Содержание к диссертации
Введение 4
Вводные сведения 19
1 Уравнения порядка меньше либо равного единице с опе
раторами интегродифференцирования с различными на
чалами 25
1. Уравнение с производными Римана-Лиувилля. Постановка
задачи 25
2. Формулировка результатов и решение задачи 26
3. Задача для уравнения с производными Капуто 33
2 Задачи для уравнений с оператором дробного дифферен
цирования с фиксированными началом и концом 38
1. Постановка задачи для уравнения порядка меньше единицы 38
2. Доказательство существования и единственности решения 40
3. Уравнение с оператором дробного дифференцирования с
фиксированными началом и концом порядка меньше двух . 49
4. Уравнение произвольного порядка 58
5. Уравнение с производной Капуто 61
3 Теоремы единственности для уравнений дробного по
рядка 64
1. Свойства положительности операторов дробного интегри
рования и дифференцирования 64
2. Единственность решения уравнения с частными производ
ными дробного порядка с различными началами в главной
части 65
3. Задача для уравнения с отрицательными коэффициентами 70
Заключение 75
Список литературы 76
Введение к работе
Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка, являясь обобщением уравнений с частными производными целочисленного порядка, кроме огромного теоретического интереса, имеют большое практическое значение.
Физики достаточно давно и плодотворно используют идеи дробного исчисления преимущественно во фрактальных средах [5], [6], [38]-[40], [43], [44]. Дифференциальные уравнения дробного порядка встречаются при описании медленных и быстрых стохастических процессов, диффузии в средах с фрактальной геометрией, при изучении деформационно-прочностных свойств полимерных материалов [79], [92]. Полученные при этом результаты говорят о существовании мощного метода, каким является дробное исчисление при построении математических моделей в тех средах, где классическое дифференциальное исчисление не работает. Особый интерес к дробным производным проявляют гидрогеологи в связи с вопросами безопасности хранения высокоактивных долгоживущих радиоизотопов в геологических фармациях [20]—[23].
Основой большинства моделей, описывающих физические и химические процессы, протекающие во фрактальных средах, экономические и социально-биологические явления [56], [61], [64], [65], [78], являются дифференциальные уравнения дробного порядка, в том числе уравнения в частных производных. Поэтому развитие аналитического аппарата теории уравнений с частными производными дробного порядка является
весьма актуальной и важной задачей.
Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка исследовали в своих работах: А.Н. Кочубей, С.Д. Эйдель-ман [43] - [46], A.M. Нахушев [52], [55], [56], [62], С.Х. Геккиева [11] -[14], О.А. Репин [37], [74] - [76], А.В. Псху [66] - [73], В.А. Нахушева [63] - [65], А.В. Глушак [17] - [19], А.Н. Зарубин, Е.А. Зарубин [32] -[36], М.О. Мамчуев [49] - [51], А.А. Ворошилов, А.А. Килбас [8] - [10], А.А. Андреев, А.С. Еремин [3], [4], [30], [31], Г.П. Лопушанская [48], Ph. Clement, G. Gripenberg, S.-O. Londen [90], W.R. Schneider, W. Wyss [97], [99], F. Wegner, S. Grossmann [98].
Теория дробного исчисления и ее приложения изучались в моногра-фиях [29], [52], [56], [73], [77], [91], [93], [96].
Монография A.M. Нахушева [52] посвящена основополагающим элементам дробного исчисления, качественно новым свойствам операторов дробного интегрирования и дифференцирования и их применению к решению проблем математического моделирования различных процессов и явлений в живых и неживых системах с фрактальной структурой; к локальным и нелокальным обыкновенным и в частных производных дифференциальным уравнениям основных и смешанных типов. В монографии сформулирован целый ряд вопросов и задач, служащих источником новых направлений в изучении теории и приложений дробного исчисления.
В книге [77] рассмотрены вопросы обобщения операций дифференцирования и интегрирования функций одной и многих переменных с целых порядков на дробные, действительные и комплексные, а также приложения теории дробного интегрирования и дифференцирования к интеграль-
ным и дифференциальным уравнениям, теории функций.
В монографии А.В. Псху [73] исследованы основные краевые задачи для класса уравнений дробного и континуального порядка. Рассмотрены уравнения порядка меньше либо равного единице, диффузионно-волновые уравнения, эволюционные уравнения.
В работе A.M. Нахушева [57] решена видоизмененная задача Коши для оператора дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.
Среди работ, посвященных нагруженным дифференциальным уравнениям, отметим работы A.M. Нахушева [58]—[60], М.Т. Дженалиева [24]-[28], А.И. Кожанова [41].
Граничные задачи для нагруженных дифференциальных уравнений с усреднением исследованы A.M. Нахушевым [54], М.М. Амангалиевой, М.Т. Дженалиевым, М.И. Рамазановым [1], [2], I. Ozturk [94].
В работах I. Ozturk [95] и С.Х. Геккиевой [15], [16] рассмотрены задачи для нагруженного уравнения диффузии дробного порядка, причем в первой статье нагрузка представляет собой дробную производную от усреднения по пространственной переменной искомого решения, в остальных двух - след от искомого решения.
В данной работе рассматриваются краевые задачи для дифференциальных уравнений порядка меньше либо равного единице и уравнений с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.
В ходе работы автором получена следующая совокупность результатов и положений.
Доказано существование и единственность решения краевых задач для класса дифференциальных уравнений с производными Римана-Лиувилля и Капуто порядка меньше либо равного единице с операторами дробного интегрирования с различными началами в младших членах.
Доказано существование и единственность решения краевых задач для уравнений с усреднением и оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.
Доказана единственность решения уравнения с частными производными дробного порядка с различными началами в главной части.
Диссертация состоит из введения, вводных сведений, трех глав, состоящих из 11 параграфов, списка литературы (99 наименований) и заключения. Объем работы - 91 страница.
Первая глава посвящена краевым задачам в прямоугольной области для дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка меньше либо равного единице с операторами дробного интегрирования в младших членах.
Пусть Dllci - оператор дробного интегродифференцирования (в смысле Римана-Л иу вил ля) порядка |^| с началом в точке с и концом в точке
t, который определяется следующим образом [52, с. 9]
sign(t-c) f д(
Г (-/і) J \t-W+1
g(t) при/х = 0,
йЫ + 1 г 1 1
8ignM+l(* - C)-—DM-lg(t) при fl > 0.
Здесь T(z) - гамма- функция Эйлера; [ц] - целая часть числа /і.
D»A0 =
' at; при fl < О,
В 1 первой главы в области Q = {(х,у) : 0 < х < а, 0 < у < Ь} евклидовой плоскости точек (х, у) рассмотрено уравнение
DSxu(x1y) + AD^lu(xty)+
+ а^2Ф>У) + %«(х,!0 = f{x,y), (0.1)
где 0 < а, (3 < 1, а(3 < 1, у < 0, щ < 0, j = 1, п ; Л, Б, а,, j = Т~п , -постоянные величины.
Регулярным, решением уравнения (0.1) в области Q назовем функцию и = и(х, у) из класса х1~ау1~^и (х, у) Є C(Q) , .Doxw, Аьи ^ С (О) , удовлетворяющую уравнению (0.1) во всех точках (х,у) Є О,.
Поставлена следующая
Задача 1.1. Найти регулярное решение и = и(х, у) уравнения (0.1),
0 < а,/3 < 1, а(3 < 1, у < 0,ctj < 0, j = 1,п , в области Q, удовлетворяющее краевым условиям
lim Dtlu{x, у) = ф(х) , 0 < х < а , (0.2)
у-*0 J
lim D^lu{x, у) = <р(у) ,0<у<Ь, (0.3)
где (р(у) , ф(х) - заданные функции.
В 2, используя обобщенный принцип сжатых отображений [56, с. 15], доказана следующая теорема существования и единственности решения задачи 1.1 в классе функций, допускающих особенности на начальных линиях, порядок которых зависит от порядка производных главной части уравнения.
Теорема 1.1. Пусть А > 0, 0 < а, /3 < 1, а/3 < 1, 7 < 0, olj < О,
j = М, ж1-"^ W Є С [О, а], у1" V (у) Є С [0,6], ^"У "*/(*, у) Є С(Й), f{x,y) удовлетворяет условию Гелъдера по переменной х, и выполнено условие согласования
тогда в области О, существует единственное регулярное решение уравнения (0.1), удовлетворяющее краевым условиям (0.2) и (0.3).
В 3 первой главы рассмотрена задача для уравнения вида (0.1) с регуляризованными дробными производными (производными Капуто).
В прямоугольной области О, = {(х,у) : 0 < х < а, 0 < у < Ь} исследуется уравнение
+ Y, ajD&ix, у) + BD:xu& У) = /(*, у) , (0-4)
где 0 < а,(3 < 1, 7 < 0) aj < 0) І — 1>п > ^ ~~ оператор дробного дифференцирования (по Капуто) порядка // с началом и концом в точках cut, который определяется следующим образом [52, с. 11]
f%g{t) = s\gnn(t - c)D»rg{n)(t), п - К /і < п, п = 1,2,...
Регулярным решением уравнения (0.4) в области Г2 назовем функцию
w = и(х, у) из класса и (ж, у) Є С(Г2), дцхи, Щи Є С(0) , удовлетворяю
і/* (V
щую уравнению (0.4) в области О,.
Сформулирована
Задача 1.2. Найти регулярное решение и = и(х,у) уравнения (0.4) в области Q, удовлетворяющее краевым условиям
и{х, 0) = ф(х), х Є [0, а]; и(0, у) = у>(у), у Є [0, Ь], (0.5)
где ф, (р - заданные непрерывные функции.
Доказана
Теорема 1.2. Пусть 0< а, /? < 1, а/? < 1, 7 < 0 ? а? < 0, j = 1,п, ф(х) Є С[0,а], <>(?/) Є С[0,6], f(x,y) Є C(Q), f{x,y) удовлетворяет условию Гельдера по переменной х, и выполнено условие согласования ф(0) = у>(0).
Тогда существует единственное регулярное решение уравнения (0.4) о области О,, удовлетворяющее краевым условиям (0.5).
