Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения 20
1.1. Конусы в векторных пространсгвах 20
1.2. Упорядоченные нормированные пространства 23
1.3. Различные виды ортогональности 24
1.4. Регулярные и строю регулярные конусы 25
1.5. Элементы теории приближений 38
1.6. Описание всех регулярных круглых конусов в пространстве 39
Глава 2. Геометрия регулярных конусов в пространствах 41
2.1. Круглый конус и конус Демарра-Красносельского 41
2.2. Описание множеств 44
2.3. Нахождение рассюяния от элемента до конуса 50
2.4. Описание множества элементов наилучшего приближения 53
2.5. R-ортоі опальная разложимость 58
Глава 3. О порядковой структуре абстрактного спин-фактора 59
3.1. Изучение конуса в абстрактном спин-факторе 59
3.2. Эквивалентность алгебраической ортогональности и ортогональности по Роберу 67
3.3. Описание множеств |Х|, Х+, Х , М(х) 70
3.4. Исследование множества Х+ П М{х) 74
3.5. К определению спин-фактора 75
Глава 4. Регулярные круглые конусы в пространстве ограниченных и непрерывных функций 78
4.1. Описание строго регулярного круглого конуса 78
4.2. Описание множеств |F|, F+, F- 80
4.3. Определение расстояния от элемента до конуса 82
Литература 85
- Различные виды ортогональности
- Нахождение рассюяния от элемента до конуса
- Эквивалентность алгебраической ортогональности и ортогональности по Роберу
- Определение расстояния от элемента до конуса
Введение к работе
В настоящее время теория упорядоченных векторных пространств составляет важное математическое направление, фактически один из основных разделов современною функциональною анализа.
Честь выделения класса порядково полных векторных решеток принадлежит Л. В. Канторовичу. Работая над дескриптивной теорией функции вещественной переменной, Л. В. Канторович решил вводить дескрипцию с позиции функционального анализа. Однако в банаховых пространствах отсутствовало упорядочение. Тогда и возникла идея обогащения аппарата функционального анализа — введения пространств, в которых определено отношение порядка. В 1935 году была опубликована первая заметка Л. В. Канторовича о линейных полуупорядоченных пространствах в Докладах Академии наук СССР, в которой он писал: "В этой заметке я определяю новый тип пространств, которые я называю линейными полуупорядоченными пространствами. Введение этих пространств позволяет изучать линейные операции одною общею класса (операции, значения которых принадлежат такому просіранству) как линейные функционалы". Выделенный Л. В. Канторовичем класс упорядоченных векторных пространств, обладающих порядковой полнотой, имеет ряд принципиально важных специфических свойств, позволивших предложить новые методы исследования функциональных объектов. Теория таких пространств — их называют теперь пространствами Канторовича или К"-пространствами — стала одним из основных разделов функционального анализа.
В 1940 г. Л. В. Канторович приступил к подготовке итоговой монографии. Однако работа над этой монографией была завершена совместно с Б. 3. Вулихом и А. Г. Пинскером лишь к концу 40-х годов. В книге «Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах» (1950) впервые дается систематическое изложение теории К- пространств [24]. Она до сих пор является ценным пособием для специалистов в этой области.
С середины 1960-х гг на математико-механическом факультете Ленинградского государственного университета работал городской семинар по теории полуупоря- доченных пространств, который возглавлял Б. 3. Вулих, заведующий кафедрой математического анализа и ученик Л. В. Канторовича. В конце семидесятых годов вышли две фундаментальные книги Б. 3. Вулиха |1б|, |17], в которых детально излагалась общая теория конусов в нормированных пространствах. В [16] рассмотрены нормированные пространства "с одним конусом", а более тонкие вопросы теории конусов приведены в [17].
Близкую к этому теорию пространств с конусами положительных элементов развил М. Г. Крейн и его ученики во главе с М. А. Красносельским. В книге [33] содержится сравнительно небольшое количество материала по теории конусов в банаховых пространствах, получившей значительное развитие в более поздние годы. В большом цикле работ М. А. Красносельского совместно с П. П. Забрейко, Е. А. Лифшицем, Ю. В. Покорным, А. В. Соболевым, В. Я. Стеценко ([34], [40]) в новых направлениях развивается теория М. Г. Крейна конусов и положительных операторов. Здесь выделены новые классы операторов с ведущими простыми собственными значениями, оценены спектральные зазоры, решен ряд геометрических задач и т.д. Выделенные классы охватывают, как оказалось впоследствии, операторы многих задач математической физики.
Теория полуупорядоченных пространств интенсивно разрабатывалась и на Западе, где этих вопросов касались работы Гаррета Биркгофа, X. Фрейденталя, Дж. фон Неймана, Ф. Рисса.
Все рассматриваемые обычно в функциональном анализе пространства естественным образом подходят под определение полуупорядоченного пространства. Существенное отличие таких пространств состоит в том, что здесь приходится рассматривать две сходимости. В 1964 г. американский математик Р. Демарр [52] опубликовал теорему о том, что в любом нормированном пространстве можно ввести такое частичное упорядочение, при котором сходимость по упорядочению (о-сходимость) совпадает со сходимостью по норме (Ь-сходнмостыо). При этом, если исходное нормированное пространство полно, то по отношению к вводимому упорядочению оно оказывается дедекиидово полным. Однако детальный анализ книги М. А. Красносельского [33], вышедшей еще в 1962 г., показывает, что в существенной своей части теорема Демарра уже содержится в этой книге, хотя и не сформулирована явно. При этом теорема оказывается верной и при гораздо более общем способе введения упорядочения, чем у Демарра, что показано в статье Б. 3. Вулиха и И. Ф. Данилснко [18]. Там рассмотрен конус вида К = Uaxc^' где F - произвольное выпуклое множество. Естественным образом возникает задача исследования конусов данного вида, чему и посвящена одна из глав данной диссертации (задачи 1 и 2 см. ниже).
Включение упорядочения в исследование объектов функционального анализа значительно обогащает и разнообразит их. Кроме того, элементы полуупорядоченного пространства во многом очень близки к понятию числа по своим свойствам.
Ряд авторов рассматривали пространства, в которых введены две полуупорядоченности, т. е. определено два конуса. Соответствующие задачи рассматривали В. Я. Стеценко [40], И. А. Бахтин |7], Б. С. Кубекова [36] .
Начиная с середины пятидесятых годов, математики разных стран, следуя общей линии развития функционального анализа, приступили к изучению конусов в линейных топологических пространствах, обобщая многие понятия, введенные раннее в нормированных пространствах. В начале 1970-х годов началось интенсивное изучение выпуклых операторов со значениями в упорядоченных векторных пространствах. В этот период произошел синтез методов выпуклого анализа с теорией упорядоченных векторных пространств. Изложение локальной теории выпуклых операторов имеется в книге Г. П. Акилова и С. С. Кутателадзе [б]; современное состояние теории представлено в монографии А. Г. Кусраева [38].
Вместе с тем, если к настоящему времени теория решеток достаточно хорошо разработана, то в теории конусов в банаховых пространствах остается много открытых вопросов. Хорошо известно, что общая теория банаховых пространств с конусом и теория банаховых решеток требуют привлечения различных идей и разной техники. Существенной трудностью является невозможность использования теорем реализации, которые очень эффективны в случае, когда пространство с конусом — банахова решетка. Существует ряд книг, в том числе переведенная на русский язык книга X. Шефера «Топологические векторные пространства» [46], в которых излагается общая теория конусов в линейных топологических пространствах. Однако развитие более общей теории конусов не лишает интереса специальное изучение конусов в нормированных пространствах. Во-первых, многие результаты имеют в нормированных пространствах более простой вид и получаются значительно проще, чем в общем случае, а в то же время в ряде приложений функционального анализа нормированные пространства продолжают играть основную роль. Во-вторых, в нормированных пространствах конусы поддаются более детальному изучению и здесь удается установить ряд специальных результатов, пока еще не перенесенных на общий случай.
Особое значение имеет определение регулярного конуса, которое впервые ввел Дэвис [51]. Оно нашло широкое применение в теории тензорных произведений и теории банаховых решеток. Понятие строго регулярного конуса было впервые подробно исследовано в работах В. Т. Худалова. Ему удалось описать регулярный конус в произвольном гильбертовом пространстве [43[, установить, что в гильбертовом пространстве регулярность равносильна самосопряженности [44]. В [45] он впервые изучил аппроксимативные свойства положительной и отрицательной части элемента в банаховом пространстве. Кроме того, и [14] дано описание всех регулярных круглых конусов в пространстве /". Основные результаты В. Т. Худалова собраны в его монографии [42]: изложены свойства пространств со строго регулярными конусами, приведены соответствующие примеры. Отдельные главы посвящены изучению тензорных произведений банаховых пространств с конусами и исследованию порядков в различных подклассах непрерывных линейных операторов.
Под руководством В. Т. Худалова изучением некоторых свойств регулярно упорядоченных банаховых пространств занималась Энеева Л. М. В ее работе [47] устанавливается изометрия банаховых пространств определенных операторов, следствием которой является ассоциативность тензорных произведений упорядоченных банаховых пространств с введенной кросснормой.
Исследуя свойства упорядоченных банаховых пространств, В. Т. Худалов рассматривал примеры разложения конкретных элементов на положительную и отрицательные части, вычисления проекций элементов, тогда же возникла задача описания этих множеств для произвольного элемента, а также изучения расположения проекции произвольного элемента на конус и множества его положительных элементов (задача 3 см. ниже).
Эта задача перекликается с одной из основных задач теории аппроксимации: Приближение фиксированного элемента х Є X фиксированным множеством F из X. В работах [25] и [41J доказаны условия существования и единственности элемента наилучшего приближения, общие критерии ближайшего элемента в выпуклом замкнутом множестве, в качестве частных случаев рассмотрены пространства С и Lp. Однако редко можно встретить вывод явных формул, определяющих проекцию произвольного элемента па множество, а также величину наилучшего приближения. Данный вопрос для случая, когда F — круглый строго регулярный конус, решается на протяжении всей работы для различных пространств (задача 4 см. ниже).
Кроме того, при решении упомянутых задач возникает необходимость изучения геометрических свойств строго регулярных конусов (н-дизъюнктная разложимость, вполне регулярность, вполне достижимость, наличие сильной единицы и единичной нормы), что является одним из основных вопросов, поставленных и решенных в этой работе (задача 5 см. ниже).
Теория полуупорядоченных пространств широко используется при исследовании экономических систем [39|. Например, при изучении производственного процесса А. И. Абакумов в [1] рассматривает модель Неймана-Гейла, которая представляет собой выпуклый замкнутый конус Z С R\ х R%. При выводе достаточных условий равновесия модели "затраты-иыпускмК. С. Демченко опирается на понятия и факты теории конусов [22].
Основным объектом изучения данной работы являются регулярные и строго регулярные конусы.
Целью диссертации является изучение геометрических свойств конкретных банаховых пространств, упорядоченных строго регулярными конусами.
Для доказательства основных результатов диссертации используются методы теории банаховых пространств и теории упорядоченных банаховых пространств.
Интерес к пространствам, упорядоченным такими конусами, обусловлен тем, что: рассматриваемый класс пространств является досіаточно широким, он содержит класс банаховых решеток и, кроме того, каждое банахово пространство эквивалентной перенормировкой можно превратить в пространство с регулярным конусом. В то же время известно, что существуют банаховы пространства, которые нельзя превратить в банахову решетку переходом к эквивалентной норме; в этом случае норма и порядок согласованы наилучшим образом, что компенсирует в известном смысле отсутствие хорошего порядка; в случае строго регулярного конуса удается найти аналоги положительной и отрицательной части элемента в банаховой решетке, а именно, определить множества положительных и отрицательных частей для произвольного элемента. При этом для некоторых пространств обнаруживается связь между проекцией элемента на конус и множеством его наюжительных частей и возникают вопросы об изучении расположения этих множеств.
Таким образом, в данной диссертации решаются следующие задачи:
Изучить возможность введения в конкретном банаховом пространстве строго регулярного конуса специального вида. В настоящей работе выделен класс конусов Демарра-Красносельского [52[. Доказано, что сопряженным к нему является круглый конус; выяснены условия, при которых конус Демарра-Красносельского является строго регулярным в гильбертовом пространстве и в пространствах /,, п > 2.
Описать все такие строго регулярные конусы. В данной работе получено описание всех строго регулярных конусов Демарра-Красносельского в гильбертовом пространстве и в пространствах />, п > 2. Кроме того, доказано, что в гильбертовом пространстве сопряженным к конусу Демарра-Красносельскою является снова конус Демарра-Красносельского. (3) Для введенных строго регулярных конусов изучить вопрос о рас положении проекции произвольного элемента на конус и множества его положительных частей, получить описание этих множеств. В диссертации это сделано для:
Всех строго регулярных нерешеточных круглых конусов в пространствах J", п>2.
Для всех нерешеточных строго регулярных конусов Демарра-Красносельского в пространствах 1^, п > 2.
Для конуса положительных элементов в абстрактном спин-факторе.
Для класса строго регулярных круглых конусов, порожденных функционалом 5Хд, в пространстве ограниченных на [а, Ь] функций, а также в пространстве непрерывных па [а, Ь] функций.
Получить явные формулы расстояния от произвольного элемента до произвольного строго регулярного конуса. Для всех перечисленных в пункте (3) пространств данные формулы найдены. Установлена интересная связь между нормой элемента и расстоянием от него до конуса.
Исследовать геометрические свойства строго регулярных конусов (н-дизъюнктная разложимость, вполне регулярность, вполне достижимость, наличие сильной единицы и единичной нормы). Данные вопросы решаются в диссертации для всех упомянутых выше строго регулярных конусов.
Диссертация состоит из введения и четырех глав. Приведем краткое содержание каждой из глав. Первая глава — вводная, в ней собран необходимый для дальнейшего изложения материал по теории упорядоченных векторных и нормированных пространств (1.1 - 1.2), определены различные виды ортогональности (1.3). Кроме того, рассмотрен мсгод построения круглого регулярного конуса в произвольном банаховом пространстве, приведены необходимые сведения и результаты о регулярных конусах, рассмотрен случай гильбертова пространства (1-4), Приведены некоторые определения и факты из теории приближений (1.5). В 1,6 приведено известное описание всех регулярных круглых конусов в пространстве /".
Во второй главе рассмотрен класс конусов Демарра-Красносельского специального вида. Получено описание всех регулярных конусов Демарра-Красносельского в пространствах ^, п > 1 и гильбертовом пространстве (2.1). Приведены формулы для рассчета расстояния от произвольного элемента до конуса ( 2.3). Описано множество элементов наилучшего приближения ( 2.4), Для произвольного элемента указано его разложение в виде ортогональных по Роберу элементов конуса ( 2.5). Приведем основные результаты этой главы.
Для произвольного а Є (0,1] и произвольного непрерывного линейного функционала / Є X* такого, что ||/|| = 1 определен конус
К\/,а}:={хЄХ: f(x)}a\\z\\}, который называется круглым.
Рассмотрим Con[a,r] = K(B[a,r]) = Ц^о/^[а'г1> гДеБ[а,г] —замкнутый шар с центром в точке а радиуса г, причем г < \\а\\. Конус Соп[а, г] называют конусом Демарра-Красноселъского специального вида (в дальнейшем будем его называть просто конусом Демарра-Красносельского). Опишем конус, сопряженный к нему. Имеет место теорема:
Теорема 1 (2.1). В произвольном банаховом пространстве сопряженный к конусу Демарра-Красносельского специального вида является круглым: Con*[a,r] = K[a,r].
Для гильбертова пространства этот результат допускает существенное уточнение, а именно справедлива следующая цепочка равенств: K[a, г] = Con[a, Vl - т7\ = Con* [а, г].
Кроме того, в произвольном рефлексивном пространстве сопряженный к круглому конусу является конусом Демарра-Красносельского специального вида.
Используя описание всех регулярных круглых конусов в гильбертовом пространстве и предыдущие факты, получаем, что конус Демарра-Красносельского Соп[а, г] является регулярным в гильберговом пространстве тогда и только тогда, когда он самосопряжен. Для пространства 1^, п > 1 описание всех регулярных конусов Демарра-Красносельского дает следующая теорема:
Теорема 2 (2.5). Пусть / = (Д, /2, ...,/„) є & и \\f\\ = 1. Конус Con[f,r] является регулярным в 1^, п > 1 только при двух значеннях г Є (0,1]: г = I; в этом случае каждая координата вектора f = (/1,/2, —,fn) равна 1 или —1. Яри этом получаем 2" конусов, которые порождают порядково изоморфные п изометричные между собой упорядоченные банаховы пространства (порядково изоморфные и изометричные банаховой решетке /, с естественным конусом положительных элементов); г = 1/2; в этом случае одна координата вектора / = (/h/2>—,/n) равна ±1, а все оаальные — нули. Получаем In конусов, порождающих порядково изоморфные и изометричные между собой упорядоченные банаховы пространства (порядково изоморфные и изометричные пространству /, с конусом: KJ=K[f,l] = {x = {xuX2,...)xn): х3 ^ sup{\xk\: k ^ j,k = t^n}}).
В дальнейшем при рассмотрении пространства /, мы подразумеваем, что оно упорядочено выше определенным конусом К3 = К[/, 1].
Известно, что если пространство Е упорядочено строго регулярным конусом Е+, т. е. (Е, Е+) Є {К), то для любого элемента х Є Е можно определить множество \Х\ элементов у Є Е таких, что ±х ^ у и \\х\\ = \\у\\, и, как следствие, два множества:
Х+ = \х + ~\Х\, *„ = -1ж+1|Х|.
По аналогии с банаховыми решетками, множества Х+ и Х_ называются множествами положительных (соответственно, отрицательных) частей элемента х. Элемент из множетсва \Х\ будем называть метрическим модулем элемента х.
Для элементов пространств /, и /" получены явные формулы, определяющие эти множества. Если элемент х = (х\,.,.,хп) принадлежит пространству ^, упорядоченному круглым регулярным конусом K\f, 1], тогда его метрический модуль принадлежит следующему множеству \Х\ ~\У Є ^,: = W.-IN+ 1^+^*1 <№< 1М|-|зу-а:*|, At^jJ, и справедливо представление х в виде х = х+ — х_, х+ Є Х+, х_ Є Х_, где: -( - }|я|| + \хі+хк\+хк) ^Ук^. gONI-ki -аьі+ік), M;}; -(- ||i|| + \хі + хк\-хк) ^^ 2 tll^H — l^1 -Xk\-Xk), кфзу
Известно [14], что круглый нерешеточный конус K[f, а] в пространстве /" является регулярным только при а = 0.5, при этом одна из координат (j- я координата) вектора / = (/у, /2,..., fn) равна ±1, а все остальные ~ нули. Таким образом, он имеет вид: KJ=K[f,l/2] = {x^(x1,x2,...,xn):xJ^ \хк\}. к=\,кфЗ
Рассматривая пространство /", упорядочсное такими круглыми регулярными конусами К3, для произвольного элемента х = (xi,..., х„) $ ±ЛГ, были получены следующие формулы для множеств его метрических модулей, положительных и отрицательных частей: = \ У = (Уи ...,yn):yj=X+ \\xj\, ук = signZjAjtZfc, кфз k=i,kft3 J X+ = < у = (ylt...,yn):y3 = -(X + x}{l + sigmEjA)), yk = -xk(\ + sign^A*). кфз, Ajfcfxjfcl = |х,|(1 - А), (КАЛО ; X. = l у = (yu ..., ft,): % - -(* + ^(sigiiXjA - 1)), = -^signZjA* - 1),
Ьфh ^2 Xk\xk\-\xj\{l-X),O^X,Xk^l\,k=ljtfr * где x = ELi,^j М-
Пусть пространство /" упорядочено круглым регулярным конусом Kv тогда возникает задача из теории приближений об определении меры приближения фиксированного элемента х Є /" множеством К3, т. е. величины d(x,K}) = infueff, {\\х — и\\). Используемый в работе подход позволяет получить явные формулы для нахождения расстояния от точки до конуса.
Теорема 3 (2.9). Расстояние от произвольного элемента х пространства I до конуса Kj определяется по формуле: {
О, если х принадлежит конусу К3; \\х\\, если х принадлежит конусу —К}; t=i fe-, \%k\ — ), если х не принадлежит конусам ±К3.
В данном случае устанавлена интересная связь между нормой элемента и величиной расстояния от него до конуса. Оказалось, что верно равенство: її м 1м ьм u v\\ J <*(-я, АГ,), еспия, >0;
М = m- {d{x, Кі)Л-*, К,)} = j^ ^ ^ J> < а
Конус Е+ в упорядоченном банаховом пространстве (Е, Е+) называется достижимым (или множеством существования), еачи для любого х Є Е существует ближайший элемент Рх. Множество всех таких Рх обозначается символом М{х). Одной из задач данной работы является описание множества проекций Рх на конус для любого х.
Теорема 4 (2.10). Конус К3 является достижимым. При этом если х принадлежит конусу, то множество элементов наилучшего приближения одноточечно и состоит из него самого, т. е. М(х) — {х}. если х} > О и х . Kj, то к=\,кф] О ^ а* < 1, M{x) = laK}:[aiXu...,a3-\x3-.x, ^ Ыхк1^3+\^+и---,^^),
I, Y1 акЫ>Х}>-
3) в остальных случаях М{х Jfc=l,JfcjSj ' {п aKj: faiXi,...,aj-iXj-i, J^ ak\xk\,a:,+iXj+u...,anxnj, 0 < ak < 1
В этой главе получен ответ па вопрос о расположении множества положительных частей элемента и множества элементов, на которых достигается расстояние от элемента до конуса. В случае пространства (/", К:) их пересечение не пусто и описывается следующими соотношениями: 1) если Xj = О, то M{x)f\X+ = \-(xlt...tXj-i, Y^ Ы,хн1,...,хп)\;
2) если Xj > 0, то
М(х | . _
1 + Afc
3) если Xj < 0, то М{х ( п )\\Х+ = \ [oiXu-'-tOtj-iXj-i, 22 ак\хк\,а3+1Хпи... ,апхп\ :
Л*Ы--^(1-А)|.
2 \ jt=i
В произвольных банаховых пространствах вводят различные аналоги понятия ортогональности так, чтобы в гильбертовом пространстве эта ортогональность совпадала с естественной. Дня изучаемых пространств рассматривается, так называемая, ортогональность по Роберу: элементы я, у Є Е+ называются ортогональными по Роберу (обозначается х ± у), если \\х + Ху\\ = \\х — Ау|| для любого
А ^ 0. Доказано, что для любого элемента х Є (/", К3) существуют ортогональные по Роберу элементы конуса х+ и х_ такие, что х = х+ — ж_, т, е. конус if, — н-дизъюнктно разложим. При этом ортогональные по Роберу элементы, являющиеся метрически положительной и отрицательной частями элемента х, имеют вид: ^+ =—Г~ух'""~х~' '~F''"'х)' -Л- Xj і Х\ Xj — l . ^j + 1 ""п \
ГДЄ X = ELlJMj Ы-
Исследования конуса K[f, 1], введенного в пространстве /,, показали, что он является вполне достижимым и вполне регулярным конусом. Откуда следует, что множество его положительных элементов совпадает со множеством элементов наилучшего приближения, т, е. Х+ = М(х). Кроме того, для любого і Є ^ найдутся ортогональные по Роберу положительная и отрицательная части, т. е. элементы х~ Є J\L и х+ Є Xj., такие, что Х- ±х+.
В третьей главе в пространстве ВхЯ = {(a, h): а Є R, h Є Н} со специально введенной на нем операцией (спин-факторе) изучается конус положительных элементов. Исследованы свойства этого конуса (3.1). В 3.2 доказано, что алгебраическая ортогональность эквивалентна ортогональности по Роберу. Описаны и исследованы множества метрических модулей, положительных и отрицательных частей, множество элементов наилучшего приближения для произвольного элемента (3.3-3.4). Изложим вкратце результаты этой главы.
Рассмотрим пространство Ж х Я = {(a, h): а Є R, h Є Я} с введенной на нем операцией о: (a,h)o(0,f)=(a/3+(h,f),af + Ph) (а,/?єМ; /і,/Є Я).
Норма на R х Н определяется по формуле: \\(а,Н)\\ = \а\ + уДЩ (аЄМ;ЛєЯ).
Тогда A = R х Я является JB-алгеброй, т. є. йордановой алгеброй с единицей 1 = (1,0) и нормой, удовлетворяющей условиям: l|sy]KNHM|, Vx,yeA; (1)
И = |И|2, УхЄЛ; (2) ||s2|KI|z2 + y2||, Чх,УЄА. (3)
Конус положительных элементов в A = R х Н вводится формулой
А+ - {г2 : z Є А}.
Оказывается, что справедливо представление этого конуса в виде:
Л+= {(&/) ЄЛ :^||/||}.
Исследуя вопрос о том, когда произведение двух элементов конуса х = (a, h) Є А+ и у = (/?,/) Є А+ принадлежит этому же конусу, были получены следующие результаты: если h — 0 или / = О, то х о у є Ал,; если h ф О и / ф 0, то xoyGAu. <=> тщу + ||—тг ^ 2(1 +8іп^), где <р - угол между h и /.
Дальнейшее изучение упорядоченного спин-фактора показали, что конус А+ является круглым конусом K\F, |],гдеР є A*,F = (1,0). Кроме того, справедлива теорема:
Теорема 5 (3.1). Конус А+ = {($,/) Є А : $ ^ \\f\\] является строго регулярным конусом в А.
Решая задачу о нахождении ортогональных по Роберу элементов, было доказано, ЧТО КОНуС Ал. ЯИЛЯСТСЯ Н-ДИЗЪЮНКТНО раЗЛОЖИМЫМ, Т. 0. ЛЮбые ЗШемеНТЫ Хл. и Х- такие, что х = х+ — х_, являются ортогональными по Роберу.
Для произвольного элемента рассчитана величина расстояния до конуса.
Теорема б (3.2). Величина расстояния от произвольного элемента х = (a, h) Є А до конуса А+ определяется формулой:
О, если х Є Л+; d(x, А+) = { \\h\\ + |а|, если х е -А+; - а, если х . ±А+.
Так как Ал. = {z2: z Є /1}, то для любого элемента х = (a,h) G А ближайший квадрат находится по формуле: { z2 = х, если х А+] z2 = 0, если х Є —А+; ^ = |(«+11М!)(1,ш), если а * ±Л+.
В параграфе 3.2 получен интересный результат о том, что алгебраическая ортогональность эквивалентна ортогональности по Роберу, т. е. доказана теорема:
Теорема 7 (3.3). В произвольном спин-факторе алгебраическая ортогональность равносильна (с некоторыми ограничениями) ортогональности но Роберу, т. е. для любых двух элементов х = (a, h), у — (/3, /) А таких, что а/? ф 0 и / ф 0, справедливо: х о у = 0 <=* хХу.
Следствие. Еслих, у Є А+, тохоу = 0 тогда и только тогда, когда х±у = 0,
3.3 посвящен описанию множеств метрических модулей, положительных и отрицательных частей, а также множества элементов наилучшего приближения М(х). Получены их представления для различных элементов пространства, так в случае, когда х $ ±^+, они имеют вид: |*| = { ((1 - А)||Л|| + |4 Asignaft) : 0 « А < М}; X+ = i{((l-,)M + a + W,(^*):0<^l};
М(ї) = |(АИ|,Ал):2І|М<А<і].
Выяснено ( 3.4), что для каждого х Є А множество Х+ f] М(х) не пусто. Для х Є А+ и х . ±А+, х = (a,h), а ^ 0 множество X+f]M(x) состоит из одного элемента, в остальных случаях представляет собой линейный сегмент.
Цель четвертой главы — изучение геометрических свойств регулярных круглых конусов в пространствах ограниченных и непрерывных функций. В пространстве ограниченных функций введен круглый конус, определяемый функционалом МЛ : / -» /(хо). Доказана строгая регулярность конуса при a = 1, а также его важные свойства: вполне регулярность, вполне достижимость и н-дизъгонктная разложимость. Установлено, что упорядоченное пространство ограниченных функций обладает свойством единсгвенности конуса (4.1). Описаны множества метрических модулей, положительных и отрицательных частей для произвольной ограниченной функции (4.2). Определена величина расстояния от произвольного элемента до конуса (4.3). Показано, что результаты, полученные для пространства ограниченных функций, могут быть перенесены на пространство непрерывных функций.
В пространстве ограниченных на [0,1] функций для любого Xq Є [0,1] введем конус вида К[6Х0)а] = {/ є В[0,1] : МЛ > " ' 11/11} = {/ Є В[0,1] : /Ы > а ІІ/Ц}. Справедлива теорема:
Теорема 8 (4.1). В пространстве В[0,1\ круглый конус K[SX0,a\, определенный функционалом 6X0(f) : / —» /(^o)j является строго регулярным только при а = 1.
17 При этом такой конус имеет вид:
К[5Ш 1] = {/ Є В[0,1] : /(*„) } ||/||} = {/ Є В[0,1] : /(х„) = ||/||}.
Конус К\5Х0,1] в пространстве ограниченных функций является: строго монотонным, т. е. если щ v Є /ф:с0! 1] и и > и, то ||и|| > ||и||; вполне достижимым, т. е. для любой / справедливо равенство M(f) = F+; вполне регулярным, т. е. для любой / и любых /+, А таких, что / = /+-/_ и ||/+ +/_Ц = ||А - АН. следует, что НА + */-Ц = НА - tf-ll Для любого і > 0; н-дизъюнктно разложимым.
Кроме того, показано, что норма аддитивна на рассматриваемом конусе, вследствие чего пространства (В[0,1], К{5Хо, 1]) и (С[0,1], K[SXo, 1]) обладают свойством единственности конуса.
Для произвольной ограниченной функции / определено множество функций д Є \F\, называемых метрическими модулями функции /, таких, что ±/ ^ д и Ml = ll/lh '{/}» если/є #[^,1]; {-/}, если / Є-К[^0,1]; \F\=UgeB%l\:g{xQ) = \\f\\ и при х ф х0 \f{x) + f[xa)\ - П/П ^ k 9{х) ^ П/П - \f{x) - 1Ы\}, если / І ±К[5Хо,1].
Наибольший в смысле поточечной упорядоченности элемент из \F\ имеет вид д(х) = Ц/11 - \f(x) - f(xo)\. Он позволяет определить положительную и отрицательную части функции /: мх) = \(\\й-\№-1Ы\+т) =
КИ/Н + /Ы), если/(*) >/ы
Дя) +1(11/11-/Ы), если /(х) < /(3). /-И = і (||/||-№)-/(*о)|-/(*)) = '-/(*) + Jdl/H + /(*«»))' если /(*) ^ №о);
Ш + /Ы), если/(*)
Элементы А и А ортогональны по Роберу. При этом и,,,,.. .М.. + /Ы , і/ІІ-/(*о) ... (1 +011/11 +(i-0/ЫII/+ + Ч-\\ = « +( о о
Все полученные результаты справедливы и для произвольной непрерывной функции.
В 4.3 определена величина расстояния от произвольного элемента до конуса:
Теорема 9 (4.3). Величина расстояния от произвольной ограниченной (непрерывной) функции до конуса вычисляется по формуле: [О, если f Є К[5Х0,1\; d{f,K[5X0,l\)= { П/П, если/е-К[5Х0,Ц; [Ш=Ш, если/і±К[5Х0,1].
Нормы элементов из F- равны между собой и совпадают с d{f, К\5Х0,1]). Нормы элементов из F+ также равны между собой и совпадают с d{ - f, К[5Х0, lj) = ||/||-<*(/,1фад,1]).
Перечислим основные результаты, выносимые на защиту.
Рассмотрен класс конусов Демарра-Красносельского специального вида. Получено описание конуса, сопряженного к конусу Демарра-Красносельского. Описаны все строго регулярные конусы Демарра-Красносельского в гильбертовом пространстве.
В пространстве I" рассматриваются все нерешеточиые круглые строго регулярные конусы. Для произвольного элемента этого пространства вычислены множество его метрических модулей, множества положительных и отрицательных частей. Рассчитана величина расстояния от произвольного элемента до конуса и указан ближайший элемент конуса. Установлена связь между нормой элемента и величиной расстояния от него до конуса. Для произвольного элемента пространства описано множество элементов конуса, па которых реализуется расстояние. Исследована связь этого множества со множеством положительных частей элемента. Доказано, что введенный конус — н-дизъюнктно разложим. Для произвольного элемента указано его разложение в виде ортогональных по Роберу элементов конуса. (3) Получено полное описание всех регулярных конусов Демарра- Красносельского в пространстве /,. Для произвольного элемента выведены формулы множеств его метрических модулей и, как следствие, множеств поло жительных и отрицательных частей. Показано, что введенные конусы являются вполне достижимыми и вполне регулярными. (4) Рассмотрено пространство ЕхЯ= {(а, її): а Є К, h Є Н} с введенной на нем операцией (a,h)o(0,f) = (ap+(h,f),af+ph) (а,(3 е R;/i,/ Є Я). Показано, что конус A*. = {z1: z Є А} совпадает с конусом вида А+ = {(/J,/) Є А : /? > ||/||}. Доказано, что он является круглым строго регулярным конусом. Определены условия, при которых произведение элементов из конуса попадает в конус. Доказано, что конус Л+ являегся н-дизъюнктно разложимым. Кроме тою, доказано, что алгебраическая ортогональность эквивалентна ортої ональности по Роберу. Рассчитана величина расстояния от произвольного элемента до конуса и указан ближайший элемент конуса. Указана формула, определяющая ближайший квадрат произвольного элемента. Описаны множества метрических модулей, положительных и отрицательных частей, множество элементов наилучшего приближения для произвольного элемента; исследованы их свойства. (5) В пространстве ограниченных функций введен конус, определяемый функционалом SXo(f) : / - f{%o)- Доказано, что такой конус является строго регулярным только при а = 1, а также обладает важными свойствами: вполне регулярностью, вполне достижимостью и н-дизъюнктной разложимостью. Установлено, что упорядоченное пространство ограниченных функций обладает свойством единственности конуса. Описаны множества метрических модулей, положительных и отрицательных частей для произвольной ограниченной функции. Определена величина расстояния ог произвольного элемента до конуса. Показано, что результаты, полученные для пространства ограниченных функций, могут быть перенесены на пространство непрерывных функций.
Результаты диссертации могут быть полезными при исследовании порядков в различных пространствах, в том числе в пространствах операторов. Они позволяют получить явные формулы расстояния от точки до конуса и применяются в теории приближений.
Основные результаты диссертации докладывались на семинаре «Алгебра и анализ» в Северо-Осетинском госуниверситете им. К. Л. Хетагурова; на I, II и III международных конференциях «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделированиям (Владикавказ, 2003, 2004 и 2006); на семинаре «Математический анализ» в Российском университете Дружбы народов (2005); на конференции «Человек, государство, общество: традиционные проблемы и новые аспекты» (Владикавказ, 2006).
Результаты диссертации опубликованы в работах [26]-[32].
Различные виды ортогональности
В пространстве со скалярным произведением, где норма определяется как х = \/(х,х), есть естественное понятие ортогональности В произвольных банаховых пространствах вводят различные аналоги понятия ортогональности так, чтобы в гильбертовом пространстве эта ортогональность совпадала с естественной. Рассмотрим некоторые из них. Пусть Е — банахово пространство. Пусть х,у Є Е, Говорят, что х ортогонален у по Биркгофу (обозначается хХу), если j[rc я; +Ау для любого Л К. В Рассмотрим некоторые свойства этой ортогональности. (1) Если Е— гильбертово, то х±у -4=?- х X у. В (2) Если х X у, то х X ау для любого аЄІ, в в (3) Если хХу, то необязательно yJ.x. В в (4) Из х±у, xLz не следует, что х±(у + г). D В В (5) Если яХг/, то З/ Є Я% / = 1, такой что f(x) = х и /(у) = 0. 1.3.2. Ортогональность по Роберу Пусть Е — банахово пространство над К со строго регулярным замкнутым конусом Е+. Элементы х, у Є Е+ называются н-дизвюпктпными или ортогональными по Роберу (обозначается х X у), если х + Ху\\ = \\х — \у\\ для любого А 0. Следующие свойства очевидны: (1) если гсХу, то у±х: R R (2) если х X у, то х X Ay, VA Є R; (3) если х±у,тох±у,у±х. Действительно, :с 0,5(а; + Ау[ + ж- Ау) = R В В \\х + Ху\\. Существуют банаховые пространства, в которых нет ортогональных по Роберу элементов. Строго регулярный конус Е+ в банаховом пространстве Е называется к-дизъюнктно разложимым, если для любого элемента х Є Е найдутся и, v Є Е+ такие, что х = u — v и и X и. R Примером такого пространства является всякая банахова решетка Е, так как для любого х Є Е имеем х = х+ - я-, где + = sup(x,0), х- = inf(—я:, 0) и \\х+ - Ах_[[ = х+ + \х-\\, А 0, т. е. +Х#_. В гильбертовом пространстве н-дизъюнктность совпадает с обычной ортогональностью. В данном параграфе мы следуем работам В. Т. Худалова [42], [43], [44]. 1.4.1. Пусть Е — банахово пространство над полем действительных чисел Е, Е+ — конус в Е. Конус Е+ называется регулярним, если выполнены следующие условия: (1) ±x у = \\x\\ \\y\\ для любых х,увЕ; (2) для любого х є Е н любого є 0 существует у Є Е+ такой, что ±х у и ІМК(і+ . Регулярный конус + называется строго регулярним, если выполнено условие (2) при є = 0, т. е. (2 ) для любого х Є і? существует у Е+ такой, что ±я у и у = х. Если Е упорядочено замкнутым строго регулярным конусом Е+ и Е+ — замкнут, то пишут (Е, Е+) Є (9). Отметим, что если Е — банахова решетка, то Е Є (ЇН) и, обратно, если Е Є (И) и конус в 7 миниэдральный, то Е — банахова решетка.
Известно, что (Е, Е+) является пространством с замкнутым регулярным конусом тогда и только тогда, когда (Е , Е\) является пространством с замкнутым регулярным конусом. Условие (1) из определения означает, что регулярный конус является нормальным, норма монотонна на конусе. Из условия (2) следует, что регулярный конус является иссплющешшм, и для любого х Є Е и любого М 1 найдутся элементы и, v Є Е+ гакие, что = и —и и u, и Mar, причем для строго регулярного конуса можно взять М = 1. В каждом упорядоченном банаховом пространстве с нормальным и несплю-щенным конусом Е+ можно ввести эквивалентную норму так, что Е+ будет регулярным конусом, т. е. справедливо Утверждение 1.1. Пусть Е — произвольное банаховое пространство с нормальным я несплющеняым конусом Е+. Если для любого X Є Е положить то норма - Ці эквивалентна норме Е, и конус Е+ является регулярным в Е с нормой Ці, Из этого утверждения следует, что в любом упорядоченном банаховом пространстве с замкнутым, воспроизводящим, нормальным конусом Е+ можно ввести эквивалентную норму так, что Е+ будет регулярным конусом.
Замыкание регулярного конуса является регулярным конусом. Ясно, что замыкание строго регулярного конуса является строго регулярным конусом. 1.4.2. Одним из наиболее общих методов построения конуса в произвольном банаховом пространстве, обладающего свойствами нормальности, несплгощенности, а также другими свойствами, является следующий: пусть X — банахово пространство, / Є X — произвольный непрерывный лилейный функционал на X такой, что ПЛІ = 1. Для любого Q Є (0,1] определим круглый конус Покажем, что ЛТ[/,а] — замкнутый конус. Действительно, так как норма и / являются непрерывными функциями, то есть прообраз замкнутого в R множества {Л Є R : А 0} при непрерывном отображении X в R, определяемом по формуле: Следовательно, /С[/,а] — замкнутое множество. Пусть х,у& K[f, а] и А, /г 0. Имеем: т. е. \х + цу Є K[f,a]. Если же х и -х принадлежат K[f,a], то т. е. ЛГ[/,а] — конус в X. Для любого а (0,1) #[/,а] — нормальный конус. В самом деле, пусть х, у Є K[f, а] и ±х = у, т. е. у ± х Є K[f, а]. Тогда откуда получаем т. е. норма полумонотонна на конусе, откуда следует нормальность конуса K[f, а]. Если функционал / достигает своей нормы, то K[f,ot] является конусом при a = 1 и в этом случае выполнено свойство (1) из определения регулярной нормы. Для любого a Q (0,1) конус А"[/, а] содержит внутреннюю точку, т. е. является телесным. Действительно, так как / = 1и0 а 1, то для любого е, 0 е 1-а найдется такой х, \\х \\ = 1, что 1 /{яе) 1 — с а. Покажем, что шар B[xart] целиком содержится в K{f, а]. Пусть у Є В[х, ге], тогда Кроме того, так как \\у — xt\\ ге, то откуда /(аг() - /(у) г„ т. е. т. е. уе [/,а]. Следовательно, х — внутренняя точка конуса K[f,a], содержащаяся в K[f,a] вместе с шаром радиуса Для любогох Є X, х О имеем: значит, Значит, конус #[/, й} несплющен, и условие (2) в определении регулярного конуса выполняется с константой Если X — рефлексивно, то можно взять М — . 1.4.3. Пусть Я — произвольное гильбертово пространство над R. Поскольку Я изометрично Я, то для любого а Є Я, \\а\\ = 1, конус Я"[а,а] определяется следующим образом: Теорема 1.3. Пусть dimH 1. Для любого а Є Н, \\а\\ = 1, конус К[а,а] строго регулярен в Н тогда и только тогда, когда a — -4.
Покажем, что для любого х Є Н, где Я — гильбертово и (Н,Н ) Є (9), существует единственный элемент у Є Я+, такой что ±я у и ж = \\у\\. Действительно, если х = 0, то, очевидно, у = 0; если х ф 0, то пусть существуют уі, у2 Я+ такие, что ±я уь ±я у2 и х = уі = у2. Имеем: Последнее равенство имеет место, только если у\ = Ау2, где Л 0. Но [т/11 = ДЦугЦ влечет Л = 1, т. е. У\ = У2 Пусть [Н)Н ) є (91), где Я — гильбертово пространство. Для любого х Є Я обозначим через ж и будем называть метрическим модулем тот единственный элемент у є Я+, который существует в силу условия (2 ) из определения строго регулярного конуса. Определим также х+ = 1(\х\ + х) и х = ([х — х) и будем называть их метрической положительной и метрической отрицательной частями элемента х. Тогда для любого х Є Я Заметим, что последние равенства справедливы для модуля, положительной и отрицательной частей элемента в произвольной банаховой решетке, чем и объяс няется выбор терминов в определении ja:, х+, гс Рассмотрим произвольное банахово пространство Е, которое упорядочено строго регулярным конусом Е+, т. е. (Е, Е+) Є (9). Тогда для любого элемента х Є Е можно определить множество \Х\ элементов у Є Е таких, что ±х у и Ця = у. Множества Х+ и Х- называются множествами положительных (соответственно отрицательных) частей элемента х. Утверждение 1.2. Для любого х Є Е имеем: \Х\, Х+, Х- — замкнутые выпуклые ограниченные по норме множества. Строго регулярный конус Е+ называется простым, если для любого х Є Е множество \Х\ состоит из одного элемента. Примером пространства с простым конусом является (Н,Н+), где Н — гильбертово пространство. 1.4.4. Конус Е+ в упорядоченном банаховом пространстве (Е,Е+) называется строго выпуклым, если множество S(Q,l)f)E+ не содержит нетривиальных ли нейных сегментов, т. е. условия a, b Є Е+, а = Ь = 1 и аа+ (1 — а)6 = 1 для любого а Є [0,1] влекут a = b. Всякий конус в строго выпуклом банаховом пространстве является строго выпуклым. Конус Е+ в упорядоченном банаховом пространстве (Е, Е+) называется строго монотонным, если из u, v Е+, и и следует j]u [u[J, т. е. норма строго монотонна на конусе.
Утверждение 1.3. ЕСЛИ конус Е+ строго выпуклый и в (Е,Е+) выполнено условие (1) из определения регулярного конуса, то Е+ — строго монотонный конус. Утверждение 1.4. Пусть (Е,Е+) Є (ЇН) и конус Е+ строго выпуклый, тогда + — простой конус. Утверждение 1.5. Если (Е,Е+) є (Н) и конус Е+ — строго монотонный, то для любого х ±Е элементы х+, х- принадлежат ЭЕ+, где 8Е+ — граница конуса Е+. 1.4.5. Пусть {Н,Н+) — упорядоченное гильбертово пространство из класса (Щ. Так как гильбертово пространство строго выпукло, для любого х Є Н опре делены его метрически положиіельпая и метрически отрицательная части х+ и Х-. С другой стороны, поскольку конус Я+ — замкнутое выпуклое множество В гильбертовом пространстве, для любого х Є Н существует проекция элемента х на #+, которую обозначим Рх [15]. Следующая теорема устанавливает связь между проекцией Рх, расстоянием от элемента х до Н+ и элементами х+ и х—
Нахождение рассюяния от элемента до конуса
Теорема 2.10. Конус К3 является достижимым. При этом 1) если х принадлежит конусу, то множество элементов наилучшего приближения одноточечно и состоит из него самого, т. е. М(х) = {х}. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство проведем для случая j = 1. 1. Элемент х принадлежит конусу К\. В этом случае расстояние d(x, К{) = ja;_ = 0. Если а = (аі,...,а„) Є М(х), то а Є К\ и [о -:с = 0, откуда следует, что a = х и М(х) = {п;}. 2. Элемент х принадлежит конусу — К\. В этом случае х\ —X и расстояние d(x,Ky) = ж. Если a = (аі,...,а„) Є М(х), то а3 =2К1 и а-х = \\х\\, что равносильно Откуда следует, что Получаем, что Равенство :Cjfc--ajfc + ajfc = \xk\ для любого к = 2, п означает, что а и (ict-a ,) — одного знака, т. е. ak = акХк, где 0 ак 1 для любого fc = 27п. Выражение для а\ имеет вид oi =5 =2 1 1 В итоге получаем, что 3. X\ = 0 и элемент х не принадлежит конусу К\. Пусть a = ( ,..., zn) є М(ж). Из определения М(х) следует, ЧТО Оі ь=2 КІ и с - х\\ = J2k=2\ak Xk\ + lai = Sfc=2 N1- 3 последних равенств получаем: или следующую цепочку Это равносильно л=21 — l + =2 lafcl — S!t=2 kfcl итоіе вновь получаем равенство из которого следует, что 4. Пусть х\ 0 и элемент ге не принадлежит конусу К\. Если a = Так как а Є Я"і, то сії X!lt=210 ;!- Тогда последовательно получаем что равносильно системе Получаем, что (ак - Хк) и %к одного знака, т. с. at = акхк, где 0 ак 1 для любого к = 2, п. Подставив в ( ), имеем Таким образом, выражение для а\ имеет вид а\ = J2k=2ab\xk\ ПРИ этом аь О ак = 1 такие, что =2 1 1 Жь итоіе получаем, что если х\ 0, то Из последнего неравенства получаем, что ( - 3) и хк — одного знака, т. е. o-k = а№, где 0 аА 1 для любого к = 2, п. Тогда си = =2\хк\ - =2(1 tfe)[ [ = Лк=2 ак\хк\- Получаем, что результат 2,6 справедлив и для этого случая. В случае конуса К3 рассуждения аналогичные Интересен вопрос о расположении множества положительных частей элемента и множества элементов, на которых достигается расстояние от элемента до конуса. Теорема 2.11. Множество элементов наилучшего приближения, являющихся положительной частью элемента х К} пространства (/", К}), имеет вид: доказательство,
Доказательство проведено для конуса К\. 1. Пусть rci = 0. Так как множество Х+ одноточечно (см. формулу 2.1), то элемент из M{x)f\X+ имеет вид (Sfc=2 І І і -ч п)- Отметим, что он действительно принадлежит М[х) (в формуле 2.6 все а = 1). 2. Пусть жі 0. Если элемент принадлежит M(x)f)X+, то он одновременно принадлежит множестам Х+ и М(х), т. е. справедливо равенство (используются fc=2 (2.8) при выполнении условий: Учитывая условие 2.9, приходим к выводу, что А = 0. Отметим, что условие 2.10 выполняется, так как ж і X. Неравенства 2.11 также справедливы, при этом ак = -Ц G [1/2,1]. Таким образом, справедливо: 3. Пусть Х\ 0. Если элемент принадлежит М(х) f] Х+, ю воспользовавшись равенстнами 2.4 и 2.6, запишем равенство: (2.12) При этом должны выполняться условия: Из равенства 2.12 следует система из которой следует ИЛИ т. е. условие 2.13 выполняется. Неравенства 2.14 также справедливы, при этом ак = е [0,1/2]. В итоге имеем: Утверждение теоремы для конуса К\ доказано полностью. В общем случае, т. е. когда (/",/(,), доказательство аиалогичное.П В случае конуса K[f, lj в пространстве /, нетрудно убедиться, что норма аддитивна на конусе. Известно [42, что если пространтсио упорядочено регулярным конусом и норма аддитивна на конусе, тогда Е+ — вполне достижимый конус. Таким образом, справедливо утверждение Утверждение 2.3. Конус K\f, 1] вполне достижимый, т. е. для произвольного элемента пространства /, справедливо равенство Х+ = М{х). 2.5. R-ортогональная разложимость Напомним, что регулярный конус Е+ в банаховом пространстве Е называется н-дизшнктно разложимым, если для любою а: Є Е элемента найдутся и, v Є Е+ такие, что х = и — v \\ul-V. Для пространства /" справедливо Утверждение 2.4. Конус К2 — и-дюъюнктпо разложим. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть х — произвольный элемент пространства /". В качестве н-дизъюнктных элементов щ v Є К3 таких, что х — u — v, возьмем элементы Х+ Є Х+ И Х- Є Х_, Определенные ТеОреМОЙ 2.6 ІфИ А = О И Afc = Я;/]С \хк\ ДЛЯ любого к. Они имеют вид: Из этих вычислений следует, что ]х+ 4- ix_jj = [х+ — ta-, т. е. элементы х+ и х_ ортогональны по Роберу. Конус Е+ называется вполне регулярным, если для любого х Є Е и любых х+, Ж- таких, что х = х+ — х_ и \\х+ — х_ = х+ + х_ выполняется равенство х+ - Ах- = х+ 4- Ах_ , т, е. они ортогональны по Роберу. Известно [42], что любой вполне достижимый конус вполне регулярен. Тогда справедливо утверждение: Утверждение 2.5. Конус К\/, 1] в пространстве /, шіолне регулярен. 3.1. Изучение конуса в абстрактном спин-факторе
Векторное пространство над полем R называется йордановой алгеброй, если в А введена операция умножения хо у (х,у є А), удовлетворяющая условиям: Пусть Н — вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением (,). Рассмотрим декартово произведение Ж х Я {{a,h) : о Є Е,/і Є Я}. Определим вКхЯ бинарную операцию о следующим образом: на R х Я определим по формуле: Непосредственно проверяется, что Л = R х Н является УЯ-алгеброй, т. е. йордановой алгеброй с единицей 1 = (1,0) и нормой, удовлетворяющей условиям: Покажем, что A = Rx Н — йордаиова алгебра. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Коммутативность операции умножения очевидна (условие (3.1)). Пусть х = (a,h),y=(pj), z = (ъд), тогда 60 С другой стороны, т. е. условие (3.2) выполняется. Справедливость свойства (3,3) очевидна. Покажем, что верно также и свойство (3.4), Имеем: тогда Покажем выполнение свойств (3.5), (З.б), (3.7). Имеем: Кроме того, Утверждение 3.1. Справедливо равенство А+ = {(/б,/) Є Л : /3 \\1\\}-ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, если z = (а, /і) Є Л+, то z2 = (а2 + ftj2,2ah) иа2 + ЛЦ2 2а/г = 2НЛ. Обратно, пусть элемент (/З,/) Є Л такой, что /3 Ц/Ц- Докажем, что существует (а, /г) Є Л такой, что {а, /г)2 = (/3, /). Действительно, определим (а, /г) из условий: 1) 2аА = /, 2)а2 + /г2-/3. Если / = 0, то берем (а,/i) = (±v ,0). Если / Ф О, і о а ф 0 и полагаем /г = . Подставив выражение для h в условие 2), получим, что а2 4- - = р. Обозначим Q2 = t, тогда уравнение примет вид: t + - = /Ї или 4t2 - 4f/3 + /2 = 0. Его решением являются Так как по условию /3 /, то рассмотрим два случая. 1. Если /3 = Л, то t = р/2. Откуда получаем h = ±fjy/W\ a = ±i/ /y/2. Значит, для элемента (/, Л существует причем один из его корней является положительным элементом, другой — отрицательным. 2, Пусть /3 /. Рассмотрим два случая:
Эквивалентность алгебраической ортогональности и ортогональности по Роберу
В этом параграфе для произвольных элементов пространства А К х Я исследована связь между их ортогональностью как элементов алгебры и ортогональностью по Роберу. Теорема 3.3. В произвольном спин-факторе алгебраическая ортогональность равносильна (с некоторыми ограничениями) ортогональности по Роберу, т. е. для ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1. Рассмотрим вначале случай, когда а = О (или /3 = 0). (1) Пусть а = 0, тогда (0,/t) о (/?,/) = ({h,f),@li) = 0 тогда и только тогда, когда hLf и выполняется одно из условий: /9 = 0 или ft = 0. Ясно, что если h = 0, то х = 0, и алгебраическая ортогональность равносильна ортогональности по Роберу. Если h ф 0, то /9 = 0 и Л1/. С другой стороны, если hLf, то для любых h и /? имеем (0, /і) -Ц/?, /). В самом деле, R Так как в гильбертовом пространстве обычная ортогональность совпадает с ортогональностью по Роберу [42], то \\h + / = \\h — tf\\ для любого t 0 и, значит, т. е. xLy, Следовательно, при а = 0 в случае, когда @ Ф 0, hLf и h ф 0 име-н ем xly,uo хоу ф0,т. е. ортогональность по Роберу не влечет алгебраическую R ортогональность (хотя обратное имеет место). Случай /9 = 0 рассматривается симметричным образом. (2) Пусть / = 0 (или h = 0), тогда (a, h) о (Д0) = (ар, ph) = 0, если 0 = 0 (т. е. у = 0) или /3 ф0 и одновременно а = 0, h = 0 . С другой стороны, в этом случае и х X у тогда и только тогда, когда а + ї/3 = \а — Щ для произвольного L А это возможно только если /3 = 0 или а = 0. И мы приходим к уже рассмотренному выше случаю. 2. Пусть ар ф 0 и / ф 0 (так как случай / = 0 приводит к а = 0 или р = 0). Докажем импликацию 1) = 2). Пусть х о у = 0. Для всех і 0 имеем т. e. \\x + ty\\ = \\x - ty\\. Отметим, что импликация 1) = 2) верна для любых х, У Є А. Теперь докажем 2) = 1). Для t 0 рассмотрим равенства Так как х ± у, то Положим tp(t) = )а + tj3\ — \а — ф\ при t 0. Рассмотрим два случая: 1. Пусть signet = sign/?, тогда t0 = a/fi 0 и Отсюда \\h — tf\\ = \\h + tf\\ + 2aJ при і f0.
Возводя в квадрат обе части, получим: А2 - 2((А, Л + 2/12 - ЦАЦ2 + ЩН, /) + 2/2 + 4a А + / + 4а2; При f -+ +00, получим: -(/і,/) = аД, откуда a] = - - Следовательно Так как (/г,/) 0 (иначе а = 0), то /2 = -jA + f// + (/г,/) или А +1/ = it/ + (Л, т4). Вновь возводя в квадрат, будем иметь: последнею равенства следует, что Поскольку случай h — 0 исключается тем, что по предположению а ф 0 и /? ф 0, получаем линейную зависимость h — А/. При этом, Q = — [mi = - / чт0 Ш1е" чет за собой А 0. Пусть fi = -А, ц 0, тогда h = -ц/, /І = yf и Q = / / = ЦІІ/Ц- Следовательно, а[ = \\h\l При 0 t t0, согласно (3.12), \\h - tf\\ - \\h + tf\\ = 2Щ, откуда или Для всех t 0, t справедливо равенство (/л-И)ЦЛ1 = {/І-()ЦЛ+2І/7[. Значит, 11/11 = 2/3 - ІІ/Ц. Следовательно, /? = /. Поскольку signa = sign/3, то либо a = \\h\\ и 0 = /, либо a = -ft и 0 = В первом случае имеем: при этом х о у = 0. Во втором случае и снова х о у = 0. 2. Пусіь signa = -sign/ї. Рассмотрим (а,/г) и -(/?,/). Если (а,/г) JL{&/), то (а, /і)!{-/?, -/) и так как теперь signa = sign(-jS), то в силу предыдущего пункта имеем: х о (—у) = 0, значит, х о у = 0 , что завершает доказательство. D Следствие. Если х,у Є A+t то х о у = 0 тогда и талько тогда, когда хХу. К Для произвольного элемента х = (a, h) Є А опишем множества Х), Л"+, .Х_, М(гс). 1. Пусть х Є А+, т. е. а \\k\\. Если у (%/) ±х, то j - a \\f - h\\, так как в рассматриваемом случае соотношения у х и у ±а; равносильны. Пусть при этом у = jj:c[j, т. е. 7 + \\f\\ = a + /t или -у - a = j/i - /. Тогда JJ/HJ-H/JJ ІІ/-Л1І ]Ли-Ц/И,откуда получаем: /-Л[ = Jft-JJ/. Возведение в квадрат последнего равенства приводит к соотношению (f,h) - Л[/, которое влечет / = А/г, где А 0. Так как \\h\\ /, то \\h\\ A/t, стало быть А 1. Тем самым 7 = а+ й(1 - А). Таким образом, элемент у = (a + \\h\\(l - A),A/i], где 0 А 1 обладает свойствами: у х и у = \\х\\. Следовательно, получаем формулы: Отметим, что в этом случае множество элементов наилучшего приближения одноточечно и принадлежит множеству положительных частей элемента, т. е. М(х) С Х+ и M(x)f\X+ - М(х). При этом элемент х+ G Х+ принадлежит М(х) при А = 1. 2. Пусть х Є —Л+, тогда ею можно представить в виде х = (-a,—h), где (а,/і) Є -4+, т. е. а /г.
Предположим, что у ±хп \\у\\ = \\х\\. Тогда у (а,/г) и (а, /г) Є Л+. Согласно предыдущему пункту, элемент у определяется равенством у = (tv+u(l-A),A/i), где 0 А 1, и интересующие нас множества имеют вид: Множество элементов наилучшего приближения М(х) в силу монотонности нормы на конусе содержит (0,0) и, значит, d(x,A+) = а+ \\h\\ (см. формулу 3.11). Если (7,/) Є Лф), то 7 5 11/11 и получаем цепочку взаимо вытекающих равенств: С учетом формулы, определяющей в этом случае ДГ+, множество положительных частей элемента полностью вложено во множество элементов наилучшего приближения, т. е. Х+ С М(х) и M(x)f\X+ = Х+. 3. Рассмотрим теперь основной случай, когда х . ±А+. Пусть х = (a, А) и \а\ ЦАЦ. Предположим, что (7,/) Є Л+ и (7,/) ±(а,Л), причем (7,/)[i = (а(Л)Ц, г. е. 7+/Ц = а! + Л!. Имеем: отсюда при а 0 Откуда, во-первых, получаем А / и во-вторых, при возведении в квадрат справедливо равенство влекущее за собой (/, А) = А[[/[[, что равносильно / = АА, А 0. Тогда равенство 7+І1/Ц = а + А перепишется ввиде7 + А[АІ = о + А, а также А - / А-АА = (1-А)Л1 0,откудаследует,чтоО А 1и7=(1-А)А-1-а.Итак, 7./) = ((1-А)АЦ+а,АА), где 0 А 1, при а 3 0. При этом (7,/) - А + а; (7J/) (аіА)- Потребуем, чтобы (7,/) было не меньше, чем -(а, А), т. е. чтобы Если а 0, то последовательно получаем
Определение расстояния от элемента до конуса
Следствие 2. Результаты теорем 4.1 и 4.2, а также утверждений 4.1, 4.2 справедливы и для пространства непрерывных функций С[0,1]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательства проводятся аналогично, только в качестве мажорирующей функции д(х) нужно взять д(х) = [/ - \f(x) - f(xo){, так как это непрерывная на [0,1] функция. D Следствие 3. Элементы /+ и /_ ортогональны по Роберу. При этом иf і tf н " " + /Ы , .11/11 -/Ы _ 0 + 011/11 +(і-0/Ы /+ + tf.\\ +1 . Доказательство. Достаточно сослаться на утверждение 4.2.Р Следствие 4. Формулы для определения множеств \F\, F+ и F- справедливы и для произвольной непрерывной функции. 4.3. Определение расстояния от элемента до конуса Теорема 4.3. Величина расстояния от произвольной ограниченной (непрерывной) функции до конуса вычисляется по формуле: доказательство. 1. Если f(x0) = \\f\\, т. е. / є Л"[510,1], то очевидно, что d(f,K[5xo,l]) = 0. 2. Если /(х0) = -П/П, т. е. / є -К[6Х0,1], то очевидно, что d(f, K[SXoi 1]) = \\f\\. 3. По утверждению 4.2 множество элементов наилучшего приближения совпадает с множеством патожительных частей элемента /. Поэтому для случая /( о) 11/11 расстояние от / до конуса ЛГ[ 520,1] достигается на элементах /+ и совпадает с нормой /_, т. е. d(f, К[5Хо, 1]) = /-) где в качестве /_, /+ можно взять Обозначим через f(x) максимум функций f(x) и f{xo), тогда
Таким образом, утверждение теоремы доказано полностью. D Следствие. Нормы элементов из .F_ равны между собой и совпадают с d(f,K[SX0,l]). Нормы элементов из F+ также равны между собой и совпадают с d(-f, К[5Х0,1]) = П/П - d(/, К[5Х011]) = (Л + /(гг0))/2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ЭТИ результаты следуют согласно следствию 2.2.9 из [42].0 Пример. Выше был рассмотрен конус, определенный оператором 5Х0 : ?[0,1] - К таким, что Sxo(f) = f{x0). Было доказано, что Я"[ 0,11 является строго регулярным конусом. Кроме того, в ходе доказательства теоремы 4.1 было показано, что пространство С[0,1), упорядоченное конусом K[5Xai 1], обладает свойством единственности конуса, которое влечет за собой следующий результат: существование в С[0,1] такого строго регулярного конуса К, что К С К[5ха, 1] или К Э K[Sxu, lb влечет за собой равенство К — К[6Х0,1]. Рассмотрим оператор 5 = J2t=i №xki Hk=i k = fc и определим круглый конус силу того, что YA=\ Afc = І И Afc 0, справедливо, что Легко показать, что К[5,1] = I / Є C[Q, I]: 5(f) = \\f\\ — конус. Однако, в силу единственности конуса K[SXu, 1] регулярным он не является. Действительно, предположим, что конус К[5,1] — регулярен. Так как \\ / /fa), Y%=i h = 1 и A 0, то равенство =1 /() = / возможно только при условии, что /() = 0/11 для любого k = 1,п. Таким образом, в конус К[5,1] попадаюг те непрерывные функции, которые во всех точках х принимают максимальное по модулю значение.
Следовательно, все эти функции принадлежат пересечению конусов вида i[ 5S(!,l]. Таким образом, справедливо вложение К[ё, 1] С Пк=Тп 1 к)Ц- Единственность конусов вида /"[ ,1] влечет за собой равенство #[5,1] = #[ ,1] для каждого к — 1,л, что приводит к противоречию. Получили, что конус К\6,1] реіулярньш не является. 1. Абакумов А. И. Модели Неймана-Гейла.—ДГУ.—2004.—44 с. 2. Абрамович Ю. Ф. О максимальном нормированном продолжении полуупорядоченных нормированных пространств.—Вестн. ЛГУ. Математика. Механика. Астрономия,—1970—.V01—С. 7-17. 3. Абрамович Ю. Ф. Некоторые теоремы о нормированных структурах.—Вестн. ЛГУ. Математика. Механика. Астрономия.—1971.—№ 13.—С. 5-11. 4. Абрамович Ю. Ф. Инъективные оболочки нормированных структур.—Докл. АН СССР.-1971.-Т 194-X 4.-С. 743-745. 5. Абрамович Ю. Ф. Об одном критерии Амсмия полноты по норме нормированных структур,—Вестн. ЛГУ. Математика. Механика. Астрономия.—1973,— № 7.-С. 150-152. 6. Акилов Г. П., Кутвлеладзе С. С. Упорядоченные векторные пространства.— Новосибирск: Наука, 1978.—368 с. 7. Бахтин И.А. Положительные решения нелинейных уравнений с вогнутыми операторами.— Учебное пособие для спецкурса. Воронеж: Изд-во ВГПИ.— 1984. 8. Бухвалов А. В. О пространствах со смешанной нормой,—Вестн. ЛГУ. Математика, Механика. Астрономия,—1973.—№ 19,—С. 5-12. 9. Бухвалов А. В. Приложения методов порядково ограниченных операторов к теории операторов в пространствах Lp — Успехи мат. наук.—1983,—Т 38.— № б.-С. 37-83. 10, Бухвалов А. В. Порядково ограниченные операторы в векторных решетках и пространствах измеримых функций.—Итоги науки и техники. Математический анализ.-М.:ВИНИТИ, 1988.-Т 26.-С. 3-63,
