Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения. Постановка задачи. Основные результаты .
1.1. Предварительные сведения. Метод.
1.2. Постановка задачи и применимость метода .
1.3. Формулировка основных результатов.
Глава 2. Аналитические леммы .
2.1. Определения и обозначения.
2.2. Вспомогательные оценки в терминах Sn, Км
2.3. Оценки для подпоследовательности
Глава 3. Замкнутые подмодули в Р[р, Н) ивР[р,Я]. Стр.
3.1. Подмодули с двумя образующими.
3.2. Подмодули с произвольным конечным числом образующих .
3.3. Свойство обильных подмодулей в модулях Р[р,Н) и Р[р,Н].
Глава 4. Применение полученных результатов к задаче спектрального синтеза в Р*[р,Н) и Р*[р, Н].
4.1. Задача спектрального синтеза и ее двойственность с задачей локального описания . Стр. 94
4.2. Утверждения, двойственные к теоремам 3.1-3.6. Стр. 103
4.3. Некоторые аналитические реализации пространств Р*[р,Н) и Р*[р,Н]. Стр. 111
Литература. Стр. 129
- Постановка задачи и применимость метода
- Вспомогательные оценки в терминах Sn, Км
- Подмодули с произвольным конечным числом образующих
- Задача спектрального синтеза и ее двойственность с задачей локального описания
Введение к работе
1. Пусть G — область в комплексной плоскости, & — топологическая алгебра (или топологический модуль над кольцом многочленов C[z]) функций, аналитических в области G.
Замкнутый идеал (подмодуль) І в Р допускает локальное описание, если он однозначным образом определяется набором общих нулей (с учетом их кратностей) функций из /. Задача локального описания состоит в отыскании условий, при которых идеал (подмодуль) / допускает локальное описание.
Термин "локальное описание" объясняется постановкой задачи локального описания: пусть 0\ — локальное кольцо функций, голоморфных в точке Л Є G, 1\ — локальный идеал, порождаемый І" в точке Л, т.е. 1\ — множество всевозможных конечных комбинаций с\у\ + + спірп, где сі Є 0\ а щ Є I; при каких условиях / полностью определяется своим набором локальных идеалов {1\ : А Є G} (является обильным)?
Задача локального описания замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций была предметом исследований отечественных и зарубежных авторов (см. работы [8]—[10], [15]-[16], [20], [31], [33]-[35], [48]-[50] и библиографию в них). Эта задача связана с такими проблемами анализа, как спектральный синтез и уравнения свертки, слабая обратимость функций и весовая аппроксимация многочленами, проблема Помпейю.
а). Связь с задачей спектрального синтеза.
Пусть H(G) — пространство всех функций, голоморфных в области G, W — замкнутое подпространство в H(G), инвариантное относительно дифференцирования: / Є W => /' Є W. Задача спектрального синтеза в этом случае формулируется
следующим образом: при каких условиях подпространство W допускает спектральный синтез, т. е. совпадает с замыканием линейной оболочки множества всех экспоненциальных одночленов zkeXz (корневых элементов оператора дифференцирования), содержащихся в W?
Задачу спектрального синтеза, хотя и в других терминах, сформулировал Л. Шварц [52], а первый результат в этом направлении, относящийся к фундаментальной системе решений однородного дифференциального уравнения конечного порядка с постоянными коэффициентами, был получен Л. Эйлером [51] еще в 1743 году. Возможность аппроксимации решений однородных дифференциальных уравнений бесконечного порядка и однородных уравнений свертки исследовалась А. Ф. Леонтьевым [23], [25], А.О. Гельфондом [2], Л. Эренпрайсом [49], [50], Д. Диксоном [47], [48], И. Ф. Красичковым-Терновским [11]—[14], [17]—[19], В. В. Напалковым [30], Р. С. Юлмухаметовым [45] и другими авторами.
Критерии допустимости спектрального синтеза инвариантными подпространствами скалярных и векторных функций, аналитических в выпуклых областях комплексной плоскости, получены И. Ф. Красичковым-Терновским [11]—[14], [17]—[19]. В частности, им доказаны теоремы об условиях допустимости спектрального синтеза подпространством решений системы однородных уравнений свертки. Изучение задачи спектрального синтеза в работах [11]—[14], [17]—[19] проводилось с использованием аннуляторных подмодулей инвариантных подпространств в качестве инструмента исследований (в случае подпространства решений однородного дифференциального уравнения бесконечного порядка таким инструментом служит характеристическая функция уравнения).
Допустимость спектрального синтеза для инвариантного подпространства оказалась эквивалентной обильности аннулятор-ного подмодуля этого подпространства. Например, если в модуле, реализующем сопряженное к исходному пространству, обилен каждый главный (порожденный одной функцией) подмодуль, то в исходном пространстве возможен спектральный синтез для подпространства решений однородного уравнения свертки, т. е. множество элементарных решений этого уравнения полно в пространстве всех его решений.
Возможность локального описания каждого замкнутого идеала в весовой алгебре целых функций, установленная в [8]—[10], влечет наличие спектрального синтеза относительно оператора обобщенного дифференцирования, введенного в [8], в пространстве всех целых функций.
Двойственный переход от задачи спектрального синтеза к задаче локального описания, хотя в другом виде, использовался также В. А. Ткаченко при изучении подпространств аналитических функционалов, инвариантных относительно оператора, сопряженного к умножению на независимую переменную, в частности, подпространств решений систем однородных уравнений типа свертки в пространствах аналитических функционалов [39], [40], [42], [43].
б). Локальное описание идеалов и слабо обратимые функции.
Пусть / Є & — функция, нигде не обращающаяся в 0. / называют слабо обратимой в ?, если тождественная единица является точкой прикосновения множества {pf : р Є C[z]} в топологии пространства &. Понятие слабо обратимого элемента было введено Г. Шапиро в [53]. Исследование различных пространств на наличие в них слабо обратимых функций про-
водилось также Н.К. Никольским [32]-[34], Ф.А. Шамояном [44] и автором [55].
Задача локального описания идеалов в некоторых случаях оказывается эквивалентной задаче о слабо обратимых функциях. В работе Н.К. Никольского [35] описана связь между этими задачами: применение прямого факторизационного метода Вейерштрасса [35, п. 8] к задаче локального описания в алгебре & приводит при определенных условиях к вопросу о слабой обратимости элементов в &. А именно, пусть &
— устойчивая алгебра функций, аналитических в области G
комплексной плоскости, т.е. верна импликация:
z — a z — а
и пусть множество всех многочленов содержится и плотно в &. Предположим, что для любой ер Є & найдется последовательность функций {7га} (аналогов канонических произведений по множествам кратных точек Ла таким, что (JAa = Л
— множество нулей функции
TTotV9 -^- V'o в топологии ^,
функция (fo Є & не обращается в 0 в области G. Существование таких {'ка] называют "каноническим делением" в & (см. [35]).
В [35] доказано, что если алгебра & удовлетворяет указанным выше свойствам, то возможность локального описания любого замкнутого идеала в & эквивалентна слабой обратимости в & всех функций, не обращающихся в 0. Там же приведен пример алгебры &, для которой имеет место эквивалентность задач локального описания и слабой обратимости:
такую алгебру образует множество Х\ функций, аналитических в единичном круге ED и ограниченных возрастающей последовательностью весов {Хп}'^=1, где Л(г) — положительная функция, определенная на промежутке [0;1), имеющая "правильный рост" (условия типа выпуклости In Л по 1п(1 — г)-1) и конечный экспоненциальный рост:
lnlnA(r)
р* = llin, гъ—РТ < -
г->1 1п(1 — Г) L
в). Связь с проблемой Помпейю (по работе [46]).
В 1929 году Д. Помпейю сформулировал следующую задачу: описать все ограниченные множества D на плоскости, для которых существует непрерывная функция /(ж,?/) ф 0 такая, что
/ f{x,y)dxdy = 0
a(D)
для любого а Є Е, где Е — группа всех "жестких" преобразований (сдвигов и поворотов) плоскости. Про такие множества D говорят, что они не обладают свойством Помпейю.
Оказалось, что круг не обладает свойством Помпейю, а, например, треугольник и параллелограмм — обладают. Не доказанная пока гипотеза такова: множество на плоскости, не обладающее свойством Помпейю, является кругом. Рассматриваются и более абстрактные формулировки проблемы Помпейю.
Один из возможных методов исследования этой проблемы — сведение к изучению локальных свойств идеалов в алгебре, состоящей из преобразований Фурье-Лапласа распределений с компактным носителем [46, 3, 4].
2. Пусть, как и выше, &> — локально-выпуклое пространство функций, аналитических в области G комплексной плоскости, такое что операция Л умножения на независимую переменную непрерывно действует из & в &. Другими словами, & — топологический модуль над кольцом многочленов С[Л]. В работах [15]—[16] И.Ф. Красичкова-Терновского исследуется возможность локального описания замкнутых подмодулей модуля & при условии, что его топология не является слишком "жесткой". Рассматривается самая общая ситуация и не используется аналитическая структура элементов &. Основным результатом в [15] является критерий обильности (допустимости локального описания) подмодулей: локальное описание допускают те и только те подмодули, которые обладают свойствами устойчивости и насыщенности.
Затем, в [16], проводится изучение этих свойств, опять в общих ситуациях, аналитический фактор используется минимально. Получен критерий устойчивости конечно порожденного подмодуля I С &\ тождественный нуль должен быть предельной точкой специального множества функций, зависящего от образующих этого подмодуля. Одним из результатов является утверждение о том, что подмодули в аналитически уплотненном модуле насыщены. Свойство аналитической уплотненности модуля определяется его топологической структурой.
В данной работе результаты [15] и [16] используются для исследования конечно порожденных подмодулей в пространствах целых функций Р[р,Н) и Р[р, Н], ограниченных системой р-тригонометрически выпуклых весов, определяемых заданной р-тригонометрически выпуклой функцией Н. А именно, с помощью этих результатов будут получены достаточные условия обильности конечно порожденных подмодулей в
P[p, H) и Р[р, Н] в терминах взаимного расположения нулей образующих. В статье [12] построены необильные подмодули с двумя образующими в Р[1,Н), эти построения основаны на факте разделенности нулей образующих. Оказывается, что, напротив, при определенном сближении части нулей функций Ч>\, і фп из & порождаемый ими подмодуль будет обильным.
Известная схема двойственности (см., например, [11]) переносит результаты о возможности локального описания замкнутых подмодулей в & на инвариантные относительно оператора D = А* подпространства в сильно сопряженном &*: соответствуйте обильным подмодулям инвариантные подпространства W допускают спектральный синтез относительно оператора D, т. е. совпадают с замыканием линейной оболочки корневых элементов этого оператора в них содержащихся.
Как уже упоминалось, пространство Р[р, Н) и задача спектрального синтеза в сильно сопряженном к нему исследовалась при р = 1 в [11]-[14], при произвольном р > 0 — в [39], [40], [42], [43].
Сопряженным к умножению на целую функцию ір в & является оператор Г типа свертки. Множество решений системы однородных уравнений типа свертки в &* :
является замкнутым подпространством, инвариантным относительно оператора D. В силу упомянутой схемы двойственности ему соответствует конечно порожденный подмодуль с образующими ipi,... ,ipn, где Ті — оператор, сопряженный с умножением на ірі, і = 1,...п. Так что полученные для конечно порожденных подмодулей условия обильности являют-
ся также условиями допустимости спектрального синтеза для подпространства решений системы (1) в терминах нулей ее характеристических функций (р±,..., ірп.
Изложение проводится по следующему плану.
Постановка задачи и применимость метода
Оказалось, что круг не обладает свойством Помпейю, а, например, треугольник и параллелограмм — обладают. Не доказанная пока гипотеза такова: множество на плоскости, не обладающее свойством Помпейю, является кругом. Рассматриваются и более абстрактные формулировки проблемы Помпейю.
Один из возможных методов исследования этой проблемы — сведение к изучению локальных свойств идеалов в алгебре, состоящей из преобразований Фурье-Лапласа распределений с компактным носителем [46, 3, 4]. Пусть, как и выше, & — локально-выпуклое пространство функций, аналитических в области G комплексной плоскости, такое что операция Л умножения на независимую переменную непрерывно действует из & в &. Другими словами, & — топологический модуль над кольцом многочленов С[Л]. В работах [15]—[16] И.Ф. Красичкова-Терновского исследуется возможность локального описания замкнутых подмодулей модуля & при условии, что его топология не является слишком "жесткой". Рассматривается самая общая ситуация и не используется аналитическая структура элементов &. Основным результатом в [15] является критерий обильности (допустимости локального описания) подмодулей: локальное описание допускают те и только те подмодули, которые обладают свойствами устойчивости и насыщенности.
Затем, в [16], проводится изучение этих свойств, опять в общих ситуациях, аналитический фактор используется минимально. Получен критерий устойчивости конечно порожденного подмодуля I С &\ тождественный нуль должен быть предельной точкой специального множества функций, зависящего от образующих этого подмодуля. Одним из результатов является утверждение о том, что подмодули в аналитически уплотненном модуле насыщены. Свойство аналитической уплотненности модуля определяется его топологической структурой.
В данной работе результаты [15] и [16] используются для исследования конечно порожденных подмодулей в пространствах целых функций Р[р,Н) и Р[р, Н], ограниченных системой р-тригонометрически выпуклых весов, определяемых заданной р-тригонометрически выпуклой функцией Н. А именно, с помощью этих результатов будут получены достаточные условия обильности конечно порожденных подмодулей в P[p, H) и Р[р, Н] в терминах взаимного расположения нулей образующих. В статье [12] построены необильные подмодули с двумя образующими в Р[1,Н), эти построения основаны на факте разделенности нулей образующих. Оказывается, что, напротив, при определенном сближении части нулей функций Ч \, і фп из & порождаемый ими подмодуль будет обильным.
Известная схема двойственности (см., например, [11]) переносит результаты о возможности локального описания замкнутых подмодулей в & на инвариантные относительно оператора D = А подпространства в сильно сопряженном & : соответствуйте обильным подмодулям инвариантные подпространства W допускают спектральный синтез относительно оператора D, т. е. совпадают с замыканием линейной оболочки корневых элементов этого оператора в них содержащихся.
Как уже упоминалось, пространство Р[р, Н) и задача спектрального синтеза в сильно сопряженном к нему исследовалась при р = 1 в [11]-[14], при произвольном р 0 — в [39], [40], [42], [43].
Сопряженным к умножению на целую функцию ір в & является оператор Г типа свертки. Множество решений системы однородных уравнений типа свертки в является замкнутым подпространством, инвариантным относительно оператора D. В силу упомянутой схемы двойственности ему соответствует конечно порожденный подмодуль с образующими ipi,... ,ipn, где ТІ — оператор, сопряженный с умножением на ірі, і = 1,...п. Так что полученные для конечно порожденных подмодулей условия обильности являются также условиями допустимости спектрального синтеза для подпространства решений системы (1) в терминах нулей ее характеристических функций (р±,..., ірп.
Изложение проводится по следующему плану.
Глава 1 содержит: сведения об используемом методе (1.1) обоснование применимости метода к рассматриваемой ситуации и постановку задачи (1.2), формулировку основных результатов (1.3);
В главе 2 выводятся оценки для целых функций специального вида, которые составляют аналитическую основу последующих результатов.
Третья глава является основной частью работы — исследованием конечно порожденных подмодулей в Р[р,Н) и Р[р,Н]. В 3.1 доказываются теоремы о достаточных условиях обильности подмодулей с двумя образующими в Р[р,Н) и Р[р, Н]. 3.2 содержит условия обильности подмодулей с произвольным конечным числом образующих. В 3.3, как одно из применений теорем, полученных в 3.1, доказывается утверждение о том, что каждый подмодуль I в & = Р[р,Н) или Р[р,Н], допускающий локальное описание, обладает двумя (быть может совпадающими) образующими.
В главе 4 рассматривается задача спектрального синтеза для подпространства решений системы однородных уравнений типа свертки в Р [/э, Я), Р [р, Н] (4.1,4.2) а также в некоторых пространствах, являющихся аналитическими реализациями Р [р:Н) и Р [/?,Н]. Для них формулируются теоремы, двойственные к доказанным в главе 3.
Вспомогательные оценки в терминах Sn, Км
В первых двух параграфах рассматриваются конечно порожденные подмодули. Согласно упоминавшемуся в главе 1 утверждению из [43] и лемме 1.2.5 все главные подмодули в & — обильные. Подмодуль, порожденный двумя функциями, может оказаться необильным. В 3.1 описывается ситуация, когда функции SF и У из & порождают необильный подмодуль. В этом же параграфе доказывается ряд утверждений (теоремы 3.1-3.4) об условиях обильности подмодуля с двумя образующими в &. Каждая из этих теорем является заключительным шагом в реализации схемы, изложенной в главе 1, а именно: теорема представляет собой утверждение об условиях, при которых справедлив критерий устойчивости подмодуля с двумя образующими, приведенный в 1.1. Параграф завершается примерами, иллюстрирующими доказанные теоремы.
В следующем параграфе с использованием теорем 3.1-3.4 и критерия обильности конечно порожденного подмодуля (см. 1.1) формулируется и доказывается теорема 3.5 об условиях обильности подмодуля в , имеющего произвольное конечное число образующих.
Наконец, в 3.3 доказывается одно свойство обильных подмодулей в & (теорема 3.6). Доказательство существенно использует предыдущие утверждения, т.е. является одним из возможных применений теорем 3.1-3.4. 1. Как уже упоминалось, главный (порожденный одной функцией) подмодуль в & = Р[р, Н) или Р[р, Я), всегда обильный. Для Р[1,Я) — это утверждение теоремы 5.1 из [12], для Р[р,Я) — теоремы 6.1 из [43], для Р[р,Н] — леммы 1.2.5 настоящей работы. В [12, 7] доказано утверждение о том, что подмодуль в Р[1,Я), порожденный двумя функциями, может не быть обильным. Ниже приводятся аналогичные утверждения для модуля & = Р[р,Н) или Р[р,Я]. 1) Пусть & = Р[р,Н), функция Н(в) — ограниченная. Предположим, что для функций З и из Р[р,Н) найдется система Г = {Гг} замкнутых (в С) контуров такая, что выполнены условия: а) общая длина части контуров, содержащейся в круге \z\ г, равна ехр(о(гр)) при г — оо; б) при z — оо выполняется оценка In \&(z) 0(z)\ (Н(в) - o(l))z", в = arg ; (3.1.1) в) система контуров Г разделяет комплексную плоскость на два открытых множества при этом содер жит все нули функции 3, a [/( ) — все нули функции У; г) существуют две последовательности замкнутых (в С) кон туров Сп и Сп , охватывающих начало и уходящих в оо При П — ОО, Такие, ЧТО При ЛЮбОМ ВеЩеСТВеННОМ 771 выполняются асимптотические оценки Тогда подмодуль /, порожденный в Р[р,Н) функциями & и , не является обильным. 2) Пусть & = Р[р, Н], в этом случае функция Н(в) ограничена по определению. Если для функций сР и из Р[р,Н] выполнены условия а), в), г) и б) , отличающееся от б) тем, что оценка (3.1.1) заменена на следующую: для некоторого є О при достаточно больших \z\ ]n\&(z) S(z)\ (H(6)-e)\z\p, 0 = argz, (3.1.17) то подмодуль, порожденный в Р[р,Н] этими функциями не является обильным. Сформулированные утверждения и их доказательства полностью аналогичны теореме 7.1 из [12]. В этой же работе, на стр. 16-17, приведен пример функций в Р[1,Н), для которых выполнены условия теоремы 7.1. Это пример можно обобщить на случай модулей Р[р,Н) и Р[р,Н]. Пусть & = Р[р,Н). Если длина каждого максимального интервала, на котором функция Н(в) принимает конечные значения, не превосходит тг/р, то в силу результатов работы [43] любой замкнутый подмодуль в & является обильным, поэтому приводимые ниже утверждения (теоремы 3.1, 3.2, 3.4) содержательны лишь в случае, если функция Н{9) конечна хотя бы на одном интервале длины, большей, чем тг/р. При формулировке и доказательстве теорем этой главы используются обозначения, введенные в 1.3 и в главе 2. Напомним их.
Подмодули с произвольным конечным числом образующих
Пусть & — рефлексивное локально-выпуклое пространство целых функций такое, что оператор Z умножения на независимую переменную z непрерывно действует из & в &, т.е. & — топологический модуль над кольцом многочленов C[z]. Будем предполагать, что & удовлетворяет аксиомам сходимости и равномерной устойчивости (см. 1.1).
Положим Ж = & , тогда в силу рефлексивности & будет Ж — $Р. Пусть D — оператор, сопряженный с Z, он действует линейно и непрерывно из Ж в Ж. Введем семейство 5-функционалов на пространстве , каждый из которых определяется равенством: В [16, предложение 4.5] доказано, что если пространство & удовлетворяет аксиомам сходимости и равномерной устойчивости, то для любой обобщенной последовательности { (z)} из , сходящейся к элементу 3P{z) Є & в топологии этого пространства, и для любой фиксированной точки Л Є С Следовательно, SKX — линейный непрерывный функционал на 9, т.е. 4т) Є Ж. Так же, как это было сделано в [43, теорема 1.5], (см. еще [42, лемма 2.1 ]) можно доказать следующее утвержедние. Лемма 4.1.1. Спектр оператора D совпадает со всей комплексной плоскостью. При каждом значении А Є С : 1) собственное подпространство оператора D одномерно и порождается вектором д ; 2) при любом т 1 подпространство решений уравнения (D - A)mS = 0, 56 f, совпадает с линейной оболочкой множества S-функционалов Это утверждение означает, что корневыми элементами оператора D являются -функционалы. Замкнутое подпространство W С Ж называется инвариантным, если оно инвариантно относительно оператора D : Все Ж и подпростраство, состоящее только из нулевого функционала, — тривиальные инвариантные подпространства. Примеры нетривиальных инвариантных подпространств будут приведены ниже. Последовательность Л = {(\{,щ)} точек А; в комплексной плоскости, с приписанными кратностями щ, образует спектр нетривиального инвариантного подпространства W, если множество всех -функционалов, содержащихся в нем совпадает с множеством Если W состоит из одного нулевого функционала, то его спектр по определению пуст; если W = Ж, то, по определению, спектр состоит из множества пар (Л,сю), где Л пробегает всю комплексную плоскость. Таким образом, спектр инвариантного подпространства определяет запас -функционалов, в нем содержащихся. Задача спектрального анализа состоит в том, чтобы описать запас -функционалов данного инвариантного подпространства, т.е. в отыскании его спектра. Задача спектрального синтеза формулируется следующим образом: при каких условиях нетривиальное инвариантное подпространство W допускает спектральный синтез, т.е. совпадает с замыканием линейной оболочки множества всех -функционалов, в нем содержащихся? Из того, что пространства & и Ж = & рефлексивны, следует справедливость общего принципа двойственности (см. [П, 2]): между совокупностью {W} всех замкнутых подпространств в Ж и совокупностью {1} всех замкнутых подпространств в & имеет место взаимно однозначное соответсвие по правилу ортогональности: W -Н- 7, тогда и только тогда, когда W = I, 1 = W, где W0 — подпространство, ортогональное к W, т.е. множество всех функций из &, на которых обращаются в нуль функционалы из W, а 1 — подпространство, ортогональное к I, т.е. множество всех функционалов, аннулирующих I. Пусть W — инвариантное подпространство в Ж и & Є W. Для любого S Є W будет (5, &) = О и, в силу инвариантности т.е. Z& Є I. Значит, І — подмодуль в &. Обратно, пусть І — замкнутый подмодуль в & и S Є 1. Тогда (S,&) = 0 для любой 8Р Є Р. I замкнут относительно операции умножения на z, поэтому Значит, 1 — инвариантное подпространство в Ж. Из этих рассуждений и общего принципа двойственности следует специальный принцип двойственности: между совокупностью {W} инвариантных подпространств в Ж и совокупностью {1} замкнутых подмодулей в & имеет место взаимно однозначное соответствие по правилу ортогональности: W (- /, тогда и только тогда, когда W = I,I = W. Подмодуль / = И 0 называется аннуляторным подмодулем подпространства W. Пусть Л — точка спектра инвариантного подпространства W кратности п. Это означает, что -функционалы 5 , ..., д- принадлежат И7, a уже не принадлежит W. Отсюда следует, что любая функция & Є W обращается в точке Л в нуль с кратностью не меньшей, чем п, и в W0 найдется функция &о, Для которой Л — нуль кратности п. Т.е. Л — нуль подмодуля / = W0 кратности п. Верно и обратное: если Л — нуль I = W0 кратности п, то для любой 8Р Є /
Задача спектрального синтеза и ее двойственность с задачей локального описания
Тогда каждое решение g(z) системы (4-3.2) есть предел в топологии Р[р ,Н ] последовательности линейных комбинаций элементарных решений этой системы — экспоненциальных одночленов.
Следующее утверждение относится к подпространству решений системы (4.3.1) и является следствием теоремы 4.5. Предположим, что существует набор пар 7Гі = (г ь л), , тгп_і = {in-i,jn-i) такой, что 1) векторы (3 ,..., j3 7Vn 1)} линейно независимы; 2) для каждой тс = (ik,jk)i к = 1,..., п — 1, соответствующая пара характеристических функций 8Р{Ю &jk функционалов Sik и Sjk из пространства Р [р ,Н ] удовлетворяет всем условиям предложения 4-1 или предложения 4-2 Тогда каждое решение g(z) системы уравнений (4-3.1) есть предел в топологии Р[р ,Н ] последовательности линейных комбинаций элементарных решений этой системы — экспоненциальных одночленов. Следствием теоремы 4.6 является следующее утвержедние. Предложение 4.4. Каждое нетривиальное инвариантное подпространство W пространства Р[р , Н ], допускающее спектральный синтез, может быть представлено как множество решений двух (быть может, совпадающих) однородных уравнений свертки. Так как пространства Р [р,Н) и Р[р ,Н ] изоморфны, то Р [р,Н] и Р[р ,Н ) тоже изоморфны. Значит, приведенная выше схема применения теорем из 4.2 к задаче спектрального синтеза относительно оператора дифференцирования в Р[р ,Н ] применима к оператору дифференцирования и в Р[р ,Н ). При этом справедливы утверждения, аналогичные предложениям 4.1-4.4, являющиеся следствиями теорем 4.3-4.6 из 4.2. 2. Здесь в качестве пространства, изоморфного Р[р,Н), р О, Н{9) 0, рассматривается пространство Ж(0), состоящее из всех функций, голоморфных в /?-выпуклой области G С С, для которой Н{—в) — /9-опорная функция. Оператор D реализуется в Ж{0) оператором обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева по функции Миттаг-Леффлера, оператор типа свертки Tv — оператором обобщенной свертки — действием функционала S из Ж (Є) на обобщенный сдвиг {U g)(z) функции g(z) : Ниже приводятся необходимые геометрические определения, связанные с понятием /з-выпуклости (см. [4, гл. III, гл. VI]). Для р О, в Є (—7г;7г], t О через Lp(9\t) обозначена кривая, уравнение которой имеет вид где под (е гв z)p понимается ветвь этой функции, принимающая значения exp(plnz) при argz = 9. В полярных координатах уравнение кривой Lp(9;u) записывается так 7г при 0 р , $ при р . Из этого уравнения видно, что при 0 р 1/2 кривая Lp(9; v) ограничена и замкнута, а при р 1/2 она имеет две бесконечные ветви. Следовательно, Lp{9\v) разбивает всю комплексную плоскость на две дополнительные друг к другу односвязные области D (6;t) и Dp(9;t), первая из этих областей содержит интервал 0 \z\ t1/? луча argz = в, а вторая — интервал t1 р \z\ оо этого луча — во всех случаях, кроме одного: если 0 р 1/2, t = 0, то Dp(0;O) — вся плоскость без точки z = 0. При 0 р 1/2, область D (6;t) ограничена. При р=1 область D\{0;t) — это полуплоскость Re(e iez) t, D\{9;t) — полуплоскость Re(e ldz) і, L\(9;t) — прямая, перпендикулярная к лучу Argz = в в точке z = te%e. Значит, если р = 1, то определение областей D\(9;t) и Di(9;t) можно распространить на случай t 0. Пусть D c(9;t) — образ области D p{();t) при преобразовании Z = W + с. Замкнутая область D c{9\t) называется элементарной р-выпуклой областью. Точечное множество М называется р-выпуклым, если оно может быть представлено как пересечение некоторого семейства {D c(9]i)} элементарных р-выпуклых областей. Из этого определения следует, что ограниченное р-выпуклое множество замкнуто; для неограниченного р-выпуклого множества замкнуто его пересечение с каждым кругом \z\ R, R До-Пересечение всех р-выпуклых областей, содержащих данное множество точек, называется р-выпуклой оболочкой этого множества. Ясно, что р-выпуклая оболочка множества — это наименьшее р-выпуклое множество, его содержащее. 1-выпуклое множество есть пересечение некоторого семейства полуплоскостей {Re(e lGz) t}, т.е. обычное выпуклое множество. Для р-выпуклого ограниченного (следовательно, и замкнутого) множества D определим
