Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена построению точных решений полупространственных граничных задач для векторного модельного кинетического уравнения вида
Л^У(.,р) + ЕГ(»|;*Н
1 +0 /)
= -±= j е^п\СУ{х,ц!) + o/iE-^lW)] ф'. (1)
Здесь с > 0, fi Є (-оо,0)и(0,+оо), а - числовой параметр, С ='[су], (i,j = 1,2) - квадратная матрица, причем detC = О, Е - диагональная матрица второго порядка.
И связи с тем, что к решению уравнения (I) приводят различные задачи кинетической теории, это уравнение представляет собой определенный математический интерес.
Кот уже пятнадцать лет в кинетической теории и смежных с ней областях используется уравнение вида (1) и несущественно отличающиеся от него. Актуальность данной работы объясняется отсутствием до настоящего времени точных решений граничных задач для уравнения (1).
Целью работы является построение теории ингегродифференци-ального уравнения (1), а также вывод с помощью построенной теории точного решения для уравнения (1) с граничными условиями
У(0,/0=Уо(*0, М>0, . (2)
" М<0, (3)
У(со,^) = а0
где Y0(ji) - заданная вектор-функция с такими элементами, что р.ё~* Yoifi) удовлетворяет условию Гельдера при 0 < ц < со, а вектор [а 1]т есть решение исходного уравнения (1). Коэффициент а0 находится в процессе решения граничной задачи.
Для достижения этой цели сначала строится теория решения граничных задач для скалярного интегродифференци ального уравнения
ц— Ф(г,/х)+ *(*,/*) =
1 +0 Я
= 4=/e~*>(*./0 + «/»*(*,MW. . (4)
Здесь неизвестной является скалярная функция Ф(я,/*'). Ядро уравнения (4) K(x,fi) — 1 + ot/ijj ниже иногда называется полулинейным.
Теория решения уравнения (4) строится двумя способами. Первый способ основан на методах краевых задач теории аналитических функций. Второй - на соотношениях ортогональности собственных функций соответствующего характеристического уравнения. Показывается, что результаты, полученные двумя указанными способами, совпадают.
Вторая часть работы посвящена построению точных решений граничных задач для векторного уравнения (1).
Здесь рассматривается граничная задача (1), (2) и (3). Как следствие из лее выводится точное решение задачи Крамерса, состоящей в решении задачи (1) с граничными условиями
Го]
Y{0,fi) =
/i>0, . (5)
Y(oo,m) = а0
+ аіц
97і
ц < 0. (6)
Научная и практическая ценность работы. Введен в рассмотрение как математический объект новый класс интегродифференци-альных уравнений. Разработаны методы решения граничных задач для уравнений (1) и (4). В работе рассмотрен широкий класс граничных задач. Так, на границе полупространства задается Гельдеровская функция, в отличие от. полиномов, задаваемых в конкретных физических задачах.
В качестве приложения получено аналитическое решение одной из классических задач кинетической теории - задачи Крамерса, которая с физической точки зрения состоит в определении скорости изотермического скольжения умеренно плотного бинарного газа вдоль плоской поверхности (см., например [1] - [4]).
Научная новизна. Для решения граничных задач в настоящей работе используется метод разложения решения по собственным сингулярным обобщенным функциям соответствующего характеристического уравнения. Основы этого метода были заложены в фундаментальной работе Кейза К. [2], посвященной вопросам теории переноса.
Черчиньяни К. на основе теории Кейза построил соответствующую математическую теорию решения граничных задач для одного класса одномерных односкоростных кинетических уравнений |3]. В этой работе Черчиньяни К. получил аналитическое решение задачи Крамерса
для одноатомных разреженных газов, то есть для уравнения (4) при а=0.
Уравнение вида (4) впервые встречается в работах Латышева А.В. и Юшканова А.А. [4] и Латышева А.В. [5], где решаются конкретные граничные задачи.
Уравнение (1) может быть выведено из соответствующего уравнения работы [б]. Кроме того, вывод уравнения (1) другим способом был дан нами в работе [4] (см. список работ, опубликованных по теме диссертации).
В настоящей работе впервые построена теория решения граничных задач для уравнений (1) и (4).
Все результаты, излагаемые в диссертации, получены впервые.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на
Российской научной конференции с участием зарубежных ученых "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и др. средах" (28 - 30 июня 1994 г., Тверь, Тверской государственный технический университет);
Международном Аэрозольном Симпозиуме (21 - 25 марта І994 г., Москва, Институт физической химии им. Л.Я. Карпова);
Научно-технической конференции с участием зарубежных специалистов "Вакуумная наука и техника" (октябрь 1994 г., Москва, Московский государственный институт электроники и математики);
Второй международной конференции "Математика, компьютер, образование" (27 февраля - 3 марта 1995 г., Москва - Пушино, Московский государственный университет);
ежегодной научной конференции профессорско-преподавательского состава Московского педагогического университета (1994 г., Моск-ва).
Основные результаты полностью опубликованы.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 162 страницы текста, в том числе 1 рисунок. Список литературы содержит 104 наименования.
