Параметрические задачи субоптимального управления гиперболическими системами с фазовыми ограничениями Гаврилов Владимир Сергеевич

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Гаврилов Владимир Сергеевич. Параметрические задачи субоптимального управления гиперболическими системами с фазовыми ограничениями : Дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.02 : Н. Новгород, 2004 162 c. РГБ ОД, 61:05-1/364

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1 Абстрактная теория . 22

1.1 Необходимые условия на субоптимальные элементы для функционала типа максимума 22

1.2 Абстрактная параметрическая задача оптимизации 27

1.2.1 Постановка задачи. Минимизирующие приближённые решения 27

1.2.2 Аксиоматика 28

1.2.3 Необходимые условия на элементы МПР. 32

1.2.4 Необходимые условия оптимальности 42

1.3 Функция значений и её свойства 44

1.3.1 Пол у непрерывность снизу функции значений 45

1.3.2 Аппроксимация задачи с функциональными и с поточечными фазовыми ограничениями. Субдифференциалы функции значений аппроксимирующей задачи 45

Глава 2 Задача субоптимального управления линейным гиперболическим уравнением дивергентного вида с однородным краевым условием Дирихле . 59

2.1 Постановка задачи 59

2.2 Вспомогательные результаты 61

2.2.1 Основное уравнение и метрическое пространство управлений 61

2.2.2 Сопряжённые уравнения для целевого функционала и функциональных ограничений 63

2.2.3 Сопряжённые уравнения для оператора поточечных фазовых ограничений 66

2.2.4 Подсчёт первых вариаций и проверка выполнения абстрактной аксиоматики 82

2.3 Необходимые условия на элементы МПР 95

2.4 Необходимые условия оптимальности 96

2.5 Достаточные условия на элементы МПР и условия нормальности 97

2.6 Аппроксимация задачи с функциональными и с поточечными фазовыми ограничениями.

Нормали Фреше, субдифференциалы функции значений аппроксимирующей задачи 102

2.7 Иллюстративный пример 105

Глава 3 Задача субоптимального управления системой Гурса—Дарбу . 107

3.1 Постановка задачи 107

3.2 Вспомогательные результаты 108

3.2.1 Основное уравнение и метрическое пространство управлений . 108

3.2.2 Сопряжённые уравнения для целевого функционала 110

3.2.3 Сопряжённые уравнения для оператора поточечных фазовых ограничений 113

3.2.4 Подсчёт первых вариаций и проверка выполнения абстрактной аксиоматики 115

3.3 Необходимые условия на элементы МПР. 121

3.4 Необходимые условия оптимальности 122

3.5 Достаточные условия на элементы МПР и условия нормальности 123

3.6 Аппроксимация задачи с функциональными и с поточечными фазовы ми ограничениями. Нормали Фреше, субдифферепциалы функции значений аппроксими рующей задачи 126

3.7 Иллюстративный пример 129

Глава 4 Численный алгоритм для решения задач с ПФО . 131

4.1 Абстрактная теория 131

4.1.1 Постановка абстрактной задачи с поточечными фазовыми ограничениями 131

4.1.2 Аппроксимирующая задача 132

4.1.3 Набросок численного метода в абстрактном случае 133

4.2 Набросок численного метода решения задачи оптимального управления гиперболическим уравнением дивергентного вида с однородным краевым условием Дирихле 142

4.2.1 Постановка задачи с поточечными фазовыми ограничениями

4.2.2 Постановка аппроксимирующей задачи 144

4.2.3 Основное уравнение и гильбертово пространство управлений

4.2.4 Представления приращений 147

4.2.5 Подсчёт градиентов 148

4.2.6 Набросок численного метода 149

Литература 150

Аппроксимация задачи с функциональными и с поточечными фазовыми ограничениями. Субдифференциалы функции значений аппроксимирующей задачи
Сопряжённые уравнения для целевого функционала и функциональных ограничений
Подсчёт первых вариаций и проверка выполнения абстрактной аксиоматики
Набросок численного метода решения задачи оптимального управления гиперболическим уравнением дивергентного вида с однородным краевым условием Дирихле

Введение к работе

Общая характеристика диссертации Диссертация посвящена развитию теории параметрических задач субоптимального управления гиперболическими системами с поточечными фазовыми ограничениями (ПФО). Иными словами, в пей рассматриваются задачи оптимизации, зависящие от параметров. В этих задачах в качестве основного (искомого) элемента теории рассматривается минимизирующая последовательность (МП) допустимых управлений.

Актуальность темы. К задачам оптимального управлении с ПФО в течение вот уже сорока лет проявляется большой интерес. Их изучение началось с задач оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Различный вклад в исследования в этом направлении внесли Арутюнов А.В., Асеев СМ., Благодатских В.PL, Васильев Ф.П., Гамкрелидзе Р.В., Дмитрук А.В, Дубо-вицкий А.Я., Иоффе А.Д., Матвеев А.С., Милютин А.А., Никольский М.С., Плотников В.И., Сумин М.И., Тихомиров В.М., Тонкое Е.Л., Якубович В.А., Clarke F.H., Vinter R.B. и др..

ся на понятие повторного предельного перехода и классические дифференциальные свойства обобщённо дифференцируемых (в смысле Соболева С.Л.) функций. Важно отметить также, что основная направленность работ, посвященных изучению задач оптимального управления распределёнными системами с ПФО, состоит в получении лишь необходимых условий. Значительно меньшее внимание было уделено таким классическим вопросам теории оптимизации, как вопросы субоптимальности, регулярности, нормальности, дифференциальных свойств функции значений, построения численных алгоритмов для решения указанного класса задач оптимального управления, и т.п. [150, 110,109], Всем этим вопросам применительно к задачам оптимизации гиперболических систем в настоящей работе уделяется центральное внимание.

В качестве „искомого элемента" теории в диссертационной работе рассматриваются не оптимальные управления (классические или обобщённые), а минимизирующие последовательности обычных (измеримых по Лебегу) управлений, в роли которых выступают так называемые минимизирующие приближенные решения (МПР) в смысле Варги Дж. [9], т.е. МП, удовлетворяющие ограничениям лишь „в пределе". Это говорит о том, что выбранное в диссертации направление исследования является составной частью исследований по теории субоптимального управления распределенными системами, устойчивый интерес к которой наблюдается на протяжении, по крайней мере, последних двадцати лет. За это время различный вклад в развитие этой теории был внесен такими математиками, как Плотников В.Ы., Сумин М.И., Barbu V., Fattorini Н.О., Frankowska H., Mordukhovich B.S. и др.. Отметим, что использование понятия МПР является выгодным, в частности, потому, что: а) МПР всегда существует; Ь) позволяет записывать все результаты в терминах расширенной задачи ([30, 31, 9]), если такое расширение возможно; с) адекватно теории численных методов; d) удобно с прикладной (инженерной) точки зрения (подробности см., например, в монографии [9]).

Важность и актуальность развития теории субоптимального управления распределенными системами объясняется тем, что, в общей нелинейной ситуации распределенных систем и, в частности, гиперболических, имеются простые примеры оптимизационных задач [109], [15], в которых не существует классических оптимальных управлений, и которые не могут быть расширены в каком-либо естественном смысле (Гамкрелидзе Р.В., Варга Дж., Филиппов А.Ф., Янг Л.). Одновременно можно утверждать, что такая ситуация характерна, по сути дела, для задач оптимального управления, связанных со всеми нелинейными распределенными системами. Заметим, в частности, что на важность развития теории суботималыюго управления указывается в монографии Гурмана В.И. [36]; более того, на важность дальнейшего развития теории субоптимального управлення было указано в решении международного симпозиума „Обобщённые решения в задачах управления (GSCP-2002)", проходившем в Переелавде-Залесском с 27 по 31 августа 2002г.. Отметим также, что в самое последнее время некоторые частные результаты в теории субоитимального управления распределенными системами были получены в работах Серовайского С.Я. (см., например, [91]). Подобные примеры говорят о том, что естественным ВЫХОДОМ из этой ситуации является использование МП в качестве основного элемента теории. В приводимом ниже примере задачах оптимального управления не существует обычного измеримого по Лебегу оптимального управления, однако задача допускает расшире-

ниє в смысле Гамкрелидзе Р.В., Варги Дж..

Пример 0.1. Рассмотрим задачу оптимального управления

Io{u)= f [z²(x,t)-u²{x_>t)]dxdt^mi, u(x,t) є [-1, +1] n.e.eQ, Q = (Q, l)x(0, 1),

ztt ~ г = u(x, t), ^(0, t) = z(l,t) = 0, z(x,Q) = 0, z_t(x,0) = 0, (x, t) Є Q.

Специфика такой хорошо извест?юй конструкции функционала такова, что в этой задаче нижняя грань равна —1. Очевидно, что она не достигается ни на каком обычном управлении. Кроме того, нетрудно видеть, что последовательность и¹, г = 1,2,..., определяемая равенствами

^U ^^Ъ) - \ -1, * Є (#, і), х Є (0, 1), 3=8,4,...,%; г = 1,2,..., ^^iJ

является лшн «Авизирующей и ^ля неё выполняется предельное соотіюшение Іо(и^х) ~~* —1, г —) со.

Б только что приведённом примере не существовало классического оптимального управления, ио задача допускала расширение в смысле Варги [9]. Приведём теперь пример, говорящий о том, что расширения в каком-либо естественном смысле (Р.В.Гамкрелидзе, Дж.Варга, А.Ф.Филиппов, Л.Янг) может и не существовать.

Пример 0.2. Пусть имеется задача

I₀(u) = z₂[u](l, 1) -> inf, h(u)(x, у) ~ -гі[и](я, у) < 0, (х, j,)H=[0,l]x[0,l]; Zixy = {z_lv + 1)и(х, у), z_2xy = zi- u²(x, у), z(0_} у) = z{x, 0) = 0; z = (z_lt z₂), u(x, y)eU = [-1, +1], (x, у) Є П = [0, 1] x [0, 1].

Легко показать, что в этой задаче не существует измеримого по Лебегу оптимального управления и что значение задачи равно —1. Т.к.

г[и](х, у) = / (ехр( / и(&, &) d&) - 1) d._u

Jo Jo

то можно заметить, что последовательность

vHx v) = { ⁺¹' ^ХЄ < V #' ^У ^Є ^[0' ^1]' 3⁼¹Л-.. ,Sirl; ,

^v ^{ ^,^у) - { -і, хб(Ь і), _ff [о, і], 3=2,4,-,*; = 1,2,..., ^^J

является минимизирующим приближенным решением и для нее выполняется предельное соотношение /о (и*) ""* ^—1) ї ~+ > ⁶ ^то вр&мл кок для последовательности

^К ^х>У>-\-1, у Є (^, ),іЄ[0, 1],,=2Л,...,І*; . = 1,2,..., ^^J

указанное предельное соотношение ив выполняется. Можно утверждать также, что первая из отмеченных последовательностей" удовлетворяет принципу максимума для минимизирующих приближенных решений [15], [86] , а вторая - нет. В то оке время, обе эти последовательности управлений, как нетрудно видеть, сходятся в слабой норме \ |_ш (см. [9], (31J) к одному и тому же обобщенному

управлению f(x,y) = |(-i + 5₊_г). Итак, подчеркнем, что в данном примере разные последовательности управлений сходятся к одному и тому же обобщенному управлению, но одна из них является МПР и идентифицируется с помощью принципа максимума, а другая таковой не является.

Как уже отмечено выше, в диссертации рассматриваются задачи субоптимального управления гиперболическими системами с параметром- Этот параметр является функциональным, принадлежит классу непрерывных функций и аддитивно входит в ПФО задачи. Аналогичные задачи для эллиптических и параболичеких уравнений рассматривались ранее в работах Сумина М.И, [150, 110, 109]. Изучение параметрических задач, в соответствии с общей идеологией метода возмущений (см., например, с.263 книги [1]), даёт возможность рассматривать соответствующие функции (функционалы) значений как функции параметра и, основываясь на их специфических дифференциальных свойствах, получать информацию „в целом" о семействе и, как следствие, во многих важных частных случаях о каждой конкретной задаче отдельно.

Отметим, что эффективное изучение параметрических задач оптимального управления нелинейными распределенными системами, по сути дела, невозможно без использования понятия МПР, ещё и потому, что порождаемая именно таким понятием МП функция значений в самой общей ситуации является полунепрерывной снизу. В то же Бремя функция значений, порождаемая классическим понятием МП, элементы которой удовлетворяют ограничениям в точном смысле, таким свойством, вообще говоря, не обладает. Данное обстоятельство позволяет применить к исследованию оптимизационных задач аппарат негладкого анализа, а именно, анализа нормалей (проксимальных нормалей, нормалей Фреше) к замкнутым множествам в банаховых пространствах и обобщённого дифференцирования негладких (полунепрерывных снизу) функций в банаховых пространствах (см., например, [53, 118, 67, 139]). В данной диссертации существенно используется именно понятие нормали Фреше а также субдифференциалов в смысле работ (67, 139]). Заметим, что эти субдифференциалы представляют собой более тонкие конструкции по сравнению с субдифференциалами в смысле Кларка [112].

Все работы, посвященные изучению задач оптимального управления распределенными системами с ПФО, можно условно разделить на две группы. В работах первой группы, к которой относится большинство работ указанного направления, оператор ПФО рассматривается как „единый объект" — операторное ограничение в каком-либо подходящем классе функций. В работах второй группы [150, 110], опирающихся на идею работы [100], оператор ПФО трактуется как бесчисленное множество функциональных ограничений. Такая трактовка ПФО позволяет аппроксимировать, с помощью вариационного принципа Экланда [127], задачу с ПФО последовательностью задач, в каждой из которых число функциональных ограничений конечно, с последующим предельным переходом в семействе необходимых условий (с}б)оптималыюстц при стремлении числа функциональных ограничений к бесконечности. Выгода такого подхода основывается на использовании преимуществ аппроксимирующих задач с ограничениями в конечномерных пространствах, и заключается в получении результатов по более широкому спектру классических оптимизационных вопросов в исходных задачах с ПФО (регулярность, нормальность, чувствительность, числен-

ные алгоритмы), нежели при первом подходе, трактующем ПФО как сугубо операторное ограничение. Данная диссертационная работа принадлежит ко второй из двух указанных групп работ.

Цель диссертационной работы состоит в построении теории субоптимального управления гиперболическими системами с ПФО, включающей в себя следующие основные моменты: необходимые и достаточные условия на МП; условия нормальности и регулярности; дифференциальные свойства функции значений; численный алгоритм решения задач оптимального управления с ПФО.

Методы исследования В работе использованы методы теории оптимального управления, функционального анализа, негладкого анализа, теории функций действительного переменного, теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Научная новизна и основные результаты Автором получены следующие новые результаты:

Предложена абстрактная схема исследования задач (суб)оптимального управления с ПФО. Эта абстрактная схема является модификацией предложенной Суминым М.И. в работах [106, 109] общей схемы исследования задач субоптимального управления системами с распределёнными параметрами, нацеленной именно на оптимизационные задачи с ПФО в пространстве непрерывных функций. Эффективность предложенной модификации продемонстрирована на задачах (суб)оптимального управления для гиперболического уравнения дивергентного вида и системы Гурса-Дарбу.
На основе указанных выше абстрактных результатов получены необходимые и достаточные условия на элементы МПР (в частности, необходимые и достаточные условия оптимальности) в задачах оптимального управления гиперболическим уравнением дивергентного вида и системой Гурса-Дарбу с ПФО в пространствах непрерывных функций. С целью получения необходимых условий в оптимизационных задачах для гиперболических уравнений дивергентного вида применен новый для этого класса задач тип так называемого двухпара-метрического варьирования функционалов [98, 102, 103, 109], основанный на идее повторного предельного перехода и позволяющий получать необходимые условия (суб)оптимальности при естественных для гиперболических уравнений условиях на исходные данные. Получены различные результаты, связанные с аппроксимацией задач с ПФО задачами с конечным числом функциональных ограничений, а также со свойствами регулярности, нормальности, чувствительности задач оптимального управления гиперболическими уравнениями с ПФО.
Как приложение абстрактных результатов, разработан численный алгоритм решения линейно-выпуклых задач оптимального управления с ПФО. Данный алгоритм основан на аппроксимации исходной задачи с ПФО задачами, в каждой из которых число функциональных ограничений конечно, и применении дли

решения каждой аппроксимирующей задачи метода точного недифференциру-емого штрафа. Для предложенного метода получены оценки степени близости как но функционалу, так и по ограничениям, определяемые лишь „внутренними свойствами" управляемой системы и её исходными данными.

Степень обоснования результатов диссертации Все научные положения и выводы диссертационной работы строго математически обоснованы. Результаты, полученные в диссертации, хорошо согласуются с работами других авторов в области математической теории оптимального управления распределёнными системами, как отечественных, так и зарубежных.

Теоретическая и практическая ценность Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть применены в теории оптимального управления: 1) при теоретическом исследовании многих сложных конкретных задач с различного рода функциональными и операторными ограничениями; 2) при численном решении различных задач оптимального управления гиперболическими системами на основе предложенного численного алгоритма.

Результаты диссертации явились составной частью результатов работы, выполнявшейся при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) и Конкурсного центра фундаментального естествознания (КЦФЕ) Минобразования РФ при Санкт-Петербургском госуниверситете:

1998-2000 г.г. - грант РФФИ (проект .№98-01-00793), тема „Теория субоптимального управления распределенными системами: минимизирующие последовательности, операторные ограничения, граничные управления, численные методы" (рук. проф. Сумин М.И.);

2001-2003 г.г. - грант РФФИ (проект №01-01-00979), тема „Оптимальное управление вольтерровыми функциональными уравнениями: теория и приложения" (рук. проф. Сумин В,И.);

2003-2004 г.г. - грант КЦФЕ (проект №Е02-1.0-173), тема „Субоптимальное управление распределенными системами: операторные ограничения, граничные управления, численные алгоритмы, регуляризация, обратные задачи" (рук. проф. Сумин M.IL);

2004-2006 г.г. - грант РФФИ (проект №04-01-00460), тема „Субоптимальное управление распределенными системами с операторными ограничениями и граничными управлениями: теория и алгоритмы" (рук. проф. Сумин М.И.).

Апробация работы Результаты диссертации докладывались и обсуждались на симпозиуме „Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках", посвященном 80-летию Красносельского (Воронеж, 2000); на IV, V, VI Нижегородских сессииях мачодых учёных (Саров, 1999, 2000, 2001); на XI, XII, ХШ, XIV, XV весенних воронежских шкалах ,Донтряпшские чтения", (Воронеж, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004); XXIII Конференции молодых учёных механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2001); международной молодёжной научной школе-конференции "Лобачевские чтения—2002'" Казань, 2002.

По теме диссертации неоднократно делались доклады на семинаре по математической теории оптимального управления (рук. проф. В.И.Сумии, проф. Сумин М.И., 1999-2004). Результаты диссертации докладывались также на семинаре в Московском государственном университете (рук. д.ф.-м.н. Антипин А.С, проф. Ф.П.Васильев, доц. Потапов М.М., 2003); на семинаре в Удмуртском государственном университете (рук. проф. Тонков Е.Л., 2003).

Публикации Постановки задач и общее научное руководство исследованиями принадлежат Сумину М.И.. Доказательства всех теорем принадлежат диссертанту.

Структура и объём работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, а также списка литературы из 155 наименований. Объём работы 165 страниц.

Краткое содержание работы Диссертация состоит из четырёх глав. В первой главе диссертации, состоящей из трёх разделов, изучается абстрактная задача минимизации с аддитивно зависящим от параметра ограничением типа неравенства, рассматриваемом в множестве непрерывных на компактном метрическом пространстве Р функций. (Здесь приводится упрощённая формулировка задачи, в которой присутствует лишь скалярное ПФО). Аксиоматика задачи нацелена на изучение задач оптимального управления с ПФО и на получение в них результатов, связанных с необходимыми и достаточными условиями на МПР, а также со свойствами регулярности, нормальности, чувствительности этих задач и на построение численных методов их решения. Указанная аксиоматика является модификацией аксиоматики работ [106, 109]. Она развивает на абстрактном уровне метод получения необходимых условий на элементы МП работы [100], основанный на аппроксимации исходной задачи с ПФО задачами, в каждой из которых число функциональных ограничений конечно, и вариационном принципе Экланда [127].

В разделе 1.1 приводится используемый во всех дальнейших построениях первой главы результат о необходимых условиях субоптимальности для функционала тина максимума от конечного числа функционалов оптимального управления традиционного вида.

В разделе 1.2 рассматривается абстрактная параметрическая задача, причем в качестве „искомого" элемента выступает МПР в смысле Варги Дж. [9]. Здесь приводится постановка абстрактной задачи и формулируется абстрактная аксиоматика. Кроме того, для этой абстрактной задачи получены необходимые условия (суб)оптимальности, т.е. необходимые условия на МПР. Приведём упрощённую постановку рассматриваемой задачи.

Пусть V — полное метрическое пространство, Р — компактное метрическое пространство, Іі : V — С(Р) — равномерно непрерывный оператор.

Рассматривается параметрическая задача оптимизации

h(и) -» inf, ы Є Т>, Д(и) Є М 4- 9, q Є С(Р) — параметр, (А_д)

где Ат — множество всех непрерывных неположительных на Р функций (р : Р -4 R.

Введём обозначение

Ц = [иЄТ>: Іі(и)(р) - q{p) < є, peP}, >0,

и определим величину fi(q) = j3₊₀(q) = lim /?_e(g), где

Ш = { mf_t /₀(u), Ц ф 0; +co, V\ = 0}, > 0, v Є C(P).

Функцию (функционал) ft : C(P) -» Я U {+00} принято называть функцией значений задачи (Л,). Очевидно, что #() < Р₀(Ф Vg Є С(Р), где / : С(Р) -> Я — классическая функция значений. Предполагая, что 0(q) < +00, определим минимизирующую последовательность (МП) в задаче (Ад) — минимизирующее приближёп-ное решение (МПР) в смысле Варги Дж. [9] — как последовательность управлений и^г 6 V, і = 1,2,..., удовлетворяющих соотношениям

Г₀(и¹)<р(_Я) + 6\ и'єР*', і = 1,2,...,

для некоторых последовательностей неотрицательных чисел 6^г, є', і = 1,2,,.., 5*, є¹ —> 0, і —^ оо.

Основные моменты предлагаемой аксиоматики, являющейся модификацией аксиоматики работ [106, 109], в упрощённом виде могут быть кратко охарактеризованы следующим образом.

а) Аксиома существования первых вариаций функционалов Iq и h(-)(p) для лю
бого управления и Є V и всех р Є Р.

б) Аксиома „линейности" первых вариаций по параметрам варьирования.

в) Аксиома предкомпактности в С(Р) образа оператора 1_г.

г) Аксиомы предельных переходов, обеспечивающие при выводе необходимых усло
вий возможность предельного перехода в семействах первых вариаций функци
оналов /о и Іі(')(р) при условии сходимости управлений в метрике пространства
2?, а также при стремлении количества ограничений в аппроксимирующих за
дачах к бесконечности.

В разделе 1.3 изучаются свойства функции значений задачи (A_q). Здесь на абстрактном уровне вводятся понятия регулярности и нормальности этой задачи. Далее здесь выводятся необходимые и достаточные условия регулярности и нормальности, исследуются дифференциальные свойства функции значений.

Приведём постановку аппроксимирующей задачи. Пусть Р). = {р^к'^} : j ~ 1, 4} С Р есть конечная 1/А-сеть метрического компакта Р. Рассмотрим последовательность семейств оптимизационных задач, зависящих от конечномерного векторного параметра q^k G R^lk, q^k = (qf,... »9^)i аппроксимирующих исходное семейство (A_q):

/o(u)->mf, иЄР, I^k (u) Є M^k + q^k. (A^k_qk)

ЗдесьМ^к ее {у* = (уі...,уі) Є R^l« : у* < 0, j = Щ,/?(«) = (/?», - ,ії^л(»)).

Как и в случае задачи (A_q), МПР в смысле [9] в задаче (Д**) называется последовательность управлений и¹ Є 2?, г = 1,2,..., такая, что выполняются соотношения

где

2>_gV ={UGV: if* (и) < q^k₃ + є, j = 1, /*}>

а функщія значений / : R^lk —ї R U {+00} аппроксимирующей задачи определена формулами р_к(<1^к) = А,+о(5*) = ДтА,,((|*) < &,₀(д*).

/М0(u), pJeV0; +00, z?V = 0}.

Справедлива следующая аппроксимационная

Лемма 0.1. Пусть P{q) < +00, (/ Є С(Р). Тогда существует последовательность векторов q^k Є R^ik, k — 1,2,..., такая, что #t(<7^fc) —J- /?(k —> 00. В качестве такой последовательности может быть взята последовательность q^k =

(чі.. -, ф, # s J), J = ТЛИ, к = 1,2,....

На основе апироксимациошюй леммы 0.1 в разделе 1.3 последовательно получены представления для субдифференциалов в смысле работы [139] функций значений аппроксимирующих задач в терминах множителей Лаграпжа (точнее, в терминах предельных точек последовательностей множителей Лагранжа), а также результаты, связанные с различными необходимыми и достаточными условиями регулярности и нормальности.

Вторая глава посвящена задаче (суб)оптимального управления однородной первой краевой задачей Дирихле для линейного гиперболического уравнения дивергентного вида с функциональными и с поточечными фазовыми ограничениями. Задачи с ПФО для линейных и полулинейных гиперболических уравнений дивергентного вида, аналогичные рассматриваемым в этой главе, изучались в работах таких авторов, как Mordukhovich B.S., Raymond J.-P. [137, 138].

Аппроксимация задачи с функциональными и с поточечными фазовыми ограничениями. Субдифференциалы функции значений аппроксимирующей задачи

Актуальность темы. К задачам оптимального управлении с ПФО в течение вот уже сорока лет проявляется большой интерес. Их изучение началось с задач оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Различный вклад в исследования в этом направлении внесли Арутюнов А.В., Асеев СМ., Благодатских В.PL, Васильев Ф.П., Гамкрелидзе Р.В., Дмитрук А.В, Дубо-вицкий А.Я., Иоффе А.Д., Матвеев А.С., Милютин А.А., Никольский М.С., Плотников В.И., Сумин М.И., Тихомиров В.М., ТОНКОЕ Е.Л., Якубович В.А., Clarke F.H., Vinter R.B. и др..

Активное изучение задач оптимизации распределёнными системами с ПФО началось более двадцати лет назад. По-видимому, первыми в этом направлении были работы [68, 134]. С этого момента наблюдается устойчивый интерес к задачам указанного направления. Более того, в последние годы этот интерес заметно усилился. Различные результаты для оптимизационных распределённых задач с ПФО получены в работах таких авторов, как Васильев О.В., Дыхта В.А., Матвеев А.С, Новоже-нов М.М., Плотников В.И., Сумин М.И., Якубович В.A., Abergel F., Bergounioux М., Bonnans J.F., Casas Е., Li X., Mackenroth U., Mordukhovich B.S., Raymond J .-P., Temam R., Yong J., Zidani H., и др.. Ярко выраженное большинство работ этого направления посвящено задачам оптимизации систем, описываемых эллиптическими и параболическими уравнениями. В то же время, задачам оптимального управления гиперболическими системами с ПФО уделено существенно меньше внимания ([154,155, 113,109,137, 138]), и можно, по-видимому, утверждать, что их интенсивное изучение только начинается. Заметно меньшая изученность оптимизационных задач с ПФО для гиперболических уравнений связана в значительной степени с отсутствием у их решений свойств регулярности, характерных для решений параболических и эллиптических уравнений (см., например, замечание 1.2 нас.155 монографии ]59{). Данная особенность решений гиперболических уравнений послужила одной из причин изучения в настоящей диссертационной работе возможностей преодоления этих трудностей на основе предложенного в работах [98, 102, 103, 109] так называемого двухпараметрического способа варьирования управления, существенно опирающегося на понятие повторного предельного перехода и классические дифференциальные свойства обобщённо дифференцируемых (в смысле Соболева С.Л.) функций. Важно отметить также, что основная направленность работ, посвященных изучению задач оптимального управления распределёнными системами с ПФО, состоит в получении лишь необходимых условий. Значительно меньшее внимание было уделено таким классическим вопросам теории оптимизации, как вопросы субоптимальности, регулярности, нормальности, дифференциальных свойств функции значений, построения численных алгоритмов для решения указанного класса задач оптимального управления, и т.п. [150, 110,109], Всем этим вопросам применительно к задачам оптимизации гиперболических систем в настоящей работе уделяется центральное внимание.

Важность и актуальность развития теории субоптимального управления распределенными системами объясняется тем, что, в общей нелинейной ситуации распределенных систем и, в частности, гиперболических, имеются простые примеры оптимизационных задач [109], [15], в которых не существует классических оптимальных управлений, и которые не могут быть расширены в каком-либо естественном смысле (Гамкрелидзе Р.В., Варга Дж., Филиппов А.Ф., Янг Л.). Одновременно можно утверждать, что такая ситуация характерна, по сути дела, для задач оптимального управления, связанных со всеми нелинейными распределенными системами. Заметим, в частности, что на важность развития теории суботималыюго управления указывается в монографии Гурмана В.И. [36]; более того, на важность дальнейшего развития теории субоптимального управлення было указано в решении международного симпозиума „Обобщённые решения в задачах управления (GSCP-2002)", проходившем в Переелавде-Залесском с 27 по 31 августа 2002г.. Отметим также, что в самое последнее время некоторые частные результаты в теории субоитимального управления распределенными системами были получены в работах Серовайского С.Я. (см., например, [91]). Подобные примеры говорят о том, что естественным выходом из этой ситуации является использование МП в качестве основного элемента теории. В приводимом ниже примере задачах оптимального управления не существует обычного измеримого по Лебегу оптимального управления, однако задача допускает расширениє в смысле Гамкрелидзе Р.В., Варги Дж..

Сопряжённые уравнения для целевого функционала и функциональных ограничений

Пусть V — полное метрическое пространство, Р — компактное метрическое пространство, Іі : V — С(Р) — равномерно непрерывный оператор. Рассматривается параметрическая задача оптимизации h(и) -» inf, ы Є Т , Д(и) Є М 4- 9, q Є С(Р) — параметр, (Ад) где Ат — множество всех непрерывных неположительных на Р функций (р : Р -4 R. Введём обозначение и определим величину fi(q) = j3+0(q) = lim /?e(g), где Функцию (функционал) ft : C(P) -» Я U {+00} принято называть функцией значений задачи (Л,). Очевидно, что #() Р0(Ф Vg Є С(Р), где / : С(Р) - Я — классическая функция значений. Предполагая, что 0(q) +00, определим минимизирующую последовательность (МП) в задаче (Ад) — минимизирующее приближёп-ное решение (МПР) в смысле Варги Дж. [9] — как последовательность управлений иг 6 V, і = 1,2,..., удовлетворяющих соотношениям для некоторых последовательностей неотрицательных чисел 6г, є , і = 1,2,,.., 5 , є1 — 0, і — оо. Основные моменты предлагаемой аксиоматики, являющейся модификацией аксиоматики работ [106, 109], в упрощённом виде могут быть кратко охарактеризованы следующим образом. а) Аксиома существования первых вариаций функционалов IQ И h(-)(p) для лю бого управления и Є V и всех р Є Р. б) Аксиома „линейности" первых вариаций по параметрам варьирования. в) Аксиома предкомпактности в С(Р) образа оператора 1г. г) Аксиомы предельных переходов, обеспечивающие при выводе необходимых усло вий возможность предельного перехода в семействах первых вариаций функци оналов /о и Іі( )(р) при условии сходимости управлений в метрике пространства 2?, а также при стремлении количества ограничений в аппроксимирующих за дачах к бесконечности. В разделе 1.3 изучаются свойства функции значений задачи (Aq). Здесь на абстрактном уровне вводятся понятия регулярности и нормальности этой задачи. Далее здесь выводятся необходимые и достаточные условия регулярности и нормальности, исследуются дифференциальные свойства функции значений. Приведём постановку аппроксимирующей задачи. Пусть Р). = {рк } : j 1, 4} С Р есть конечная 1/А-сеть метрического компакта Р. Рассмотрим последовательность семейств оптимизационных задач, зависящих от конечномерного векторного параметра qk G Rlk, qk = (qf,... »9 )i аппроксимирующих исходное семейство (Aq): ЗдесьМк ЕЕ {у = (уі...,уі) Є Rl« : у 0, j = Щ,/?(«) = (/?», - ,іїл(»)). Как и в случае задачи (Aq), МПР в смысле [9] в задаче (Д ) называется последовательность управлений и1 Є 2?, г = 1,2,..., такая, что выполняются соотношения где а функщія значений / : Rlk —ї R U {+00} аппроксимирующей задачи определена формулами рк( 1к) = А,+о(5 ) = ДтА,,(( ) &,0(д ). /М ? ) = { inf /0(u), PJEV0; +00, z?V = 0}. Справедлива следующая аппроксимационная Лемма 0.1. Пусть P{q) +00, (/ Є С(Р). Тогда существует последовательность векторов qk Є Rik, k — 1,2,..., такая, что #t( 7fc) —J- /?( ?), k — 00. В качестве такой последовательности может быть взята последовательность qk = На основе апироксимациошюй леммы 0.1 в разделе 1.3 последовательно получены представления для субдифференциалов в смысле работы [139] функций значений аппроксимирующих задач в терминах множителей Лаграпжа (точнее, в терминах предельных точек последовательностей множителей Лагранжа), а также результаты, связанные с различными необходимыми и достаточными условиями регулярности и нормальности. Вторая глава посвящена задаче (суб)оптимального управления однородной первой краевой задачей Дирихле для линейного гиперболического уравнения дивергентного вида с функциональными и с поточечными фазовыми ограничениями. Задачи с ПФО для линейных и полулинейных гиперболических уравнений дивергентного вида, аналогичные рассматриваемым в этой главе, изучались в работах таких авторов, как Mordukhovich B.S., Raymond J.-P. [137, 138]. Глава состоит из шести разделов. Раздел 2.1 посвящен формулировке изучаемой задачи. Приведём её постановку и некоторые основные результаты. Пусть U С Rm — компакт, V С R — выпуклый компакт, О. С Rn — ограниченная область, 5 = 0Q, ST = Sx (0,Т), QT = П х (О, Г), V = {тг = (u, v) : тг Є 2 i х V2}, Vl = {u& L ( Эг) и(х, t)eU п.в. в Qr}, V2 {ve LTO(n) : v(x) Є V п.в. в Q}. Рассматривается параметрическая задача оптимизации вида (Ад), в которой Р [О, Г], а целевой функционал /о и оператор ПФО Д задаются формулами (здесь приводится упрощённая постановка задачи, в которой отсутствуют функциональные ограничения, а целевой функционал является терминальным)

Подсчёт первых вариаций и проверка выполнения абстрактной аксиоматики

Теорема 0.3. Пусть j3k{qk) оо и (, — п) Є N{(qk,fik(qk)) , ерфк) произвольный вектор (здесь через N{x\ О.) обозначен конус нормалей Фреше ко множеству О, С R" в точке х Є П в смысле работы [1S9J). Тогда существуют последовательность неотрицательных чисел У — О, і — ог последовательность управлений иг Є V і7 , г = 1,2,...j ограниченная последовательность невырожденных мпооїси-телей Лагранжа Xі = (Ag,Aj,... ,AJ ) Є Rlk+l, і = 1,2,..., такие, что выполнены неравенства (0.5) с и1 = ", \j5pk,}, а также соотношения де А = (г], Ai,..., Ац) ф 0 — некоторая предельная точка последовательности векторов А , г = 1,2,..., 5р — мера Дирака, сосредоточенная в точке р Є Р. Приводимые ниже результаты но сути дела являются следствиями теоремы 0.3. Лемма 0.4. Если существует вектор (Сі—Її) Є N((qk, k(ok))i epifik) с г] 0, то задача (Р ) регулярна. Лемма 0,5. Если задача (Pq) нормальна, то J3(q) = 0o(q), где /3o{q) — классическая функция значений. Следующая лемма важна, в частности, с точки зрении конструирования численных алгоритмов для решения задач с ПФО. Лемма 0.6. Если задача (Pq) нормальна, то ее функция значений /? липшицева в окрестности точки q Є С(Р). В известном смысле справедлив и обратный результат. Лемма 0.7. Пусть функция /? липшицева в окрестности точки q Є С(Р). Тогда в задаче (Рд ) для всех q из этой окрестности существуют регулярные МПР. Наконец, следующая лемма говорит о том, что регулярных задач „достаточно много". Лемма 0.8. Для любой точки q Є domfi и любой непрерывной положительной функции Є С(Р), все компоненты которой неположительны, для почти всех точек q па луче 1 = {q+t : t 0} для всех МПР в задаче (Pq ) найдутся ненулевые предельные точки соответствующей последовательности множителей Лагранжа А , і = 1,2,..., т.е. для любой указанной функции свойство регулярности задачи (Рд ) является свойством общего положения па луче 1$ . В завершение данной главы подробно анализируется иллюстративный пример конкретной задачи (Pq) для дивергентного гиперболического уравнения. Третья глава диссертации посвящена изучению задачи (суб)оптимального управления системой Гурса-Дарбу с ПФО. Ранее похожие по постановке задачи с ПФО для системы Гурса-Дарбу рассматривались, причём лишь с точки зрения получения классических необходимых условий оптимальности, в работах таких авторов, как Бокмельдер Е.П., Васильев О.В., Дыхта В.А. [113]. Структура этой главы в целом аналогична структуре главы 2. Раздел 3.1 посвящен формулировке изучаемой задачи. Пусть U с Rm — компакт, П = [0, а] х [0, 6], где а, Ь 0 — фиксированные числа, V = {и є Ь(П) : и{х,у) Є U при п.в. (х,у) Є П}, Рассматривается параметрическая задача оптимизации вида {Aq), в которой Р н П, а целевой функционал /0 и оператор ПФО Д задаются формулами (здесь приводится упрощённая формулировка, в которой отсутствуют функциональные ограничения, а цатевой функционал является терминальным) г /0(u) = .(ф](я„й)), h(u)(x,y) = Ф(х,у,4и](х,у)), {х,у) П. =i Здесь (хи уг) П, г = 1, /, — фиксированный набор точек, a z[u}(x, у) Є J2n, (х, у) Є П, — соответствующее управлению и 6 Т абсолютно-непрерывное решение краевой задачи для нелинейного гиперболического уравнения: Зчг = Дх У»г,ги,zy,u(x,y)), z(x,0) = (pi(x)} z(0,y) = р2(х), (і,у)єП. Считается при этом, что для рассматриваемой задачи выполнены традиционные в теории оптимального управления условия на исходные данные задачи. В разделе 3.2 собраны необходимые для дальнейшего вспомогательные результаты. Более точно, здесь приводятся результаты, связанные со свойствами абсолютно-непрерывных решений управляемой краевой задачи, а также результаты, связанные со свойствами решений сопряжённых уравнений, отвечающих как целевому функционалу, так и оператору ПФО. Далее здесь приводится подробный подсчёт первых вариаций и проверка применимости абстрактной аксиоматики главы 1. В этой главе для подсчёта первых вариаций функционалов используется классическое многоточечное игольчатое варьирование управления. Укажем одновременно здесь на принципиальную трудность применения в данной существенно нелинейной задаче (нелинейность но z, zx, zy) упомянутого выше диффузного варьирования, опирающегося существенным образом на свойства компактности решений или их производных, которые не имеют места в рассматриваемой задаче (множества {zx[u] : и Є V} С Lp(U), [zy[u] : и Є V} С ЬР(П), не компактны в сильной топологии 1р(П), 1 р оо). В то же время, используемый в диссертации аппрокспмационный подход в совокупности с классическим методом многоточечного игольчатого варьирования, позволяет получать в рассматриваемой задаче необходимые условия (суб)огггимальности, условия регулярности и нормальности, а также результаты, связанные с дифференциальными свойствами функции значений. Разделы 3,3 и 3.4 посвящены расшифровке абстрактных условий (суб) оптимальности из главы 1 применительно к рассматриваемой в главе 3 задаче оптимизации. В разделе 3-5 патугены результаты, связанные с достаточными условиями субоптимальности, регулярности и нормальности. Наконец, в разделе 3,6, применительно к рассматриваемой задаче оптимизации, расшифрованы абстрактные результаты главы 1, связанные с аппроксимацией исходной задачи с ПФО задачами с конечным числом функциональных ограничений. Все результаты дайной главы во многом аналогичны соответствующим результатам, полученным во второй главе для задачи (суб)оптимального управления гиперболическим уравнением дивергентного вида, и поэтому в данном кратком обзоре результатов диссертации опускаются. В завершение третьей главы приводится подробное решение иллюстративного примера 1, заключающееся в построении минимизирующей последовательности па основе принципа максимума для МПР, Наконец, последняя, четвёртая, глава диссертации, состоящая из двух разделов, посвящена численному методу решения задач оптимизации для рассматриваемых систем с ПФО.

В разделе 4.1 рассматривается случай „линейно-выпуклой" задачи (Ля) из главы 1, и для этого частного случая конструируется численный метод её решения. Иными словами, рассматривается случай, когда множество допустимых управлений V является выпуклым замкнутым ограниченным подмножеством некоторого гильбертова пространства Ы; целевой функционал г0 является сильно выпуклым на U , а функционалы Д(-)(р), р Є Р, — выпуклы на Ы при всех р Р. Кроме того, на функционал IQ : U -4 R и оператор I\ : U — С(Р), а также па их производные Фреше накладывается требование локальной лнпшицевоети по упх авлению.

В разделе 4.2 предложенный метод конкретизируется для управляемого гиперболического уравнения дивергентного вида с однородным краевым условием Дирихле. Показывается, что наличие нормали Фреше к надграфяку конечномерной функции значений в каждой аппроксимирующей задаче позволяет организовать алгоритм её решения типа метода точного недифферепцируемого штрафа. Для предложенного метода выводятся оценки степени близости по функционалу, по управлению, и но ограничениям, определяемые .тишь „внутренними" свойствами управляемой системы и её исходными данными.

Набросок численного метода решения задачи оптимального управления гиперболическим уравнением дивергентного вида с однородным краевым условием Дирихле

Определение 1.3.1. Последовательность управлений w 25,( = 1,2,..., назовём стационарной в задаче (Akk), если найдутся ограниченная последовательность векторов А = и последовательность неотрицательных чисел 7г, 7 О, такие, что w1 Є Ї1 , выполнены соотношения (1.3.3)-(1.3.5), де р?а = Yi А) а р , « все предельные точки последовательности Xі, і = 1,2,..., тличны от нуля. Стационарную в задаче (Akk) последовательность wl Є "D, і 1,2,..., назовём нормальной (регулярной, анормальной), если все (существуют, не существуют) предельные точки соответствующей ей последовательности чисел AQ, І = 1,2,..., не равны (не равные, не равные) нулю. Будем говорить, что задача {Akk) — нормальна, если для любой стационарной последовательности все предельные точки каждой отвечающей ей последовательности AJ,, г = 1,2,..., не равны нулю. Задачу {Akk) назовём регулярной, если существует такая стационарная последовательность, для которой имеется хотя бы одна соответствующая ей последовательность Ад, г = 1,2,..., имеющая ненулевые предельные точки. Наконец, задачу (Akk) назовём анормальной, если для любой стационарной последовательности все соответствующие ей последовательности Уй, і — 1,2,..., имеют лишь пулевые предельные точки.

Введём множества множителей, существует стационарная в задаче (Акк) последовательность, для которой соответствующая ей, согласно определению стационарной последовательности, последовательность векторов А1, г = 1,2,..., имеет вектор А в качестве своей предельной точки}, v = 0,1; М = Xji и {0}, A/J 1 = jj .

Непосредственным следствием леммы 1.3.5 и определения обобщённых субдифференциалов в смысле работы [139] является следующий результат. Теорема 1.3.1. Пусть pk(qk) +со. Тогда dph(qk) = д/Зк( )Г\М х, dPpk{qk) = M„l і где дрк и 80к суть, соответственно, обычный и сингулярный обобщённые субдифференциалы в смысле работы [139]. Из следствия 8.5 в [139] и данной теоремы вытекает Следствие 1.3.1, Если в некоторой окрестности Oqk точки qk все задачи (Ajj ), yk Є Oqk - нормальны, т. е. Ml0 — {0}, yk Є Очь, причём мпоокества Л/ 1 равномерно ограничены постоянной К в некоторой норме \\ \\ (например, евклидовой -\), то функция значений / является липшицевой в норме, сопряжённой к \\ \\, на Oqk с той же постоянной К. Кроме того, из полунепрерывности функции значений аппроксимирующей задачи, результатов [153], и лемм 1.3.3, 1.3.5, вытекает следующее условие регулярности задачи (Р ь). Теорема 1.3.2. Если в задаче (Акк) выполнено условие df3k(qk) Ф 0, то задача {А%Л — регулярна, причём множество всех таких qk Є R?1 всюду плотно в dompk. Если эюе ограничения-равенства отсутствующ то d k{4k) Ф 0 при п.в. qk Є domftk Следствием теоремы 1.3.1, как и в [108], является следующая Теорема 1.3.3. Если задача (Aq) нормальна, то ее функция значений ft липшицева в окрестности точки q = (q \q ) & В, функция значений / липшицева в окрестности S%lk+ (qk) точки qk = (qW k, q k) с qW = q , qW = (q[2) k,..., q\2 k), qy,k = q (pk }), j = 1,...,4, при некотором 6 0, причем 5 не зависит от Доказательство. Покалсем, что нормальность задачи (Aq) влечёт липшицевость её функции значений в окрестности точки q = (q \ q ) Є В. Для этого предварительно обоснуем, что из нормальности задачи (Aq) следует, что существует такое S 0, что все множества Mh1 С Rlk+3i, к — 1,2,..., при \ук — qk\oo 6, равномерно по к = 1,2,..., и по ук ограничены в 1-норме i, где под 1-нормой \х\х понимается, как обычно, величина Y, Fil- Предположим, что это не так, и, стало быть, существуют такие последовательности векторов ук Є i?ff +ae, Afc Є ЛЙ\ к 1,2,..., что \ук — ff U -» 0, Afci -юоД -+ oo. Это означает, что для каждого к = 1,2,..., существуют последовательность управлений wh \ і = 1,2,..., последовательность чисел 7 0i 7 — 0, г -+ 00, wk,i Є Vb? , і — 1,2,..., и ограниченная последовательность векторов А 1 ((А , ..., А ), А 2 = (АР \..., A fc ), \? = (A f \..., АЗ") Є Я , j = ЇХ і - 1,2,..., такие, что 22 а V а ff" Тогда последовательность to = wk 4 Є Vqі, A = 1,2,..., її 0, 7і - 0 ооJ удовлетворяет соотношениям причём, очевидно, Л -» 0, Afc — 1, к — сю, а неотрицательные меры /і є frm(P) сосредоточены на множествах {р Р : \Ix+i,s(wk)(p) — Р (р) 7г} їг О? -Здесь и выше 7 А = 1,2,..., 5 = 1,2, — некоторые последовательности неотрицательных чисел. Итак, ш&, к 1,2,.,., является стационарной последовательностью в задаче (Aq), но не является нормальной стационарной последовательностью. Полученное противоречие говорит о том, что указанное выше свойство равномерной ограниченности множеств М ; действительно имеет место. При этом можно показать, что все задачи (Л ), при ук, удовлетворяющем неравенству jj/fc—f/ !-» 5, являются, без ограничения общности, и нормальными. Стало быть, по следствию 1.3.1, функции значений pk{yk), при \ук — Qk\oo S /2, являются липшицевыми, с независящей от к = 1,2,..., постоянной К. Отсюда следует, что условию Липшица с той же постоянной в 5/2-окрестности точки д = {g \q ) Є В удовлетворяет и функция значений исходной задачи (Р?). Действительно, пусть q1 = ((j , г ) Є В, Wq — q\\$ 6/2, і — 1,2. Тогда также выполняются и неравенства \(р,к — qk\oo 5/2, і = 1,2, где ,fc = (9Сі).і,д(2)А ф2),г,к = ( . (рМ),... , (р л)), і = 1,2, к = 1,2,..., из которых, по доказанному, следует, что \{3к(ч1,к) — Рк(ч2 ь)\ K\q1,k — q2 . Переходя, в силу леммы 1.3.2, в последнем неравенстве к пределу при к — со, получаем, что №1)-№)\ Ччх-#Ь Замечание 1.3.1. Из рассуждений доказательства теоремы 1.3,3 и оценки І Іоо жі Vx Є Rlk, следует, что множества А/ ;1 равномерно по к = 1,2,..., и по ук, \ук — qk\oo 6, ограничены в норме \ 1 , если задача (Aq) нормальна. В известном смысле справедлив и обратный результат, обобщающий соответствующий результат, доказанный для задач оптимального управления эллиптическими уравнениями в работах [109, 107, 108]. Лемма 1.3.7. Пусть функция (5 липшицееа в окрестности точки q В. Тогда в задаче (Р ) для всех q из этой окрестности существуют регулярные МП Р. Доказательство. Доказательство настоящего- результата аналогично доказательству соответствующего результата работ [107, 108] для задач оптимального управления эллиптическими уравнениями, и поэтому не приводится. Справедлив также следующий результат о связи длины отрезка [0(g), 0a(q)\ с нормальностью задачи (Л?), аналогичный соответствующему результату из [109].

Параметрические задачи субоптимального управления гиперболическими системами с фазовыми ограничениями Гаврилов Владимир Сергеевич

Аппроксимация задачи с функциональными и с поточечными фазовыми ограничениями. Субдифференциалы функции значений аппроксимирующей задачи

Сопряжённые уравнения для целевого функционала и функциональных ограничений

Подсчёт первых вариаций и проверка выполнения абстрактной аксиоматики

Набросок численного метода решения задачи оптимального управления гиперболическим уравнением дивергентного вида с однородным краевым условием Дирихле

Похожие диссертации на Параметрические задачи субоптимального управления гиперболическими системами с фазовыми ограничениями