Введение к работе
Актуальность темы. Групповой анализ дифференциальных уравнений давно стал мощным инструментом исследования нелинейных уравнений и краевых задач. Особенно плодотворно его применение к фундаментальным уравнениям механики и физики, поскольку принципы инвариантности закладываются уже при выводе этих уравнений. Как заметил ещё Софус Ли, знание группы преобразований, относительно которых инвариантна система уравнений, помогает в определенных случаях находить некоторые (инвариантные) решения этой системы в явном виде. Ли указал способ вычисления для заданных систем дифференциальных уравнений групп преобразований и привел примеры построения инвариантных решений. Новые проблемы современных прикладных наук порождают большое число новых математических моделей, для исследования которых нужно знать как можно больше конкретных решений. Метод группового анализа является одним из очень немногих методов построения точных решений нелинейных уравнений в частных производных безотносительно к их типу и происхождению.
Уравнения гидродинамики и газовой динамики были первым объектом приложения новых идей и методов группового анализа, развиваемых Л.В. Овсянниковым. Так основная алгебра Ли нестационарной системы уравнений Эйлера в Л3 была вычислена А.А. Бучневым. Структура этой алгебры изучалась в работе СВ. Хабирова. Используя свойства инвариантности уравнений Эйлера, НХ. Ибрагимов нашел новые законы сохранения. Некоторые инвариантные решения уравнений Эйлера рассматривались в работах Л.В. Овсянникова, В.И. Налимова, В.В. Пухначева. Групповые свойства и решения уравнения Навье-Стокса исследовались В.О. Бы-тевым, Л.В. Капитанским, В.В. Пухначевым.
Известно со времен Коши, что некоторые уравнения гидродинамики интегрируются в лагранжевой системе координат. Новая система состоит из меньшего числа уравнений, содержит произвольные функции — начальные данные исходной системы — и может обладать более широкой группой преобразований в смысле Ли. Впервые группа Ли точечных преобразований в лагранжевых координатах была вычислена для уравнений газовой динамики с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами в работах В.К. Андреева. Полный групповой анализ уравнений плоского и вращательно-симметричного движения однородной и неоднородной жид-
кости в лагранжевых координатах проведен в работах /1-7, 14-18/. Там же построены новые точные решения.
Переход от эйлеровых к лагранжевым координатам — нелокальное преобразование и между группами Ли изучаемых уравнений, вообще говоря, не должно быть изоморфизма. Поэтому группу Ли уравнений Эйлера в лагранжевых координатах необходимо вычислять независимо. Кроме того, в случае плоского и вращательно-симметричного движения уравнения Эйлера частично интегрируются. Новые системы состоят из меньшего числа уравнений, содержат произвольные функции, что делает актуальной задачу групповой классификации.
Задача классификации всего класса инвариантных и частично инвариантных решений уравнений гидродинамики ещё не решена. Она является комплексной и включает алгебраические и теоретико-групповые аспекты (построения, с точностью до подобия, всех подгрупп групп симметрии моделей и подмоделей), задачу групповой классификации и исследование фактор-систем. Для изучаемых здесь систем уравнений типична бесконечномерность допускаемых алгебр Ли, что сильно затрудняет изучение их структурных свойств.
Диссертация посвящена исследованию качественных свойств некоторых моделей гидродинамики на основе методов группового анализа дифференциальных уравнений.
Методы исследования. Используется техника группового анализа дифференциальных уравнений, получивших систематическое изложение в работах Л.В. Овсянникова и Н.Х. Ибрагимова.
Цель работы. Групповой анализ и групповая классификация уравнений однородной и неоднородной идеальной жидкости в лагранжевых координатах при наличии плоской и вращательной симметрии, уравнений вязкой жидкости в терминах скорость-завихренность, когда вязкость есть функция времени, уравнений микроконвекции и уравнений гидродинамической модели глаза тайфуна, построение оптимальных систем подалгебр, а также нахождение новых точных решений и их физическая интерпретации.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются оригинальными как в теоретическом, так и в практическом аспектах. Найдено преобразование эквивалентности, которое исключает из рассмотре-
ния в уравнениях движения зависящие от времени внешние силы, однако оставляющее инвариантными условия на свободной границе. Впервые предпринято систематическое изучение групповых свойств уравнений идеальной однородной и неоднородной жидкости при наличии плоской и вращательной симметрии в лагранжевых координатах. Проведен групповой анализ уравнений новой модели конвекции и гидродинамической модели глаза тайфуна. Найдены классы новых точных решений указанных моделей гидродинамики.
Теоретическая и практическая значимость результатов. Теоретическая и практическая ценность работы заключается в том, что:
проведен групповой анализ уравнений гидродинамики в координатах Эйлера при наличии плоской и вращательной симметрии для однородной и неоднородной жидкости, уравнений новой модели микроконвекции и уравнений гидродинамической модели глаза тайфуна;
построены оптимальные системы подалгебр первого и второго порядков;
решена задача групповой классификации уравнений плоских движений вязкой несжимаемой жидкости в переменных скорость-завихренность, когда коэффициент вязкости зависит от времени. Для каждого случая специализации вязкости найдена основная алгебра Ли базисных операторов и построены оптимальные системы подалгебр первого порядка;
решена задача групповой классификации уравнений в лагранжевых координатах при наличии плоской и вращательной симметрии для однородной и неоднородной жидкости, а также для уравнений с осевой симметрией. Установлено, что уравнения в лагранжевых координатах обладают более широкой группой преобразований, чем уравнения в координатах Эйлера;
доказано, что в лагранжевых координатах система уравнений модели глаза тайфуна интегрируется полностью (при вращательной симметрии) и частично (для общей модели);
для всех рассматриваемых систем уравнений построен ряд новых (или обобщающих известные) точных решений, имеющих физическую интерпретацию, описывающих нестационарные вихревые движения жидкости со свободными или твердыми границами;
найденные новые симметрии существенно расширяют знания о качественных свойствах уравнений гидродинамики, а построенные точные
решения могут быть использованы как модельные, например - при сравнительном анализе численных методов.
Апробация работы. Результаты по теме диссертации были доложены на:
VI Всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск, 1986);
Всесоюзной конференции "Герценовские чтения" (Ленинград, 1987);
международной конференции "Лаврентьевские чтения" (Новосибирск, 1990);
международной конференции "Современный групповой анализ" (Баку, 1988; Уфа, 1991; Нижний Новгород, 1992);
III Международной конференции по алгебре (Красноярск, 1993);
Всесоюзной конференции "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования" (Саратов, 1993);
международной конференции "Classical and Quantum Geometry of Homogeneous Spaces" (Москва, 1994);
международной конференции "2nd European Fluid Mechanics Conference" (Варшава, 1994);
международной конференции "Математические модели и численные методы МСС" (Новосибирск, 1996);
Сибирском конгрессе "ИНПРИМ-96", "ИНПРИМ-2000" (Новосибирск, 1996, 2000);
международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1997, 2001);
международной конференции "Симметрия в естествознании" (Красноярск, 1998);
международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2000, 2002);
международной конференции "RDAMM-2001" (Новосибирск, 2001);
Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение" (Новосибирск, 2004);
международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005);
IV Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2006);
международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (Новосибирск, 2007);
Всероссийская конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", приуроченная к 90-летию академика Л.В. Овсянникова (Новосибирск, 2009);
семинарах ИВМ СО РАН (Красноярск) под руководством профессора В.К. Андреева.
Публикации. Основные результаты опубликованы в 41 работах, включая две монографии в соавторстве с В.К. Андреевым, О.В. Капцовым, В.В. Пухначевым.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, семи разделов, разделенных на 36 параграфов, заключения и двух приложений. Текст изложен на 290 страницах, включая таблицы и рисунки. В списке литературы содержится 96 наименований.
