Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Краевые задачи теории аналитических функций и сингулярные интегральные уравнения продолжают привлекать интерес математиков и механиков в течение последних пятидесяти лет. Прежде всего это связано с многочисленными приложениями данных задач и уравнений. Начало исследования краевых задач для аналитических функций восходит к классическим работам Б.Римана и Д.Гильберта. Большой вклад в создание и развитие теории краевых задач внесли Т.Карлеман, Ф.Нетер, Н.И.Мусхелишвили, Ф.Д.Гахов, З.Пресдорф, С.Г.Михлин, Р.П.Гильберт и другие. Важную роль в этих исследованиях играет понятие индекса. Один из фундаментальных результатов Ф.Д.Гахова состоит в том, что индекс краевой задачи Римана определяет число.линейно независимых решений задачи или число ее условий разрешимости.
В начале 60-х годов Н.В.Говоров получил основополагающие результаты для краевых задач в предположении, что их индекс бесконечен. В существенном его исследования опирались на развитую им теорию аналитических функций вполне регулярного роста в угловых областях. Позже результаты Н.В.Говорова были применены к изучению сингулярных интегральных уравнений с бесконечным индексом. Последняя тематика далека от своего завершения в силу того, что вопрос равносильности сингулярных интегральных уравнении и соответствующих краевых задач в случае бесконечного индекса является гораздо более сложным, чем в случае, конечного индекса. Большой интерес к интегральным уравнениям с бесконечным индексом вызван также появляющимися прикладными исследованиями, в которых указанные уравнения играют важную роль.
Диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости сингулярных интегральных уравнений в важном для приложений исключительном случае. Основная идея данного исследования состоит в доказательстве равносильности уравнений и соответствующих краевых задач с бесконечным индексом.
Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетной темы НИР Белгосу-ниверситета (раздел 1.1.8. "Теория функций комплексного переменного" плана НИР Белгосуниверситета, № 19951145).
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является исследование разрешимости и решение в замкнутой форме характеристического сингулярного интегрального уравнения с бесконечным индексом в исключительном случае.
Научная новизна полученных результатов. В диссертационной работе исследована разрешимость характеристического сингулярного интегрального уравнения с бесконечным индексом в исключительном случае при различных соотношениях параметров уравнения. Доказана равносильность это-
го уравнения в классе локально гельдсровских ограниченных функций и соответствующей краевой задачи Римана в классе ограниченных аналитических функций. Сформулированы условия разрешимости и построено в замкнутой форме общее решение рассматриваемого характеристического сингулярного интегрального уравнения.
Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории краевых задач и сингулярных интегральных уравнений, в теории упругости, электро- и гидродинамике, теории массового обслуживания, а также могут быть использованы при чтении спецкурсов по теории краевых задач и сингулярных интегральных уравнений. Полученные решения сишулярного интегрального уравнения с бесконечным индексом в исключительном случае представлены в замкігутой форме и, следовательно, удобны для практического использования в моделях, приводящих к таким интегральным уравнениям.
Основные положения диссертации, выносимые на заищпху.
-
Доказательство равносильности характеристического сингулярного интегрального уравнения с бесконечным индексом в исключительном случае в классе локально гельдеровских ограниченных функций и соответствующей краевой задачи Римана в классе ограниченных аналитических функций.
-
Условия разрешимости характеристическою сингулярного интегрального уравнения с бесконечным индексом в исключительном случае.
-
Общее решение характеристического сингулярного интегрального уравнения с бесконечным индексом в исключительном случае в замкнутой форме.
-
Решение специальной задачи факторизации функций, имеющих счетное множество разрывов второго рода аналитического характера, и возни- кающих при этом интерполяционных задач в классе аналитических функций, ограниченных в полуплоскости.
Личный вклад соискателя. Все результаты, приводимые в диссертационной работе, получены автором' лично. В совместных печатных работах работах с научным руководителем ему принадлежат постановки задач.
Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление", посвященной 90-летию академика Ф.Д.Гахова, VI конференции математиков Белоруссии (Гродно, 1992), VII Белорусской математической конференции (Минск. 1996) и неоднократно на Минском городском семинаре по краевым задачам и сингулярным ише-іральиьім уравнениям им. академика Ф.Д.Гахова (рук. проф. Э.П.Знсро-вич).
Отгубликовапностъ результатов. Результаты диссертации опубликованы в 7 печатных работах, в том числе в 4 статьях, 2 из которых без соавторов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей хараісгернстнки работы, трех глав, выводов и списка использованных источников, включающего в себя 105 наименований. Общий объем диссертации составляет 102 страницы машинописного текста.
