Введение к работе
Диссертация посвящена рассмотрению геометрических и топологических свойств пространств, норма которых монотонна относительно частичного порядка, порожденного if-функционалом Я. Петре. Такие пространства являются интерполяционными для некоторой пары (Ео,Е\) банаховых пространств.
Актуальность работы.
Часть I. Свойства Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости. Свойства Кадеца-Кли (КК) и локальной равномерной выпуклости (LUR) относятся к многочисленному семейству геометрических свойств нормированных пространств, характеризующих округлость и гладкость его единичной сферы. На протяжении своей почти вековой истории они и близкие к ним свойства неизменно привлекают к себе внимание многих исследователей. Так, в серии работ конца 50-х и середины 60-х гг. 20 века М. И. Кадец доказал ряд классических теорем об эквивалентных перенормировках сепарабельных банаховых пространств, порождающих свойства (КК) и (LUR). С помощью этих результатов ему удалось положительно решить проблему С. Банаха о гомеоморфизме всех сепарабельных банаховых пространств и получить изящное доказательство существования среднего значения абстрактных почти периодических функций.
В этапной работе W.J. Davis, N. Ghoussoub, J. Lindenstrauss, A lattice renorming theorem and applications to vector-valued processes. Trans. Amer. Math. Soc. 263 (1981) для банаховой решетки с абсолютно непрерывной нормой была построена эквивалентная решеточная норма, обладающая свойством (LUR). Там же было дано применение этого результата.
В работах автора [1,16,9,10] было показано, что предыдущие результаты и сама теорема Кадеца являются следствием более общего подхода, основанного на применении интерполяционного іС-метода Я. Петре.
В работах Д. ван Дулста и Б. Симса, а затем Н. Каротеса, С. Дилворта, С. Леннарда, Д. Траутмана и других авторов было показано, что банаховы пространства, обладающие в некоторой топологии более сильным — равномерным свойством {К К), обладают и важным для приложений свойством неподвижной точки (FP).
Говоря об актуальности первой части диссертации, нельзя не отметить особый вклад, внесенный в эту область польскими математиками X. Худ-зиком, А. Каминской и их соавторами. Ими получен широкий спектр первоклассных результатов о свойствах типа (UR)7 {LUR), (КК), а также
о других, связанных с ними свойствах (например, о свойствах строгой и равномерно строгой монотонности) в банаховых решетках, в пространствах Орлича, Муселака-Орлича, Лоренца и Кальдерона-Лозановского.
Отметим, наконец, важное для приложений современного функционального анализа направление, представляемое П. Доддсом, Ф. Сукочевым и В. Чилиным. Ими и их учениками получен целый ряд теорем о свойствах типа Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости в некоммутативных (операторных) симметричных пространствах. В соавторстве с этими математиками были опубликованы результаты автора, относящиеся к проблеме интерполяции свойств (КК), (LUR) и критериям слабой компактности в симметричных пространствах измеримых функций [1,2,9,10,17].
Часть П. Обобщенные пределы и сингулярные симметричные функционалы. Предмет исследования второй части диссертации возник из задач и гипотез, сформулированных А. Конном в его книге "Non-commutative geometry", Academic Press, San Diego, 1994, и из основополагающей работы P. Dodds, В. de Pagter, E. Semenov, F. Sukochev, Symmetric Junctionals and singular traces, Positivity 2 (1998), no. 1, в которой показано, как решение некоторых некоммутативных задач из теории А. Конна сводится к решению их коммутативных аналогов. Напомним, что одной из отправных точек теории А. Конна, развитой им в конце 80-х и начале 90-х, явилось применение ненулевого следа, построенного в 1966 году Ж. Диксмье на идеале компактных операторов в гильбертовом пространстве, носящем имя Мацаева-Диксмье. Этот след равен нулю на идеале ядерных операторов, что кардинально отличает его от обычного операторного следа и, тем самым, обусловливает его сингулярность.
В своих основополагающих работах А. Конну удалось обосновать применение следа Диксмье к ряду задач математической физики — теории гравитации, классической теории поля и физике элементарных частиц. Все это обусловило огромный интерес многих выдающихся современных математиков к этой новой и бурно развивающейся теории, в чем легко убедиться, пролистав библиографию к обзору А. Кери и Ф. Сукочева "Следы Диксмье и некоторые приложения к некоммутативной геомет-рии"в журнале УМН (2006), т. 61, в. 6(372). В основе этого обзора лежит материал статьи А. Кери, Дж. Филипса и Ф. Сукочева "Spectral flow and Dixmier traces", Adv. Math., 173:1 (2003), а также некоторые результаты, полученные автором в совместных статьях [8,11,13]. В недавних работах [14,15] автору удалось существенно продвинуться вперед в ряде направлений, обсуждаемых в обзоре, что во многом изменило их понимание и
открыло новые пути для дальнейших исследований.
Цель работы. Целью диссертации является разработка метода интерполяции свойств типа Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости в рамках интерполяционного іС-меода Я. Петре. Доказательство теорем об эквивалентных перенормировках, порождающих свойства (К К) и (LUR) в интерполяционных пространствах іС-метода без нарушения их интерполяционности. Получение критериев существования свойств типа Кадеца-Кли в пространствах Лоренца, Орлича и общих симметричных пространствах на отрезке или полуоси. Получение и применение критериев компактности в слабой топологии, порожденной некоторым множеством функционалов из сопряженного пространства. Разработка и исследование методов построения сингулярных симметричных функционалов — ССФ как на пространствах Марцинкевича, так и на других симметричных пространствах. Исследование свойств таких функционалов и свойств обобщенных пределов, их порождающих. Решение задачи описания измеримых (по А. Конну) элементов симметричного пространства для различных классов ССФ. Доказательство альтернативных формул задания ССФ.
Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке.
-
Разработан метод интерполяции свойств Кадеца-Кли (КК) и локальной равномерной выпуклости (LUR). Выделены свойства банаховой пары и интерполяционного функционала (параметра К-метода), отвечающие за наличие свойств Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости соответствующего интерполяционного пространства.
-
Для важнейших классов симметричных пространств измеримых функций получены критерии существования свойств Кадеца-Кли относительно различных топологий.
-
Доказаны теоремы об эквивалентных перенормировках, порождающих свойства (КК) и (LUR) без нарушения свойства интерполяционности пространства.
-
Для пространств Лоренца Л((/?) получен критерий компактности в слабой топологии, обобщающий критерий Данфорда-Петтиса для пространства L\.
-
Доказана теорема о совпадении классов сингулярных симметричных функционалов и сингулярных следов Диксмье на пространствах Марцинкевича. Положительно решен вопрос существования сингулярных сим-
метричных функционалов на пространствах, отличных от пространств Марцинкевича.
-
Установлена и исследована связь между измеримыми по А. Конну и стабильными элементами пространства Марцинкевича.
-
Доказан аналог теоремы Л. Сачестона для обобщенных пределов на пространствах ограниченных функций. Решена проблема Аппеля-де Па-скале-Забрейко об аппроксимации пределов Банаха элементами пространства \. Доказаны теоремы о существовании банаховых пределов, обладающих дополнительными свойствами инвариантности.
-
Введено понятие S-стабилизирующего подпространства и изучены свойства максимального S-стабилизирующего подпространства.
-
В терминах обобщенных пределов, обладающих свойством чезаровско-го предела, описаны классы сингулярных симметричных функционалов, обладающие нормирующим свойством.
10. Доказаны новые неулучшаемые теоремы об альтернативных форму
лах вычисления сингулярных симметричных функционалов.
Методы исследования. В работе использованы результаты теории топологических векторных пространств, теории интерполяции линейных операторов, теории банаховых идеальных и симметричных пространств измеримых функций, теоремы тауберова типа.
Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании и применении свойств округлости и гладкости единичной сферы банахова пространства, при исследовании и применении сингулярных симметричных функционалов (следов) как в коммутативной, так и в некоммутативной постановке, а также при исследовании свойств интерполяционных, в частности, симметричных пространств и действующих в них операторов и функционалов. Доказанные в диссертации теоремы могут быть включены в спецкурсы, читаемые студентам и аспирантам.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинаре проф. П. Доддса во Флиндерском университете г. Аделаида, Австралия в 1999 году. В Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна в 2008 году. На международной конференции, посвященных 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева, г. Новосибирск, Институт математики СО РАН в 2008 году и на международной конференции, посвященной 70-летию Ректора МГУ, проф. В.А. Садовничего, г. Москва, МГУ, 2009 год. В 2010 году результаты диссертации докладывались на научных семинарах про-
фессоров А.Г. Баскакова и И.Я. Новикова в Воронежском госуниверситете; в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова РАН, на семинаре профессоров СВ. Кислякова и В.П. Ха-вина.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 21 статьях. Список этих работ приведен в автореферате. Из этих работ статьи 1-15 опубликованы в журналах из списка ВАК. Из совместных работ [1-5,8-11,13,17] в диссертацию включены только результаты автора.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 270 страницах и состоит из введения и двух частей, разбитых на 13 глав. Список литературы содержит 96 наименований.
