Введение к работе
В диссертационной работе изучаются две взаимосвязанные экстремальные задачи для алгебраических многочленов: о наилучшем в смысле равномерной нормы продолжении с единичной окружности на концентрическую окружность в плоскости М2 и о неравенстве между равномерными нормами многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях в комплексной плоскости.
Актуальность темы
Точные неравенства для алгебраических многочленов на единичной окружности (единичном круге) и родственные задачи для тригонометрических полиномов являются классическим разделом теории функций. Впервые подобные неравенства широко изучались С.Н. Бернштейном, М. Риссом, Г. Сеге, А. Зигмундом и др. К настоящему времени данной тематике посвящено большое количество работ, в том числе работы С.Н. Бернштейна, Г. Сеге, А. Зигмунда, СБ. Стечкина, Л.В. Тайкова, В.В. Арестова.
В частности, Л.В. Тайков исследовал неравенство между равномерными нормами тригонометрического полинома и его сопряженного на концентрических окружностях. Задача о неравенстве между равномерными нормами алгебраического многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях является естественным продолжением данных исследований.
Построенная в диссертации интерполяционная формула для оператора вида Бернштейна обобщает некоторые интерполяционные формулы, построенные ранее для исследования точных неравенств для полиномов. Кроме того, позволяет интерпретировать необходимые и достаточные условия С.Н. Бернштейна в терминах коэффициентов интерполяционной формулы.
Задача о наилучшем продолжении алгебраического многочлена с единичной окружности является интересным и естественным распространением данной тематики. Очевидно, что норму алгебраического многочлена Рп(х,у) двух переменных на окружности радиуса гф\ невозможно оценить через его норму на единичной окружности; достаточно в каче-
стве примера рассмотреть многочлены Рп(х,у) = А(х2 + у2 — 1), где А - сколь угодно большое число. Эти многочлены на окружности единичного радиуса равна нулю, а норма H-Pnllctrv) = \А(г2 —1)| на окружности радиуса г ф 1 неограниченно возрастает при росте А . Поэтому представляет интерес проблема наилучшего (в смысле нормы) продолжения. В силу сказанного, тема исследования данной диссертации является актуальной.
Цель работы:
— изучение величины наилучшего продолжения алгебраического мно-
гочлена двух вещественных переменных с единичной окружности плоскости на концентрические окружности большего и меньшего радиусов;
— изучение точной константы в неравенстве между равномерными нор-
мами многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях комплексной плоскости;
— построение интерполяционной формулы для линейных операторов
вида Бернштейна на пространстве тригонометрических многочленов заданной степени.
Методика исследований
Исследование величины наилучшего продолжения проходит в три этапа: построение общего вида продолжения, построение оценки снизу и построение оценки сверху. Общий вид продолжения строится при помощи теоремы Гильберта о корнях. Для оценки снизу достаточно построить конкретный алгебраический многочлен и оценить его наилучшее продолжение (точнее, в данном случае, показать, что его нельзя продолжить лучше в смысле нормы). Для оценки сверху для каждого многочлена строится конкретное продолжение и производится оценка нормы продолжения через норму многочлена.
Для изучения точной константы в неравенстве между равномерными нормами многочлена и его вещественной части на концентрических
окружностях значение алгебраического многочлена на окружности большего радиуса представляется как оператор от его вещественной части на единичной окружности. Далее для оператора применяется результат С.Н. Бернштейна [6].
Для построения интерполяционной формулы используется метод "приближения хвостами" для интегрального оператора типа свертки от тригометрических полиномов: к ядру изучаемого оператора добавляются специальным образом подобранные гармоники порядка старше чем порядок полинома (см., например, [21, 16]).
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
— вычислены величины наилучшего продолжения алгебраического мно-
гочлена от двух вещественных переменных с единичной окружности плоскости на окружности большего и меньшего радиусов;
— изучено точное неравенство между равномерными нормами много-
члена и его вещественной части на концентрических окружностях комплексной плоскости; найдены необходимые и достаточные уело-вия для выполнения точного неравенства с константой г между равномерными нормами многочлена порядка п и его вещественной части на концентрических окружностях единичного радиуса и радиуса г > 1;
— получена интерполяционная формула для линейных операторов вида
Бернштейна.
Теоретическая и практическая значимость
Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения точных неравенств для алгебраических многочленов от нескольких переменных и тригонометрических полиномов.
Публикации
Основные результаты опубликованы в центральной печати в работах [22], [23], а также в трудах международной конференции [24].
Апробация
Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:
Международная летняя математическая школа С. Б. Стечкина по теории функций (2007);
Международная конференция "Алгоритмический анализ некорректных задач посвященная 100-летию В.К. Иванова (2008). на научных семинарах:
под руководством член-корреспондента РАН Ю.Н. Субботина и профессора Н.И. Черных в Институте математики и механики УрО РАН (2008,2009,2010);
под руководством профессора В.В. Арестова в Уральском государственном университете им. A.M. Горького(2007,2008,2009).
Труды, материалы и тезисы докладов, указанных выше конференций, опубликованы в [24, 25].
Структура и объем работы
