Введение к работе
Актуальность темы. Загрязнение атмосферы, водных источников, а также предупреждение природных катаклизмов (смерчей, торнадо, вихрей) остается одной из самых актуальных проблем экологии в настоящее время [4].
В связи с этим появляется острая необходимость в разработке и создании эффективных математических моделей и средств описания механизмов функционирования и оценки состояний экологических систем. Не менее остро стоит проблема усовершенствования уже имеющихся в арсенале науки моделей и методов. При этом необходимо, чтобы такие модели могли служить основой для автоматизированных систем оперативного предупреждения, прогноза и эффективной оценки масштабов в случае чрезвычайной экологической ситуации [5].
Диссертация посвящена разработке математических моделей плоских вихревых течений и моделей движения точечных вихрей. А также рассмотрению прямой и обратной задач о распространении субстанции при переносе анизотропной диффузии. Каждая из рассматриваемых моделей находит собственное отражение в общем числе задач экологии.
Например, используя предлагаемую в диссертации модель плоского вихревого течения с точечными источниками, можно моделировать притоки и стоки реки, а также имитировать источники загрязнения. Предложенная модель плоских вихревых течений не зависит от сложности геометрии берегов русла, не исключает наличия в области течения контуров, интерпретируемых как острова, а также присутствия в ней вихрей, диполей, стоков и истоков, имеющих соответствующие физические и экологические интерпретации в рамках рассматриваемой задачи.
В задачах плоских вихревых течений основным остается аппарат теории функций комплексного переменного (A.M. Лаврентьев, Дж. Бэтчелор, Г. Ламб). Один из основных численных методов - метод дискретных вихрей (СМ. Белоцерковский [2]) - опирается на представление комплексной скорости интегралом типа Коши, что приводит к сингулярным интегральным уравнениям с сильной особенностью (И.К. Лифанов. \2\
рос. нациомадмЇая ,
БИБЛИОТЕКА tI
09 we7«a>/-j
Модели движения точечных вихрей имеют чрезвычайно широкие и многообразные области приложения (В.В. Козлов, А.В. Борисов, [3]). При изучении процессов формирования отдельных гидродинамических структур в задачах экологии зачастую оказывается достаточным ограничиться рамками относительно простых моделей. Так, в частности, решение задачи о движении точечных вихрей может быть использовано для определения характеристик обтекаемого тела. Модели простейших вихревых конструкций - оказываются полезными при описании поведения, с одной стороны, термических аномалий в атмосфере или океане, а с другой - концевых вихрей при срыве их с крыла самолета (Д.Н. Горелов, [3]). Задача о движении N точечных вихрей и, в частности, их стационарных конфигураций (В.И. Юдович, Л.Г. Куракин, [3]) имеет важные для приложений аналоги в математической биологии и экологии. Изучение движения небольшого числа точечных вихрей вблизи простейших форм границ (например, прямолинейной или круговой) дает представления о влиянии геометрически более сложных границ на природу порядка и хаоса в динамике вихрей (Ф.Дж. Сэффмэн, [6], [7]).
Общая форма уравнения вихрей внутри (и вне) произвольной области, используя традиционный подход конформных отображений, сводится к системе дифференциальных уравнений, при этом порядок системы увеличивается вдвое (относительно количества рассматриваемых вихрей). Численное решение таких систем уравнений с достаточной точностью является сложной задачей и встречает определенные компьютерные трудности (Т. Сарпкайя, [6]).
Предлагаемый в диссертации метод точечных потенциалов, лежащий в основе численной реализации моделей вихревых течений и движения точечных вихрей, дает простые несеточные алгоритмы, что позволяет в значительной степени увеличить точность численных результатов и уменьшить объем вычислений. Обоснование метода опирается, во-первых, на системы потенциалов, полных на контуре и позволяющих строить сходящиеся
алгоритмы. Во-вторых, используются полученные теоремы о представлении функций логарифмическими потенциалами.
И, наконец, в диссертации рассмотрены прямая и обратная задачи о распространении субстанции при переносе анизотропной диффузии на основе уравнения распространения и переноса (Г.И. Марчук, В.А. Бабешко, [1], [5]). Доказываются существование, единственность и корректность решения прямой краевой задачи. Исследуется спектральная задача и доказывается, что решение представляется в виде ряда. Затем доказывается некорректность обратной задачи и предлагается метод регуляризации решения.
Цель диссертационной работы состоит в разработке математических моделей плоских вихревых течений в ограниченных областях, моделей движения точечных вихрей в идеальной жидкости, исследовании прямой и обратной задач о распространении субстанции при переносе анизотропной диффузии.
Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в том, что получены:
-
представление функции тока вихревого плоскопараллельного течения несжимаемой жидкости в ограниченной области;
-
модель плоскопараллельного течения в сложном русле, в русле с источниками и стоками на границе, в неодносвязном русле (русле с островом);
-
исследование движения точечных вихрей в ограниченной области, представление функции тока, алгоритмы и численные результаты;
-
исследование задачи о распространении субстанции в процессе переноса анизотропной диффузии;
-
алгоритм решения обратной по времени задачи переноса анизотропной диффузии.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обусловлены строгими доказательствами полученных теорем,
формул и представлений, доказательствами сходимости приближенных решений, сравнением с известными результатами.
Методы исследования: теория потенциала, функциональный анализ, методы функций комплексного переменного, методы линейной алгебры, численные методы решения краевых задач и вычисления интегралов.
Апробация работы. Основные результаты докладывались на следующих конференциях:
International Summer Scientific School «High Speed Hydrodynamics», Cheboksary, Russia, 2002.
I и ІІ-ой конференции «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах», Анапа, 2004, 2005.
16-ой Крымской осенней математической школы-симпозиума «Спектральные и эволюционные задачи», Украина, Крым, 2004.
IV школы-семинара «Математическое моделирование, прикладная информатика и геофизика», Краснодар, 2005.
Практическая значимость работы. Предложенные в диссертации модели и алгоритмы могут быть использованы для решения и исследования задач плоских вихревых течений, а также движения точечных вихрей на плоскости. Обратная задача турбулентной диффузии может быть использована для количественной оценки интенсивности и идентификации источников загрязнения в начальный момент времени, после того как выброс загрязняющих веществ уже произошел, и мы знаем его распределение в некоторый момент времени.
Полученные результаты могут быть использованы в учебном процессе в спецкурсах по численным методам и гидродинамике, в лабораторных курсах.
Диссертационные исследования были составной частью работ по проектам РФФИ № 03-01-96587, № 03-01-9660, №04-01-00026 в 2002-2005 годах.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.
Структура работы: диссертация изложена на 85 страницах, состоит из введения, двенадцати параграфов, составляющих четыре главы, заключения, списка литературы из 48 наименований и приложения.
