Содержание к диссертации
Введение 4
Глава 1.Краевые задачи для одного вырождающегося эллипти
ческого уравнения 24
1 Формулы Грина . 25
2 Фундаментальное решение 27
3. Интегральное представление 32
4 Свойства решений уравнения 34
Ь Посыновка краевых задач Дирихле и Неймана Теоремы един
ственности 36
6 Потенциалы прос ЮІ о и двойного слоев и их свойства 39
7. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям
иеории поіенциала 47
Глава 2.Краевые задачи для вырождающегося эллиптического
уравнения первого рода 57
1. Фундамешальное решение 58
2. Формулы Грина 60
3 Интегральное предсіавление 62
4 Свойс іва решении уравнения . 68
5. Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы един-
сі венное J и . . . 69
$. Поіенциальї ііросюїо и двойною слоев и их свойсіва 72
7. Сведение -задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям
іеории поіенциала . 82
Глава 3. Краевые задачи для самосопряженного вырождающе
гося эллиптического уравнения второго рода 88
1. Формулы Грина 89
2. Фундамен і ал ьное решение 90
3. Иніегральное пред( іавление . . 92
4. Свойства решений уравнения 98
5 Посіановка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы един
ственности 99
6 По і енциалы просило и двойного слоев и их свойства 102
7 Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям
теории потенциала 105
Глава 4.Краевые задачи для вырождающегося эллиптического
уравнения второго рода 115
1. Фундаментальное решение 116
2 Формулы Грина . 120
3. Интегральное преде іавление 121
4. Свойсіва решений уравнения 127
5 Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы един
ственности 128
6 Потенциалы просюго и двойного слоев и их свойства 132
7 Сведение задач Дирихле и Неймана к ишегральным уравнениям
теории поіенциала . 134
Литература 144
Введение к работе
Вырождающиеся эллипіические уравнения предсіавляюг собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными Краевые задачи для таких уравнений обладают той особенное!ыо, чю иногда на границе области, где происходит вырождение, граничное условие не ставится или граничное условие ставится с некоюрой весовой функцией. Необходимость изучения чаких уравнений обусловлена многочисленными их приложениями в газовой динамике, теории оболочек, теории упруюсіи, механике сплошной среды и др
Кроме того, вырождающиеся эллиптические уравнения встречаются в теории фильтрации при исследовании процессов переноса массы через неоднородные пористые пласты [7], [21], [28], а іакже в современной космологии при рассмотрении жюіических (осюянии маїерии [G6\.
Число опубликованных работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям весьма значительно. В этих исследованиях рассматривались вырождающиеся эллиптические уравнения первою рода (см., например, М. М. Смирнов [67]-[71], А. В. Бицадзе [5], И Н Векуа [9], Л. С Шрасюк [63] и т.д.). Что касается вырождающихся эллиптических уравнений второго рода, то к числу первых в этом направлении oiносится работа М. В. Келдыша (1951) [26], где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться о і граничных условий и заменяться условием oi раниченности решения Позже А В. Бицадзе в работе [5] указал, что условие ограниченности может быть заменено граничным условием с некоторой весовой функцией.
Первые работы по вырождающимся эллиптическим уравнениям отно-
ся і ся к уравнению вида
md2U d<2U п
[т > О),
(0 1)
У Н 1—7- = О
дх2 ду2
различные краевые чадами для коюрого исследованы Ф. Трикоми [7G], Е Хольміреном [81], С. Геллере і ед і ом [17] [18], Ф. И. Франклем [79], П. Жер-меном, Р Бадером [22] [23] и др
Ф. Трикоми в фундаментальной рабо і е [76] рассменрел задачу Дирихле. С. Геллерсіедт [17]-]18] показал, чю задача Дирихле и задача N могут бып> решены при помощи функции Грина, регулярная часіь ко юрой в случае произвольной области D иіцеїся в виде потенциала двойною слоя ( илопки 1ыо fi(t). Для плоі носі и fi(t) получается уравнение Фредюльма, причем предполаїаекя, чю концы кривой Г совпадают с дуіами нормальной кривой (х - Х{))2 + (т+2у-Ут+1 — ^2 ІУ > 0)- Ф- И. Франклю в сіаіье [79] удалось избавиться от -этою ограничения Он своди і обе рассмаїривае-мые краевые задачи к уравнениям Фредгольма, причем предполаїаекя, чю кривая Г подходи і к оси абсцисс в точках А и В под прямым углом
А В. Бицадзе [5] [6] доказал суіцесівование и єдине і венное і ь решения задачи Дирихле для уравнения
md2U d2U , Ж ,, Ж , ,ТТ п У ~дх~2 + W + <Х' У)^ + 6(Ж'у)~ду~ + С{Х'y)U = {ГП > 0)-
К. И Бабенко [2] исследовал 'задачу N как для уравнения (0 1), іак и для более общею уравнения
,„д2и d2U
(0.2)
+ -— + c(x,y)U = 0
дх2 ду2
при предположении, чю вокресіноеіи ючек А и В на кривой Г выполняемся условие
/7-т»
< Cy\s),
где С иск юянная, и г = x(s), у = y(s) парамемричеекие уравнения кривой Г
М В. Келдыш [26] исследовал первую краевую 'задачу для уравнения
02U d2U , Ж ,, Ж , ,тт п , 1Х , ^
.'"
У"~д^ + ~д? + а(,г'У^~дх~+ (,г'У^1Г + г(г'У^ = (ш > * (() ^
в обласіи D. Он показал, чю постановка первой краевой задачи для этого уравнения зависит от показателя т и поведения коэффициент Ь{х,у) при у -> О М. В. Келдыш доказал еуіщзсівование и единсівенносіь решения первой краевой задачи В случаях, когда для уравнения (0 3) в области D задача Дирихле не всегда разрешима, есіественно заменить условие ограниченности
lim U(x, у) условием у-» о
\imJj(x,y)U{x,y) = <р{х), где ф(х,у) - известная функция, причем \\тф(х,у) = 0, а (р(х) - заданная
У—>0
непрерывная функция. В іакой постановке краевая задача для уравнения
(О 3) была впервые сформулирована А. В. Бицадзе [5]. Зіа краевая задача
была рассмоірена в рабо і ах С. А Терсенева [72] (при m = 1), Хоу Чунь - и
[82], Ян Гуан-цзинь [84], Чень Лян-цзинь [83] (при га > 1) и др.
Для уравнения (0 3) О А Олейник [62] рассмоірела задачу с косой
производной
^- + AU = ip на Г (Л<0) (0.4)
и у
в iex случаях, когда часть границы, совпадающей с линией вырождения, освобождаеіся or граничных условий Н. Д. Введенская [8] для уравнения (0 3) при условии, что для эх ого уравнения всегда разрешима задача Дирихле, и для уравнения (0.2) доказала сущесівование и единсівенносіь решения краевой задачи, в которой на Г поставлено условие (0 4), а на АВ заданы значения искомой функции
С Г Михлин [39] [40] применил вариационные меюды для доказательства разрешимосіи первой краевой задачи для вырождающегося эллип-іического уравнения
^=-!(<*(<)=/м
в ограниченной области D С (хп > 0)
М. И. Вишик [10] - [13] рассмоірел основные краевые задачи для уравнения
дх,
) і.іиіпического в точках х с хп > 0 Эш уравнение изучаеіся в области D, расположенной в хп > 0 и имеющей часть границы Го в плоскости хп = 0.
t,k=l ч ' 1=1
+ c(x)U = f(x),
М. И. Вишик показал, что на постановку первой и второй краевой задачи в основном влияет юлько показатель, аналогичный т (в уравнении (0.3)). Им доказаны теоремы о разрешимости и единственное і и решения этих краевых задач. М. И. Вишик применял меюды функционального анализа. Г Фикера [78] исследовал уравнение
і а'*[х]Ь+ к(х)д+с{х)и=Пх)- (о 5)
г,к=1 г к t=l г
Показал, что постановка краевой задачи для уравнения (0.5) зависит от коэффициентов уравнения и направления касательной плоскости к границе области Г. Фикера доказал единственноеть решения чакой задачи в классе гладких функций и существование обобщенного решения.
И. Н. Векуа [9] получил явные формулы для решения задачи Дирихле в полуплоскости у > 0 для уравнения
2kd2U d2U п „
Л С. Парасюк [63] получил явные формулы для решения задач Дирихле и Неймана в полупросірансіве хп > 0 (п > 3) для уравнения
d2U Й д2и
п^ + Ет^ = 0 (о<*<2)-
Хпдх2 %дх1
Одним и5 представителей вырождающихся эллиптических уравнений іпорого рода является уравнение вида
d2U d2U dU А ,
которое впервые было рассмотрено И Л Каролем [25] Им были построены фундаментальные решения эюго уравнения Позже, Р С Хайруллин в работе [80] с помощью этих фундамешальных решений исследовал основные краевые задачи для этого же уравнения.
Далее, в работе Р М Асхатова [1] исследованы методом потенциалов ос новные краевые задачи для уравнения
d2U 2d2U . dU п ,п , .
Таким обра юм, основные краевые задачи для мноюмерных вырождающихся -эллин шческих уравнений в юрою порядка меюдом поіенциалов до сих пор еще исследованы не были.
Данная диссеріационная работ посвящена исследованию основных краевых задач для вырождающихся жлишических уравнений
где а > 1, р > 3,
р~1 г)2! J г)2П
где т > 0, р > 3,
где 0 < а < 1, р > 3,
;'-1 г)2/'/ г)2 /7
*»№)] = 97 + ^ = .
где т > 4, /; > 3, меюдом потенциалов.
Среди меюдов решения краевых задач для вырождающихся -шпш-іических уравнений серьезною внимания заслуживает мегод потенциалов Суп> -)1010 меюда ыкова- решение 'задачи ищеіся в виде суммы -заранее нос і роенных иоіенциалов с неопределенными ИЛОІНОСІЯМИ. Заіем. іребуя, чтобы она удовлеівормла краевым условиям, получают огноешелыю )іих плошек і ей сие і ему ишегральных уравнений. Меюд ноіенциалов неодно-крапю применялся разными авюрами к решению краевых задач для -эллиптических уравнений как в юрою порядка, іак и высших порядков и сие і ем
В наших рабо і ах [42] [60] построены и применены покчщиалы просю-ю и двойною слоев к исследованию краевых 'задач для вышеперечисленных вырождающихся эллиптических уравнений.
Целью данной работы являеіся дока за і ел ьсі во сущеспзования един-С1ВЄПНОЮ решения основных краевых 'задач для вышеуказанных вырождающихся мноюмерных -шіипіических уравнений первою и в юрою родов
Диссертация сосюиг из введения, четырех глав и списка литературы В первой главі рассматривается вырождающееся эллиптическое уравнение
где а > 1, р > 3. Строится фундаменіальное решение уравнения, которое имеет чакие же особенности, ч!о и для уравнения Лапласа С помощью это-ю ф р. строятся потенциалы просюїо и двойного слоев. Вычисляются предельные значения этих потенциалов. Изучаются краевые задачи Дирихле и Неймана для уравнения (0 б) Доказывается единственность их решения. С помощью введенных потенциалов внуїренние и внешние краевые задачи Дирихле и Неймана сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода Доказывается однозначная разрешимость интегральных уравнений.
В 1 выводятся первая и вторая формулы Грина для оператора Та. В 2 строится фундаментальное решение уравнения (0 6). В 3 дается интегральное представление решения данною уравнения В 4 изучаются некоюрые свойства решения уравнения (0.G), в частности, доказывав!ся очень важная для последующих исследований теорема о принципе максимума
Теорема 1.1 (принцип максимума) Пусть U Є C2(D) П C(D) — решение уравнения (1 1), удовлетворяющее условию и{х) = о (41){р 2)) при хр -> 0, тогда функция U(x) достигает своего положительного наибольшего и отрицательного наименьшего значений на границе Г, если она тооїсдественно не равна нулю.
В 5 даются постановки основных краевых задач для уравнения (0.6) и доказывав!ся единственность их решения. Ставятся следующие краевые задачи:
Внутренняя задача Дирихле (Задача Д). Требуется найти функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям*
U{x)eC2{D)f]C(D),
TQ[U(x)] = Q, xeD, сУ(2;) = О (4а-1№"2)) при Хр -» О,
U\r = f(x),f(x)eCa(T),
где Са(Г) — множество функций /(ж), заданных на Г и удовлетворяющих
,(«-1)(р-2)
при хр —> 0.
условиям f(x) Є С (Г) и f(x) = О (хр
Внешняя задача Дирихле (Задача De). Требуется найти функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям:
U(x)eC2{De)nC(De),
Ta[U{x)] = 0, xEDe,
U{x) = О (4Q_1)(P_2)) пРи хр -> 0,
U = 0 (р;0(р_2)) при г -> со,
и\г = /М, /М є с„(г).
Внутренняя задача Неймана (Задача Nt). Требуеіся най і и функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям:
U(x)eC2{D)r\Cl{D),
Ta[U{x)} = 01 х Є D, U(x) = О (хра~1){р-2)^ при Хр -> 0,
Ап\и{х))\^ = фІ /меед.
Здесь Ап внешняя конормаль
Внешняя задача Неймана (Задача Ne) Требуется найти функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям:
U{x)eC2{D()nCl{D(),
Ta[U(x)] = 0, хе Dn
U(x) = О (4a_1)(p_2)) при xp -> 0,
U = 0 [p~t2)) при г -> оо,
Л0[С/(я)]|г = р(я:), у>(яг) Є Са(Г).
Здесь Ла - конормаль, направленная во вне области D. Доказывается единственность решения задач Du De, ІУг и Ne.
В 6 с і роя і ся потенциалы пропою и двойною слоев для уравнения (0.6) и изучаю іся их свойства (доказываются лемма Геллере і едта и теоремы о предельном значении этих поіенциалов на границе области):
Лемма 1.2 ( Геллерстедг ) Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол, то
1 = J' Аа[Е{^ x)]dV=<
1, если х Є D\
j, если ж Є Г; 0, если х Є E+\Z) = De.
Теорема 1.6. Если Г - повертиость Ляпунова и образует с гиперплоскостью Хр = 0 прямой угол, то при v Є Са(Г) имеют место следующие предельные соотношения'
где Wt(xo) и Wc(xq) означают предельные значения потенциала двойного слоя W(x) в точке xq Є Г при х —> xq соответственно изнутри и извне границы Г, a W(xq) — прямое значеній потенциала двойного слоя W(x) в точке xq Є Г
Здесь точка Xq Є Г — фиксированная точка границы Т, щ = v(xq).
Теорема 1.7. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью Хр = 0 прямой угол Тогда если плотность її Є Са(Г), то лоте нциал простого слоя V{x) непрерывен в Е*
Теорема 1.8. Пусть Г — повертость Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол Тогда при \і Є Са(Т) имеют место следующие предельные соотношения-
lim AnX0[V(x)} = AaX0{V+(x0)} = ^ + Л0ЗЫ], Hm AQXo{V(x)] = AaX0{V-(xu)} = -^ + A»jvf*o)],
где АпХо\у+(х\))] и АаХо\У~(тъ)] — предельные значения конормальной производной потенциала простого слоя в точке Xq Є Г соответственно изнутри и извне границы Г, /iq = ^(xq), a AaXo[V(xo)] — прямое значение конормальной производной потенциала простого слоя
В 7 задачи Д, Д, Nz и Ne сводя і ся к иніегральньш уравнениям Фредгольма вюрою рода и доказывав і ся их однозначная разрешимость.
Во второй глсшерассмаїриваеіся вырождающееся эллиптическое уравнение первого рода
р~1 г)1!! я2 і і
т*)]=*?Т,Ц+щ = о, (0-7)
где т > 0, р > 3.
Сіроиіся фундаменіальное решение уравнения, коюрое имеет такую же особенность, что и для уравнения Лапласа С помощью ф р строятся поіенциальї просі ого и двойною слоев Вычислякмся предельные значения эх их поіенциалов. Изучаю і ся краевые задачи Дирихле и Неймана для уравнения (0 7). Доказывается единсівенносіь их решения. С помощью введенных иоіенциалов внутренние и внешние краевые задачи Дирихле и Неймана сводяїся к ишегральным уравнениям Фредюльма Доказывался однозначная разрешимость ишегральных уравнений
В 1 сіроиіся фундаменіальное решение уравнения (0.7). В 2 выводятся первая и вторая формулы Грина для оператора L. В 3 дается интегральное представление решения данною уравнения В 4 изучаются некоторые свойства решения уравнения (0.7), в частносіи, доказывается іеорема о принципе максимума
Теорема 2.1 (принцип максимума) Если U(x) Є C2(D) Ґ1 C(D) -решение уравнения (0 7) и удовлетворяет условию U = о(1) при хр —> 0, то функция U(x) достигает своего полооїсительиого наибольшего и отрицательного наименьшего значений на границе Г, если она тождественно не равна пулю
В 5 даются иосіановки основных краевых задач для уравнения (0.7) и доказывается единственность их решения. Ставятся следующие краевые задачи:
Внутренняя задача Дирихле (Задача Д) Требуется най і и функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям*
U{x)eC\D)nC{D),
L[U{x)\ = 0, х Є Д U(x) = о(1) при хр -» О,
= №, fix) є С(Г).
Внешняя задача Дирихле (Задача Д) Требуеіся найти функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям
U(x)eC2(Dc)nC(De),
/(*) =
Ци{х)} = 0, яЄД, U(x) = о(1) при хр -> О, О [(pI)~^+^^>) при г -> оо,
[/
г = /(*), /W є С(Г).
Внутренняя задача Неймана (Задача іУг) Требуеіся най'іи функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям:
U(x)eC2{D)nC\D),
L[U{x)\ = 0, ж Є Д U(x) — о(1) при Хр -л О,
^[/(х)]|г = ^И, /МєС(Г).
Здесь А - внешняя конормаль
Внешняя задача Неймана (Задача Ne) Требуется найти функцию U(x), удовлеіворяющую следующим условиям-
(/WeC'tAjncHA),
L[U(x)] = О, хЄ Д, U(x) = о(1) при хр -*> О,
U{x) = 0 ( (po) V 2 +^И2УЛ лрИ г -> 00,
Л[ї/(г)]|г = ^М, ^(т)єС(Г).
Здесь Л - конормаль, направленная во вне обласіи І)
Доказывается единственность решения задач Д, Д, Nt и iVe.
В 6 строятся потенциалы простого и двойного слоев для уравнения (0.7) и изучаю і ся их свойсіва (формула скачка, предельные значения эгих потенциалов на границе области)
Лемма 2.2 ( Геллереіедт ). Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол, то
1(х) — 1, если х Є Д Ja[{, x)]dT=l /(я)-I, если хе Г;
1(х), если х Є E+\Z) = Д,
-w~№*.
Теорема 2.6. Пусть Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = О прямой угол Тогда при v Є С(Г) имеют место следующие предельные соотношения.
Wt(x0) = -^ + Wfa),
wt(x0) = j+m^),
где Wt(xo) и We(xo) означают предельные значения потенциала двойного слоя W(x) в точке xq Є Г при х —> xq соответственно изнутри и извне границы Г, a W(xq) — прямое значение потенциала двойного слоя W(x) в точке Xq Є Г.
Здесь xq Є Г — фиксированная точка границы Г, щ = v(xq).
Теорема 2.7. Пусть Г — повертость Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол Тогда если плотность ц Є С(Г), то потенциал простого слоя V(x) непрерывен в Е*
Теорема 2.8. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол Тогда при ц Є С (Г) имеют место следующие предельные соотношения.
lim Aro[V(x)] = AXo{V(x0)}t = ^ + ^JV>0)],
hm Л,0[К(х)] = AXo[V(j0)]e = -^ + Л^Ы],
<гс?е Лд;0[У(і;о)]г w Аг0[У(#о)]е — предельные значения конормальной производной потенциала простого слоя в точке хц Є Г соответственно изнутри и извне границы Г, /iq = /і(хо), a AXo[V(xq)} - прямое значение конормальной производной потенциала простого слоя
В 7 задачи Д, Д, Nt и Ne сводятся к интегральным уравнениям Фродгольма второго рода и доказываемся их однозначная разрешимость.
В третьей главе рассматриваемся самосопряженное вырождающееся эллиптическое уравнение
где 0 < а < 1, р > 3
Строится фундаментальное решение уравнения, коюрое имеет такую же особенность, ч'іо и для уравнения Лапласа. С помощью этого ф.р. строятся потенциалы просі ого и двойного слоев Вычисляются предельные значения этих потенциалов Изучаю і ся краевые задачи Дирихле и Неймана для уравнения (0 8) Доказьіваеіся единственное и> их решения. С помощью введенных потенциалов внуїренние и внешние краевые задачи Дирихле и Неймана сводятся к интегральным уравнениям Фредюльма вюрого рода. Доказывался однозначная разрешимость интегральных уравнений.
В 1 выводяіся первая и вюрая формулы Грина для оператора Е. В 2 сіроиіся фундаментальное решение изучаемого уравнения. В 3 дается интегральное представление решения данного уравнения В 4 изучаются некоторые свойства решений уравнения (0 8), в часі носі и, доказывался теорема о принципе максимума
Теорема 3.1 (принцип максимума). Если U(x) Є C2(D)(~)C(D) — решение уравнения (0 8), удовлетворяющая условию U = о(1) при хр -> 0, то
функция U{x) достигает своего положительного наибольшего и отрицательного наименьшего значений на границе Г, если она тождественно не равна нулю
В 5 даются по( ыновки основных краевых задач для уравнения (0.8) и доказывавіся єдинетвешюсль их решения Сіавятся следующие краевые задачи-
Внутренняя задача Дирихле (Задача Д) Требуется найти функцию U(x), удовлеіворяющую следующим условиям
U(x)eC2{D)nC{D),
E[U{x)\ = 0, xeD,
U(x) = o(l) при xp -> 0,
U\r = f(x), f(x) є С(Г).
Внешняя задача Дирихле (Задача Д) Требуется найти функцию U(x), удовлеіворяющую следующим условиям
(У(х)єС2(Д)Пб'(Д),
E[U(x)\ = 0, х Є Д,
U(x) = о(1) при хр -т> 0,
U(x) = О ((/Эо)""^*5^)) при г -> оо,
u\r = /М. /W є с(г).
Внутренняя задача Неймана (Задача Nt) Требуеіся най і и функцию U(x), удовлеіворяющую следующим условиям:
U{x)eC\D)nC1{D):
E[U{x)} = 0, хе Д [/(ж) = о(1) при ж/; -» О,
Л[[/(*)]|г = >(*), /(і)єС(Г). Здесь А внешняя конормаль.
Внешняя задача Неймана (Задача Ne). Требуется нами функцию U(x), удовлеіворяюіцую следующим условиям
U{x)eC2(De)nC1{De),
E[U{x)} = 0, а-єД,,
U{x) = o(l) при xp -» О,
U(x) = О ({рІ)~^+'^Г)Л при г -> оо,
А[и(х)]\т = ф),ф)еС(Т).
Здесь А - конормаль, направленная во вне обласіи D.
Доказывается одинсі венное і ь решения задач Д, Д, Nt и Nc
В 6 сіроятея поіенциальї просіою и двойного слоев для уравнения (О 8) и изучаюіся их свойсіва (доказывается лемма Геллерсіедіа и теоремы о предельном значении этих поіенциалов на границе области):
Лемма 3.2 ( Геллереіедт ). Если Г поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол, то
I = f А[{, x)]dT = <
1, если х Є D\
|, если Є Г;
О, если х Є Efj\Z) = Д
Теорема 3.6. Пусть Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол Тогда при v Є С (Г) имеют место следующие предельные соотношения'
где \г{х[)) и We(xg) означают предельные значения потенциала двойного елоя W(x) в точке хц Є Г при х —> xq соответственно изнутри и извне границы Г, a W(xq) — прямое значение потенциала двойного слоя W{x) в точке хоГ
Здесь xq Є Г — фиксированная точка границы Г; щ = u(xq).
Теорема 3.7. Пусть Г none pi нос ть Ляпунова и обраіует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол Тогда если плотность \і Є С (Г), то потенциал простого слоя V(x) непрерывен в Е+.
Теорема 3.8. Пусть Г — поверпюсть Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол. Тогда при р, Є С (Г) имеют место следующие предельные соотношения-
lim AX0[V(x)} = АХ0[У(х,)]г = ^ + AjV^o)], lim AX0[V(x)} = ATo[V(xo)]< = -^ + A^\xQ)]t
x-*xq Z
sdi АХо[У(л{))]г и AXo[V(xtj)]r предельные значеная ко нормалі) ной производной потенциала простого слоя в точке xq Є Г соответственно изнутри и извне границы V, цо — ^(xq), a AXq[V(xq)} прямое значение конормаль-ной производной потенциала простого слоя
В 7 задачи Д, Д», Nt и Ne сводя і ся к иніегральньїм уравнениям Фредгольма второго рода и доказывается их однозначная разрешимость.
В четвертой главе рассмаїриваеіся вырождающееся эллиптическое уравнение второго рода
„,№)] = E^ + fc = > (0.9)
J=l UXJ UXP
где m > 4, p > 3
Сіроится фундаментальное решение уравнения, коюрое имеет 'іакую же особенность, что и для уравнения Лапласа С помощью ф.р сірояіся поіенциальї простого и двойного слоев Вычисляются предельные значения этих потенциалов. Изучаюіся краевые задачи Дирихле и Неймана для уравнения (0.9). Доказывается единственность их решения. С помощью введенных ноіенциалов внуїренние и внешние краевые задачи Дирихле и Неймана сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Доказывавши однозначная разрешимое іь интегральных уравнений
В 1 строится фундаментальное решение уравнения (0 9) В 2 выводятся первая и вторая формулы Грина для оператора Ет В 3 дается интегральное представление решения данного уравнения. В 4 изучаются некоторые свойства решения уравнения (0 9), в частности, доказывается теорема о принципе максимума
Теорема 4.1. Если С/(аг) Є C2(D) П С(І2) — решение уравнения (О 9) и удовлетворяет условию U = О (хрт г г ) при хр —> 0, то функция U{x) достигает своего полооїсительного наибольшего и отрицательного наименьшего значений на границе Г, если она тождественно не равна нулю.
В 5 даются постановки основных краевых задач для уравнения (0 9) и доказьіваеіся единственность их решения. Ставятся следующие краевые задачи:
Внутренняя задача Дирихле (Задача Д). Требуется найти функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям
U{x)eC2(D)f\C(D),
Em[U(x)\ - 0, а; Є Д U(x) = О (4Ш_2)^+?) при хр -> О,
U\r = f{x), f(x) Є Ст(Г),
где Ст(Г) — множество функций f(x) класса С(Г), удовлетворяющих уело-вию j(x) = О I Хр 2 2 I при хр -» О
Внешняя задача Дирихле (Задача Д.). Требуется найти функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям
U(x)eC2(Dc)r\C(Dc),
Em[U(x)} = 0, ж Є Д.,
гу(х) = о (4m_2)Ef2+?) при я„ -> о,
и{х) = о((р1У^к^!=ъА при г -> оо,
= /W, /W є сцг).
Внутренняя задача Неймана (Задача ІУг). Требуемся найти функцию U(x), удовлетворяющую следующим условиям
U(x)eC2{D)nC1{D),
Em[U(x)} = 0, жбД
U(x) = 0 (xpm 2)^+Ч при xp -» 0,
Am[t/(x)]|r = ^), /(я;)єСт(Г).
Здесь i4m - внешняя конормаль
Внешняя задача Неймана (Задача N(). Требуется найти функцию [/(ж), удовлеіворяющую следующим условиям-
U{x)eC2(Dc)f)Cl(Dt),
Em[U{T)] = 0, xeDe, U{x) = О f4m_2,Ef2+?) при xv -> 0,
[/(я;) = 0((р) (^+^))j при
г -^ 00,
Лп,[/(я;)]г = ^), ф)еСт(Г).
Здесь Лт - конормаль, направленная во вне области D.
Доказывается единственность решения задач Д, Д, iVz и iVe.
В G строятся поіенциальї нросюю и двойного слоев для уравнения (О 9) и изучаюіся их своисіва, в частости, доказываются лемма Геллерстед-ы и іеоремьі о предельном значении эшх потенциалов на границе области:
Лемма 4.2 ( Геллереіедг ) Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = О прямой угол, то
jAm[S(^ x)]dV=<
-1, если х Є Д — |, еа/ш жеГ; О, если х Є EJ\jD = Д.
Теорема 4.6. Пусть Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол Тогда если v Є Ст(Г), то имеют место следующие предельные соотношения
We(x0) = ^ + ЩЫ,
где Wi(x{)) и We(xn) означают предельные значения потенциала двойного слоя W(x) в точке xq Є Г при х —> хо соответственно изнутри и извне границы Г; a W(xq) - прямое значение потенциала двойного слоя W(x) в точке хо Є Г.
Здесь х\] Є Г — фиксированная точка границы Г, щ = v(xq) Теорема 4.7. Пусть Г — поверіность Ляпунова и образует с гитр-плоскостыо хр = 0 прямой угол Тогда если плотность \і Є Ст(Г), то потенциал простого слоя V(x) непрерывен в Е+
Теорема 4.8. Пусть Г — повер тость Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол Тогда если \і Є Cm{Y), то имеют место следующие предельные соотношения'
Jim Amxo[V(x)} = А„1о[КМ], = у + AmjV(xo)},
lim Amxo{V(x)] = Amxo[V(x0)]e = -ff + A„JV^o)],
где A„lz [У{хц))г и Arrh [V(xu)]e ~ предельные значения конормальной производной потенциала простого слоя в точке xq Є Г соответственно изнутри и извне границы Г, //о — h{xq), я А7Пх [V(xq)] - прямое значение конормальной производной потенциала простого слоя
В 7 задачи Дирихле и Неймана для уравнения (0.9) сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма вюрого рода и доказываема их однозначная разрешимое іь
Таково краї кое содержание диссертации. Подводя итоги, сформулируем основные положения, выносимые на защиту.
1. Построение фундаментальных решений для вышеуказанных вырождающихся многомерных эллиптических уравнений
2 Изучение основных своисів решении указанных вырождающихся многомерных эллиптических уравнений второго порядка, в частности, доказательство принципа максимума
3. Доказательство единственное!и решения основных краевых задач д ія указанных вырождающихся мноюмерных эллиптических уравнений второго порядка.
4 Построение поіенциалов для вырождающихся многомерных эллиптических уравнений второго порядка и исследование их основных свойств, в
частости, доказательсіво іеорем о предельных значениях поіенциалов на границе области.
5 Исследование разрешимости основных краевых задач для указанных вырождающихся многомерных эллиптических уравнений второго порядка меюдом потенциалов
Основные результаты докладывались на
двенадцаюй научной межвузовской конференции "Математическое моделирование4 и краевые задачи" (Самара, 2002),
Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, архитектурно-строительная академия, 2002);
іринадцаюи научной межвузовской конференции "Маїемаїическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2003),
шестой Казанской международной леї ней научной школе-конференции (Казань: "УНИПРЕСС", 2003);
третьей всероссийской научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2003" (Казань "УНИПРЕСС", 2003),
Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2004);
Международной молодежной научной конференции (Казань "УНИПРЕСС", 2004),
вюрой Всероссийской конференции "Маїематическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2005),
чеіверюй молодежной научной конференции (Казань "УНИПРЕСС", 2005),
третьей Всероссийской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2006);
втором Международном форуме молодых ученых "Актуальные проблемы современной науки" (Самара, 2006),
пятой молодежной научной конференции (Казань- "УНИПРЕСС", 2006),
научных семинарах при кафедре маїемагическоіо анализа ТГГПУ;
научно-пракіических июговых конференциях при кафедре дифференциальных уравнений КРУ
Основные резулыаш опубликованы в работах авюра [42J — [60] В заключение выражаю ілубокую блаїодарнос іь моему научному руководителю заслуженному деятелю науки РТ, профессору Ф.Г.Мухлисову за помощь и совеїьі, коюрые он оказывал мне в период написания этой работы.
Похожие диссертации на Решение основных краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов
