Введение к работе
Акт2альность_теш. Важная с точки зрения приложения проблема разрешимости сингулярных интегральных уравнений возникла в начала настоящего столетня, в -трудах Д.Гильбвргга и А.Пуанкаре и сохраняет свою актузльнп^.^„иаа«"в^5^'"аи«««». Посггрпо^^^^йЫя^г"!!^-^^*^ гатбхрзльякх отарэтароп связано с кязязни Т.Карлэмана, Ф.Нётера, Н.И.Мусхелишвили, И.И.Привалова, И.Н.Векуа, С.Г.Михлина, М.Г.Крекнз, Ф.Д.Гахо-ва, Н.Б.Симоненко, И.Ц.Гохберга, Н.Я.Крупника, Н.К.Никольского, Б.Зильбермана и других. Внутреннее развитие теории, а таюиэ, разумеется, потребность в этой теории со стороны различных разделов естественных наук (таких, например, как теория упругости, гидро- и аэромеханика, теоретическая физика), стимулировали рассмотрение всё более сложных пространств, в которых действуют операторы, и изучение все более сложных алгебр коэффициентов. До начала 80-х годов изучались, в основном, алгебры операторов, действующих вГ безвесовых ^-пространствах или в пространствах с весом Хведелидзе на ляпуновских кривых, а в качестве алгебры козффициэятов брались кусочногнепрерывныв, квазинапрерывные или кусочно-квазинвпрэрывные функции. В недавних работах И.Опитковского, А.Еётчера, И.Ц.Гохберга и Н.Я.Крупника начали исследоваться условия нетеровости алгебр сингулярных интегральных и тешм-цэвых ошраторов в ^-пространствах с произвольным весом
-4.-Ханта-Макенхаупта-Вяденз и коэффициентами из Н7 и PQG; в работе В.О.Рабиновича рассмотрена алгебра сингулярных "интегральных операторов на сложном контуре с осциллируодэй касательной. В связи с этим представляется перспективным метод» позволяющий часть трудностей, связанных с рассмотрением общих весов,, преодолеть при домощи редукции более сложного случая весовых пространств к безвесовому случаю.
Цэль работы. Диссертация посвящена, главным образом, определению условий на вес ш, при которых естественное отображение подобия ew осуществляет изоморфизм алгебры сингулярных интегральных операторов с коэффициентами из банаховой алгебры Л(сІі ), действующих в весовом пространстве Z (и>), на
со jp
аналогійную операторную алгебру в безвесовом пространстве, а также исследованию некоторых алгебраических свойств рассматриваемых алгебр.
Методика исследования. Используются методы теории функции комплексной переменной, развитые при изучении пространств Харда, классов ВМО и 7*0 и алгебр Дугласа в работах Р.Койфмана, Д.Оарзсона, Р.Дуглзса, Дж. Гарнетта и других. Кроме того, исследование опирается на методы теории банаховых операторных, алгебр, разработанные Н.К.Никольским, И.Б.Симоненко, И.Ц.Гохбергом, Н.Я.Крупником и другими.
Ш$2ёя_9235?Н!' Введены и исследованы специальные односторонние идеалы алгебры ЕгхЦЬ ): с их "помощью получены
-"" - 5 -
оценки норм операторов Тёштцз и Ганюэля и установлена возможность канонического разложения дяя алгебр сингулярних интегральных операторов с коэффициенташ из алгебры Сзрасона. Постороен и исследован специальны!-: оператор .дифференцирования, СООТЕЗТСТВУЮЩИЯГ ОПВрЗЦИИ КОММуТИШВЯИЧ?_та::^ы»Ц««,'*_^!Г
умножения н^_і%_»ііи^*^5^Г^ігі»57Гі"" с^..')зстпз голоморфного ся'*з2ства взпзшвнных сингулярных операторов Кош. Получены достаточные условия изоморфности алгебр сингулярных интегральных операторов в различных весовых пространствах и доказана их необходимость для случая коэффициентов из алгебр Сарасона.
Ш5^с?3_5_12Ш35ї3_Ш5ІЬ- Вэзультаты, по
денные в работе, носят теоретический харзктер. Они позво
ляют для конкретной алгебры коэффициентов определить такой
класс весов, для которого изучение нетеровости и вычисление
индекса семейств операторов в весовом пространстве редуциру
ется к бэзвэсовому случаю. -----
__твобауия_рабдты. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры алгебры и дискретной математики- Ростовского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. И.Б.Симоненко), на семинаре лаборатории математического анализа Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А.Отеклова (рук. д.ф.-м.н., проф. В.П.Хавин и д.ф.-а.н., проф. 0.А.Виноградов), нз ежегодных научных конфзрен-
- б -
циях Донского государственного технического университета (1993-1995гг.}.
Публикации. По тема диссертации опубликовано 5 работ в соавторстве с научным руководителем В.М.Дэундяком. Результаты этих работ принадлежат соавторзм в равной мера.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 110 страницах и состоит из введения и трёх глав. Библиография содержит 64 наименования отечественных и зарубежных авторов.
