Введение к работе
Актуальность работы. Диссертация посвящепа изучению математических вопросов равновесия многофазовой упругой среды при наличии специальных ограничений на поле смещений. Многофазовые среды отличаются от однофазовых тем, что под влиянием внешних сил или внутренних напряжений могут скачкообразно менять свои свойства. Каждому состоянию будет соответствовать своя плотность энергии деформации. Мы в дальнейшем ограничимся случаем, когда таких состояний два. Таким образом, мы будем изучать двухфазовую среду, индексируя каждую из фаз символом + или —. В задаче о равновесии двухфазовой упругой среды неизвестным является не только поле смещений, но и местоположение каждой из фаз, задаваемое при помощи характеристической функции. Таким образом, функционал энергии деформации всей среды будет равен сумме интегралов по множествам, в которых локализованы фазы от плотностей энергии деформации каждой из фаз. Основная трудность, с которой приходится иметь дело при изучении такого рода функционала это то, что в общем случае, (без специальных ограничений на плотности) он может не быть слабо полунепрерывным снизу, и, следовательно, для него могут не существовать состояния равновесия. Для преодоления этой трудности мы будем пользоваться регуляризацией функционала энергии среды при помощи поверхностной энергии границы раздела фаз. Физическая мотивация такого подхода описана в [1]. Возможны другие способы регуляризации функционала энергии. В данной работе исследуется также регуляризация функционала энергии деформации при помощи интеграла от старших производных, такой метод регуляризации использовался в [2]. Интеграл от старших производных рассматривается как штраф на образование границы раздела фаз. Возможен подход, при котором плотность заменяется па ее слабо полунепрерывную снизу регуляризацию, при этом объектом исследования являются минимизирующие последовательности, см. [3]. В [4] используется расширение функционала при которм в качестве предельных точек минимизирующей последовательности можно рассматривать меры Юнга.
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С. Петеру
Двухфазовая задача, регуляриэоваппая с помощью площади поверхности границы раздела фаз изучалась в [5]. Целью предлагаемой диссертации является изучение этой же регуляризации при наборе ограничений на поле смещений. С математической точки зрения это приводит к тому, что местоположение фаз и поле смещений перестают быть независимыми аргументами функционала энергии. Примером такого ограничения являются ограничения, возникающие в задаче об образовании абсолютно жесткой фазы [5]. Работа посвящена изучению класса новых ограничений, имеющих механический смысл.
Цель работы. Целью диссертации является исследование нескольких задач о фазовых перходах в области и на границе области при дополнительных ограничениях на поле смещений и на местоположение одной из фаз. Проводится доказательство существования состояния равновесия и выводятся уравнения равновесия как в слабой форме, так и при дополнительных условиях на гладкость плотностей энергии деформации, поле смещений и границу раздела фаз. С точки зрения механики ограничения на плотности энергии деформации соответствуют геометрически линейной и физически нелинейной упругой среде.
Методика исследований. Основным математическим аппаратом при изучении поставленной задачи являются прямые методы вариационного исчисления. Так же активно используются свойства функций из пространства BV (функции с ограниченной вариацией) и множеств Каччогаюли (см. [6]). В работе использовались результаты из теории возмущения оператора div (см. [8]).
Научная новизна и значимость работы. Представлепные в диссертации результаты получены в период с 2000 по 2003 год и все они являются новыми. Работа носит теоретический характер, она дополняет теорию фазовых переходов в механике сплошных сред. Впервые получены теоремы существования и необходимые условия состояния равновесия для задач фазовых переходах при различных условиях связи. Определено пространство функций ограниченной вариации на границе области и исследованы его основные свойства. Часть полученных в диссертации результатов является обобщением результатов для двухфазовой задачи, подробно изученной
в работе [5].
Практическая значимость работы определяется возможностью применения полученных результатов при изучении процессов фазовых переходов в двухфазовых упругих средах.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на заседании кафедры математической физики ма-тематико-механического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано три печатные работы [1], [2], [3]. В совместной с Михайловым А.С. работе [1], автору диссертации принадлежат результаты, касающиеся задачи со специальными ограничениями (2 Задача со специальными ограничениями, 3 Задача со специальными ограничениями и 5 Пример).
Структура и объем работы. Диссертациоіпіая работа, объемом 79 страниц, состоит из четырех глав и списка литературы, содержащего 16 наименований.
