Исследование сходимости и порядков сходимости некоторых семейств сингулярных интегралов Юсифалиев Юсиф Кочари Оглы

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Порядок сходимости семейств сингулярных интегралов в точке и в среднем 23

1. Вспомогательные предложения 23

2 О порядке сходимости последовательности сингулярній: интегралов типа.свертки. с бесконечными пределами 30

3 Порядок, сходимости сингулярных.интегралов с. ядрами - общего вида... 48

4 О порядке сходимости многомерных сингулярных интегралов с радиальным ядром

ГЛАВА II. Сходимость двупараметрических семейств сингулярных интегралов 77

5 О сходимости семейства сингулярных интегралов с двумя. параметрами 77

6 Двупараметрические. семейства сингулярных интегралов, ядра которых имеют горбатую мажоранту .- 98

7 О сходимости сингулярных интеграловзависящих от двух параметров, кнедифференцируемым функциям 108

Литература 121

• О порядке сходимости последовательности сингулярній: интегралов типа.свертки. с бесконечными пределами
• О порядке сходимости многомерных сингулярных интегралов с радиальным ядром
• Двупараметрические. семейства сингулярных интегралов, ядра которых имеют горбатую мажоранту
• О сходимости сингулярных интеграловзависящих от двух параметров, кнедифференцируемым функциям

Введение к работе

Настоящая диссертация посвящена исследованию сходимости и скорости сходимости некоторых классов, так называемых, сингулярных интегралов. При этом термин "сингулярный интеграл", в отличие от "особых"интегралов, употребляется применительно к интегральным операторам, широко использующимся в теории рядов Фурье, теории ортогональных рядов и в общей теории функций (см.Ш,[2],[3],[24] и[25]).

Одним из основных направлений классической конструктивной теории функций является построение простейших линейных агрегатов, приближающих функции из данного класса в различных фиксированных точках, или же в нормах рассматриваемых пространств.

К числу таких линейных агрегатов относятся интегралы вида

^Л О.

где f - приближаемая функция, (a.)g) - некоторый конечный или бесконечный промежуток вещественной оси, У\>0- вещественный параметр, а K^ftj») - функция двух переменных и 3 , зависящая от параметра ^ и обладающая некоторыми характерными свойствами.

Интегралы вида (0.1) в теории функций называются сингулярными, а функция _|СЙіз)- ядром сингулярного интеграла. Это название, видимо, связано с тем, что в конкретных случаях ядра K\ftj0 неограниченно растут при Х-*оо в точке {.= ос .

Первые результаты, относящиеся к вопросам сходимости интегралов (.0.1) к значению -у (а) при фиксированном X и при

_ 4 -

;Х->с^ , были получены еще в 1909 году А.Лебегом (см.напр. [24], стр.261), который исследовал сходимость в точках непрерывности суммируемой функции \ (о) . Отметим, что эквивалентное утверждение было получено и Хааром (см.[1]). В дальнейшем П.И.Романовский [28] исследовал вопрос о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом (0.1).в, так называемых,

oL _ точках, т.е. в точках, в которых она является производной своего неопределенного интеграла, а Д.К.Фаддеев - в ее точках Лебега, т.е. в таких точках X , в которых

Указанные результаты вошли в фундаментальные монографии по теории функций и функциональному анализу и были в дальнейшем обобщены и развиты во многих направлениях (см.[і-3] ,[із] , [24-25]). Проблемы сходимости последовательностей сингулярных интегралов сыграли важную роль и в создании нового направления в конструктивной теории функций, связанного с теоремами П.П.Коровкина об условиях сходимости последовательностей линейных положительных операторов (см.[18]).

Следует отметить, что после работ П.И.Романовского и Д.К.Фаддеева теория сингулярных интегралов обогатилась целым рядом оригинальных работ советских математиков. Обобщения этих теорем на интегралы Данжуа и другие теоремы о сходимости таких интегралов были получены В.Г.Челидзе и А.Г.Джваршейшвили (см.[35], стр.224-234). Сходимость интегралов (0.1) к функции из Z_p(a.)g) в точках Лебега была исследована Б.И.Коренблгомом [17] . В работах С.Б.Топурия изучались сингулярные интегралы по \1 - мерной сфере (см.[і5І), где имеется и соответствующая

библиография).

Важные результаты, относящиеся к проблемам сходимости сингулярных интегралов типа (0.1) в обобщенных а - точках, в точках Лебега данного порядка и в норме пространства Z-» были получены в работах Р.Г.Мамедова[і9-23І. При этом интегралы (0.1) исследованы Р.Г.Мамедовым и в случаях, когда условия накладываются на мажоранту ядра, причем, впервые сформулированы и решены задачи о скорости (порядках) сходимости.

Теоремы о сходимости сингулярных интегралов с бесконечными пределами интегрирования, обобщающие классические результаты о сингулярных интегралах типа Фейера, приведенные в[2], получены в работе А.С.Джафарова[і4І .

Наконец, отметим еще работы[5],Ї7І,[їб] , посвященные нахождению порядков сходимости различных сингулярных интегралов.

Приведем один из наиболее общих результатов о порядке сходимости интегралов (0.1) при &=-«> , ё =

ТЕОРЕМА. (Р.Г.Мамедов[Ї9І). Пусть -?є/р, р*1 и неотрицательная функция KjxGo^D удовлетворяет условиям:

б) при фиксированных ^Х и X она возрастает по т в
промежутке -оіз."] и убывает в [эс_?оо) ;

в) при некотором фиксированном [\|V О и некотором малом

г) при фиксированном X и при ^\-^ для любого о >0

где О^о^^/ч/ ;

д) при фиксированном X и при 3\ -> <*>

Если при данном значении X и при П-?-^и функция

удовлетворяет условиям

_-к.

_{^\?(х+Є-^Л^о(Г}¹_{) ,}

к.

_С*)

о где ^(ос) и т (а) некоторые конечные величины, то при ^

-^ оо

LAW-- 2—~

о(л_л

В работе[19] без доказательства отмечено, что в правой части условий ('«) можно заменить О (Г) на О (^p(k)) , где \ЧН) - некоторая функция, стремящаяся к нулю при h-*o В работе Р.Г.Мамедова[22*] доказано и обобщение приведенной теоремы на функции, удовлетворяющие условию

~ $<х>|Р

_С»

где g-(2c)>0 весовая функция, по которой вводится функция

-oo<^xcCQ(_x)

eft) = ^ W*±

При этом условия б)-г) накладываются на функцию

а условие д) - на __Р . - . Соответственно, весовая функция

^Сх) входит и в условия С*)..

Все изложенные выше результаты относятся к сходимости интегралов (0.1) при фиксированном X . Имеется, однако, и другой подход, основанный на результатах Фату, относящихся к поведению интеграла Пуассона

Применительно к интегралу (0.1) этот подход заключается в исследовании сходимости /_л(ІЗЗ)к \(х₀) , где эс₀ -фиксированная характерная точка функции f (be), при условии, что точка Qx'-i^) стремится к точке CoCojAo) Вдоль некоторого пути.

Теорема Фату утверждает, что интеграл Пуассона P_z(i'jcS) стремится к ^(о)₀) в каждой d - точке, если (г^со)^ (l;c0_o) по любому некасательному к единичной окружности пути (см.напр. [3], стр.160, а также [її], стр.369).

Этот результат Фату был обобщен в ряде работ. В частности, в работе Р.Таберского[зо] был получен аналог теоремы Фату для

общих сингулярных интегралов типа (0.1) с ядром, зависящим от разности аргументов, когда 0= -ЗС , в = 5Г » a -f(oc) и К_ЛС^) являются 1% - периодическими функциями. При этом, в теореме Р.Таберского[Зб1 дано характеристическое описание пути, по которому имеет место сходимость Z^C+jcc) К +(2о) если "Хо -есть точка Лебега функции \ . Это описание дано в терминах ядра, а именно, указанная сходимость имеет место, если точка (зсhУ) стремится к точке C^ej^J) по любому плоскому множеству, на котором ограничена функция Ice-эс<,\ К (о) л) .

Аналогичному вопросу были посвящены также и работы А.Д. ГаджиеваВД и [б]. В частности, в работе L6] найдены порядки сходимости сингулярных интегралов типа (0.1), рассмотренных Р.Таберским. В дальнейшем результаты Р.Таберского и А.Д.Гаджиева были обобщены в работах [8 - 10] и [2 .

Настоящая диссертация также посвящена исследованию сходимости и нахождению порядков (скорости) сходимости сингулярных интегралов.

Диссертация состоит из двух глав, разбитых на семь параграфов. Теоремы, предложения и формулы внутри параграфа имеют двойную нумерацию: первая цифра указывает номер параграфа, а вторая - порядковый номер теоремы или формулы. Следствия из основных теорем имеют тройную нумерацию: первые две цифры повторяют номер теоремы, а третья цифра, записанная в скобках, указывает на номер следствия. 1-4 составляют содержание первой главы, а 5-7 - второй.

Приведем вкратце, основные результаты, полученные в каждом из параграфов первой и второй главы.

Первая глава посвящена исследованию сходимости и порядков

сходимости одномерных и многомерных сингулярных интегралов в характерных точках суммируемых функций и в среднем.

Первый параграф носит вспомогательный характер и содержит доказательство некоторых важных для дальнейшего лемм. Приведем одну из них.

ЛЕММА 1.3. Пусть f Gl_p(a>0 и

V п 2 с/

rCL+K.

Щ zz Suf -Тре \ \^ CO\^PdH: < -о

где <^->0 некоторое фиксированное число.

Тогда какова бы ни была неотрицательная убывающая функция

Ф (-t) Q ZjCfljO справедлива оценка

о ^

\ &_&)н>ыФ a+f-) IV [а-«у no <н .

При р-1 утверждение леммы следует из леммы, доказанной Р.Г.Мамедовым 22] , а при p = i. и о=0 -из леммы И.П.Натансона ([24], стр.262).

В этом же параграфе приводятся некоторые модификации лемм, доказанных А.Д.Гаджиевым [6] .

Приведем, например, следующее утверждение.

ДЕММА I.I. Пусть J*. Ofc) возрастающая функция, абсолютно непрерывная на отрезке , №(о)-о , а Ф({) - неотрицательная функция ограниченной вариации в каждом интервале (a±->g) , причем, ^б/₁(оі)0 и

Если функция f Zp (dipі) удовлетворяет условию

то справедлива оценка

а ¹ где С^И1_(в.₀.

Отметим, что при Р^=:і- утверждения леммы следует из леммы А.Д.Гаджиева 16]. Если р-і и м(-1)={ , то мы приходим к лемме Р.Таберского [30]. Если же pri , а Ф - монотонно убывающая функция, то получается лемма Р.Г.Мамедова [22]. Наконец, если p~i , ^00=^ и Ф(ї) - монотонно убывающая функция, то лемма І.І содержит известную лемму И.П.Натансона L241.

Во втором параграфе с помощью основных лемм первого параграфа исследуется порядок сходимости сингулярных интегралов типа свертки

/ (Ы=^юК_Ла-*)<^ , (0.2)

где т ^ZpC-⁰⁰;⁰⁰) , p^i .

Приведем некоторые из полученных результатов.

Пусть ct?o некоторое фиксированное число и при некотором фиксированном 6 >о величина

- II -

oL_/?

стремится к нулю при rW⁰⁰

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть неотрицательная четная функция K^w удовлетворяет условиям:

а)

с*ъ

\ K_N(tU4: = l , V^=i,a,-

б) монотонно убывает на [о>) и при ft-*⁰⁰ и при любом фиксированном $ >

кл?) = <Х,_Р,0 -

S\(*U-t = о (Д J) _

Если функция при фиксированном х и при

\^ о удовлетворяет условию

где oL?o то же число, что и выше, то для интеграла (0.2) в этой же точке о: справедливо соотношение

Заметим, что утверждение о порядке сходимости интеграла (0.2) было ранее доказано Р.Г.Мамедовым (см. напр.[19]). Приведенная теорема 2.1 дает более точный результат.

В этом же параграфе приводятся и некоторые утверждения

более общего характера, являющиеся, однако, менее точными, чем теорема 2.1.

ТЕОРЕМ 2.4. Пусть в интеграле (0.2) ядро K^ft) является четной функцией, удовлетворяющей условию

Ос»

_ оо

ТС-

и обладающей неотрицательной мажорантой т.е. при любом \\ = \,1,- и любом -t >о

lK,ft)U

Пусть К^Ш является функцией ограниченной вариации на любом конечном отрезке правой полуоси и при любом фиксированном о > о и при П -*

где

^(^=^^*Cs)₊<(^^cLt ,

(0.3)

a P^-C-t) возрастающая функция, абсолютно непрерывная на любом конечном отрезке правой полуоси и К(о)=0.

Если при фиксированном *х и при К -* функция t^Z (-⁰⁰)⁰⁰) ' Р ^ Удовлетворяет условию

- ІЗ -

) І?(аН) + ^(схЧ)-2ІСа)ГсІІ = О (^(Ю)_з (0.4)

то в этой же точке X при п--^⁰⁰ для интеграла (0.2) справедлива оценка

В частности, из этой теоремы, как и из теоремы других, доказанных в этом параграфе, выводятся многочисленные следствия. Приведем так же одно приложение полученных результатов.

ТЕОРЕМА 2.5. Пусть в интеграле (0.2) К CO=ft-H(a-fc) где неотрицательная, четная функция HCfc) монотонно убывает на полуоси [о ,<»)

— ОО

и при фиксированных &L>o и р^1-

' о

Если функция в фиксированной точке ос при

\\->о удовлетворяет условию (0.4) с JA Cfc)= -t ⁺ _t то в этой же точке эс при ft-»⁰⁰

Д(1зх)-^х) ₌ о(а-"^/р) .

Отметим, что результаты 2 обобщают и уточняют некоторые результаты Р.Г.Мамедова [19 - 23^ .

В третьем параграфе изучается порядок сходимости сингулярных интегралов

W^x^^k^oU .

(0.5)

Устанавливаются теоремы, уточняющие приведенную выше теорему Р.Г.Мамедова[19]. Кроме того, в этом же параграфе устанавливаются и более общие теоремы при условии, что функция удовлетворяет условию (0.4). Приведем некоторые из общих результатов.

Пусть кШ та же функция, что и выше и

а+5⁴

где Р >i , й>о - фиксированные числа, ах- фиксированная точка вещественной оси.

ТЕОРЕМ 3.4. Пусть в сингулярном интеграле (0.5) ядро KvCfeS-) является неотрицательной функцией, удовлетворяющей при любых фиксированных X и Л условию

— о

и fv^ftioc) как функция от т монотонно возрастает в (->а) и монотонно убывает в (о:; с») . Кроме того, пусть существует неотрицательная функция ^PC-t) и число р^-i такие, что

± ^- С"⁰⁰-»⁰⁰) ^{и П}^^{)И лю}^^ых Фиксированных ^ и _г

где 1= p^ , a f_л^д

(

Если функция 3(- удовлетворяет условию

_Ift)

_{і + ум}

_{Z9 (-*»,«»)}

и для нее при п.-* о выполнено соотношение

/ ^а+^ \1/р

^ X то при IX -» оо

где /.(і⁴-) определено в (0.5).

Заметим, что эта.теорема обобщает и уточняет один результат А.С.Джафарова (см.[14]).

В качестве применения отметим следующий результат.

ТЕОРЕМА 3.5. Пусть в интеграле (0.5)

^К_Л^{а;х) = х\\Ы±-4} _J

где функция пСрс) является четной, ограниченной на отрезке [-l-,i] и такой, что х. Н(х) ограничена на всей оси и

Пусть функция \ (ос) удовлетворяет условиям

^{11 1 +} * %(—,«0

и для некоторого положительного ^ <1 при п -»о эо+к

ОС Тогда при ^\ ~*

Четвертый параграф посвящен исследованию многомерных сингулярных интегралов с радиальным ядром:

К (^>-'>^) = Х_Л (^2^- + ^) .

Обозначая точки R через ос, ч, можем записать V\- -мерный сингулярный интеграл с радиальным ядром в виде

где СІЧ - лебегова мера в R. , а \$\ = (2L ^ ) Пусть J^Ot) та же функция, что и в 1-3.

Положим также

где Ь - единичная сфера в К J= т^г , aS- - эле-

мент площади поверхности сферы, а норма берется по 5е .

Приведем один из результатов 4.

ТЕОРЕМА 4.3. Пусть в интеграле (0.6) ядро К^Й) Удовлетворяет условию

и обладает мажорантой К^ ft), являющейся при каждом 0>о функцией ограниченной вариации на отрезке (о, &] и такой, что при ^Х -> оо

_^^п_{"К«оі+ =оГд*(л>)*}

где A. (ja.) определена равенством (0.3).

Если функция \б/_р(ю удовлетворяет при Ь-*о усло-

*

\[i^M^?<&=o(_r($₉

то при ^

_*м>

SX|ii)-ML = ^*

^{^ 4 (R")}

Заметим, что результаты 4 уточняют и обобщают некоторые из результатов Р.Г.Мамедова l9],[23] .

Вторая глава посвящена исследованию сингулярных интегралов типа (0.1) при условии, что точка (ЗС)Л) стремится к точке (х,;Ло) вдоль некоторого пути, т.е. сингулярный интеграл (0.1) здесь рассматривается как двупараметрическое семейство. Содержание второй главы изложено в трех параграфах 5-7.

В пятом параграфе изучается сходимость /д(|за) к 4-(.). когда (х;)>) стремится к (a<,jV) по некоторому пути.

Пусть Z - плоское множество точек (ос;}) , а (осо)зц) предельная точка 2 . Полагая н=(зс;л), г₀- (ok;>«,)., перепишем интеграл (0.1) в виде

а.

В этом параграфе также J^(-t) указанная выше функция.

ТЕОРЕМА 5.1. Пусть в интеграле (0.7) ядро Kftjz) является неотрицательной, измеримой и ограниченной функцией Z при каждом 2^ и если р - а. у Ц-\Ъ-^о\_? а^* <^ Q , то при произвольном стремлении Z К Zo

[ KCtsiOott — А- .

Пусть, кроме того, при любом фиксированном Z/- ядро как функция -fc , монотонно возрастает в L&jx] , монотонно убывает в Цэс;] и если при фиксированном -k = * существует такое S⁴ т> С , что при 2-> ₀ выполняется неравенство

Сы к(У^)=о.

Если в некоторой точке сХо(аз) функция \Q:L^{fl\i) удовлетворяет условию

то для интеграла (.0.7) предельное равенство

будет справедливо при условии, что ->Н₀ по любому плоскому множеству, на котором ограничена функция

а.

Отметим, что эта теорема содержит весьма общий результат, и,в частности, охватывает теорему Р.Таберского ЕЗО].

В качестве примера рассматривается сингулярный интеграл типа Гаусса-Вейерштрасса

с функцией⁵^ . А .

"*' Отметим, что .случай р=3 .взят нами лишь для облегчения соответствующих вычислений.

Относящийся к этому интегралу результат является частным случаем теоремы 5.2.

СЛЕДСТВИЕ 5.2 (I). Пусть в сингулярном интеграле W(+ja,jt) функция f /__ъ(-)<>) и в точке ос=эсо удовлетворяет соотношению

_{в** М \ lWwf}^A_{V =}

Тогда

если только (oc,)v) стремится к (эСо_?Л<,) ^п0 такому плоскому множеству, на котором ограничена функция _JCX-OCpj ^

В шестом параграфе результаты типа теоремы 5.1 доказаны для интегралов (0.7), ядра которых имеют горбатую мажоранту. Полученные в этом параграфе результаты частично обобщают результаты 5. С другой стороны, в этом параграфе предложен несколько иной способ доказательства теорем о двупараметричес-кой сходимости.

Наконец, седьмой параграф посвящен сходимости сингулярных интегралов с 2.%- периодическим ядром, зависящим от разности аргументов к недифференцируемым функциям, имеющим в фиксированной точке односторонние производные.

Рассмотрим сингулярный интеграл

^(^xb^^ft)K^-aOAt ,

(0.8)

-%

где \Є/.(-%)%) 2-%- периодическая функция, а 1Лд(х)

обладает свойствами:

а) является неотрицательной дифференцируемой функцией и
при каждом Л ?х(і,х)=г1 І

б) при любом фиксированном о > О

*** HI»?

в) справедливо равенство

$ к_Лаш =-t+_Асо ,

где о (-0 ^5Г- периодическая функция.

ТЕОРЕМ

7.1. Пусть функция 1(х) в точке ОС=ЭСо имеет

КОНеЧНЫе ОДНОСТОрОННИе ПрОИЗВОДНЫе f(o) и |^_ (Оо) .

Пусть (сс,^") стремится к (Оо,>о)по такому пути ^ , что при

где С - постоянная, не зависящая от ос , х и Л и существует конечный предел

Тогда справедливо равенство

^{^с«.)}₊^{^(Ц+^-с^>[?;ы-^].}

Из этого результата выведены некоторые следствия. В частности, он содержит теорему Фату об интеграле Пуассона, которая получается при \₊(у*) -^(aj , >=^ и

а ».2.

^^"T^.CoS^+"?

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях автора [36-40] .

В заключение считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность моему научному руководителю доктору физико-математических наук А.Д.Гаджиеву за постановку задач и постоянное внимание.

О порядке сходимости последовательности сингулярній: интегралов типа.свертки. с бесконечными пределами

Настоящая диссертация посвящена исследованию сходимости и скорости сходимости некоторых классов, так называемых, сингулярных интегралов. При этом термин "сингулярный интеграл", в отличие от "особых"интегралов, употребляется применительно к интегральным операторам, широко использующимся в теории рядов Фурье, теории ортогональных рядов и в общей теории функций (см.Ш,[2],[3],[24] и[25]).

Одним из основных направлений классической конструктивной теории функций является построение простейших линейных агрегатов, приближающих функции из данного класса в различных фиксированных точках, или же в нормах рассматриваемых пространств.

К числу таких линейных агрегатов относятся интегралы вида где f - приближаемая функция, (a.)g) - некоторый конечный или бесконечный промежуток вещественной оси, У\ 0- вещественный параметр, а K ftj») - функция двух переменных и 3 , зависящая от параметра и обладающая некоторыми характерными свойствами.

Интегралы вида (0.1) в теории функций называются сингулярными, а функция _СЙІЗ)- ядром сингулярного интеграла. Это название, видимо, связано с тем, что в конкретных случаях ядра K\ftj0 неограниченно растут при Х- оо в точке {.= ос .

Первые результаты, относящиеся к вопросам сходимости интегралов (.0.1) к значению -у (а) при фиксированном X и при , были получены еще в 1909 году А.Лебегом (см.напр. [24], стр.261), который исследовал сходимость в точках непрерывности суммируемой функции \ (о) . Отметим, что эквивалентное утверждение было получено и Хааром (см.[1]). В дальнейшем П.И.Романовский [28] исследовал вопрос о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом (0.1).в, так называемых, точках, т.е. в точках, в которых она является производной своего неопределенного интеграла, а Д.К.Фаддеев - в ее точках Лебега, т.е. в таких точках X , в которых

Указанные результаты вошли в фундаментальные монографии по теории функций и функциональному анализу и были в дальнейшем обобщены и развиты во многих направлениях (см.[і-3] ,[із] , [24-25]). Проблемы сходимости последовательностей сингулярных интегралов сыграли важную роль и в создании нового направления в конструктивной теории функций, связанного с теоремами П.П.Коровкина об условиях сходимости последовательностей линейных положительных операторов (см.[18]).

Следует отметить, что после работ П.И.Романовского и Д.К.Фаддеева теория сингулярных интегралов обогатилась целым рядом оригинальных работ советских математиков. Обобщения этих теорем на интегралы Данжуа и другие теоремы о сходимости таких интегралов были получены В.Г.Челидзе и А.Г.Джваршейшвили (см.[35], стр.224-234). Сходимость интегралов (0.1) к функции из Zp(a.)g) в точках Лебега была исследована Б.И.Коренблгомом [17] . В работах С.Б.Топурия изучались сингулярные интегралы по \1 - мерной сфере (см.[і5І), где имеется и соответствующая библиография). Важные результаты, относящиеся к проблемам сходимости сингулярных интегралов типа (0.1) в обобщенных а - точках, в точках Лебега данного порядка и в норме пространства Z-» были получены в работах Р.Г.Мамедова[і9-23І. При этом интегралы (0.1) исследованы Р.Г.Мамедовым и в случаях, когда условия накладываются на мажоранту ядра, причем, впервые сформулированы и решены задачи о скорости (порядках) сходимости. Теоремы о сходимости сингулярных интегралов с бесконечными пределами интегрирования, обобщающие классические результаты о сингулярных интегралах типа Фейера, приведенные в[2], получены в работе А.С.Джафарова[і4І . Наконец, отметим еще работы[5],Ї7І,[їб] , посвященные нахождению порядков сходимости различных сингулярных интегралов. Приведем один из наиболее общих результатов о порядке сходимости интегралов (0.1) при &=-« , ё = ТЕОРЕМА. (Р.Г.Мамедов[Ї9І). Пусть -?є/р, р 1 и неотрицательная функция KjxGo D удовлетворяет условиям: ОС б) при фиксированных Х и X она возрастает по т в промежутке -ОІЗ."] и убывает в [эс?оо) ; в) при некотором фиксированном [\V О и некотором малом Применительно к интегралу (0.1) этот подход заключается в исследовании сходимости /л(ІЗЗ)к \(х0) , где эс0 -фиксированная характерная точка функции f (be), при условии, что точка Qx -i ) стремится к точке CoCojAo) Вдоль некоторого пути. Теорема Фату утверждает, что интеграл Пуассона Pz(i jcS) стремится к (о)0) в каждой d - точке, если (г со) (l;c0o) по любому некасательному к единичной окружности пути (см.напр. [3], стр.160, а также [її], стр.369).

Этот результат Фату был обобщен в ряде работ. В частности, в работе Р.Таберского[зо] был получен аналог теоремы Фату для общих сингулярных интегралов типа (0.1) с ядром, зависящим от разности аргументов, когда 0= -ЗС , в = 5Г » a -f(oc) и КЛС ) являются 1% - периодическими функциями. При этом, в теореме Р.Таберского[Зб1 дано характеристическое описание пути, по которому имеет место сходимость Z C+jcc) К +(2о) если "Хо -есть точка Лебега функции \ . Это описание дано в терминах ядра, а именно, указанная сходимость имеет место, если точка (зсhУ) стремится к точке C ej J) по любому плоскому множеству, на котором ограничена функция Ice-эс ,\ К (о) л) .

Аналогичному вопросу были посвящены также и работы А.Д. ГаджиеваВД и [б]. В частности, в работе L6] найдены порядки сходимости сингулярных интегралов типа (0.1), рассмотренных Р.Таберским. В дальнейшем результаты Р.Таберского и А.Д.Гаджиева были обобщены в работах [8 - 10] и [2 .

Настоящая диссертация также посвящена исследованию сходимости и нахождению порядков (скорости) сходимости сингулярных интегралов.

Диссертация состоит из двух глав, разбитых на семь параграфов. Теоремы, предложения и формулы внутри параграфа имеют двойную нумерацию: первая цифра указывает номер параграфа, а вторая - порядковый номер теоремы или формулы. Следствия из основных теорем имеют тройную нумерацию: первые две цифры повторяют номер теоремы, а третья цифра, записанная в скобках, указывает на номер следствия. 1-4 составляют содержание первой главы, а 5-7 - второй.

О порядке сходимости многомерных сингулярных интегралов с радиальным ядром

В этой главе сингулярный интеграл рассматривается как семейство, зависящее от двух параметров СЧ и и сходимость Z Cfjx) изучается при условии, что точка (Х) ) стремится к (х0) о) вдоль некоторого пути. Эти результаты излагаются в 5-7. В 5 описание пути стремления дается в терминах ядра \\ () х) , а в 6 - в терминах горбатой мажоранты ядра. В 7 доказывается сходимость продифференцированных сингулярных интегралов с периодическими ядрами, зависящими от разности аргументов. При этом предполагается, что функция также 2 периодическая и обладает в фиксированной точке х0 конечными односторонними производными. Доказанный результат, в частности, содержит теорему Фату и теорему OSo-Ш0 интеграле Пуассона. 5. О сходимости семейства сингулярных интегралов с двумя параметрами Пусть Z- - плоское множество точек (Ьс7Л) , имеющее предельную точку (Оо,) Рассмотрим семейство сингулярных интегралов где (cije)- произвольный конечный промежуток вещественной оси, /р(а,0 » Р 1_» а ядро \\(-b?(j,$) обладает некоторыми свойствами, на которых мы и остановимся. Обозначим для краткости точки множества Z- через , так что (ос-)ХУ и (ХоА) =2о и запишем наш интеграл в более компактной форме Всюду в дальнейшем мы считаем, что Kft? ) удовлетворяет следующим условиям: а) KGoZ) является неотрицательной, измеримой и огра ниченной функцией от при каждом фиксированном при произвольном стремлении Н. к 2о Ї б) при любом фиксированном 2 Z ядро K(i??) как функция одного лишь 4: монотонно возрастает в про межутке а, Х \ , монотонно убывает в [ос, ] ; в) если при фиксированном "c=-fc сутцествует такое поло жительное число о » что при стремлении Z к выполняется неравенство ос о , то Нетрудно привести примеры ядер, обладающих свойствами а)-в). Отметим классические ядра, зависящие от разности аргументов, например, ядро Абеля-Пуассона ТЕОРЕМА 5.1. Пусть в сингулярном интеграле (5.1) функция в/р(а,) » Р 1 » а ядро Kft?z) обладает свойствами а)-в). Пусть проме того, j\ ft) - возрастающая функция, абсолютно непрерывная на отрезке [_о,$-а. ] и ГДСо) о .

Тогда если в некоторой фиксированной точке Х 6 (ci)0 для функции (х) выполняется соотношение то для сингулярного интеграла (5.1) предельное равенство будет справедливо при условии, что точка =(сс,;х) стремится к точке Z0= (оо ;Ао) по любому плоскому множеству, на котором ограничена функция В силу условия (5.3) для любого заданного О можно найти такое S" ( О V m lv (х - л, 2 - зьп , что при всех положительных V S4 будет выполняться неравенство Зафиксируем это ъ и допустим, что lZ-Z\ Тогда -ядра КЙ;г) при любом стремлении Z к 2.0 будем иметь Далее, рассмотрим 1,(2) . Так как здесь [ t-X P , а

Кроме того, если ОС -оСо , то 0с 0Со+J- и поэтому на отрезке [_х»+, і \ ЯДР Kft,%) монотонно убывает по в силу свойства 6)}, Если же ОС оСо » то опять ОС Оо+Г и мы можем сослаться на то же свойство ядра.

Двупараметрические. семейства сингулярных интегралов, ядра которых имеют горбатую мажоранту

Теорема о сходимости сингулярных интегралов типа (3.1) была доказана ранее в работе [14]. В отличие от нашей формулировки в работе Д4"1 требуется, чтобы функция Ct?x) при фиксированных Ос и \ , как функция одного лишь -Ь , монотонно не возрастала в (-,о) и не убывала в (о; ) » а Функция 4-Сх) удовлетворяла условию При этом в [14] установлено, что Отметим, что классические ядра, зависящие от разности аргументов t - X при каждом фиксированном ОС не являются монотонно убывающими в (-о;о) и возрастающими в (о, со) . В то же время в (- о) они возрастают, а в (Ojoo) убывают, т.е. нашему условию удовлетворяют. Следующая теорема позволяет несколько ослабить условия на ядро и, в частности, рассматривать не только неотрицательные ядра. ТЕОРЕМ 3.3. Пусть в сингулярном интеграле (3.1) ядро \ (4;,х) удовлетворяет условию (3.4) и существует функция - 59 R? ("Ь я) » удовлетворяющая (?i%,y) - условию и такая, что при любых І) X и У ОС "V п — оо Первый и третий интегралы дают величину порядка О ( Р (м.)) в силу (3.7) и (3.8), а интеграл по промежутку (ac-fr ос +fr) оценивается с помощью лемм I.I и 1.2. Как и выше, получаем, что этот интеграл не превосходит (с точностью до константы) величины (j\ (f)) Остальное очевидно. ТЕОРЕМА 3.4. Пусть в сингулярном интеграле (3.1) ядро КчСЬх) обладает свойством (3.4) и при фиксированном DC - 60 удовлетворяет (рф р)- условию. Если функция \(х) удовлетворяет условию (3.7) и в точке С для нее выполнено соотношение X то при У- для интегралов (3.1) справедливо соотношение Wx(l,xb?(ac) = o( (r)) /7z где j\(K) величина, определенная в (3.3). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как и выше, достаточно доказать, что оо так как для интеграла по (-;2с) оценка аналогична. В силу (3.10), по t о можно найти такое о , что при V S4 будем иметь . Благодаря этому, мы можем применить к интегралу по промежутку (oc.OC+S4) следствие I.I из I. Это дает нам оценку х Оставшийся интеграл оценивается, как и в доказательстве теоремы 3.2. Имеем где T I+ то же, что и в доказательстве теоремы 3.2. Таким образом, в силу (3.5) и (3.6) имеем Остальное ясно. Укажем одно применение к широкому классу ядер типа Фейера. Напомним, что ядро вида K tt; ) —)mU&-2c ) называется ядром типа Фейера, если функция Ц(л) удовлетворяет следующим условиям [I] : в) г\(х) ограничена на отрезке 1 ос 1 ; г) X п(0 ограничена на всей оси. Как видно из этого, монотонность функции VI6 ), вообще говоря, не предполагается. Пусть и пусть С - азс С Сг.} . Введем функцию Ясно, что H (t) монотонно возрастает при -оо - 0 и монотонно убывает при о Ь оо . Легко видеть, что при любомх Таким образом, мы показали, что для любого ядра типа Фейера \\(х) существует мажоранта И (ас) , являющаяся четной функцией, монотонно убывающей при ос ъо и монотонно возрастающей при ОС о , причем при любых t\ и Ъ

О сходимости сингулярных интеграловзависящих от двух параметров, кнедифференцируемым функциям

Следовательно, в силу теоремы 3.3, нам достаточно показать, что для функции \\ GO выполняется условие (3.5) определения (p;Q, f) -условия (см. определение 3.1) при р = 1 , 9,= и v((t)= (-fc-х) . Легко видеть, что

Отметим, что из теоремы 3.5 легко вывести соответствующие утверждения для сингулярных интегралов Гаусса-Вейерштрасса, Абеля-Пуассона, Джексона и других. 4.0 порядке сходимости многомерных сингулярных интегралов с радиальным ядром В этом параграфе мы приведем теоремы о порядке сходимос ти многомерных сингулярных интегралов с радиальными ядрами, т.е. с ядрами вида Через YV мы будем теперь обозначать размерность пространства. Пусть, как обычно, Л- мерное вещественное евклидово пространство, а 5 единичная сфера в (. . Через сд обозначим площадь поверхности сферы 5 . Как известно, и)Лг 2% /\ (пД) , где V (х) - гамма функция Эйлера. Для точек ЯЛ мы будем использовать векторное обозначение, по-лагая з- = (Ьс ,-,эс«) , - (-Ь , Дп) и т.д., а также \х\- (x - -i-Xvf) Буква без стрелки обозначает точку \ т.е. точку на вещественной оси. Через сім мы будем обозначать элемент объема в RA , т.е. oU rota-Дм . а через clSir элемент поверхности единичной сферы Cj -. ч5" - - + у - d. . Если Ч (ч .то через мы будем обозначать соответствующую точку на сфере л" , т.е. имеем Рассмотрим теперь tV - мерный сингулярный интеграл где "}s o - вещественный параметр. Как и всюду выше, будем считать, что №ft) возрастающая функция, абсолютно непрерывная на любом конечном отрезке правой ПОЛуОСИ, И [A (. )=0 . и так как 0 произвольно, то теорема доказана. Если же функция \(х) удовлетворяет вместо (4.5) условию (4,6), то результат следует из уже доказанного, если заменить в рассуждениях К (К J на } » № . Теорема доказана полностью. Из доказанной теоремы легко вывести следствия полностью аналогичные следствиям 2.1.(1)-(2.1.(3), приведенным в 2. Не останавливаясь на этом, докажем еще аналог теоремы 2.2 для /V-- мерного случая.

Похожие диссертации на Исследование сходимости и порядков сходимости некоторых семейств сингулярных интегралов

Исследование интегралов, представляющих юкавские константы связи в многообразиях Калаби-ЯуЧешель, Андрей Александрович

Исследование интегралов по Rn с линейными особенностями многомерных вычетовЖданов, Олег Николаевич

Метод фазовых интегралов в исследовании асимптотик собственных значений несамосопряженных задачТуманов Сергей Николаевич

Исследование свойств некоторых интегралов в пространствах C и C^2 Быкова Ольга Николаевна

Исследование некоторых классов интегралов в пространствах C1 и C2 и их приложения к решению краевых задачСавина, Светлана Владимировна

Исследования из экстремальных задач теории сильного суммирования рядов и интегралов КошиПачулия, Ниазбей Лукич

Операторные методы исследования уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами Калитвин Владимир Анатольевич

Исследование сходимости рядов Фурье по многочленам, ортогональным на дискретных системах точекВердиева, Асият Вердиевна

Исследование сходимости конечномерных аппроксимаций при решении вырожденных операторных уравнений Танана Алексей Витальевич

Исследование сходимости формулы Карлемана-Голузина-Крылова в классических метриках Барт Виктор Александрович