Введение к работе
' . Актуальность темы. В теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают вопросы построения и описания С-- 'Зств фундаментальных решений. Построение фундаментального решения и его оценки являются мощным инструментом в исследовании различных свойств эллиптических, семиэллиптических (и других более общих классов) операторов, в частности, оценки фундаментальных решений по существу применяются при изучении гладкости решении уравнений, при изучении краевых задач с помощью интегральных уравнений, в спектральной теории граничных задач.
В ряде вопросов, связанных с изучением свойств резольвенты семиэллиптических (в частности эллиптических) операторов таких, как установление возможности представления резольвенты в форме интегрального оператора, оценки ядра резольвенты, оценка нормы резольвенты в различных функциональных пространствах, имеющих разнообразные применения в спектральной теории (построение комплексных степеней, асимптотика спектральной функции, определение экспоненты таких операторов), возникает необходимость построения и изучения свойств'фундаментальных решений семиэллиптических уравнений с параметром. Последние представляют также самостоятельный интерес.
В диссертационной работе с помощью метода Е.Леви проводится построение и изучаются свойства фундаментальных решений одного класса:семиэллиптических,операторов с комплексным параметром. "В частности, установлена возможность представления резольвенты равномерно семиэллиптического оператора в форме интегрального оператора для больших по модулю значений параметра, лежащих вне некоторого угла комплексной плоскости. Получены оценки ядра резольвенты, а также оценка нормы резольвенты в определенных анизотропных пространствах Гельдера. Полученные результаты могут быть применены в спектральной теории семиэллиптических операторов.
1 леви h.Hj. и ликерных эллиптических уравнениях в частных производных. - Успехи математических наук, ІУ40, вып.в, с.249-292.
Цель работы. I. Построение и изучение свойств фундаментального решения оператора Al"*" PfoD) гДе fv^D) ~ Рав" номерно семиэллиптический оператор с действительными коэффициентами, ограниченными на всем R и удовлетворяющими анизотропному условию Гельдера, Д - комплексный параметр.
2. Исследование вопроса однозначной и коэрцитивной разрешимости в анизотропных пространствах Гельдера уравнения
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и представляют новые возможности исследования свойств фундаментальных решений регулярных*" операторов с параметром.
Методика исследования. Систематически используются методы математического анализа, методы оценок интегралов типа потенциала, а также операторные методы. При построении фундаментального решения мы пользуемся классическим методом Е.леви .
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение -l спектральной теории семиэ.тлиптических операторов при исследовании гладкости решений семиэллиптических и регулярных уравнений с параметром.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по дифференциальным и интегральным уравнениям в Математическом институте АН Республики Армения, на научном семинаре, посвященном памяти Р.А.Александряна (Ереван, 1991) и неоднократно на семинаре пс функциональным и численным методам исследования гипоэллиптических уравнений в Ереванском государственном университете.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти статьях, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на восемь параграфов. Объем работы - 129 страниц, библиография содержит 89 названий.
2 Никольский СМ. Первая краевая задача для одного общего линейного уравнения. - ДАН СССР, 1962, т.144,1? 4,, с.767-769.
