О разрешимости в слабом смысле задачи Дирихле для полностью нелинейных эллиптических уравнений общего вида Якунина, Галина Владимировна

Введение к работе

. Актуальность темы.

Теория полностью нелинейных дифференциальных уравнений
стала за последние годы актуальным направлением развития
теории дифференциальных уравнений второго порядка. В
этой теории специального подхода требуют уравнения с операторами,
не сохраняющими тип в С². Исследование таких уравнений
связано с описанием подмножеств в С'², на которых уравнение
является эллиптическим. Хорошо известным уравнением такого
типа является уравнение Монжа-Ампсра. Уравнения, родственные
уравнению Монжа -Ампера, в которых главный оператор
является симметричной функцией собственных значений матрицы
Гессе некоторой функции ?(, рассматривались Н, М. Ивочкнной,
Л. Каффарелли, Л. Ниренбергом, И. Спруком.

Другое направление связано с геометрическими задачами, а именно, рассматриваются уравнения, содержащие симметричную функцию главных кривизн'поверхности - графика некоторой функции х. Такие уравнения изучались Н. М. Ивочкнной, Л. Каффарелли, Л. Ниренбергом, И. Спруком, Н. Трудннгером.

В диссертации рассматривается тип уравнений, в который
могут быть включены как уравнения, связанные с собственными
значениями матрицы Гессе, так и уравнения, содержащие
кривизны. .

Цель работы.

Целью работы является исследование классической разрешимости задачи Дирихле для равномерно эллиптических полностью нелинейных уравнений общего вида и, кроме того, разрешимости в вязкостном смысле задачи Дирихле для неравномерно эллиптических полностью нелинейных уравнении.

. ч

Научная новизна. Вс.е основные результаты диссертации являются новыми. Результаты, выносимые на зашиту.

1. получены априорные оценки решений и первых производных решений задачи Дирихле для неравномерно эллиптических ' полностью нелинейных уравнений общего вида;

2. получены априорные оценки вторых производных решений задачи Дирихле для равномерно эллиптических полностью нелинейных уравнений общего вида;

3. доказано существование допустимых классических решений задачи Дирихле для равномерно эллиптических полностью нелинейных уравнении общего вида; *

4j доказано существование вязкостных решений задачи Дирихле
для неравномерно эллиптических Полностью нелинейных уравнений
общего вида; ' '

Методы исследования!

При построении априорных оценок решении <кпольэуют< я следующие методы:

1) для оценки лнпшнцеиой нормы решения развиваются
идеи II. М. Иво'ікиноіі, Л. Каффарелли - Л. Пнренберга- И.
Спрукн, II. Трудннгера;

2. для опенки максимум;) вторых проп чюдных допустимых решений равномерно эллин і пческнх уравнений используются идеи Н.Трудннгера;

3. для опенки нормы Гельдера вторых производных решений применяются методы, разработанные Н. 13. Крыловым — М. В. Сафоновым, Л. Эвансом;

Для доказательства теорем' существования используется метод регуляризации Крылова - Трудингера, а также известный метод продолжения по параметру.

Апробация.

Результаты диссертации докладывались на семинаре им. П. И. Смирнова в Салкт-Петгрбурском отделении Математического. Института им. В. Л. Стеклоиа н ни семинаре в Институте математики Польской Академии Наук.-

Публикации.

По теме диссертации опубликованы три работы, список которых приводен в конце автореферата. .

Структура и обьем работы.

Диссертация состоит нз введения, пяти глав и списка литературы
нз 28 наименований. Она содержит 85 страниц машинописного
текста. . ' .

Похожие диссертации на О разрешимости в слабом смысле задачи Дирихле для полностью нелинейных эллиптических уравнений общего вида

Существование вязкостных решений параболических полностью нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка общего видаПрокофьева, Светлана Ивановна

Дискретные уравнения вида dun/dt = F(un-1, un, un+1) (n C Z) с бесконечным набором локальных законов сохранения Ямилов Равиль Исламович

Векторные накрывающие отображения и краевые задачи для дифференциальных уравнений неявного видаПлужникова, Елена Александровна

Алгоритмы приведения неявных систем обыкновенных дифференциальных уравнений к нормальному видуЩеглова, Алла Аркадьевна

Аналитическая характеристика решений нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка специального видаБелясова, Вера Герасимовна

Аналитический вид обобщенных решений смешанных задач для волнового уравнения в случае нелокальных граничных условий и разрывных коэффициентовКулешов, Александр Андреевич

Задача Римана-Гильберта в смысле средней сходимости и приложения в теории граничных задач для эллиптических уравненийАйрапетян, Грачик Мергоевич

Задача Дирихле и видоизмененные задачи для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождениемТрегубова (Сулейманова) Альбина Хакимьяновна

Задача Дирихле для эллиптической системы четного числа уравнений с частными производными второго порядкаАртемьева, Светлана Вадимовна

Задача Дирихле на двумерных стратифицированных множествахКовалева Лидия Александровна