Введение к работе
' ,«
,;' .':: Актуальность темы. Теория С -алгебр, порожденных динамическими системами, у истоков которой стояли Ф. Мюрей и Дж. фон Нейман, интенсивно развивается в последние три десятилетия. Такие алгебры представляют интерес как с точки зрения общей теории операторных алгебр, так и в связи с многочисленными приложениями в разных областях математики и физики (например, в теории представлений, теории краевых задач с отклонениями аргументов, теории упругости, квантовой механике и т.д.) . Одним из важнейших вопросов теории таких алгебр является- вопрос об условиях обратимости и нетеровости их элементов, В связи с этим вопросом конкретные классы таких алгебр рассматривались многими авторами. В че-тности, нетеровость сингулярных интегральных операторов со сдвигами на контуре изучалась Ю.И. Карловичем, В.Г. Кравченко, Г.С. Литвинчуком [6 J , Н.К. Карапетянцем, С.Г. Самко [[4] , Ю.Д. Латушкиным [_7 J , Г.С. Литвинчуком [iOj , А.Г. Мясниковым, Л.И. Сазоновым, В.И. Семенгатой, А.П. Солдатовым; вопрос об условиях обратимости и нетеровости для функционально-дифференциальных операторов рассматривались в работах А.Б. Антоневича Гі.2 J , А.В. Лебедева [8,9] , B.C. Рабиновича Г I2~j; для теплицевых операторов со сдвигами такой вопрос исследовали А. Беттхер, Б. Зильберманн, А.В. Лебедев и др.
В середине 60-х годов И.Б. Симоненко предложен общий метод исследования широких классов операторов, получивщпй
название локального метода. С помощью различных модификаций и обобщений такого метода, предложенных разными авторами, в том числе Г.Р. Алланом \_ІІ ~\ , Р.Г. Дугласом [_1б], Дж. Даунсом и К.Г. Хофманном [15 ] , И.Ц. Гохбергом, Н.Я. Крупником [З^ , Ю.И. Карловичем [ 6 ] , Б.А. Пламеневским [її} , удалось найти условия нетеровости для других классов операторов. В частности, условия нетеровости сингулярных интегральных и теплицевых операторов с коэффици-ентами, имеющими разрывы полупочтипериодического типа, операторов типа свертки с осциллирующими коэффициентами, псевдодифференциальных операторов с разрывными символами и др. «
Таким образом, естественно возникает необходимость построения, такой теории операторов локального типа, которая охватывала бы все выше упомянутые классы операторов, и н'аховдения единого метода исследования обратимости и нетеровости элементов из Сх-алгебр, порожденных операг;-'рами локального типа и их автоморфизмами. Решение таких задач определяет актуальность темы данной работы.
Цель работы. В качестве основного объекта в настоящей диссертационной работе выступают Сх-алгебры, пороаде} ные динамическими' системами вида
где % - С*-алгебра операторов локального типа, Gr заданная группа, Т - унитарное представление группы (
В Ч? , Такое, ЧТО ТаЛХ = У5 , Q Є Сг
.Основной целью данной работы являются разработка С* варианта теории операторов локального типа и локального
метода, формулирование единого метода исследования обратимости и нетеровости элементов из Сх-алгебр, порожденных операторами локального типа и их автоморфизмами, и наконец, получение критериев нетеровости для.следующих операторов, ассоциированных со сдвигами и действующих в пространствах
L, : псевдодифференциальных операторов с разрывными символами, сингулярных интегральных, к теплицевых оператороз с кусочно-непрерывными коэффициентами.
Методы исследования. В работе применяются методы теории С*-алгебр, теории /?>едставлрний, локальные методы.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты.
.- построен Сх-вариант теории операторов локального' типа и локального'метода ;
найден локальнотраекторный метод исследования обратимости и нетеровости элементов из Ск-алгебр, порожденных операторами локального .типа и их автоморфизмами ;
получены критерии нетеровости для псевдодифферекци-альных операторов с изолированными особенностями в символах и сдвигами на гладком компактном многообразии без края; для сингулярных интегральных операторов со сдвигами и коэффициентами, имеющими разрывы первого рода, на сложном кон-і туре ; и для теплицевых операторов со сдвигами и коэффициентами такого же типа на единичной окружности.
Практическая .ценность. Работа носит теоретический характер, однако, ее результаты могут быть использованы при исследовании нелокальных краевых задач, дифференциально-
функциональных уравнений с отклонениями аргументов и др.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в ХУ Всесоюзной школе по теории операторов в функцио-нальных пространствах ( Ульяновск, 1990 ),, на Втором международном Коллоквиуме по дифференциальным уравнениям ( Пловдив, Болгария, І99Г ) , и на семинаре кафедры функционального анализа Белгосуниверситета.
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [l7 - 22] .
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 114 наименований, и изложена на 107 страницах машинописного текста,
