Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задачи с нелокальным условием сопряжения для уравнения смешанного типа второго рода 19
1.1. Краевая задача с нелокальным условием сопряжения с данным на характеристике 19
1.2. Краевая задача с нелокальным условием сопряжения с данным на нехарактеристической линии 36
Глава 2. Задачи с нелокальными граничными условиями для уравнения смешанного типа второго рода 58
2.1. Построение частных решений уравнения смешанного типа, удовлетворяющих условиям периодичности 58
2.2. Задача с условиями периодичности при О < т < 1 61
2.3. Нелокальные задачи с неполными граничными данными при 1 < т < 2 77
2.4. Нелокальные задачи с весовым условием сопряжения при 1 < т < 2 88
Литература 98
- Краевая задача с нелокальным условием сопряжения с данным на характеристике
- Краевая задача с нелокальным условием сопряжения с данным на нехарактеристической линии
- Построение частных решений уравнения смешанного типа, удовлетворяющих условиям периодичности
- Нелокальные задачи с неполными граничными данными при 1 < т < 2
Введение к работе
Актуальность темы. В работе рассматриваются нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа второго рода в классической и прямоугольной областях.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта. В дальнейшем основы теории уравнений смешанного типа были заложены в работах Ф.И. Франкля, К.И. Бабенко, М.А. Лаврентьева, А.В.Бицадзе, М.М. Смирнова, В.Ф. Волкодавова, СП. Пулькина, К.Б. Сабитова, А.И. Кожанова, В.И. Жегалова, A.M. Нахушева, Е.И. Моисеева, Р.С. Хайруллина, О.А. Репина, А.П. Солдатова и других математиков.
Следует отметить, что подавляющая часть работ по уравнениям смешанного типа относится к исследованию краевых задач смешанного типа с нехарактеристическим вырождением. Краевые задачи для уравнений смешанного типа второго рода или с характеристическим вырождением изучены сравнительно мало.
Первые исследования по уравнениям смешанного типа второго рода принадлежат И.Л.Каролю. Для уравнения
Lu = uxx + (sgny)\у\тиуу = 0, т > 0, (1)
в области G, ограниченной простой жордановой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках 0(0,0) и Л(1,0), и характеристиками ОС и АС уравнения (1), расположенными в полуплоскости у < 0, он доказал существование и единственность решения задачи Трикоми (задача Т) при 0 < т < 1 в случае, когда граница Г эллиптической части смешанной области G совпадает с так называемой "нормальной"кривой Го: (х—1/2)2 + (^^у^21)2 = 1/4. Но в общем случае, то есть для произвольной кривой Г, доказательство единственности решения задачи Т и его существования оставалось открытым. К.Б. Сабитов доказал единственность решения задачи Т для уравнения (1) при любой кривой Г из класса Ляпунова при 0 < m < 1. Им показано, что задача Трикоми для уравнения (1) при m > 2 поставлена некорректно. В связи с этим он исследовал задачу Трикоми для уравнения xmuxx + + {sgny)uyy = 0 при всех т > 0.
Ф.И. Франкль свел прямую задачу теории сопла Л аваля к новой задаче для уравнения (1) с показателем т = 1/2, где на линии перехода вместо классического условия непрерывности иу(х}0+0) = иу(х}0 — 0)} 0 < х < 1, ввел требование разрывности иу(х, 0 + 0) = —иу(х, 0 — 0), 0 < ж < 1.
И.Л. Кароль исследовал также уравнение смешанного типа второго рода
Lu = ихх + уиуу + аиу = 0, a = const, (2)
в области аналогичной G. При 0 < а < 1 он изучил задачу Трикоми с весовыми условиями склеивания, т. е. на линии изменения типа вместо обычного требования непрерывности производной по нормали: иу(х, +0) = иу(х, —0), 0 < х < 1, вводится условие сопряжения с весом
lim (—y)auv = lim yauvi 0 < x < 1.
y^0-0V У; У у^0+0У У'
Когда a < 0 при условии существования равенства ихх(х} 0) + аиу(х, 0) = 0, 0 < х < 1, им доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Дирихле.
Задача Т для уравнения (2) при а < 0 становится корректно поставленной, если условия склеивания ввести по-иному. С.С. Исамухамедов для уравнения (2) в области G при а = —п + <2о, | < ао < 1, п = 1,2,..., поставил задачу Т со следующими условиями склеивания:
м(ж, +0) = м(ж, —0) = т(х), 0 < х < 1,
lim (-3,) + Л+(И)] = (-1)* Hmn(-y)a!> - ^(r)] = ф), 0 < х < 1,
у-^+0 у-^-0 оу
^М = У!^(-г/)А / ^й^і-ф^-і^,
^Ы = ЕМ^"^' ^ = ^"2>/=3/(l-2t),
A;=l
Nk(k = 0,n), M/;(A; = l,n) - определенные постоянные.
Единственность решения этой задачи доказана методом экстремума, а существование для случая, когда кривая Г совпадает с нормальной кривой Го - методом интегральных уравнений.
Ю.М. Крикуновым изучен случай ao = 1/2 для некоторых специальных областей.
Хайруллин Р.С. для уравнения (2) в случае а < —1/2 в смешанной области, ограниченной нормальным контуром Го и двумя характеристиками, доказал однозначную разрешимость задачи Трикоми методом интегральных уравнений. В случае общей области, ограниченной при у > 0 произвольной кривой Г из класса Ляпунова и двумя характеристиками уравнения (2), им показана фредгольмовость задачи Трикоми при тех же а < —1/2.
В последние годы жизни В.Ф. Волкодавовым рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико - гиперболического типа, для которых линия изменения типа есть их характеристика. В постановках этих задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной по нормали из области эллиптичности с производной дробного порядка или интегралом дробного порядка из области гиперболичности. Первые результаты в данном направлении были опубликованы в статье В.Ф. Волкодавова, О.Ю. Наумова, где решена краевая задача для уравнения
ихх + иуу = 0, у > О,
V(u) =
[ иху = О, у < О,
в области Q, ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0, с концами в точках А(0, 0), -8(1, 0), и отрезками прямых АС (х + +у = 0) и СВ (х = 1) в полуплоскости у < 0, с условиями: и(х,у) Є C(U),V{u) = 0 на П+ U П_,
и\г = ф), s Є [0,1], и\св = д(у), у є [-1,0], Н+(х) = Ъ{х)Н_{х), х Є (0,1),
где (p(s), д(у), Ь(х) - заданные функции, / - длина кривой Г, s - длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки В(1,0),
х
Н+(х)= (x-t)~pT (t)dt, 0 <р< 1, т(х) = и(х,0), х е[0,1].
'о
-х
Н_(х) = lim / (х - t)~Au(x, -t)dt, 0 < А < 1
у П+ = ППу>0, П- = П П у < 0.
Краевые задачи с подобными условиями сопряжения изучены в работе Ю.О. Плотниковой для уравнения смешанного типа
0 = Г ихх + иуу - Хи, у> 0,
\ иху + Ait, A = const, у < 0.
ихх +иуу = 0, у > 0,
иху + q [In а (х)} иу = 0, q > 0, а(х) > 0, у < 0,
ихх + иуу + -их = 0, 0 < р < 1, у > 0,
Lu= \ р 1Х
иху + Ту —— (их + щ) = 0, у < 0.
Е.А. Баровой изучены краевые задачи с сопряжением производной по нормали с дробной производной для двух классов уравнений смешанного типа
Lu =
Интерес к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа возник после известных работ Ф.И.Франкля, в которых впервые обращено внимание на то, что задачи трансзвуковой динамики сводятся к этой задаче. Так, если рассматривать задачу перехода через звуковой барьер установившихся двумерных безвихревых течений идеального газа в соплах, когда сверхзвуковые зоны примыкают к стенкам сопла вблизи минимального сечения, то она сводится к задаче Дирихле для уравнения смешанного типа.
На некорректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева: ихх + + (sgny)uyy = 0 в смешанной области, гиперболическая часть 7 границы которой лежит в характеристическом треугольнике {) < х + у < х — у < 1, впервые обратил внимание А.В Бицадзе. Причем некорректность задачи Дирихле не зависит от малости меры области, заключенный между 7 и у = 0. Результат А.В Бицадзе с необходимостью поставил вопрос поиска смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной.
В работах А.П. Солдатова доказаны теоремы существования и единственности решения задач типа Дирихле для уравнения Лаврентьева -Бицадзе в смешанной области, ограниченной при у > 0 и у < 0 соответственно гладкими дугами с общими концами в точках (0,0) и (0,1), при этом дуга при у < 0 лежит внутри характеристического треугольника.
Е.И.Моисеев исследовал нелокальную краевую задачу для вырождающегося эллиптического уравнения
Утихх + иуу = 0, т > -2, 0 < х < 1, у > 0,
с данными: и(0,у) = и(1,у), их(0,у) = 0, у > 0, и(х,0) = f{x), 0 < х < 1, в предположении, что и(х,у) ограничена или стремится к нулю на бесконечности. Методом спектрального анализа доказана теорема единственности и существования решения поставленной задачи.
Сабитов К.Б. исследовал задачу Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа первого рода
(sgn у)\у\тихх +иуу -b2{sgn у)\у\ти = 0 , т > 0, Ъ > 0, (3)
в прямоугольной области D = {(ж,у)|0 < х < 1, —а < у < /3}, а,(3 - заданные действительные числа. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности решения, которое построено в виде суммы ряда Фурье.
К.Б. Сабитовым и А.Х. Трегубовой (Сулеймановой) для уравнения смешанного типа второго рода
ихх + (sgny)\y\mUyy — b2u = 0, 0
исследован вопрос о корректности постановки задачи Дирихле в зависимости от показателя степени т вырождения.
М.Е. Лернером и О.А. Репиным для уравнения смешанного типа
(sgny)\y\muxx + иуу = 0, т > О,
в области, эллиптическая часть которой есть полуполоса {0 < х < 1, у > 0}, а гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник, рассмотрена краевая задача с двумя нелокальными краевыми условиями и(0,у) - и(1,у) = (pi(y), их(0,у) - их(1,у) = (р2(у), у > 0. Доказательство единственности решения поставленной задачи проводится с помощью принципа экстремума, существование - методами интегральных преобразований и уравнений.
В работах Сабитова К.Б. и Сидоренко О.Г. изучена краевая задача с условиями периодичности для уравнения (3) в прямоугольной области D. Методом спектральных разложений установлен критерий единственности решения. При этом решение построено в виде суммы ряда по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи.
Целью работы является исследование на корректность нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением в классической и прямоугольной областях.
Методы исследования. В первой главе широко используются аналитические методы решения дифференциальных уравнений с частными производными: методы Римана, Римана - Адамара и Грина , принцип экстремума, методы теории интегральных уравнений. Во второй главе при доказательстве единственности и существования решения нелокальных задач для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области использован метод спектрального анализа и теория специальных функций.
Научная новизна.
1) Установлены принципы экстремума для уравнений гиперболического
и смешанного эллиптико - гиперболического типов.
2) Доказаны теоремы единственности и существования решения
краевых задач для уравнений смешанного типа с нелокальным условием
сопряжения, содержащим производную дробного порядка.
3) Показано, что корректность постановки краевой задачи с условиями
периодичности (нелокальной задачи) для уравнения смешанного типа
второго рода (1) в прямоугольной области существенным образом
зависит от показателя степени т вырождения. Установлены промежутки
изменения параметра ш:0<ш<1,1<ш<2,в которых
нелокальная задача или видоизмененные нелокальные задачи поставлены
корректно. При 0 < т < 1 установлен критерий единственности решения нелокальной задачи, которое построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи. Когда 1 < т < 2 доказаны теоремы единственности и существования решения видоизмененных задач. Решения построены в виде суммы рядов и установлены достаточные условия сходимости рядов в соответствующих классах решений уравнения (1).
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы исследования представляют научный интерес и могут быть использованы для дальнейшей разработки краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных и уравнений смешанного типа.
Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством д. ф.-м. н., проф. В.Ф. Волкодавова (г. Самара, СамГПУ, 2004 - 2005 гг.), научных семинарах по теории дифференциальных уравнений под руководством д. ф.-м. н., проф. К.Б. Сабитова (г. Самара, СамГПУ, г. Стерлитамак, СФ АН РБ, 2006 - 2010 гг.), на научном семинаре кафедры "Дифференциальные уравнения" Казанского государственного университета (науч. рук. - д.ф.-м.н., проф. В.И. Жегалов, 2010 г.), а также на следующих научных конференциях: четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (29 - 31 мая 2007г., Самара, СамГТУ), международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика И. Н. Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (28 мая - 2 июня 2007г., Новосибирск, НГУ), международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (24 - 28 июня 2008г., Стерлитамак, СФ АН РБ), международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего "Современные проблемы математики, механики и их приложений" (30 марта - 02 апреля 2009 г., Москва, МГУ), международном Российско - Абхазском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (17 - 22 мая 2009 г., Нальчик - Эльбрус), международной школе - конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании", посвященной 100 - летию БашГУ (02-05 октября 2009 г., Уфа, БашГУ), II - ой всероссийской научно - практической конференции "Интегративный
характер современного математического образования", посвященной памяти заслуженного деятеля науки РФ, профессора В.Ф. Волкодавова (26 - 28 октября 2009 г., Самара, ПГСГА).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе работы в издании из перечня ВАК [4], [11], список которых приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на 6 параграфов, списка литературы. Объем диссертации составляет 106 страниц. Библиография - 92 наименования.
Краевая задача с нелокальным условием сопряжения с данным на характеристике
Пусть f(x) Є С3[0,1], g(x) Є С3[0,1], /«(0) = /w(l), W(O) = p (l), г = 0,2 w выполнены условия (0.40), (0.41)- Тогда задачи (0.16) - (0.18), (0.21), (0.22) и (0.16) - (0.18), (0.21), (0.23) разрешимы и эти решения определяется рядом (0.25) с точностью до слагаемого линейной функции по переменной у, где коэффициенты Uk(y), Vf.(y), щ(у) ряда (0.2Ъ) находятся соответственно по формулам (0.37) - (0.39).
Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты: 1. Принципы экстремума для уравнений гиперболического и смешанного эллиптико - гиперболического типов. 2. Теоремы единственности и существования решения краевых задач с нелокальным условием сопряжения для уравнений смешанного типа второго рода в классической области. 3. Классы корректности краевых задач с условиями периодичности для уравнения смешанного типа второго рода (0.14) в прямоугольной области. В каждом из этих классов в зависимости от параметра т установлены теоремы единственности и решения задач построено в виде суммы ряда по собственным функциям одномерной спектральной задачи с соответствующим обоснованием сходимости рядов в указанных классах решений данного уравнения. Апробация результатов. Основные результаты работы опубликованы в работах [82] - [92]. Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на - на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством д. ф.-м. н., проф. В.Ф. Волкодавова (г. Самара, СамГПУ, 2004 - 2005 гг.) - на научных семинарах по теории дифференциальных уравнений под руководством д. ф.-м. н., проф. К.Б. Сабитова (г. Самара, СамГПУ, г. Стерлитамак, СФ АН РБ, 2006 - 2010 гг.); - на научном семинаре кафедры "Дифференциальные уравнения" Казанского государственного университета под руководством д. ф.-м. н., проф. В.И. Жегалова (г. Казань, КГУ, 2010 г.); - четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (29 - 31 мая 2007г., Самара, СамГТУ); - международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100-летию со дня рождения академика И. Н. Векуа (28 мая - 2 июня 2007г., Новосибирск, НГУ); - международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы", посвященной юбилеям академиков В.А. Ильина и Е.И. Моисеева (24 - 28 июня 2008 г., Стерлитамак, СФ. АН РБ); - международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего (30 марта - 02 апреля 2009 г., Москва, МГУ); - международном Российско - Абхазском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (17 -22 мая 2009 г., Нальчик - Эльбрус); - международной школе - конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании", посвященной 100 - летию БашГУ (02-05 октября 2009 г., Уфа, БашГУ); - II - ой всероссийской научно - практической конференции "Интегративный характер современного математического образования", посвященной памяти заслуженного деятеля науки РФ, профессора В.Ф. Волкодавова (26 - 28 октября 2009 г., Самара, ПГСГА). Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям: д. ф- м. н., проф. Виктору Филипповичу Волкодавову, д. ф.- м. н., проф. Камилю Басировичу Сабитову за постановку задач, ценные советы, постоянное внимание к работе и помощь при выполнении данной работы. часовой стрелки, I - длина кривой Г, ip(s), ф(у) - заданные достаточно гладкие функции, причём ip(l) = ф(0), г/+(х)= Ит %(аг,у), а; Є (0,1), (1.7) у- 0+0 1 X v_(x) = — f(t- x) nui(t, 0) dt + f(x - t) r2u2(x, ) dt, (1.8) x 0 0 Г1, Г2 1. В (1.8) щ(х, y) - решение задачи Гурса для уравнения (1.1) в области D-. с данными: щ(х, 0) = т(х), 0 х 1, «i(l, у) = 0, — 1 у 0, r(l) = 0, а (#,2/) - решение задачи Гурса для уравнения (1.1) в области D- с данными: и2(х, 0) = 0, 0 х 1, м2(1, 2/) = (у), —1 г/ 0, (0) = 0. В данном параграфе методом экстремума доказывается единственность решения задачи (1.2) - (1.6), а существование при некоторых ограничениях на заданные функции эквивалентно сводится к однозначной разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода. 2. Принцип локального экстремума Предварительно для уравнения (1.1) в области Х)_ построим в явном виде решение задачи Гурса и на её основе установим принцип локального экстремума. Задача Гурса. Найти в области D_ функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям: и(х, у) C(D-) П C\DJ), иху Є С( _); (1.9) Lu(x,y) = 0, (a:,j/)eD_; (1.10) и(х, 0) = т(ж), 0 х 1; (1.11) и(1, у) = ф(у), -1 у 0, (1.12) где т(ж) , (2/) _ заданные достаточно гладкие функции, причём т(1) = (0) = 0. Решение задачи (1.9) - (1.12) проводится методом Римана [48, с.106]. При этом функция Римана определяется равенством [13]: R{x, У\ хо, Уо) = (а? + y) 2q(y + x0)q{yo + x)qF(-q, -q- 1, сг), (1.13) (x-xQ)(y-y0) где а = т г? г? F\ li Ч і 1 0") гипергеометрическая (у + ж0)(уо + ж) функция Гаусса. Для построения решения уравнения (1.1) в области D- возьмём произвольно точку М(#о, Уо). Проведём через эту точку характеристики уравнения (1.1) х = XQ ДО пересечения су = 0иу = уодо пересечения с х = 1. Полученный прямоугольник {(х,у) : хо х 1, уо у 0} обозначим через Do. Пусть функция и(х, у) является решением задачи Гурса для уравнения (1.1) в области D-, т.е задачи (1.9) - (1.12), R(x, у; хо, уо) - функция Римана уравнения (1-1). Для этих двух функций запишем тождество Грина
Краевая задача с нелокальным условием сопряжения с данным на нехарактеристической линии
Пусть D = D- U D+ , где D- и D+ определены в 1.1. На множестве D рассмотрим уравнение смешанного типа (1.1), т.е. уравнение т( v _ Г uxx + ymuyy = 0, 0 т 1, / 0, W 1 у 2-Г72 4- и Ї - О а - m v 0 жу х+у \Ux "І" «у; — U, (/ — 2(2-т) У и 1. Постановка задачи Задача V i. Найти функцию и(х, у) со свойствами: и{х,у) Є ОДПС2 ), !/) Є Cl{D-),uxy Є C(LL); (1.51) Lu(a;, у) = 0, (ж, у) Є -D+ U _; (1.52) t (a:(e),y(s)) = W, 0 e J; (1.53) lim (x + y) qu(x, 2/) = 0, 0 ж 1; (1.54) у-»—я+0 і/+(ж) = и_(ж), ж Є (0,1), (1.55) где ж = a:(s), у = /(s) - параметрические уравнения кривой Г, s -длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки с координатами (1,0) против часовой стрелки, / - длина кривой Г, p(s) - заданная достаточно гладкая функция, причём р(1) = 0, v+(x)= ІІпиу(х У) ж Є (0,1), (1.56) х v-(x) = — / (я? - t)-ru(t, 0) й, 0 г 1. (1.57) о Здесь для доказательства единственности решения задачи 14 установлен принцип экстремума. Доказательство существования проводится аналогично доказательству существования решения задачи V\, т.е. эквивалентно редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма II рода. 2. Единственность решения задачи V i Предварительно в области D- построим в явном виде решение задачи типа Дарбу и на её основе установим принцип локального экстремума для уравнения (1.50) при у 0. Задача Дарбу. Найти в области D- функцию it (ж, у), удовлетворяющую условиям: и(х,у) Е C(Dl) П C D-), Є C( _); (1.58) Lu{x,y) = 0, (x,y)eD-; (1.59) гі(ж, 0) = т(х), 0 a; 1; (1.60) lim (x + y) qu{x, y) = 0, 0 x 1, (1.61) «/- —x+0 где г(ж) - заданная достаточно гладкая функция, т(0) = 0. Для решения задачи (1.58) - (1.61) применим метод Римана - Адамара [45], [12], [49], [51]. В области D_ с этой целью построим функцию Римана-Адамара. Пусть M(XQ, Уо) произвольная точка области D-. Проведём характеристики х = XQ до пересечения су = 0иу — уодо пересечения с х + у = 0. Теперь введём в рассмотрение области (см. рис.1) Ни = {(ж, у)\ - Уо + є х х0, уо + 2е у 0}, Н2є - {(ж, у)\ х + є у 0, є х уо - є}, здесь є - достаточно малое число. Уравнение (1.50) рассмотрим на множестве НЕ = Н\е U і?2є В качестве функции Римана-Адамара поставленной задачи Дарбу рассмотрим функцию из [12, с. 22], [51]: А(х v хп vn) - і Al J У] Ж(Ь Уо) Х Уо (1 62) А{х, у, хо, 2/о) - МХ} у. XQi %)ї х ш (1.62) где Аі{х, у\ я?о, уо) = ( - ——- ) F(-g, 1 + g; 1; s), А2(ж, у; а;0, 2/о) = h(x + у)(ж0 + Уо)1+2чЫ - яг)-9-" Х(У- Уо)-д- (1 + д, 1 + д, 2 + 2д; в), ,_(до-а?)(у-уо) 1 Г(1 + д) о , . , Г", о , К J — (so+ jfo) ( + !/) Г(-д)Г(2 + 2д) Г(-) - гамма-функция Эйлера. Функция (1.62) обладает следующими свойствами: 1. По паре (хо, уо) функция А(х, у; хо, уо) удовлетворяет уравнению (1.50) в области D-. 2. По паре (ж, у) она является решением сопряжённого уравнения L A = Аху + — ( — ) + — [ -V- = О ох \х + у/ ду \х + у 3. Функция А\(х, у; XQ, у о) в области Н\є обладает свойствами функции Римана: а) АХх Л —А\ = 0 на у = у0, х + у б) A\v -\ А\ 0 на х = XQ , у х + у в) Лі(яг0, Уо; 2го5 Уо) = 1 4. —[Л] + — — [А] = 0 при х = -і/о, #2/ 2/ - Уо [A] = lim (Ai(-?/o + е, г/; ж0, уо) - А2{-у0 - є, у; х0, г/о)) = , Ґ-УО + УУ1 , _ V (1 + д) - г/ (- ?) Uo + »J 2 Г(-д)Г(1 + д) t/ (.z) - логарифмическая производная функции Г(z) . 5. А2х + А2у + — —А2 = 0 на ж = -у. ж + 2/ Для функций и(х, у) и А(ж, j/; XQ, J/Q) , где гх(ж, у) - решение задачи (1.58) - (1.61), А(х, у; хо, уо) - определенная выше функция Римана-Адамара, запишем тождество Грина на множестве Нє: 2 [Л Lu-«LV) ]=( + ). (1.63) 2q Р — Аих — и Ах иА, х + у 2q Q = Auv — и Av иА. У v х + у Проинтегрируем тождество (1.63) по множеству Нє и, применив формулу Грина, получим 0= / -(А(х,у;хо,уо)их(х,у)-и(х,у)Ах(х,у;хо1уо) д(Н1еШ2е) 2q х + у и{х, у) А(х, у; х0, yo))dx+ +(А(х, у; XQ, уо) uy(x, у) - u(x, у) Ay(x, у; x0, y0) 2g x + y u(x, y) A{x, y; x0, yo))dy = J i», =i (1.64) здесь li - интеграл, взятый по отрезку S{ границы множества Нє, і = 1,7 (см. рис. 1).
Построение частных решений уравнения смешанного типа, удовлетворяющих условиям периодичности
Если функция (#) имеет указанное представление, то из явного вида (1.28) функции Ф(х) следует, что функция Ф(х) Є Сх[0, 1] П С(0, 1) при 7 0, Ф(х) = 0(х(1 - х)) при х — 0 и а: — 1.
Итак, в силу лемм 1.10 - 1.12 уравнение (1.79) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода со слабой особенностью [52, с. 481]. 8 силу теоремы 1.5 о единственности решения задачи (1.51) - (1.55) и альтернативы Фредгольма интегральное уравнение (1.79) однозначно разрешимо в классе функций С[0, 1] Г) С(0, 1). В силу лемм 1.11, 1.12 при г q и х — 0 для функции т(х) справедлива оценка: r(x) — Q(x6), б q, и т (х) і[0,1]. Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 1.6. Если Г = Го, функция ц (х) удовлетворяет условиям леммы 1.12 и г q, то существует единственное решение задачи {1-51) - (1.55), которое в областях D- и D+ определяется соответственно формулами (1.66) и (1.26). Глава 2 Задачи с нелокальными граничными условиями для уравнения смешанного типа второго рода В этой главе для уравнения в прямоугольной области D = {(х,у)\0 х 1, —а у /3}, где т, а, /3 - заданные положительные числа, 0 т 2, методом разделения переменных на основании свойства полноты системы собственных функций одномерной спектральной задачи изучены вопросы о корректностнои постановке задач с двумя нелокальными граничными условиями (условиями периодичности) гі(0,г/) = и(1,г/), их(0,у) = их(1,у), -а у /3. 2.1. Построение частных решений уравнения смешанного типа, удовлетворяющих условиям периодичности Построим множество частных решений уравнения (2.1), удовлетворяющих следующим условиям: u(x,y)EC2(D+UD-); (2.2) Lu = 0, (х,у) Є D+UD_; (2.3) и(0: у) = и(1, у), ux(0, у) = их(1, у), -а у Р, у ф 0, (2.4) где D+ = D П {у 0} , _ = D П {у 0}. Частные решения уравнения (2.1), удовлетворяющие условиям (2.2) -(2.4) и не равные нулю на множестве D+ U JD_ , будем искать в виде произведения u(x,y)=X(x)Y(y). Подставляя данное произведение в уравнение (2.1), получим Х"(х) + ХХ{х) = О, 0 х 1, (2.5) Х(Р) = Х(1), Х (0)=Х\1), (2.6) Y"(y) - X(sgny)\y\-mY(y) = 0, у Є (-а,0) U (0,/3), (2.7) где Л - постоянная разделения. Как известно, решение спектральной задачи (2.5) и (2.6) имеет вид: Хк(х) : 1, \/2cosAfca;, v2sinAfca;, (2.8) здесь XQ(X) — 1, А = Xf. = (2irk)2, к = 1, 2,... . Система собственных функций (2.8) задачи (2.5) и (2.6) ортонормирована, полна и образует базис в пространстве 1/2 [0,1]. В уравнении (2.7) полагая Л = Л при у 0 произведем замену У (У) = W (РкУ4) у/У, р\ = { kf/q\ q -(2- m)/2. (2.9) Найдем производную второго порядка Y"{y) = W" {ркУо) (pkq)2y2q-% + W (Рку«) у - рк ? - \w (рку ) з,-і и подставим в уравнение (2.7). Тогда после преобразований получим: W" (pkyi) {pkq)2y2q-1 + W (pkyq) yq hkq2 \W (pky«) y-% - {pkq)Vq-"W (pky«) = или W" (РкуЧ) + W (pkyq) Pkyq + {2Ч)\ркуЧ)\ W (pkyi) = 0. Это есть модифицированное уравнение Бесселя [48, с. 223] W"(z) + hv\z) - (і + ) W{z) = 0, (2.10) где z = VkVq,v = l/2q — 1/(2 — m), v Є (1/2,+ ос). Общее решение уравнения (2.10) определяется по формуле W(z) = CJ (z) + C2Ki.(z)1 (2.11) где I\_ (z) и К± (z) - соответственно модифицированные функции Бесселя 2g 2q первого и третьего рода, Сі и Сч - произвольные постоянные. Тогда на основании (2.9) и (2.11) общее решение уравнения (2.7) при у 0 определяется по формуле Ук+(У) = аку/уГ± {ркуч) + hy/уКл. (pkyq). (2.12) 2q 2(7 В формуле (2.12) ak, 6 - произвольные постоянные. Аналогично в уравнении (2.7) при у 0 произведем замену Ъ) = V=yZ Ы-уУ) = /=JZW. (2.13) Подставляя функцию (2.13) в уравнение (2.7), получим обычное уравнение Бесселя [48, с. 223] Z \z) + -zZ\z)+ (л - )z(z) = 0,z = pk(-yy. (2.14) Общее решение уравнения (2.14) определяется по формуле Z(z) = CxJ±(z) + C2Y±(z). (2.15) 2g 2g В (2.15) JJL(Z) И Y\_{z) - функции Бесселя [5, с. 12] первого и второго 2g 2q рода соответственно, Сі и Сі - произвольные постоянные. В силу равенств (2.13) и (2.15) общее решение уравнения (2.7) при у 0 выражается по формуле Уь (у) = CkV Jj- Ы-У)д) + dky/=yYi (pk(-y)q), (2.16) где Cfc и dfc - произвольные постоянные. Тогда общее решение уравнения (2.7) на основании (2.12) и (2.16) окончательно имеет вид Г YL+(y) = aky/yl± (Pkyq) + Ьку/уК± fay ), у 0, j 1 Ї М = CfcV i Ы У)д) + dkV=yYj_ Ы-У)д), У 0 V 2g 2 (2.17) Таким образом, множество частных решений уравнения (2.1), удовлетворяющих условиям (2.2) - (2.4), задается равенством ик(х, у) = (Ci + С2 cosХкх + С3sin\кх)Ук(у), к Є N, где Yk(y) определены равенством (2.17), Сі, Сі и C-j - произвольные постоянные. Если Л = 0 (к = 0), то где а0, Ьо) со и о произвольные постоянные. 2.2. Задача с условиями периодичности для уравнения (2.1) при 0 m 1 Рассмотрим уравнение (2.1) в прямоугольной области D и следующую задачу с условиями периодичности. Задача 2.1. Пусть 0 т 1. Найти в области D функцию и{х,у), удовлетворяющую условиям: и{х, у) Є С1 (D) П С2 (D+ U _); (2.18) Lu{x, у) = 0, (х,y)eD+UD_; (2.19) г (0, у) = и(1, у), пх(0, у) = (1, у), -а у (2.20) и(ж, /3) = /(ж), к(ж, -а) = д(х), 0 ж 1, (2.21) где /(ж), д(х) - заданные достаточно гладкие функции, причем /(0) = /(і), д(0) = g(i), / (о) = / (і), /(0) = g (i) Для построения решения задачи (2.18) - (2.21) подберем в (2.17) в силу (2.18) постоянные 0 , bk , с&, ( так, чтобы выполнялись следующие условия сопряжения:
Нелокальные задачи с неполными граничными данными при 1 < т < 2
Пусть теперь f(x) = 0 и д(х) = О и выполнено условие (2.47). Тогда из равенств (2.44), (2.45), (2.57), (2.58), (2.62), (2.63) следует, что fk = fk = 9к — 9к — 0 при всех к Є N\ /о = QQ = 0. Отсюда в силу (2.50), (2.59), (2.64) и формул (2.36) - (2.38) при всех у Є [—а, /3] имеем
Тогда в силу полноты системы функций (2.8) в пространстве Ьг[0,1] следует, что и(х, у) = 0 почти для всех х Є [0,1] и при любом у Є [—а, /3]. В силу (2.18) функция и(х,у) Є C(D), то и{х,у) =0 в D.
Пусть при некоторых а, /31 к = I нарушено условие (2.47), то есть 6i(a, /3)=0. Тогда однородная задача (2.18) - (2.21) (где f(x) = д(х) = 0) имеет нетривиальное решение где Х/(ж) = Ci cos Aj# + С2 sin Xix + С3 . Действительно, построенная нами функция (2.65) в силу (а,/3) = 0 удовлетворяет нулевым граничным (2.20) (где f(x) = д{х) = 0) и нелокальным условиям (2.21), и принадлежит классу (2.18). На основании асимптотических формул (2.28), (2.26) для функций Бесселя при z —У 0, имеем Из построения функций (2.34) следует, что функция (2.65) всюду на множестве D+ U D_ является решением уравнения (2.1). Итак, нами доказано следующее утверждение. Теорема 2.1. Если существует решение задачи (2.18) - (2.21), то оно единственно тогда и только тогда, когда при всех к Є N выполнено условие (2.47) Левую часть выражения (2.47) представим в следующем виде: При больших к и любом /3 0 f , „д) = 0(е 2рк я), то нули к(а, Р) 25 при больших А; определяются как нули У І (зда ). Существование нулей функции Ул. (pkz) следует из того факта, что функции Y± (pkz) и J A. (Pkz) являются линейно-независимыми решениями уравнения Бесселя Из общей теории линейных дифференциальных уравнений известно [68, с. 135], что нули двух линейно-независимых решений уравнения (2.68) строго чередуются, то есть на интервале между любыми соседними нулями любого из этих решений содержится ровно один нуль другого решения. Функция Бесселя J± (pkz) первого рода имеет счетное множество положительных нулей. Тогда и функция Y± (pkz) также имеет счетное множество положительных нулей относительно z — а4. Следовательно, Jk(t, Р) может иметь счетное множество нулей относительно а независимо от (3 0. Поскольку а любое положительное число, то оно может принимать значение, близкие к нулям 7 ( )/3)-Поэтому при больших к выражение ук {а-,Р) может стать достаточно малым. Лемма 2.1. Если выполнено одно из следующих условий: 1) aq = aq/q - любое натуральное число; 2) aq — п/т - любое дробное число, где п и т - взаимно-простые натуральные числа и т ф 4, то существует постоянная CQ 0 такая, что при всех {3 0 и больших к справедлива оценка
