Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Модификация / метода h.scoda 17
1.1. Постановка задачи л функциональный ключ для ее решения 17
1.2. Формулиропка основного результата главы для конечных систем образующих 23
1.3. Вспомогательные результаты 26
1.4. Доказательство основного результата 40
1.5. Некоторые следствия из основного результата 47
1.6. Основной результат главы для счётных систем образующих 50
ГЛАВА II Предельный случай модифицированного і2-метода 55
II. 1. Вспомогательные результаты 55
II. 2. Формулировка и доказатсльствр предельного случая модифицированного і2-метода 63
II.3. Некоторые следствия 70
II.4. Условия на систему порождающих функций для весов, являющихся верхними огибающими модулей голоморфных функций 73
ГЛАВА III. Приложения к конкретным пространствам 82
III.1. Системы образующих, порождающие пространство [р, к) 83
III.2. Системы образующих с общими пулями 95
Список используемых обозначений 102
Литература 104
- Формулиропка основного результата главы для конечных систем образующих
- Основной результат главы для счётных систем образующих
- Формулировка и доказатсльствр предельного случая модифицированного і2-метода
- Системы образующих, порождающие пространство [р, к)
Введение к работе
Для пространства Н^ всех аналитических и ограниченных в единичном круге функций задача о порождающих идеалах была поставлена и решена Л.Карлесоном [1] в начале 60-х годов, В последующем она исследовалась для различных колец аналитических функций многими известными математиками. В той части этой тематики, в которой рассматриваются пространства, определяемые системами плюрисубгармонических весов, применяются в основном три метода: 1) интерполяционный Л.Карлесоиа (см. [2]); 2) Л.Хёрмандера [3]-[4], основанный на использовании его результатов о разрешимости 5-задачи с весовыми оценками и комплекса Кошуля, и 3) 2-метод А.Скода (5]. Следует отметить, что /Лметод имеет определенные преимущества по сравнению с наиболее широко применяемым методом Л.Хёрмандера.
В последнее время в связи с некоторыми задачами теории уравнений свертки возникла необходимость в исследовании проблемы порождающих не только в кольцах, по и в пространствах, не имеющих кольцевой структуры. На пути её решения О.В.Епифановым [б]-[8] и А.В.Абашшым [9]) было развито обобщение метода Л.Хёрмандера.
В настоящей работе разработана модификация 2-метода А.Скода [5], применимая к пространствам, определяемым отличными друг от друга весами и не обязательно имеющим кольцевую структуру. В качестве приложений получены результаты о порождающих в пространствах целых функций нескольких переменных с заданной оценкой индикатора.
Задача о порождающих, которую мы будем изучать, заключается в следующем:
Пусть Q ~ открытое множество в CN (N ^ 1); #(Г2) — наделенное стандартной топологией равномерной сходимости на компактах пространство всех голоморфных в Q функций. Пусть, далее, Е и Ej (1 ^ 3 < р) — подмножества в #(Г2); ~~д = (gj : 1 ^ j < р) — фиксированный набор функций из H(U), где р N или р = со. Необходимо решить вопрос о том, при каких условиях на д = (gj : 1 ^ j < р) справедливо равенство:
Я = 9зЕу
Другими словами, когда V/ Є EShj Ej (1 ^ j < р): /00 = 9iiz)hs{z) (z Є її).
Функции gj условно называют образующими.
Задача о характеризации порождающих исследовалась Л.Карлесо-пом [1], Дж.Ксллсхером и Б.А.Тейлором [2], [4], Л.Хёрмандсром [3], А.Скода [5], А.Ф.Леонтьевым [10], Ф.А.Шамояном [11], В.В.Напалковым [12], В.Хеппекемпером [13], А.В.Абашшым, И.СШабарпппюЙ [14]-[18] и многими другими математиками. О.В.Епифанов был, по-видимому, первым, кто исследовал задачу о порождающих в пространствах целых функций одной комплексной переменной, когда Е не имеет структуры кольца ([7]) и когда hj могут лежать в разных весовых классах. В дальнейшем аналогичная задача была решена для функций многих переменных А.В.Абаниным (см. [9]). Ранее А.Скода ([5]) удалось упростить іЛтехішку Л.Хёрмапдера ([3]) при исследовании оператора представления в случае, когда искомые функции удовлетворяют одной н той же весовой оценке. Его метод обладает тем преимуществом, что он позволяет использовать решение только одной
Теорема 1. Пусть О — открытое псевдовыпуклое мноо/сество о CN, ф — плюрисубгармоиическая функция в Q, (#ь д?,... ,д1}) [соотв. (pj),-eR] система, состоящая из р аналитических в О, функций [соотв. последовательность из анал. функций), q = Inf{N,p — 1), а > 1. Тогда для любой функции f Є Н(&), удовлетворяющей условию J \f\2\g\^2n
Им также был исследован предельный случай, соответствующий Q== 1.
В связи с вышеизложенным представляется актуальной задача о распространении результатов А.Скода на ситуацию, рассмотренную О.В.Епифановым и А.В.Абаниньш. В диссертации исследованы следующие ее аспекты: модификация 2-метода А.Скода, применимая к пространствам, задаваемым отличными друг от друга весами и не обязательно имеющим кольцевую структуру; предельный случаи модифицированного ^-метода; характеризация порождающих наборов для пространств целых функций с оценкой индикатора.
Диссертация состоит из Введения и трех глав. Во всех главах мы придерживаемся двойной нумерации параграфов ( 1.2 - второй параграф главы I) и тройной - получаемых утверждений и формул (теорема П.2.1 - теорема 1 параграфа 2 главы II; (III.1.1) - первая формула параграфа 1 главы III).
Остановимся на основных результатах работы.
Первая глава диссертационной работы состоит иа.шести параграфов и посвящена разработке модификации іЛметода А.Скода, которая позволяет изучать порождающие в произвольных классах пространств голоморфных функций многих переменных. При этом, участвующие в задаче функции могут обладать отличными друг от друга весовыми оценками.
В первом параграфе приводится постановка задачи и функциональный "ключ"для ее решения.
В остальных параграфах первой главы сформулированы и доказаны вспомогательные результаты, основной результат и некоторые следствия из него.
Основной результат, теорема 1.2.1, сформулирован в 1.2. Доказательство теоремы 1.2.1 базируется на одном результате Л.Хёрмаггдсра (см. [3]), относящемся к вопросу о разрешимости операторных уравнений в гильбертовых пространствах. Мы приведём его в адаптированном для наших целей виде в 1.1 (см. ниже предложение 1.1.1).
Именно, пусть Q — открытое ограниченное множество, f^i, ц>г — весовые функции, ф = (-01.... ,-фр) —- система весов и
Нх := X Ь2{П,е'^-^),Н2 := Ь2(П,е-^),Я3 := X LL.^e"^'"^
3=1 j=l — гильбертовы пространства с нормами || \\j (j =1,2, 3). Мы используем стандартные обозначения пространств функций и дифференциальных форм (подробности см. в главе I).
По произвольному набору (gi, 32, - 19р) аналитических и ограниченных в Q функций определим оператор представления v R:~k' = (Ль... , hp) Є Ні -> ^ hj9j Є Я2, который действует линейно и непрерывно из #1 в Яг. Пусть, далее, D:~h = {hi,... , hp) Є Ні -> If? := (5/гь ... ,) Є Я3 — замкнутый неограниченный оператор, который рассматривается на естественном подпространстве DomD тех х Є Ні, для которых Dx Є Яз. Символом Л* и D обозначаем сопряженные операторы. Отметим, что R[Ker~D) С G2 := tf (fi) П 2(П, е"^).
Предложение 1.1.1. Пусть О, — открытое ограниченное мио-оісество в CN, (pi,
При этом h люоїсио выбрать так, чтобы [| h j|i ^ ^Ц/Цг? то ссть> чтобы J \hj{z)\2e-№-*>Wd\ < ~ J \f(z)\2e-^d\.
В третьем параграфе первой главы доказычаются вспомогательные результаты. Леммы 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4 позволяют получить предложение 1.3.1, которое даёт оценку для \\R*f + D v \\1У являющуюся базовой в доказательстве основного результата главы теоремы 1.2.1.
Теорема 1.2.1. Пусть П - открытое псевОовыпуклое множество в
ГЯ2Л/. .я,,.\ р
6ft 3> 0, (1.2.1) ^ dzkdzi а^9\^2^Ше dZkdFl то для любой функции f Є Н[С1), удовлетворяющей условию \f(z)\2\t(z)\^-2e-^dX < +оо, найдутся функции hj Є H(Q), j = l,j? такие, что p (і) / = X>A; i=i (2) / IM*)|VW|?(*)|^e-*WdA ^
Наибольшую трудность при проверке предварительных условий этой теормы доставляет соотношение (1.2.1). Следствие 1.5.1, которое мы сейчас сформулируем содержит простые по форме достаточные условия выполнения этого условия.
Следствие 1.5.1. Пусть U - открытое псевдовыпуклое множество в , ф и iftj дважды непрерывно дифференцируемые паю-рису бгар ионические функции в Ft, ~g* = (gi,g2, - ,9р) система, состоящая из р аналитических в Q функций, q = min(JV,p— 1). Если при некотором а > 1 функции ф — ірі — адф^ (1 ^i,j^ р) плюрисуб-гармоничны в ҐЇ, то для любой функции f Є H(ft), удовлетворяющей условию J\f(z)\2\^(z)\^2e-^dX<+oo найдутся функции hj Є #(S~2)j j — l,p такие, что p (і) / = Х^А-; n 3=1 a - 1 J V;
В шестом параграфе первой главы доказывается, что теорема 1.2.1 верна также и для счётных систем образующих.
Вторая глава диссертационной работы посвящена предельному случаю модифицированного і2-метода. Она состоит из четырёх параграфов. В первом параграфе второй главы доказывается вспомогательный результат, необходимый для доказательства основной теоремы этой главы, к формулировке которой мы сейчас переходим. Отметим предварительно, что при доказательстве теоремы 1.2.1, полученной в предыдущей главе, существенно использовалось условие (1.2.1), в котором мы требовали, чтобы входящий в это условие параметр а был строго больше 1. Построенный в первой главе пример показывает, что при а < 1 эта теорема перестаёт быть верной. Поэтому единственным случаем для дополнительного исследования является лишь а = 1. Теорема П.2.1, которая доказана во втором параграфе второй главы, соответствует а — 1 и заключается в следующем:
Теорема П.2.1 Пусть fl - открытое псевдовыпуклое мноэ/сест-60 в
Тогда для любой функции f Є П{0), удовлетворяющей условию +iTwi^E|:iftWi'^«-*w)e-*w1) f = Х^Л [соотв. f = J2 ffAl: (2) f \?{г)\^^Щг)\2{1 + \z\*)-2e*M-*Vd\ $n ^1 < 2 J \f(z)nr\-J"-\l + Ып\Г(^+ ,
3^ і- Л—1
Чтобы упростить проверку условий этой теоремы, в третьем параграфе получен ряд следствий теоремы II.2.1, а в четвёртом параграфе рассмотрены веса, являющиеся верхними огибающими модулей голоморфных функций. Отметим, что для случая одной переменной, свойства верхних огибающих модулей голоморфных функций изучались О.В.Епифановым (см. [6]-[7]) и были использованы им в вопросах разрешимости неоднородного уравнения Коши-Римана с равномерными оценками. Основным результатом четвёртого параграфа является предложение П.4.1, представляющее собой удобный для использования в приложениях вариант теоремы Н.2.1.
Напомним, что если нам дано какое-либо локально ограниченное в области П с
ПО =8ир{|Дг)| ://}, ztl.
Предложение П.4.1. Пусть О, - открытое псевдовыпуклое множество в CN, ~~g = (#1,32; )9р) ~ система, состоящая из р аналитических в О, функций [соотв. последовательность из аналитических в ГЇ функций], каждая из которых удовлетворяет следующему неравенству
3B>0: \gj(z)\ ^Ве^г}, Vz fi, где j(z) некоторые локально ограниченные в Q функции (j = 1,р). Пусть, далее, ф иф^ — дважды непрерывно дифференцируемые в Г2 функции, причём все ф — ф{ — цф} плюрисубгармоиичны (q — minf/V, p—l) [соотв. q = N\) иф имеет видф = 2ipi-\-(f2, гдє<рі и^>2 также дважды непрерывно дифференцируемые и плюрисубгармонические в П функции. Допустим, что имеются такие локально ограниченные в S7 семейства I{j), 1 ^ j ^ р, состоящие из аналитических в П функций, что exp^j(z) = sup |/(.г)|, z Є П. Положим для гбП exp-0j{z) := max sup Of I 1 dzk \ 2' (г) u c?(z) := min{l, -f){zt OQ)}. у у cr(z) ^
П\АГ г(?е ^(-г) := sup{j(2 + w) : ||го|| < o?(^)}, то для любой функции f из H(Q) с оценкой ідаї^сір»^)!^^), z є a, e Q найдутся функции hj tf(fi) такие, что (10 /=Е5Л(/ = Ей"Л,-); (2') / |-?(г)|^(1 + |z|V Е |h,-(z)|W*>-*WdA < оо.
Здесь, как и прежде, X — мноэюсство общих нулей функций из набора g .
В третьей главе диссертационной работы полученные результаты применяются к конкретным пространствам.
Пусть Рр - класс непрерывных плюрисубгармоническнх позитивно однородных порядка р > 0 в С^ функций. Символом >*Jz) := lim lim ""' ^ будем обозначать регуляризоваппый радиальный ип- —*z І—'ОС ' дикатор целой функции /. Для заданной функции k(z) Рр обозначим через \р,к) {[р,к]) пространство целых функций N переменных роста не выше порядка р конечного типа, регуляризованный радиальный индикатор которых при z 7^ 0 строго меньше, чем k{z) (соответственно меньше, либо равен k(z)).
Рассматривается следующая задача. Пусть к, У _Е Рр (j = 1,р). Требуется найти условия на систему образующих gj Є [р, кЦ1 j = 1,р, при которых каждая функция /є [р,к) допускает представление
Я*) = Х>(*)А,-(*), (ПІ-0.1) где hj Є[р,к~ У) (hj Є [р,к - &\).
Формулиропка основного результата главы для конечных систем образующих
Пусть Рр - класс непрерывных шшрисубгармонических позитивно однородных порядка р 0 в О функций. Символом &j(z) = lim lim п .; будем обозначать регуляризованный радиальный ин-дикатор целой функции /. Для заданной функции k(z) Є Рр обозначим через [р,к) {[р. к]) пространство целых функций N переменных роста не выше порядка р конечного типа, регуляризованный радиальный индикатор которых строго меньше, чем k(z) (соответственно меньше, либо равен k(z)) при z - - 0.
В этой главе мы рассматриваем применения результатов двух предыдущих глав к весовым пространствам вида [р, к] и [р, к). Именно, пусть к, № Є Рр (j = 1,р) и пусть нам дана система образующих д — (ffb--. 9Р) гДе 9j [р, kj], j = Ї7р. Речь будет идти р представлении функций / Є [р, к) в виде с "коэффициентами" hj из [р}к — №) или hj Є [р, к — У], j = 1,р. Для простоты изложения ограничимся системами д , состоящими из конечного числа образующих. В 111.1 получены достаточные условия на систему д , при которых разложение вида (III.0.1) имеет место для любой функции / из [р, к). Ясно, что в этом случае функции из д автоматически не имеют общих нулей. В 111.2 исследуется ситуация, когда функции из д допускают непустое общее множество нулей. Сравнение с результатами других авторов, имеющих отношение к этим задачам, будет приведено в конце каждого параграфа (см. также Введение). В следующей теореме найдены достаточные условия на систему образующих gj Є [р, №], j = 1,р, при которых каждая функция / Є [/?, к) допускает представление (III.0.1) с коэффициентами hj Є [/ , к - kj]. Теорема ПІ.1.1. Пусть k(z)s №(z) Є Pfi - положительные функции (z 7 0), и при этом к — к1 — q№ Є Ppt где q — mm(N,p — I), hj — 1) Vi V - ДАЯ m-oao чтобы любая функция f из [р} к) допускала разложение (III.0.1) с коэффициентами hj Є [ptk — /cJ ], j = \,p, достаточно, чтобы v Ve Q3AS 0 : Yl\9j(z)\2e-ms) Лее_ФІ , z Є CN. (Ш.1.1) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ДЛЯ доказательства теоремы воспользуемся предложением II.4.1, Проверим, выполняются ли условия этого предложения. В рассматриваемом случае О, = CN и, следовательно, d{z) = 1. В качестве tpi, (р2 выбираем jk(z) и 2(1 — y)k(z) соответственно, где 7 Є (0,1) выберем позже, а в качестве функции ф} выберем функцию
Рассмотрим функции gj Є [/ , №}, j — I, р. Это означает, что a\z) &J (2)i z Є C . Для достаточно малого є/2, которое мы также зададим позже, найдём константу Пє такую, что (г) Dcxp{kj(z) + l\z\p). Положив &( ) = kj(z) + гр, имеем \gj{z)\ De z\ j[z) 0, Vz / 0. Тем самым, условие (П.4.1) предложения II.4.1 выполнено. Рассмотрим функцию / 6 [р, к). Покажем, что выполнено условие (П.4.2) предложения П.4.1. Так как / є [р, к), то C f{z) k(z)t Vz Є С , z 0. Тем более Lj{z) k{z) при \z\ = 1. Так как L f{z) полунепрерывна сверху, a k{z) непрерывна всюду в С , то b j{z) — k{z) полунепрерывна сверху в С . Итак, полунепрерывная сверху в С функция принимает на компакте {z : \z\ = 1} отрицательные значения. Поэтому
Условие (Ш.1.1) можно записать следующим образом Для использования предложения II.4.1 нам необходима оценка (II.4.2), которая в рассматриваемой ситуации принимает вид
Выберем постоянную 7 Є (7ь !) Так как k(z) непрерывна и положительна на CN \ {0}, то k{z) р 0 для всех z Є CN с \z\ = 1. В силу позитивной однородности к(z) при порядке р тогда k(z) P\z\p всюду в С . Возьмём є — d i(7 Ті) и применим к нему (III. 1.5). Учитывая ещё (III. 1.4), получим при всех z Є С Итак, требуемое неравенство (Ш.1.6) выполнено. Далее, покажем сходимость J \ g{z)\z e2 i f2 d\. Для этого вначале оценим остов поликруга U(z, 1) = {: \\t — z\\ 1}. Так как, kj Є Рр, то F - непрерывная в CN функция. Следовательно, она непрерывна и на Si = [z Є CN: \z\ 1}. Поэтому kj равномерно непрерывна на Si и Ує 035 — 5(є) такое, что, как только и, v Є S\ и 0 \и — v\ S, так \№(и) — kj(v){ , j = 1,р. Фиксируем любое 0.
Основной результат главы для счётных систем образующих
Пусть k(z), k (z) Є Pp положительные функции (г 7 0), Предполооїсилі дополнительно, что имеется такая функция и Є Рр, u(z) О при z ф 0, что & — к1 — agfcJ — w Є Рр; где a 1, q = min(N,p — I), i,j = l,p, и что. существует функция g Є [р,0] такая, что g(z) обращается в 0 на X. Пусть, ещё, ТЪгсЭа существуют hj Є {p,k — №), j = 1,р такие, что верно разло-оісение (III.0.1).
Для є 0 фигурирующего в (Ш.2.3). найдём константу cz такую, что выполнено условие (III.2.4). Тогда и условие (III.2.2) или, что тоже (Ш.2.1), выполнено. Таким образом, имеют место все условия теоремы Ш.2.1. Следовательно, найдутся функции hj Є [р, к—№), j = 1,р такие, что верно разложение (III.0.1). Теорема III.2.2. Пусть k{z), №(z) Є Рр - полоэ/сителъные функции (z ф 0), и при этом к — к1 — qkj Є Рр где q = mm(N,p — 1), i,j = 1,р, р Є N. Пусть, далее, функция f Є [р, к) такова, что f(z) = 0 для z Є X и 7710 существуют функции hj Є [p,k k3\, j = l,p такие, что верно разлооїсение (Ш.0.1). Доказательство будем проводить, используя предложение П.4.1, где множество П = CN. Выбираем j{z) = №(z) + z \ tpiiz) = jk(z), y2{z) = 2(1 -7)ВД, 7 Є (0,1), (г) = 2tf(z). Так же, как и в теореме III.1.1, проверяется условие (П.4.1) и показывается сходимость интеграла j e2 2 z "1 dX со. r(s) В теореме III.l.l показано, что fj(z) kj{z) 4- zj + С Лф) -1 + Учитывая (Ш.2.6), получим, что где if 0 выбрано так, чтобы e\z\p + гС МІ !"-1 + e(\//V + г}р--2(1-7)А;(г) -e\z\p+K, \/z є С . Это возможно, так как 7 Є (0,1) и k(z) /Jjzp , V2 Є CN, при некотором /3 0. Условие (II.4.2) выполнено, поскольку выполнено условие (III.2.5) доказываемой теоремы. Таким образом, все условия предложения II.4.1 имеют место. Значит, найдутся функции hj Я(С ), j = 1,р такие, что верно разложение (III.0.1) и Повторяя рассуждения теоремы III.1.1 (см. с.89-91), получим, что коэффициенты hj из класса [р,
В заключении отметим, что ранее подобными исследованиями, то есть поиском условий, при которых система функций с непустым множеством общих нулей порождает конкретную алгебру аналитических функций, занимались Дж.Келлехер л Б.А.Тейлор [4], А.Скода [5] и др. Отметим, что в работах О.В.Епифанова Q6]-[8]) и А.В.Абанина ([9]) случай образующих с общими нулями не изучался. Для пространств, не имеющих структуры кольца, известны лишь одномерные результаты А.С.Кривошеева [19] и А.С.Кривошеева, С.Н.Ганцева [20]. В указанных работах ([19]-[20]) найдены условия, при которых для любой функции / Є [р, к), обращающейся с учётом кратностей в пуль в общих нулях образующих, справедливо представление вида (ІІІ.0.1). В отличие от [19]-[20] в теоремах Ш.2.1 и Ш.2.2 настоящей работы рассматриваются многие переменные, у нас меньшие ограничения на систему образующих, но более жесткие на разлагаемую функцию.
Формулировка и доказатсльствр предельного случая модифицированного і2-метода
Покажем, что построенные ниже по ft- и ft- функции ft.,- будут аналитическими в О, и удовлетворять условиям (1)-(2) доказываемой теоремы. Полагаем ft = ft — ft" или покоординатно hj = ft - — ft . Имеем 9ftj = dhj — dh" — Wj — Wj — 0. А это означает, что выполнено условие Коши-Рнмапа ([25], с.22-23), и поэтому hj H(Q). Поскольку И Для того чтобы снять ддополпиьтельиые предположения о том, что С1 — ограниченное множество, что функций gj конечное число и что 7Г- 0 на 2, поступаем так же, как и при доказательстве теоремы 1.2 Л. Теорема доказана. II.3. Некоторые следствия В этом параграфе приводятся два следствия из теоремы II.2.1, в которых даются более простые по форме, чем в самой этой теореме, условия её справедливости. Следствие II.3.1. Пусть С1 - открытое псевдовыпуклое лто-жество в G/v, g (pi. 52; - - 9р) система, состоящая из р аналитических в С1 функций [соотв. последовательность из аналитических в С1 функций]. Пусть, далее, ф и ф — дваоїсди непрерывно дифференцируемые в Сі функции, причём все ф — ф{ — цф± плюри-субгарлюиичиы (д = тіп(Лґ, р— 1) [соотв. q = N]) и ф имеет вид ф — 2tpi + tp2r где ері и ip2 также дважды непрерывно дифференцируемые и плюрисубтрмоническис в Сі функции. Если, кроме того, fe- WdX оо и ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проверим, что все условия теоремы II.2.1, применительно к плюрисубгармонической в ГЇ функции ф = 2tp\ + крі и к функции / с оценкой / С\ д\ч-Х е 1 выполнены. В доказательстве следствия 1.5.1 было показано, что плюрисуб-гармоничность всех функций ф—фі — цф влечет справедливость условия (II.2.1) теоремы II.2.1. Условие (II.2.2) теоремы И.2.1 имеет место, поскольку . Согласно этой теореме существуют функции hj G H(l) такие, что выполнены условия (1), (2) теоремы. Следствие доказано. Для доказательства второго следствия нам потребуется
Следствие II.3.2. Пусть 1 - открытое псевдовыпуклое мно-оісество в CN, g — ( . ЗР) система, состоящая из р аналитических в Q функций [соотв. последоватслыюсть из аналитических в О, функций]. Пусть, далее, ір и fy — дваоїсди непрерывно дифференцируемые в О функции, причелі все ф — фі — qipj плюри-субгармоничны (q = m m(N,p — 1) [соотв. q — N]) и ф имеет вид ф = 2tp\ + ц 2, где Щ и ц 2 также дважды непрерывно дифференцируемые и плюрисубгармонические в О функции. Если, кроме того,
При использовании теоремы II.2.1 и её следствий наибольшую трудность доставляет проверка условия (II.2.2). Как было показано в лемме П.3.1, выполнение этого условия можно гарантировать, если наложить дополнительные требования на рост производных р. Однако, для произвольных весов оценка поведения производных по самим весам вряд ли возможна. Поэтому в данном параграфе мы рассмотрим веса, являющиеся верхними огибающими модулей голоморфных функций, и установим для них вариант теоремы II.2.1 (см. ниже предложение П.4.1), удобный для приложений. Последнее подтверждается на примерах конкретных весовых пространств в главе III. Мы начнём со свойств верхних огибающих семейств модулей голоморфных функций, которые для случая одной переменной были отмечены О.В.Епифановым (см. [6]-[7]) и использованы им в вопросах разрешимости неоднородного уравнения Копш-Римана с равномерными оценками.
Напомним, что если нам дано какое-либо локально ограниченное в области П С С семейство / голоморфных в 2 функций, то верхней огибающей их модулей называют функцию
Системы образующих, порождающие пространство [р, к)
В предыдущих параграфах был рассмотрен случай конечных наборов д — (gi,... ,др) аналитических в Г2 функций. В качестве основной характеристики, с помощью которой решалась задача о разложениях вида (1.1.1) была выбрана функция
В настоящем параграфе мы аналогичным образом из учим случай когда образующих счётное число, то есть когда рассматриваются последовательности if = ( 7j)j6N аналитических в Q функций. В данной ситуации, чтобы определить характеристику типа (1.6.1) нам потрсбуется сходимость в } ряда J2 \9j{z)\2e - ы в СШ1У некоторых технических обстоятельств, потребуем несколько большего, а именно, чтобы этот ряд сходился равномерно на каждом компакте из Q. Положим
Все сформулированные ранее результаты были доказаны для случая конечного числа образующих. Покажем, что это предположение можно исключить.
Действительно, пусть (pj),-eN последовательность аналитических функций, каждая из которых определена в окрестности Q, Предположим дополнительно. От этого предположение легко можно освободится, действуя также, как и ранее (см. 1.4 с.46). Тем более, последовательность hjp, для любого j, равномерно ограничена внутри Q по р. По теореме Монтеля, при каждом j Є N из последовательности hjp можно извлечь подпоследовательность сходящуюся внутри Q к аналитической функции hj. Тогда по диагональному способу можно найти подпоследовательность (pn,) =i та кую, что для любого j, последовательность hjPm равномерно сходится на любом компакте из П к аналитической в П функции hj, при т —» оо.
Тогда для произвольного г р, для любого компакта К С ГЇ, имеем: Заметим, что согласно теореме Лебега ([29], с.346), имеем Теорема 1.6.1. Пусть Q - открытое, псевдовыпуклое миооїсест-во в CN, функции ф, ip — грі — aqtftj - дважды непрерывно дифференцируемые плюрисубгарлюнические функции eQ, q_ — min(iV,р — 1), [соотв. q = N], а 1, g = {дид2,... ,др) [соотв. ( )jeN] - система, состоящая из р аналитических в О. функций [соотв. последовательность из аналитических в О, (функций]. Тогда для любой функции f Є H(Q), удовлетворяющей условию п найдутся функции hj Є H(Q), j = l,p [соотв. последовательность (hj)jzN, hj Є H(Q)\ такие, что
В теореме 1.2.1, полученной в предыдущей главе, найдены достаточные условия па весовые функции и образующие, при которых выполняется равенство R(KerD) = G2 (пространство G i и операторы R и D введены в 1.1). В процессе доказательства этой теоремы существенно использовалось условие (1.2.1), в котором мы требовали, чтобы входящий в это условие параметр а. был строго больше 1. Напомним также, что в 1.2 был приведен простой пример, показывающий, что при а 1 выполнение условия (1.2.1) вряд ли сможет обеспечить справедливость равенства R(KerD) = G2 даже при каких-либо дополнительных ограничениях. Поэтому нам фактически остаётся исследовать лишь случай а — 1, которому и посвящена вторая глава. Основной её результат, теорема П.2.1, соответствует а. = 1 и обобщает вторую теорему существования А.Скода [5]. Кроме того, в 11.3 приводятся некоторые следствия из этой теоремы. Наконец, в 11.4 указан достаточно широкий класс весов (а именно, верхних огибающих логарифмов модулей голоморфных функций), для которых выполняются дополнительные требования, используемые в теореме П.2.1.Для доказательства основной теоремы этой главы нам понадобится следующий предварительный результат: Лемма П.1.1. Пусть Q - открытое псевдовыпуклое ограниченное миооїсєство в CN, граница которого dVt из класса С, функции 9j 1 J V) аналитичны в некоторой окрестности Q и \ g плюрисубтрмоиическая о окрестности П функция. Пусть, далее, рі = ф + qln\ g\\ + 2Ы{1 + \z\2), р2 = ф+ [q + 1) 1 1 + 2/я(1 + \z\2), q = min(iV, р — 1). Если для любых k С (к — 1, N) и для каждого і = 1,... ,р всюду в 1 выполнено неравенство
