Введение к работе
Актуальность темы. Рождение теории алгебр,операторов, дєй-ствущих в гильбертовой пространстве связано с появлением серии работ Дж..іон.Неймана и Ф.Дж.Мюррея, в которых были подробно изучены слабо замкнуты * - алгебры операторов (эти алгебры впо-следствии были названы алгебрами фон Неймана или W - алгебрами). В ->то же время И.М.Гельфанцом и М.А.Наймарком было начато систематическое изучение -К - алгебр операторов, замкнутых в раьло-ыерной топологии'(такие алгебры были названы L - алгебрами).С и \$ алгебры можно охарактеризовать б класс всех банахоЕых
* - -лгебр простыми системами аксиом, на основе которых возникает богатая содержанием структура. В настоящее время теория L и W - алгебр достаточно хорошо разработана и представляет собой обширную и интенсивно развивающуюся часть общей теории банаховых алгебр.
Развитие математической физики вызвало необходимость исследования ненормируемых пространств и операторов в отих пространствах, 1Т0 послужило причиноГ для построения теории локально Еыпуклых алгебр, обобщающих теории нормированных.колец. Систематическое изуче-ше абстрактных локально выпуклых алгебр было начато Р.Аренсом и I.А.Майклом ( А~!=кз й. The space and convex topol'ocical -rings.Bull, nor. Math. 2or.. 1940. V. ~?. . Michael K.A. Locally multiplicatively cnvex topological ьіі-есги. Her,. Ar;er. Kath. Sec. 1552. V.II . 79),
і затем продолжено другими арторами с разных точек зченкя. Б «аст-
„ _ , -^поп «'
юсти л.Р.лллан определяет класс локально выпуклых инролптивнкх ал-
* . ~. -. ^.
"З.бр (Allnr..:.?.. С:: cli.:;c ,;f locally ccvex al-ebras.froc.London '.rath
Soc . 1967 . v.17 IM. p. 91-114), которые часто ветре-чаются в анализе и имеют сильное сходство с С - алгебрами. Далее П.Ж.Диксон развивает исследования Ж.Р.Аллана, характеризует локально выпуклые ц Ь - алгебры в классе # - алгебр- замкнутых onepaTopjB в гильбертовом пространстве. ( Dixor.. P.G. Generalized IS algebras . Proc . Loud Soc' 1970. v.21. ИЗ. p. 93 - 715). Кроме того, ІЦК.Диксон расширяет определение Ж.Р.Ачлана и рассматривает не локально и-пуклые - алгебры. >
И.Сигалом была введена алгебра' локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре <*>он Неймана Д , что положило начало исследованию алгебр неограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве.
Алгебра SC-M) является естественным некоммутативным аналогом алгебры изыеримых функций на пространстве с мерой. Элементами SiM) являются замкнутые плотно определенные опе'раторы, цейстЕующие в гильбертовом пространстве, при ртом множегтво всех ограниченных операторов из S (.М) совпадает с алгеброй фон Неймана jfi. .'Эти соображения делают естественным рассмотрение класса- * - алгебр земкнутых плотна определенных на гильбертовом пространстве операторов, обладающих свойством симметричности. Закие классы * - алгебр неограниченных операторов ввел П.Ж.Диксон и б зависимости от ограниченной части ятих алгебр, он назвал их расширенными W -алгебрами (EW - алгебры) и расширенными С алгебрами ( В С -алгебры). Серия работ П.Ж.Диксона посвящена изучение связи -этих классо" * - алгебр с \jb - алгебрами.
* Алгебраический подход в квантовой теории поля, заложенный в работах Х.Борхерса А.Ульмана, и формулировке отой теории на язы-
ке представлений алгебры Борхерса положили начато развитие теории
Up - алгебр неограниченных операторов. Среди других классов неограниченных операторных алгеб-\ 0^ - алгебры выделяются рядом свойсте, которые делают их удобными для широкого круга как математических, так и Физических приложений.
Весомый вклад е развитии теории 1/Р - алгебр внесли работы ЯейпцигскоЯ школы во главе с Ж..~асснером.
п,вльнейший прогресс в теории алгебр неограниченных операторов связан с исследованием EW - алгебр, являкцихся синтезом 0^ -алгебр и алгебр фон Неймана. А.Иноуэ построил теорию - алгебр, которая близка к теории алгебр гюн Неймана. Далее Закиров Б.С. и Чилин В.И. ввели б^ровские обобщенные Ь - алгебры ( &GB _ алгебры). Работы Е.Закирова посвящены изучению связи ^той алгебры.с H.W > W , & В> — алгеблами и характеризации ятих'алгебр.
Теория ограниченных дифференцирований L и W - алгебр была по существу заложена Капланским. Тем не менее большого прогресса не наблюдалось до 1965 г., когда появилась работа Кадисрна ( Kadi-sor. R.V. De: Ivatione of operator algebras . Ann . Liath. 83. 1966 , p. 280-293 ) послужившая толчком к быстрому развитию '. теории.
Изучение неограниченных диі!іференцирований началось недавна, она была мотивирована главным образом проблемами w гемат;.веской Физики, г частности проблемой построения динамики в статистической механике. Основные результаты по этой теории принадлежит Робинсону Д.В. ( Robinsor D.V. Statistical асс1іа:::оз of quaatur. spin system . Co.-^un.Math.Puys. 7 1S:' p. 3>7 - М'-:-
ДисЧіїеренцирования на алгеб_ ax неограни-,енкыг сперзтсго* :;pei»-ставлягт собой специальный класс неограниченных дибй'врен'дгфогтл?
_ б - .
m W ' - аігебре (или ^- - алгебре) ограниченных элементов исход-
юй алгебры. Операторы дифференцирования на алгебрах неограничен-
*.'' 'ых операторов (на ETnT - алгебрах) впервые были рассмотрены в
аботах Иноуэ. ( Inoue a. Ota S. Derivations or. elgebras of unbounded operators. Trans. Aner. I.ath. Soc. V. 2 61. H 2. P. 567 - 57S ) .
Результаты представленные в диссертации продолжают исследования в указанных направлениях.
Цель работы. Изучение порядковых и топологических свойств упорядоченных * - алгебр, в частности * - алгебр неограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве;
исследование йордановой структуры в алгебрах неограниченных операторов;
исследование операторов ди(М«ренцирования "а * - алгебрах неограниченных операторов.
Общая методика исследований. В работе используются методы теории операторных алгебр, общие методы Функционального анализа и теории йордановых алгебр.
Научная новизна. В работе изучены порядковые свойства алгебр. Получена внутренней характериэация коммутативных Е;"УГ -алгебр неограниченных операторов. Исслецованы нормальные йункцио-налк на E.W - алгебрах, в частности получен аналог теоремы Ви-тали-Хана Сакс.
Изучены порядковые и топологические свойства йордановых алгебр неограниченных операторов. Исследована непрерывность и про- странстЕенность оператора дифференцирования на алгебрах неограниченных опепаторов.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты и методы диссертации можно использовать для развития теории алгебр неограниченных операторов, а также при решении различных задач, связанных с исследованием абстрактных топологических * -алгебр.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались, на Всесоюзной школе-семинарз "Неассоциативные алгебры и их приложения" (1990, Ташкент, Сумча), на городском семинаре по функциональному анализу, в ТашГУ (I986-IS92), на семинаре в Институте математики им.В.И.Романовского АН РУз. (1966-1993), на конференциях молодых ученых Института матеиатики им, В.ЩРомановского АН РУз. (І9Є6-І99І)
Публикация. Основные результаты диссертация опубликованы в [I - б] . Работах ^4,-6} постановка задач принадлежит Аюпову Ш.А., а доказательство получено диссертантом.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шесть параграфов и списка литературы из 68 наименований. Общий объем работы 81 страниц машинописного текста.
