Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. При изучении спектральных свойств ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве часто встречаются такие объекты» как решетка инвариантных подпространств, коммутант, функции от оператора. Содержательная спектральная теория, которая в основном занимается разложениями операторов в суммы или интегралы простейших операторов, возможна для операторов, мало (в каком-либо смысле) отличающихся от оператора, имеющего простую структуру: самосопряженного, унитарного, и т.п. Исследованию с*атмй, близких к изометрическому оператору, посвящена монография С.-Надя и Фойаша [і], в которой построен аппарат для изучения спектральных свойств сжатия с помощыз его характеристической функции.
Одним из важных вопросов теории операторов является вопрос о рефлексивных операторных алгебрах, т.е. алгебрах, определяемых своими инвариантными подпространствами. Несколько известных задач, связанных с операторными алгебрами, могут быть записаны в терминах рефлексивности: например, проблема транзитивности алгебр сводится к вопросу о том, будет ли транзитивная алгебра рефлексивна, а гипотеза о симметричности рефлексивных алгебр равносильна вопросу об их рефлексивности. Подробнее о рефлексивных алгебрах можно прочитать, например, в книге Радхави и Роэенталя [3].
Вопрос о рефлексивности оператора - это вопрос о рефлексивности порожденной им слабо замкнутой алгебры. Свойство рефлексивности оператора имеет ясный аппорохси-иационный смысл: оператор Т рефлексивен, если любой оператор, для которого все инвариантные относительно Т подпространства также являются инвариантными, может быть аппроксимирован полиномами от Т в слабой операторной
топологии. Для того, чтобы оператор был рефлексивным, нужно, чтобы у него было достаточно много инвариантных подпространств. Первые результаты о рефлексивных операторах содержатся в статье Сарасона (7J, где доказывается рефлексивность нормальных операторов и аналитических операторов Теплица . Дедденс 4^] доказал, что любой изометрический оператор рефлексивен. Вопрос о рефлексивности сжатий, близких к изометрическому оператору, изучали С.-Надь, ойаш, Беркович, Такахаши, By, и др.; вопрос о рефлексивности почти изометрических сжатий сведен к случаю скалярной внутренней характеристической функции.
Для операторов, не являющихся сжатиями, аналогичные вопросы значительно сложнее. Сначала основным инструментом изучения таких операторов была 3 -унитарная дилатация', т.е. модельным пространством было пространство.с индефинитной метрикой, а не гильбертово пространство. Функциональную модель с модельным гильбертоіим пространством построил С.Н.Набоко 2]; В.И. Васюнин и Н.Г. Макаров ГбП систематически изложили теорию записи произвольного ограниченного линейного оператора на модели некоторого вспомогательного сжатия.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Получений критерия рефлексивности для сжатий со скалярной внутренней характеристической функцией и почти изометрических сжатий; построение функциональной модели для произвольного оператора в гильбертовом пространстве на основе пространств Харди без использования пространств с индефинитной метрикой. ,
ОШАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. Используются общие методы теории операторов, комплексного анализа, топологической алгебры; функциональная модель С.-Надя, Зойаша и беско-о^динатная функциональная модель.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в различных областях теории операторов и ее приложениях, в теории аналитических функций, ограниченных в единичном круге.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на семинаре ЛОШ по фуыщиональной модели, семинаре Л0ІДІ-ЛГУ по спектральной теории функций, на УУ Школе по теории операторов (Ульяновск, 1990).
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах jb-Il].
СТРУКТУРА И ОБЖУ ДИССЕРТАЦИЙ. Диссертация состоит из Введения и двух глав. Первая глава разбита на четыре, а вторая - ка три параграфа. Список литературы содержит 43 названия.
