференциальных уравнений в обыкновенных и в частных производных.
Научная и практическая ценность. В диссертации построены две функциональные схемы комбинированного метода поиска приближенных решений задачи (1).
Итогом конкретизации одной из этих общих схем являются прямые методы вычисления приближений - в конечномерных подпространствах.
Данная в работе конкретизация схем в некоторых классах интегральных и дифференциальных уравнений может служить основой для компьютерной реализации вычислительных процессов.
Схемы могут быть конкретизированы и в других классах задач для дифференциальных уравнений в обыкновенных и в частных производных.
Практическую ценность имеют также полученные здесь оценки погрешности приближений
Апробация работы и публикации.
Основные результаты работы докладывались
на научных семинарах кафедры численного и функционального анализа (рук. проф. Д.В.Баландин), кафедры математики (рук. проф. Г. А. Уткин) Нижегородского госуниверситета,
на международной конференции «Нелинейные колебания механических систем», г. Нижний Новгород, 1999 г.,
на «Понтрягинских чтениях-ХП», Математическая школа, г. Воронеж, 2001 г.,
на 7 и 8 Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки), г. Саров, 2002 г., 2003 г.,
на 10 междисциплинарной научной конференции «Нелинейный мир», г. Нижний Новгород, 2005 г.
Работа выполнена при поддержке РФФИ грант 04-01-00222. Результаты работы отмечены стипендией администрации Нижегородской области имени акад. Г.А.Разуваева.
Основные результаты диссертации отражены в 12 работах, список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах, выполненных в соавторстве с С.Н.Слугиным, личным вкладом диссертанта являются формулировки и обоснования теорем. Соавтору С.Н.Слугину принадлежат идеи доказательства основных результатов.
Автор благодарит научного руководителя доктора физико-математических наук Д.В .Баландина за постановку задач и общее руководство.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 34 наименования. Материал диссертации изложен на 113 страницах.
Модификация метода сжимающих отображений в линейном подпространстве Кй-линеала
Полученные операторные схемы затем конкретизируются в классах нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна и вольтерровых, а также полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка в обыкновенных и в частных производных (в последнем случае - гиперболического типа).
При этом во втором способе линейные уравнения (0.3) решаются прямыми методами: интегральные уравнения - методом Фурье и методом, реализуемым в конечномерных подпространствах некоторых ступенчатых функций, а дифференциальные уравнения — методом Фурье.
В главе I диссертации изучается композиция методов для операторных уравнений. В п. 1.1 приводится определение йГЙ-линеала Y, эквивалентное известному [6]: частично упорядоченное -пространство, где любой элемент имеет модуль \у\ = у v (-у), и норма изотонна: если \у\ s jvj, то у =s v. Вначале рассматривается вспомогательная задача где хЄХ, X -линейное подпространствоХУ-линеала Y; операции D:X - К, A:Xi- Y; элемент ZELZ, Z -линейное пространство; линейный оператор N:X - Z . Строится модификация метода, отвечающего обобщенному принципу сжимающих отображений, для чего вводится последовательность операций AH:X»Y, Ап(х) А(х) и производится процесс Установлены достаточные условия существования и единственности решения х задачи (0.4) и сходимости процесса хп вместе с образами Dxn, соответственно, к решению х и образу Dx . В п. 1,2 результат п. 1.1 применен к задаче (0.1). Построен процесс приближений хя, который сходится вместе с образами Dxn, соответственно, к единственному решению х этой задачи и к образу Dx . Приводится оценка скорости сходимости. В частности, изучен случай уравнения х = F{x). В п. 1.3 рассматривается вспомогательное уравнение х = А(х) в КВ-линеале Y. К уравнению применена модификация принципа сжимающих отображений в серии линейных подпространств (0.2) с привлечением операций Am:Ym»YM. Устанавливаются достаточные условия, при которых возможен такой выбор номеров т(п), что процесс сходится к решению уравнения х = А(х); указывается оценка скорости сходимости. В п. 1.4 предполагается, что известно решение х задачи Dx=0, Nx = z. Задача (0.1) сводится к эквивалентному уравнению х = Ф(х), где Затем результат п. 1.3 применяется к этому уравнению. В главе II изучается композиция методов для интегральных уравнений. В п. II. 1 конкретизируется результат п. 1.2 в применении к уравнениям в пространстве С(0Д): с малым параметром а. Строятся процессы приближений к решениям уравнений. Итерациям линейных интегральных операторов Г соответствуют итеративные ядра. Устанавливается, что при определенном выборе номеров т(п) процессы равномерно сходятся к решениям с указанной оценкой скорости сходимости. В п. II.2 конкретизируется результат п. 1.4 в применении к уравнению (0.5). В качестве линейных подпространств (0.2) здесь вводятся, во-первых, линейные оболочки конечных подсистем базиса пространства L2(0,1) и, во-вторых, подпространства некоторых ступенчатых функций в пространстве La (ОД). Линейные уравнения (0.3) здесь принимают вид систем линейных алгебраических уравнений с квадратной и треугольной матрицами. Доказана возможность такого выбора номеров т(п), что процессы приближений сходятся к решению уравнения (0.5), соответственно, среднеквадратично или п. в. равномерно. Дана оценка скорости сходимости. В главе III изучается композиция методов для обыкновенных полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка. В п. III.1 приводится приложение результатов п. 1.2 в пространствах Х=С2(0,\), У=С(0Д) к задачам Устанавливается, что при определенном выборе номеров т{п) процессы приближений равномерно сходятся вместе со вторыми производными, соответственно, к решениям этих задач и их вторым производным. В п, III,2 приводится приложение результатов п. 1.4 в пространствах (см. [19] ) Х=Н\0Л), y-L2(0,l) к задаче (0.7). Функция / определена при xGY . Решение этой задачи здесь понимается обобщенно - как решение интегрального уравнения с ядром - функцией Грина: Построение процесса приближений производится методом Фурье - в линейных оболочках , Ym n) конечных подсистем базиса //-пространства Y. Установлена возможность такого выбора номеров т(п), что процесс среднеквадратично сходится к обобщенному решению данной задачи.
Усреднение нелинейного интегрального уравнения и аппроксимация обратного оператора
Очевидно, функция 0 Є (Е П Ym(0)). Определения (1.4,24,9) соответственно становятся определениями (IV.2.13,14). Процесс (1.4.10,11) принимает вид (IV.2,19,20,26) вследствие линейной независимости системы ортов ej(s,l) (ср. концовку доказательства теоремы Н.2.1). Соотношения (1.4.13) принимают вид (IV.2.27). Из определения (IV.2.23), неравенств (IV.2.25,32) следуют неравенства (1.4.12) при Выполнены все условия п. 1.4.2. Из теоремы 1.4.2 следует теорема IV.2.1. р IV.2.2. Если функции ек (к = 0,со) составляют базис Я-пространства 2[0,1], то, как показано в п. II.2.1, произведения e.(s)ek(t) (і,к 0, ю) образуют базис Я-пространства Y « 2( 2). Счетное множество всех таких произведений можно упорядочить в последовательность en(s,t). В таблице произведений упорядочение можно произвести, например, «по диагонали», собрав произведения последовательно в группы с одинаковой суммой j = i + k номеров: Основное содержание п. IV.2 опубликовано в работах [15,25].Поставлена проблема поиска приближений к решению задачи (1) в линейном подпространстве банахова полуупорядоченного пространства. Сформулирована и обоснована модификация обобщенного принципа сжимающих отображений с оценкой нормы итерации модулярной мажоранты и с аппроксимацией нелинейной операции. Построена и исследована композиция методов линеаризации нелинейного операторного уравнения и аппроксимации линейных уравнений в алгоритме вычисления последовательности приближений. Установлены достаточные условия существования и единственности решения нелинейного уравнения, сходимости метода, дана оценка погрешности приближений. Функциональные схемы конкретизированы в классах нелинейных интегральных уравнениии типа Гаммерштеина и вольтерровых; в начальной и граничной задачам для полулинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка; в задаче Копій для полулинейного уравнения в частных производных гиперболического типа. Более подробно о схеме в терминах функционального анализа: Установлены модификации обобщенного принципа сжимающих отображений в применении к задаче и, в частности, к уравнению В модификациях используются приближения Ат операции А, строится процесс поиска последовательных приближений: стремящихся к решениям, соответственно, задачи (V.1) и уравнения (V.2). Модификации осуществляются двумя способами. В первом способе операции Ат, указанные в алгоритме (V.3), определены на подмножестве /ТВ-линеала Y. Во втором спо собе эти операции, указанные в алгоритме (V.4), определены в линейных подпространствах Полученные модификации применяются для построения процесса приближений к решению задачи и уравнения эквивалентного задаче (V. 6). Для этого вначале производится известное действие - линеаризация (усреднение) уравнения. Вводится линейный оператор В обычном методе очередная минус-поправка Д„ = ип - ип+1 для уравнения (V.6) является решением линейной задачи а для уравнения (V.7) - решением линейного уравнения Такой процесс может быть назван также и модификацией метода касательных, но в нашем случае не требуется ни сильной, ни слабой дифференцируемое операции F. При каждом номере п здесь производится аппроксимация линейного уравнения (V.8) или (V.9). В диссертации поиск минус-поправки Sxn = хп хп+ї ведется в задаче (V.6) посредством замены в задаче (V.8) обратного оператора (D - Г)"1 на приближенные, а для уравнения (V.7) - замены в уравнении (V.9) оператора 7-Ги невязки хп - Ф(хя) на приближенные. В последнем случае действие происходит в серии линейных подпространств (V.5). Кроме установления теоретического факта сходимости метода, приводится практически важная оценка погрешности приближения при каждом номере. В достаточных условиях сходимости и в оценке погрешности приближения вычислителю предоставлен выбор произвольного сходящегося ряда величин Ъа 0, участвующих в этих условиях и оценке. Чем меньше величины Ьп в п. 1.1 и 1.2, тем меньше переменные (рп (1.1.13) и, следовательно, меньше радиус шара S, определенный через max (рп. По одному из условий, шар S включен в область Е, на которой определены операции Л в п. 1.1 и операция F в п. 1.2. Это влечет возможность сужения области Е и, следовательно, ослабление требований к этим нелинейным операциям. Кроме того, улучшается оценка (1.1.16) погрешности приближения. Однако, уменьшение величин Ьп приводит и к увеличению номера т(п), удовлетворяющего условию (1.1.17) и, следовательно, к усложнению вычислительного процесса.
В диссертации постулирована полуупорядоченность пространства. Это позволяет использовать дополнительные свойства многих конкретных функциональных пространств. Так например, выполнение условий мажорирования вида (1.1.3,4) с привлечением модулей элементов легко проверяется для многих операций в функциональных пространствах, но эквивалент этих условий в терминах функционального анализа в пространствах без полуупорядочения - формулируется достаточно сложно, и их проверка в конкретных случаях затруднена. Результаты главы I могут быть применены и в более широких классах квазилинейных дифференциальных уравнений в обыкновенных и в частных производных и их систем.
При аппроксимации задачи (V.8) и уравнения (V.9) могут быть использованы и другие методы: например, конечных разностей, сплайнов.
Приближенное решение граничной задачи для полулинейного уравнения второго порядка в серии конечномерных подпространств
Исследование итерационных процессов поиска приближенного решения урав нения обычно начинается с преобразования исходного уравнения в эквивалентное - вида х = Л(х). При исследовании таких процессов для дифференциальных уравнений полезна также постановка задачи в виде где Dx означает главную линейную часть уравнения, а равенство Nx = z выражает начальные или (и) краевые условия. Исследование итерационных процессов в операторной форме значительно упрощается, если действовать в полуупорядоченных пространствах [6,7], то есть в пространствах с конусом [9] положительных элементов, где конечное множество любых элементов имеет верхнюю грань (точную верхнюю границу). При этом желательно хорошее согласование соотношений сравнимости ( г ) и сходимости по норме. Такое согласование имеется, в частности, в КВ-яинеапе [6].
Однако, при обычном, поточечном определении понятия сравнимости - дифференцируемые функции не составляют полуупорядоченного пространства. Поэтому здесь предлагается требовать полуупорядоченность не в пространстве X функций я, а в пространстве Y, содержащем значения Dx, А(х), и потребовать, чтобы X составляло лишь линейное подпространство в У.
Например, хЄХ =С1, Dx = x , X -линейное подпространство КВ-линеала С. 1.1.2. В этом пункте приведем известные определения и следствия из них [6]. Линейное пространство У называется частично упорядоченным, если в нем выделено множество (конус) элементов у 0, причем (y,v (i, h Q)= (y Q, y + v 0, Ху 0). Сравнимость у 0 в пространстве С (0,1) непрерывных функций, определенных на і отрезке [ОД], означает: функция у(/) г 0, Vi, но существует такая точка t, в которой зна чение y(t) 0. Следовательно, имеется такой интервал, содержащийся в отрезке [0,1], что у (і) 0 на этом интервале. Сравнимость у 0 в пространстве L2(0,1) функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу, и в пространстве «,(0,1) почти всюду (п. в.) ограниченных измеримых по Лебегу функций, также определенных на отрезке [0,1], означает, что функция y(t) г 0 при п. в. t, но y(t) отлична от нулевой функции (п. в. равной нулю). Последнее условие означает, что лебегова мера mes{l :у(() 0} 0. Сравнимость w у, у w означает w - у 0. Верхней гранью yvv пары элементов y,v(=.Y называется наименьшая из верхних границ wGY: w y, wz.v . Определение. Частично упорядоченное банахово пространство Y называется КВ-линеалом, если любой элемент уЄУ имеет модуль \y\-yv(-y) и сравнимость модулей влечет неравенство норм: Последнее свойство называют юотонностью нормы. Данное определение эквивалентно данному в монографии [6]. Частично упорядоченное множество называется полуупорядоченным, если двухточечное (и, следовательно, любое конечное) множество имеет верхнюю грань. Там же доказывается, что это условие эквивалентно требованию существованиг модуля любого элемента. Банахово полуупорядоченное пространство называется ХВ-линеалом. Модуль элемента обладает обычными свойствами модуля (абсолютной величины) числа или функции. В частности, имеет место «неравенство треугольника»: \у ± vs j + v. Равенство модулей элементов влечет равенство норм элементов. Если v = Ы, то и = v. I Отсюда следует равенство норм элемента и его модуля. В дальнейшем всюду под пределом последовательности элементов, ограниченностью линейных операторов и непрерывностью соотношений, операций понимаются, соответственно, предел, ограниченность и непрерывность по норме (а не в порядковом смысле).
Прямой метод приближенного решения полулинейного уравнения в серии подпространств
Операция Л будет построена в результате усреднения этого уравнения, то есть линеаризации, подобной модифицированному методу касательных, но без требования сильной или слабой дифференцируемости операции Ф. Результат п. 1.4.1 будет применен в п. 1.4.2 к задаче в другой операторной форме (см. задачу (1.1.1)) и к интегральному уравнению в 1.6. Поставим условия. Достаточно большое множество Е содержится в КД-линеале Y. Операция
Линейный оператор V:Y Y имеет модулярную мажоранту - линейный ограниченный положительный оператор Нормы его итераций Следовательно, существует обратный положительный оператор (см. п. 1.1.2)-сумма ряда Неймана положительных итераций Г (здесь Ix = х). Операция Ф(.) - Г удовлетворяет порядковому операторному условию Липшица \ф(х) - Ф(а) - Г(х - «) ; Щх - и\, (1.4.4) где элементы х,иЄЕ, линейный ограниченный положительный оператор В :Y — Y. Определим композицию L=(I) 1B:Y Y. Пусть нормы итераций удовлетворяют условию (1.1.4): В АГВ-линеале У выделена такая серия его линейных подпространств что для нее существует серия «проекторов» - операций Pm:Y Ym, Ртх х (m-ee) (1.4.5) и имеется последовательность линейных ограниченных операторов Требуется существование ограниченных обратных операторов Ат -(/-rj-1 :Ут-Ут с нормами в Л-пространствах (Тт - Ут ): Лт ш, V/л. (1.4.7) Предполагается, что эти операторы известны, то есть решение 3E:Ym уравнения б - Ттд = у может быть эффективно найдено для любого номера т и произвольной правой части ySYm. Номера т{п): О s т(п) т(п +1) —» со (л г 0, л - ) . Выбраны: первоначальное приближение x0G( nyffi(0)) и последовательность чисел 6П 0 (л 0) - элементов сходящегося ряда. Введем величины и шар: SC.E. Построим процесс Теорема 1.4.1. Имеется возможность такого выбора номеров т(п), что rf-wlk, -ФСОЦф Р )ЖЦ\ К /Ф (я й 0) . (1.4.12) 5 э/waw случае процесс (1.4.10,11) сходится в шаре (1.4.9) к единственному на множестве Е решению х уравнения (1.4.1) со скоростью Замечание. Обозначим номер т = т(п). Операции в процессе (1.4.10,11) могут быть реализованы, так как приближение «проекции» №) . известен обратный оператор минус-поправка приближение так как номер m m(n +1). Доказательство. Из требований (1.4.5,6) следует возможность выбора номеров т(п), удовлетворяющих условию (1.4.12). Из соотношений (1.4.2,3) следуют: ограниченность оператора Г, сравнимость модулей значений итераций неравенство Г 2 Ль и существование линейного ограниченного обратного оператора def Л=(/-Г)_1:У Г, ЩлЯ. (1.4.14) Напомним, что определенные ранее операторы Ат предполагаются известными. Обозначим пересечения Ет=ЕПУт. Введем операции и проверим выполнение условий п. 1.3.2.
