Введение к работе
Актуальность темы Разрешимость краевых задач с давних пор вызывает большой теоретический и практический инте? ".. Существование и единственность классического решения основных краевых задач для уравнений эллиптического, гиперболического и параболического типоа изучались ещё в XVIII веке. Эти вопросы актуальны и в настоящее оемя.
Решения некоторых И5 этих задач были найдены в явном виде. При этом выяснилось, что решение может иметь особенности в некоторых точках, т. е. может не быть классическим. Вместе с тем решение адекватно описывает изучаемое явление и потому представляет интерес. Такие решения принято назызать обобщёнными. В работах К.О.Фридрнхса, С.Л.Соболева, О.А.Ладыженской и многих других математиков были предложены многочисленные строгие определения обобщённого решения, доказаны соответствующие теоремы существования и единственности. Обобщённые решения играют важную роль и в вычислительной математике.
Одним из указанных подходов является понятие сильного решения (М.И.Вишик, Л.Хёрмалдер, Ю.М.Березанскнй и др.). Сильная разрешимость некоторых краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов второго порядка изучалась А.М.Нахушевым и eio учениками.
При исследовании сильной разрешимости храевых задач важную роль играет понятие сопряжённой задачи. Так, наличие априорной оценки для решений двух взаимно сопряжённых задач влечёт за собой существование и единственность сильного решения этих задач.
Для задачи Дарбу в области без отхода от характеристики в качестве сопряжённой задачи можно взять задачу, сопряжённую по Лагранжу (обе задачи однозначно разре- шииы). Однако для задачи Дарбу в области с отходом от характеристики этого сделать нельзя, поскольку задача, сопряжённая по Лагранжу (задача Дирихле), некорректна.
В работе Т.Ш.Кальменова и М.А.Садыбекова * была предложена модифицированная задача Дирихле для двумерного волнового уравнения
-и^ + Щу = J(x, у)
в области с отходом от характеристики и доказана её сопря-.жённость к задаче Дарбу. В диссертации М. А. Садыбе-кова а этот результат обобщён на случай произвольного уравнения гиперболического типа с гладкими младшими членами
—г*»» + «„„ + а(х,у)иш + Ь(х, у)щ + с(х,у)и = f(x,у) ,
а также на случай уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Аналогичный результат для параболо-гиперболического уравнения был получен М. С. Салахитдииовыы и А. С. Берды-шевым 3.
'Кальменов Т.Ш., Садыбежов М.А. О оадале Джржхпе я нелокальных краевых (задачах для волнового уравнения.— Дкфференджальные уравнения, 1990, т. 26, No 1, с. Є0 — 65.
аСадыбеков М.А. Краевые оад&чя в областях с отходом от
харажтернстяхн дня уравнений гжпербопжчесжого я смешанного
тжпов второго порядка.— Дне. ... д-р* фжэ,- мат. наук.—
Ташкент, 1993. .
3С&наххтдяиов М.С., Бердшпев А.С. Краевые оадачя доя . парабосо-гжпербопжчесгохо ураввенжл в областж с отходом от характерястжжи.— ДАН Россм, 1992, т. 327, No 3, с. 303 — 305.
Цель работы Создание общей схемы исследования сопряжённости краевых задач. Доказательство сопряжённости задач Дарбу и Дирихле в области с отходом от характеристики для вырождающегося гиперболического уравнения, йсследопание сильной разрешимости указанных задач.
Научная новизна В диссертации получены следукь щие новые результаты:
-
Доказалы однозначная сильная разрешимость и сопряжённость задач Дарбу и Дирихле для вырождающегося гиперболического уравнения в области с отходом от характеристики.
-
Предложена общая схема исследования сопряжённости краевых задач.
-
Предложены методы исследования сильной разрешимости краевых задач с использованием сопряжённой задачи м плотной разрешимости.
Общаг методика исследования Для исследования сильней разрешимости краевых задач используется схема, изложенная в 1. Проверка соответствующих условий для конкретных краевых задач производится с помощью метода abc, а также посредством решения задачи в явном виде (сведение к интегральному уравнению) для специально подобранного множества правых частей.
Практическая яенность Предложенные в работе методы могут быть применены sc исследованию однозначной сильной разрешгшостк я сопряжённости разнообразных краевых задач, в том числе для диффарекщаалыго-фу национальных, интегро-дифференциальных уравнений и т. д.
Апробация работы Результаты работы докладывались на семинаре кафедры общей математики под руководством академика В. А. Ильина, профессоров А. А. Дезина и Е. И. Моисеева; на семинаре под руководством профессора Е. И. Моисеева; на семинаре кафедры математического моделирования МЭИ.
Публикации Все результаты диссертации опубликованы в работах [1], [2], [3].
Структура и объем работы Диссертация состоит из 9 параграфов. Объём работы — 111 машинописных страниц, список литературы состоит из 32 наименований.
Похожие диссертации на О сопряженности задач Дарбу и Дирихле для уравнений гиперболического типа
