Введение к работе
Актуальность темы. Впервые принцип максимума для оператора Лапласа был доказан в начале 19-го века Гауссом на основе полученной им теоремы о среднем. Дальнейшие продвижения, уже в контексте произвольного эллиптического оператора, связаны с именами Жиро, Хопфа, которые в начале 20-го века предложили подход к доказательству принципа максимума, основанный на лемме о нормальной производной. Поздние обобщения принципа максимума и леммы о нормальной производной связаны с именами Олейник, Хопфа и Миранды. Такое внимание к принципу максимума связано с тем, что он лежит в основе некоторых методов оценки решений краевых задач для эллиптических уравнений, их разрешимости и единственности соответствующих решений. В связи с этим он занимает центральное положение в качественной теории эллиптических дифференциальных уравнений (в более общем контексте - неравенств).
Последние два десятилетия стало развиваться новое направление в теории дифференциальных уравнений - теория эллиптических уравнений на стратифицированных множествах. На таких множествах был определен оператор Лапласа и более общие эллиптические операторы, но реализация классических схем доказательства сильного принципа максимума в новых условиях оказалась не простой. Поскольку теорема о среднем для лапласиана на стратифицированном множестве имеет довольно необычный вид, было даже не ясно окажется ли она полезной при доказательстве сильного принципа максимума.
Возникающие трудности связаны в основном со сложным геометрическим устройством стратифицированных множеств. Как следствие, сильный принцип максимума для эллиптических уравнений на стратифицированном множестве был доказан (Гаврилов, Пенкин) лишь на двумерном стратифицированном множестве (т.е. когда размерности стратов не превосходят двух). В данной диссертации доказательство сильного принципа максимума для оператора Лапласа и более общих эллиптических операторов дается без ограничения на размерность стратифицированных множеств, что подтверждает актуальность темы данного исследования.
Цель работы. Основная цель диссертационной работы - доказательство сильного принципа максимума для оператора Лапласа на страти-
фицированном множестве и для более общих эллиптических операторов.
Методика исследования. Для решения основной задачи использовались как классические методы качественной теории уравнений с частными производными, так и специально разработанные автором методы. К примеру, для доказательства сильного принципа максимума для оператора Лапласа на стратифицированном множестве было получено специальное необходимое условие экстремума гладкой функции на таком множестве в терминах интегралов от нормальной производной по стратифицированным сферам.
Научная новизна. Все результаты, приведенные в диссертации являются новыми, за исключением вспомогательных теорем, формулировки которых приведены для полноты изложения. В числе основных результатов отметим следующие:
необходимое условие экстремума гладкой функции на стратифицированном множестве,
сильный принцип максимума для лапласиана на стратифицированном множестве, а также для более общего эллиптического оператора,
лемма о нормальной производной для эллиптического оператора на стратифицированном множестве, составленном из выпуклых стра-тов.
Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшей разработки теории эллиптических операторов, определенных как в обычных областях эвклидова пространства, так и на стратифицированных множествах.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2005), в Воронежской весенней математической школе „Понтрягинские чтения XVI" (Воронеж, 2005), на международной конференции, посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, 2007 г.), в Воронежской зимней математической
школе (Воронеж, 2007), на международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ им. М.В. Ломоносова - академика В.А. Садовни-чего (Москва, 2009 г.), в Воронежской весенней математической школе „Понтрягинские чтения XXIII" (Воронеж, 2012).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-9], список которых приведен в конце автореферата. Работы [6,7,9] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных работ [6,7,8,9] в диссертацию включены только результаты автора.
Структура и объем диссертации. Объем диссертации составляет 85 страниц. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 44 наименования.
