Введение к работе
Актуальность темы.
Формула Карлемана-Голузина-Крылова (CGK) восстанавливает аналитическую в единичном круге В функцию / класса Харди -ЙГХ(Ю) по ее граничным значениям на множестве Е С Т = {z : \z\ = 1} положительной меры Лебега. А именно, полагая
(CGK)M)(z):=~Q-4z)Je
f(t)Q«(t)dt
где z Є Ю>, а > О, Q — внешняя функция в Ш>, причем выполнено равенство
в. на Т \ Е,
IQWI = {J ГНаЕ
имеем
f(z)= lim (CGK)Af)(z). (CGK)
(г—Я-оо
Формула (CGK) была впервые построена в статье [1], где, в частности показано, что предел в (CGK) можно понимать в смысле равномерной сходимости на компактах круга ПР. Она подробно описана также в монографиях [2, 3, 4]. В книге [3] значительное внимание уделено многомерным вариантам формулы (CGK). В статье [5] Д.Патил доказал, что сходимость в (CGK) имеет место по норме пространства Харди Яр, 1 < р < оо, если / Є Нр. В работе [6] описаны модификации (CGK) (в частности, для Е С В U Т), применимые для доказательств теорем единственности для различных классов аналитических функций, гладких вплоть до границы.
В монографии [4] автор ставит следующие два вопроса: имеет ли место аналог теоремы Патила для сходимости по норме диск-алгебры А (соответственно, Н1), если / Є А (соответственно, / Є Я1)?
Ответам на эти два вопроса посвящены Глава 1 и Глава 2 диссертации, соответственно.
Надо сказать, что такая постановка вопросов требует уточнения. Дело в том, что из известных свойств интегрального оператора Коши, участвующего в (CGK), и из разрывности функции Q следует, что, вообще говоря, для / Є А (соответственно, / Н1), выражение под знаком предела в (CGK) может не принадлежать А (соответственно,
я1).
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ і
йПетер&фг/, «
Тем не менее, для функций из этих пространств интерес представляет сходимость формулы в точках окружности Т, отделенных от Е, то есть в метриках, соответственно, С(К) и L1 {К), где К с Т \ U, U — окрестность множества Е. Именно эти задачи и решены в Главах 1 и 2.
Цель следующей Главы 3 — исследовать сходимость описанного классического варианта формулы (CGK) на известных пространствах аналитических в круге функций с граничными значениями на Т, обладающими определенной гладкостью. Именно, нас будет интересовать принадлежность к пространству Липшица самих функций либо их производных нескольких порядков. В этой главе Е будет дугой окружности.
По той лее причине (разрывность интегрального ядра (CGK) в концах дуги Е) естественно рассматривать сходимость формулы в простан-ствах гладких функций на (компактных) дугах, не содержащих двух этих точек.
Интерес представляют следующие 3 вопроса.
Сходится ли формула (CGK) в метрике Липшица на компактной дуге окружпости Т, не содержащей концов дуги Е, при условии, что восстанавливаемая функция / удовлетворяет условию Липшица того же или большего порядка на всей Т?
Что можно сказать о сходимости k—х производных приближающих функций в формуле (CGK), если или если /<*> єір(а + е)(Т)?
Какова скорость сходимости (или расходимости)?
С формулой Карлемапа-Голузина-Крылова оказывается связан еще один вопрос.
Рассмотрим задачу весового приближения функциями с полуограниченным спектром на прямой Ж. Решение этой задачи доставляет следующая теорема М. Г. Крейна [7, 8].
Теорема (М. Г. Крейн).
Пусть Д — неотрицательная функция, заданная и суммируемая на R. Следующие утверждения равносильны:
1) ДА) :=/^, =-ее;
—оо
2) для любых є > 0 и а > 0 найдется тригонометрическая сумма S вида
S(w) = ]Г ске^х, ак>а, k = l,...,N,
к-1
удовлетворяющая неравенству
+оо
f \1~ S(x)\2A(x)dx < є.
—оо
Аналогичные результаты, касающиеся весовых приближений на окружности, принадлежат Г. Сеге [9,10] и А. Н. Колмогорову [11]. Приближения тригонометрическими суммами в весовых /^-пространствах изучали Н. Н. Ахиезер [12] и Г. Ц. Тумаркин [13]; поточечную весовую аппроксимацию в L(T) изучал Н. К. Никольский [14].
Известные доказательства теоремы Крейна и ее аналогов основаны как правило на соображениях двойственности и не дают явного выражения аппроксимирующих тригонометрических сумм. В связи с этим (а также в связи с вероятностными задачами прогноза) в статье Маккина [15] была поставлена задача построения эффективных формул, определяющих суммы S, о которых идет речь в теореме Крейна. Решению этой задачи (см. также [16]) и посвящена Глава 4.
Нужно сказать, однако, что для весовых приближений на окружности Т такие формулы содержались уже в работах Сеге. С помощью замены переменной их нетрудно преобразовать в аналогичные формулы для Ш. (см. ниже обсуждение в обзоре п.4.1.5 диссертации).
В п.4.3 Главы 4 диссертации мы предлагаем иную конструкцию.
В статье [б] было отмечено, что с учетом работы Патила [5] формулу (CGK) (и ее аналог на вещественной прямой) можно воспринимать как конструктивное приближение функции / Є Н2(Х), где X = Т или X = Е, последовательностью функций класса Ht{X) в весовой метрике L2(X; А), если в качестве веса Д взять характеристическую функцию множества СЕ. Естественно возникает вопрос о такой модификации формулы (CGK), которая осуществляла бьГподобное приближение при любом суммируемом на X весе Д, удовлетворяющем условию 1) теоремы Крейна, и тем самым, по существу, решала задачу Маккина.
Цель работы.
Исследовать сходимость операторов {CGK)a в пространствах Я1 и А. Исследовать сходимость операторов (CGK)a в пространствах Липшица и пространствах функций более высокой гладкости. Построить модификации формулы (ССК), решающие задачу Маккина [15] из теории экстраполяции случайных процессов, то есть построить последовательность ганкелевых операторов, действующих в весовом простран-
стве Я2(Д) на прямой (или единичной окружности), значения которых приближают заданную гармонику емх (соответственно, za) а > 0, при условии расходимости логарифмического интеграла от веса .
Общая методика исследования.
Используется аппарат теории функций одной вещественной пременной, комплексного анализа функций одной комплексной переменной, линейного функционального анализа.
Конструкцию (CGK) можно воспринимать как своеобразную "аппроксимативную единицу"( "сингулярный интеграл"— в том смысле, в каком этот термин понимается в монографии [17]). Эта точка зрения позволяет предвидеть результаты глав 1 — 3, но мало помогает в их доказательстве, так как операторы {ССК)а довольно далеки от сверточных, и оценки сходимости (или расходимости) требуют довольно специальной техники, которая, к тому же, должна учитывать аналитичность изучаемых функций.
Научная новизна.
Все основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность.
Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в теории аппроксимации функций и операторов, теории функций комплексного переменного, теории стационарных случайных процессов. Кроме того, полученные результаты являются источником явных формул приближения функций.
Апробация работы.
Результаты диссертационного исследования докладывались на семинаре по теории функций комплексной переменной ПОМРТ РАН (2000); на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2001); на семинаре по математическому анализу университета Трондхейма (Норвегия, 2001); на международной летней конференции по математическому анализу (ПОМИ РАН, 2003).
Публикации.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях
[iimiiiq.
Структура и объем работы.
