Введение к работе
Актуальность темы. Несмотря на то, что за последние 30 - 40 лет произошло существенное развитие в области нелокального анализа нелинейных колебательно-волновых процессов 1, 2, 3, задача разработки новых и эффективных методов нелокального исследования динамических процессов остается по-прежнему актуальной 4, 5.
Бурное развитие в исследованиях нелинейных волновых процессов можно проследить по многочисленной серии теоретических и экспериментальных работ 70-х и 80-х годов прошедшего столетия. Наибольший прогресс был достигнут в рамках интегрируемых задач и задач близких к интегрируемым 6.
В настоящее время, в связи с увеличением производительности компьютерной техники и совершенствованием программного обеспечения, появились новые возможности в анализе зарождения и развития динамических процессов, описываемых неинтегрируемыми уравнениями.
В данной диссертационной работе представлен результат разработки подхода к решению проблемы нелокального бифуркационного анализа некоторого класса вариационных задач, включающего в себя, например, многие эталонные задачи "солитонной математики" и их естественные обобщения.
Основные модельные примеры в данной работе — уравнение Белецкого
do do
(1 + еcosz/)—17 — 2esinz/-—h usinq — 4esinz/ = 0, (1)
dvl dv
описывающее колебания спутника на эллиптической орбите 7, где е —
Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. - М. : Наука, 1988. - 368 с.
2Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. - М. : Наука, 1984. -432 с.
3Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. - Пер. с англ. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2006. - 480 с.
4Афанасьев А.П., Дзюба СМ. Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах. - М.: ЛКИ. 2007. - 240 с.
5Боровских А.В. Метод распространяющихся волн для одномерной неоднородной среды. Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2007, Т.24. - С 3-43.
6Борисов А.В. Современные методы теории интегрируемых систем. - Москва-Ижевск, 2003. -296- 296 с.
7Уравнение (1) выведено В.В. Белецким в 1956 г. и опубликовано в 1959 г. (см. Белецкий В.В.
эксцентриситет орбиты, /і — параметр, характеризующий распределение массы спутника, q — угол между фокальным радиусом и осью симметрии спутника, v — угловая (полярная) координата центра масс спутника, и уравнения упругого равновесия круглой пластины, равномерно сжатой по краю (вдоль нормалей), в модели Кармана 8, 9:
A2w + \Aw- [w, ф] = А2ф + -[w,w] =0. (2)
Здесь А — оператор Лапласа, [ги,ф] = и)ххфуу + и)ууфхх - 2и)хуфху, w — функция прогиба, ф — функция напряжения, А — параметр нагрузки. Уравнение (2) дополняется краевыми условиями, отвечающими характеру закрепления края пластины. В диссертации рассмотрен случай жесткого закрепления:
ф = фх = фу = w = wx = wy = 0|ш, (3)
где Q — область определения функций w, 0, заданная в виде единичного круга и интерпретируемая как геометрическая форма ненагруженной пластины:
П = {(х,у) ЄІ2:ж2 + 2/2< 1}.
В диссертационной работе применена исследовательская схема, основанная на модифицированном методе Ляпунова-Шмидта10, п. Использована трактовка краевых задач в виде операторного уравнения
f(x) = 6, х Є X, b Є У, (4)
в котором / — гладкое фредгольмово отображение банахова пространства Е в банахово пространство F. Решение такой задачи можно осуществлять переходом (редукцией) к конечномерному уравнению
0(0 = /3, Є М, (5 Є TV, (5)
Движение искуственного спутника вокруг центра масс. - М. : Наука 1965. - 416 с. ) 8Вольмир А.С. Гибкие пластины и оболочки. - М. : Гостехиздат. 1956. - 419 с. 9Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. - М. : Наука. 1989. - 376 с.
10Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах. Успехи матем. наук. - 1996. - Т.51, вып.1. - С.101-132.
ИБ.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов. Современная математика, Фундаментальные направления. М.: МАИ. Т.12. 2004. - 140с.
в котором #() = ф~1(/((р(С)), М и N — гладкие конечномерные многообразия, ср и ifj — гладкие вложения конечномерных многообразий М и N в X и Y соответственно.
Если для отображения / найдется такой (гладкий) функционал У, что / = graduV или, что эквивалентно,
— (x)h=(f(x),h)H, УхеЫ., heE
((-,-)я — скалярное произведение в некотором гильбертовом пространстве Н): то отображение / называется потенциальным (предполагается, что Е непрерывно вложено в F, F непрерывно вложено в Н и Е плотно в Н). Функционал V называется при этом потенциалом отображения /, а уравнение (4) называется потенциальным.
Описанию и применениям некоторых используемых схем перехода от (4) к (5) (вариантов схемы Ляпунова-Шмидта) при условии, что уравнение (5) наследует топологические и аналитические свойства уравнения (4) (кратности и топологические индексы решений, типы бифуркационных диаграмм и т.д.), посвящен ряд работ Н.А. Бобылева, Ю.Г. Борисовича, М.М. Вайнберга, П.П. Забрейко, В.Г. Звягина, М.А. Красносельского, Б.В.Логинова, Ю.И. Сапронова, Н.А. Сидорова, В.А. Треногина, K.D. Elworthy, J.E. Marsden, S. Smale, A.J. Tromba и др. Вариационные модификации описаны в работах Н.А. Бобылева, М.А. Красносельского, Б.В.Логинова, Ю.И. Сапронова, J.E. Marsden и др. Глобальная редуцирующая схема Морса-Ботта из вариационной теории геодезических была использована в работах СВ. Болотина, С.С. Conley, Е. Zehnder, а затем схема Морса-Ботта была включена Ю.И. Сапроновым в более общую абстрактную редуцирующую схему (наряду с нелокальной вариационной версией Ляпунова-Шмидта).
Ряд аспектов теории бифуркаций экстремалей развивался при непосредственном воздействии эквивариантной теории Морса, симплектиче-ской геометрия (А.Т.Фоменко, В.В. Шарко, СВ. Болотин и др.) и теории ветвления решений операторных вариационных эквивариантных уравнений (Н.А.Бобылев, Б.В.Логинов, Ю.И. Сапронов, В.А.Треногий и др.).
Исторически схемам Ляпунова-Шмидта и Морса-Ботта предшествовал локальный метод Пуанкаре понижения размерности в конечномерной экстремальной задаче. А. Пуанкаре предполагал, что его метод может быть применен и к системам с бесконечным числом степеней свободы. Впервые математически строго обоснованные схемы редукций бесконечномерных систем к конечномерным были предложены A.M. Ляпуновым и Э. Шмидтом.
Цель работы и задачи исследования. Центральная конструктивная идея данной диссертации, вокруг которой сгруппировано ее содержание, — нелокальное сведение (редукция) задачи об изучении решений уравнения (4) к аналогичной задаче для конечномерного уравнения (5) с последующим качественно-численным анализом конечномерного уравнения на основе современных вычислительных средств.
Центральная задача диссертации — осуществление нелокального бифуркационного анализа рассмотренных в диссертации (модельных) краевых задач.
Основными составляющими центральной задачи являются: 1) задача описания геометрической структуры дискриминантного множества S, 2) задача описания раскладов решений, соответствующих ячейкам регулярности (компонентам связности дополнения к S), 3) приближенное построение ветвей решений. Эти составляющие задачи решаются посредством вычисления и изучения ключевого уравнения.
В диссертации предложено решение этой задачи в случаях уравнений колебаний маятника, уравнения Белецкого и уравнения Кармана. При решении использован вариационный характер модельных уравнений (потенциальность левой части каждого из них).
Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории бифуркаций решений нелинейных краевых задач, теории приближений, вариационного исчисления и современного анализа гладких функций многих переменных.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные резуль-
таты диссертации являются новыми.
Разработаны и обоснованы алгоритмы приближенного вычисления нелокально определенных ключевых функций для уравнения колебаний маятника, уравнения Белецкого (периодическая задача) и уравнения Кармана для круглой пластины, равномерно сжатой по краю.
Разработан и обоснован алгоритм приближенного графического изображения сечений каустики и решений рассмотренных модельных уравнений (при конечных приращениях параметров).
Осуществлен нелокальный анализ периодических краевых задач уравнения колебаний маятника, уравнения Белецкого и граничной задачи для уравнения Кармана в случае круглой пластины при условии, что (основной) параметр в каждой из рассмотренных задач не превосходит третьего критического значения.
Теоретическая и практическая значимость результатов. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых уравнений в нелокальном бифуркационном анализе нелинейных периодических и граничных задач классической и упругой механики. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях разнообразных неинтегрируемых уравнений, связанных с вариационным подходом.
Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (2008, 2010 гг.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (С-Петербург 2008, 2009 гг.), на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего (2009 г.), на семинаре по нелинейному анализу в НИИ математики ВГУ (рук. — проф. Ю.И. Сапронов и проф. Б.М. Да-ринский) и на семинаре ВГУ по математическому моделированию (рук. — проф. В.А. Костин).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[11]. Из совместных публикаций [6], [10] в диссертацию во-
шли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [11] соответствует списку ВАК для кандидатских диссертаций.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы и списка цитируемой литературы из 86 наименований. Общий объем диссертации — 124 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (9 рисунков), выполненной в средах Maple и Matlab.
Похожие диссертации на Нелокальный анализ гладких вариационных задач с параметрами
