Введение к работе
Актуальность темы. Одним из самых ярких достижений математики второй половины 20-го века явилось создание Р.Томом и последователями теории типичных особенностей гладких отображений (теории катастроф). Эта теория есть обобщение задачи исследования функций на экстремум, в котором функции заменены на семейства функций. При этом рассматриваются критические (подозрительные на экстремум) точки, типичные для семейств функций, определяемых дополнительными к основным переменным параметрами, зависимость от которых описывает критические точки как функции. В дальнейшем, следуя терминологии (Р.Гилмор. Прикладная теория катастроф, Т.1, М: Мир,1984), эти дополнительные параметры называются управляющими.
Например (В.И.Арнольд. Теория катастроф, М: Наука, 1982), на плоскости А = (ж і, х2) управляющих переменных типичны точки сборки X* = (ж*, ж^), для которых найдутся такие V = V*, что равны нулю три первых коэффициента рядов Тейлора гладких функций /(А*, V)
j=oJ-
/(А*, V*) = f^{X*,V*) = f^{X*, V*) = 0.
(Корни уравнений
f(X,V)=0 (1)
определяют критические точки первообразных J /(А, W^VF семейств функций /(А, V).) Так как за счет величин ж* и х2 на разложения в точках (А = А*, V = V*) функций /(А, V) можно наложить не более двух ограничений, то в их рядах Тейлора в этих точках
/(А, V) = a{x1-x\)+b{x2-x*2)+{V-V*)[c{x1-x\)+d{x2-x*2)]+e{V-V*f+
+ J2 Ciiofa-xlYfa-xtf + iV-V*) J2 cijl(x1-x*1)i(x2-x*2y+ (2)
+ J2cook(V ~V*)k + J2(V ~V*)k J2 cijk(x1-x*1)i(x2-x*2y
fc>3 fc>l i+j>0
в ситуации общего положения наряду с постоянной е отличны от нуля и постоянные а, 6, с, d. Имеются такие постоянные сА (Р.Гилмор. Прикладная теория катастроф, Т.1, М:Мир, 1984), что в малой окрестности точки (X*, V*) замены
к V^
V-V* = J2
cl3YlZ3 + U
1 + ]Г е},*0
fc=2
^ 4уг^>
i+j=0
Y = с{х\ — х\) + d{x2 — х\), Z = а{х\ — х\) + Ь{хі — х\),
(3)
определяемое рядом (2) уравнение (1) переводят в кубическое уравнение
S(Y,Z) + a(Y,Z)U + eU3 = 0 (4)
с управляющими переменными
S(Y, Z) = Z +
i+j>l
SijY'Zi, a(Y,Z)=Y+ J^ о^&.
При ест > 0 уравнение (4) имеет единственный корень, а при ест < 0 он единственен лишь вне интервала перехлеста
\ё\ < (-4ст3)1/2/(27е)1/2,
(5)
внутри которого решение (4) трехзначно. Трехзначен тут и весь ряд (3).
Большая часть результатов диссертации связана с особенностями типа только что описанной сборки, присущим решениям уравнений, которые при є = 0 возникают из широкого ряда дифференциальных уравнений математической физики с малым параметром є при производных.
(6) (7)
В частности, ее главы 2—5 посвящены двум специальным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений
tu — X
v Cv *As -
описывающих перестройки, которые происходят около точек сборки медленно меняющихся положений равновесия дифференциальных уравнений в частных производных
L{S1DS)V{S)=YJ ^3^)--- = ]^^) (S=(sus2)). (8)
- і - -і US -і CSo
J+J=l 1 1
С помощью решений нелинейных уравнений вида (8) описываются многочисленные явления в случае так называемых плавных неоднородно-стей (Островский Л.А. // Изв.вузов, Радиофизика. 1974. Т. 174, №4. С.454-476; Гуревич А.Вл., Минц Р.Г. // УФИ. 1982. Т.142, в.1. С.61-99; Берман B.C. // ПММ. 1978. Т. 42, в.З. С.450-457).
Описанию асимптотик при є —> 0 решений (8) и эквивалентных им сингулярно возмущенных уравнений
L{X,eDx)V{X) = f{X,V), {X = eS) (9)
посвящено множество работ. Решения (9) часто имеют асимптотические разложения
V = V0(X) + V1(X) + e2V2(X) + ..., (10)
где V = Vo(X) есть медленно меняющиеся положения равновесия уравнений (8),(9), определяемые корнями уравнения (1).
В работах, написанных на физическом уровне строгости, описываемые рядами (10) состояния обычно упоминаются мимоходом. При этом, однако, игнорируется проблема, связанная с типичностью (В.И.Арнольд. Теория катастроф, "Наука", М., 1982) на плоскости X линий нулей fv(X,Vo(X)) (они состоят из образуемых точками складки гладких участков, соединенных в точках сборки), а значит, и с типичностью потери пригодности рядов (10) в точках складок и сборок Vo(X).
Впрочем, случай складки в решении предельного уравнения (1) анализировался довольно много, особенно в случае обыкновенных дифференциальных уравнений вида (9). Упомянем, например, монографии Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1987 и Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975, а также работы Р.Хабермана, О.М.Киселева и С.Г.Глебова.
Случай же сборки, характерный для уравнений в частных производных вида (9) (для которых корни (1) в ситуации общего положения зависят от двух переменных), до работ автора данной диссертации не рассматривался. Именно в его работах [1]—[3] с использованием идеологии метода согласования сделан вывод о том, что перестройки соответствующих решений (9) в окрестностях точек сборки их медленно меняющихся положений равновесия в ситуации "общего положения" задаются специальными решениями уравнений (6) и (7).
Основной вывод из проведенного в диссертации анализа поведения специального решения уравнения Абеля (6) состоит в том, что для решений уравнений вида (9) "за" точками сборки их медленно меняющихся положений равновесия типично формирование структур типа ударных волн с фронтами, локализованными в исчезающе (при є —> 0) узкой окрестности одной из границ области перехлеста (5) корней уравнения (1).
Асимптотика в окрестности фронта соответствующей "ударной волны", сосредоточенного в узкой окрестности линии "слипания" корней уравнения F(ji, у>) = 0, в главном порядке описывается согласно [9] с помощью специального решения дифференциального уравнения
«„+/3«t+ /(«) = 0 (/3^0). (11)
Здесь функция f(u) бесконечно дифференцируема на всей вещественной прямой, а уравнение f(u) = 0 имеет лишь корни и = 0 и и = 1. При этом в точке и = 0 функции f(u) разлагаются в ряды Тейлора
/(«) = ЁИ^«* (/(2)(0)^0), (12)
fc=2
а в точке и=1 в ряды Тейлора
/H = ELiH(M-1)fc (/'(і)^о). (із)
fc=l И, значит, либо
f(u) > 0 при и < 1, f(u) < 0 при и > 1, (14)
либо
f(u) < 0 при и < 1, f{u) > 0 при и > 1. (15)
Данный класс специальных решений, которому посвящена шестая глава диссертации, пересекается с классом монотонных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (11), изучавшимся в классической работе А.Н.Колмогорова, И.Г.Петровского и Н.С.Пискунова (//Бюл. МГУ. Мат. и мех. 1937. Т.1, №6. С.1-26). Как в 2 этой работы, так в главе 6 диссертации рассматриваются решения уравнений (11), которые определены для всех t и удовлетворяют условиям
Km и = 0, lim и = 1, Km u'(t) = 0, Km u'(t) = 0. (16)
t—>— oo t—>oo t—> — oo t—>oo
(В упомянутое пересечение попадает, в частности, функция f(u) = с2 и2 (и — 1). Соответствующая этой функции конкретная биологическая проблема послужила импульсом к написанию упомянутой классической работы А.Н.Колмогорова, И.Г.Петровского и Н.С.Пискунова.)
Описываемые в разделах 1 и 2 главы 7 диссертации перестройки решений двух вариантов гидродинамической системы
h'T + (hv)'x=0, v'T + vv'x + a{h)h'x = 0, (17)
(неравенства a{h) > 0 и a{h) < 0 определяют ее гиперболический и, соответственно, эллиптический варианты) около их точек градиентных катастроф также связаны со сборкой.
Сингулярности решений уравнений гидродинамики вызывают интерес издавна и до наших дней — см., например, монографии Гуревич А.В., Шварцбург А.Б. Нелинейная теория распространения радиоволн в ионосфере. М: Наука. 1973, Шварцбург А.Б. Геометрическая оптика в нелинейной теории волн. М: Наука. 1976, Жданов С.К., Трубников Б.А.Квазигазовые неустойчивые среды. М.: Наука. 1991 и относительно недавние публикации Кузнецов Е.А., Рубан В.П. (//Письма в ЖЭТФ. 1998, Т.67, в.1. 1015-1020), Зубарев Н.М.(//ЖЭТФ. 1998. Т.114, в.6. С.2043-2054).
В первых двух разделах главы 7 для анализа типичных сингуляр-ностей решений (17) применяется локальный подход работ [10], [14], который показывает, что по сути для анализа типичных особенностей
решений гидродинамических задач можно иногда пользоваться рассуждениями и выводами теории катастроф. Конечно, данный подход применим не всегда. (Скажем, с его помощью не обосновать общую гипотезу В.П. Маслова о типичности особенности складки для решений гиперболических систем в случае системы уравнений мелкой воды с переменной силой Кориолиса — для обоснования этой гипотезы в данной ситуации в серии работ С.Ю.Доброхотова с соавторами применялись очень нетривиальные рассуждения и вычисления.) Но уже ясно, что и описываемый в главе 7 локальный подход применим не только к рассматриваемым в ней ситуациям.
Отметим, например, работу Б.А.Дубровина, Т. Гравы и К.Клейна (//arXiv:0704.0501.(2007)) , в которой с помощью рассуждений, близких к используемым в описываемом ниже локальном подходе, был сделан вывод об универсальности особенности типа комлексно-аналитической складки (эта особенность, описанная в примере, приведенном в [Гл.1,1.8] книги Арнольд В.И., Варченко, Гусейн-Заде С.Г. (Особенности дифференцируемых отображений. Т.1. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука. 1982.) , нетипична для множества всех гладких отображений В2 —> R2) для решений эллиптического варианта системы (17). Этот результат показывает, что типичные особенности решений нелинейных систем с двумя независимыми переменными не исчерпываются каноническими особенностями вещественных отображений.
И гиперболический, и эллиптический варианты системы (17) в приложениях часто возникают как пределы систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. Как правило, эти уравнения с малым параметром не интегрируемы.
Например, гиперболический вариант (17) при значении є = 0 возникает из уравнений движения изоэнтропического газа с малой вязкостью
v"
h'T + (hv)'x=0, v'T + vv'x + a(h)tix = є4^- (є << 1), (18)
а также из ряда не интегрируемых уравнений с малой дисперсией. К числу последних относится широко используемое уравнение
ieGT + e2Gxx + K(\G\2)G = 0, (19)
где К (К)— дифференцируемая функция, такая что К1 (h) = —a{h)/2.
Система (17) из уравнения (19)—не интегрируемого при отличной от константы функции К' — возникает при подстановке в него выражения G{T,X) = h{T, X, є)1/2 ехр(і(р(Т, X, є)/є) (предполагается, что (р — вещественная функция, a h —вещественная, положительная функция) с последующим переходе в результате этой подстановки
hT + 2{Ырх)'х = О, Ут + {yxf - K{h) = e2{Vh)'xx
к значению є = 0: эта предельная система дифференцированием второго уравнения по переменной X сводится к системе (17) с v = 2{ip)'x. В случае же отрицательности К1 в результате только что описанной процедуры из уравнения (19) возникает элипптический вариант (17).
Решения систем (17) в главном по малому параметру є порядке часто представляют собой главные члены асимптотических решений подобных сингулярно возмущенных систем. Понятно, однако, что в достаточно малых окрестностях точек градиентных катастроф решений (17) последние уже не могут служить для правильного приближения решений таких сингулярно возмущенных уравнений с высшими производными. Помимо самостоятельного интереса, описываемые в двух первых разделах главы 7 результаты о структуре решений системы (17) в окрестностях их точек градиентных катастроф, нужны и в качестве предварительного анализа для изучения соответствующих перестроек решений систем с малыми диссипативными, либо малыми дисперсионными сингулярными возмущениями уравнений (17).
Например, из результатов первого раздела этой главы и соображений, диктуемых идеологией метода согласования, следует, что для изучения таких перестроек решений систем уравнений (18) нужно сделать замены масштабные преобразования, которые зависят от малого параметра. После осуществления таких преобразований в пределе є = 0 система (18) переходит (Утверждение 3.1 главы 7) в систему двух дифференциальных уравнений, первое из которых представляет собой уравнение Бюргерса, а второе есть обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Тривиальными растяжениями это уравнение Бюргерса сводится к виду
Tt+TTX=TXX. (20)
При этом асимптотическое решение системы (35), описанное в Теореме 1.1 раздела 1 главы 7, в результате таких преобразований сводится к
кубическому уравнению сборки (см. Утверждение 3.2 главы 7)
Н3 -Ш + х = 0. (21)
Последний факт согласно соображениям, обычно используемым в методе согласования, означает, что соответствующее решение уравнения (20) должно при х1 + і2 —> оо для большинства направлений ж, t плоскости в качестве главного члена асимптотики иметь корень уравнения сборки (21). Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что для многих дисперсионных сингулярных возмущений гиперболического варианта (17) (например, для возникающего описанным выше образом из уравнения (19)) подобные перестройки их решений в главном порядке описываются специальным решением интегрируемого уравнения Кор-тевега де Вриза
Щ + иих + иххх = 0, (22)
асимптотика которого при при х2 + і2 —> оо для большинства направлений ж, t плоскости в качестве главного члена асимптотики также имеет корень канонического кубического уравнения сборки (21).
А из утверждения 3.3 главы 7 и рассуждений, изложенных в ее конце, следует, что для решений уравнения (19), соответствующих асимптотическим решениям эллиптического варианта системы (17) из Теоремы 2.1 главы 7, перестройки в окрестностях точек провального самообострения последних в главном по є порядке должны описываться специальными решениями интегрируемого Нелинейного уравнения Шредингера
tPt+Pxx + 2S\p\2p = 0 (23)
с S = 1. Асимптотика этих специальных решений при х2 + і2 —> оо для большинства направлений также должна описываться в терминах кубического уравнения сборки.
Таким образом, при описании перестроек решений широкого класса гидродинамических задач с малой дисперсией или диссипацией в окрестностях точек градиентных катастроф решений их бездисперсионных (бездиссипативных) пределов— систем (17)— в ситуации "общего положения" используются специальные решения интегрируемых уравнений Бюргерса, Кортевега де Вриза и Нелинейного уравнения Шредингера. В главе восьмой описывается и ряд других специальных решений этих нелинейных интегрируемых уравнений, асимптотики которых
при больших значениях аргументов задаются в терминах решений канонических уравнений теории катастроф, и которые также универсальным образом возникают в задачах нелинейной математической физики, описываемых посредством сингулярно возмущенных уравнений в частных производных.
Из результатов главы 8 диссертации следует, что с асимптотиками этих специальных решений, совместны стационарные части высших симметрии интегрируемых эволюционных уравнений, которые как раз выделяют интегрируемые уравнения среди прочих.
Замечание. Под симметрией системы уравнений в частных производных
Ut = F(U,Uh...,Uk), (U,FeRm) (24)
( нижний индекс вектора U означает порядок его производной по переменной х) понимается система эволюционных уравнений
Uu = G(T,,U,Ub...,Un), (GeRm), (25)
правая часть которой удовлетворяет условию коммутирования -^ =
-^г. При его выполнении общая теория гарантирует, что с системой (24)
совместны, в частности, стационарные части О = 0 симметрии (25).
Здесь U,F и G — векторы размерности п, /—вектор, который из век
тора U возникает при замене каждой компоненты на ее производную по
рядка порядка к по переменной х. Под классической симметрией пони
мается случай функции, представимой в виде
О = H{t, ж, FiU, U\,..., C/fc), Ux), а остальные симметрии системы (24)
называются высшими.
В главе 8 излагается как история, так и современное состояние общей теории такого сорта нелинейных специальных функций — решений нелинейных интегрируемых уравнений. В частности, в ней описываются два альтернативных способа выбора симметрии интегрируемых уравнений, стационарным частям которых могут удовлетворять подобные функции.
Основные цели работы 1) Изучить специальные решения обыкновенных дифференциальных уравнений (6) и (7), которые при х —> ±оо и фиксированных t стремятся к корню кубического уравнения сборки
и3 -tu-x = 0. (26)
2) Исследовать аналитические и асимптотические свойства решений
краевых задач типа Колмогорова —Петровского— Пискунова (11)—(16).
3) Описать поведение при X —> Х*(г>*,/і*), Т —> Т* (v*,/i*) реше
ний гиперболического варианта гидродинамической системы (17), где
г>*, /i* ^ 0 точка обращения в нуль якобиана гладкого отображения
(v,h) —> (Х,Т) общего положения (в точке градиентной катастрофы
Т*, X* при этом происходит зарождение ударной волны). Аналогичную
задачу решить для случая h* = 0 решить для эллиптического вариан
та системы (17) (точка T*,X* есть точка провального самообострения
интенсивности решений эллиптического варианта системы (17).)
4) Продемонстрировать универсальную роль высших симметрии ин
тегрируемых эволюционных нелинейных уравнений, которую эти сим
метрии играют при описании перестроек решений задач нелинейной
математической физики с малым параметром около типичных особых
точек приближений, возникающих при равенстве данного параметра
нулю.
Методы исследования В диссертации применяются результаты и идеология теории катастроф, методов согласования асимптотических разложений и экспоненциально убывающих пограничных функций (А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, В.Ф.Бутузов), симметрии интегрируемых уравнений в частных производных. При обосновании формальных асимптотических разложений сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений применяется метод дифференциальных неравенств, который стал особенно популярен после работ Н.Н.Нефедова (//Дифференц. ур. 1995. Т.31, №4. С.719-722).
В главе шестой используются результаты, полученные с помощью метода нормальных форм (Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М: Наука. 1979.)
Научная новизна Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Основные из них — следующие:
1) Построены и обоснованы полные и равномерные асимптотические разложения при x2-\-t2 —> оо специальных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (6) и (7), которые всюду кроме узкой окрестности линии х = y/4t3/27, (соответственно, луча х = 0, t > 0) стремятся
к корню кубического уравнения сборки (26).
-
Исследованы аналитические свойства решений краевых задач (11)— (16). Для случаев разрешимости построены асимптотики этих решений при t —> ±оо с точностью до любой целочисленной степени t.
-
Описаны полные формальные асимптотические решения при X —> .Х*(г>*, /г*), Т —> T*(v*, /і*) гиперболического варианта системы (17), где Х*,Т* ^ 0— точка градиентной катастрофы общего положения. Для случая h* = 0 такая же задача решена для эллиптического варианта системы (17). Главные члены этих обоих формальных асимптотических решений задаются решениями кубического уравнения сборки.
-
Указаны такие стационарные части высших симметрии уравнения Кортевега де Вриза (22) и Нелинейного уравнения Шредингера (23), что асимптотики гладких решений этих стационарных частей при х —> ±оо при фиксированных t и, соответственно, t —> ±оо на прямой х = 0 в главном порядке совпадают с требуемыми асимптотиками решений уравнений (22) и (23). Для решения уравнения Кортевега де Вриза главный член таких асимптотик задается корнем кубического уравнения сборки (21). Для решения Нелинейного уравнения Шредингера такие асимптотики, также задаваемые в терминах решений уравнения сборки, были ранее описаны в известной статье Р.Сана и Р.Хабермана (Stud. Appl.Math. 1985. V.72, №1. P. 1-37).
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут иметь применения в теории сингулярно возущенных нелинейных дифференциальных уравнений, в различных областях механики, гидродинамики, оптики, теории плазмы и при решении задач, связанных с распространением тепла или учетом диффузии.
Апробация работы Результаты диссертации докладывались на семинарах Института Математики с ВЦ (Уфа), Института Проблем Механики (Москва), Санкт—Петербургского отделения Математического Института им. В.А.Стеклова, Физического института им.П.Н.Лебедева, Челябинского государственного университета и на конференциях: 15-ая сессия семинара им. И.Г.Петровского и Московского Математического общества (Москва, 1993), 17-ая сессия семинара им. И.Г.Петровского и Московского Математического общества (Москва, 1995), Междуна-
родная конференция по математической физике и функциональному анализу (Челябинск, 1995), Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения (Уфа, 1996), САМГОП— 98: Семинар по аналитическим методам в газовой динамике и оптимизации вычислений (Уфа, 1998), Точно решаемые модели математической физики (Челябинск, 1998), Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы (Уфа, 2000), Конференция, посвященная 70-летию А.М.Ильина (Уфа, 2001), Конференция, посвященная 100-летию А.Н.Тихонова (Москва, 2006), Математика. Механика. Информатика (Челябинск, 2006); Нелинейные уравнения и комплексный анализ (Якты-Куль, 2008).
Публикации Материалы данной диссертации отражены в работах [1]—[23], из них в перечень ВАК, рекомендуемый для защит докторских диссертаций, входят статьи [3], [5]— [9], [11], [12], [14], [16]—[18], [22].
Часть из данных работ написаны совместно. О вкладе соавторов в такие публикации:
-
большая часть материалов глав 2—4 основана на результатах публикаций [1]—[7], из которых пять последних написаны в соавторстве с А.М.Ильиным. Последнему принадлежит доказательство утверждения о существовании гладкого по переменной х решения уравнений (7) (Леммы 3.1—3.3 Главы 2) и доказательство факта дифференцируемости по переменной t специального решения уравнения Абеля (6) (Теорема 2.4 Главы 3);
-
главы 7 и 8 частично основаны на совместных статьях автора диссертации с В.Р. Кудашевым [10]—[14] и И.Т.Хабибуллиным [18]. Из всех этих статей, кроме [10],[14], в диссертации отражены лишь результаты, принадлежащие автору. Вклад В.Р. Кудашева в статьи [10],[14], отраженный в диссертации, заключался в использовании в данных работах варианта В.Р.Кудашева правил выбора симметрии интегрируемых уравнений, достоинства и недостатки которого подробно анализируется в заключительной главе диссертации.
Структура и объем диссертации Работа состоит из введения (глава первая), еще семи глав и списка литературы. Общий объем работы
