Содержание к диссертации
Введение
Глава I. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, ГОЛОМОРФНЫХ НА ЛИНЕЙНО ВЫПУКЛОМ ОТКРЫТОМ МНОЖЕСТВЕ
Предварительные сведения I?
1. Об описании сопряженного пространства к пространству 21 голоморфных функций
2. О разделении особенностей голоморфных функций 27
3. О разложении голоморфных функций в ряды 30
простейших дробей
Глава 2. ОБОБЩЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ ВЫПУКЛОСТЬ И ЕЕ СВОЙСТВА
4. Свойства X -сопряженных множеств 41
5. Свойства )С -выпуклых множеств 47
6. X. -выпуклые оболочки 50
7. Схема Вольфа для -выпуклых областей 54
8. О связи между обобщенной линейной и полиномиальной 60 выпуклостями
Глава 3. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ ВЫПУКЛОСТИ
9. Характеристика рационально выпуклых компактов конечного порядка
10. Об описании пространства Jt (Е) для открытого 2 -выпуклого множества
11. О разделении особенностей функций, голоморфных на -выпуклых множествах
Литература 74
- Об описании сопряженного пространства к пространству 21 голоморфных функций
- Свойства X -сопряженных множеств
- Характеристика рационально выпуклых компактов конечного порядка
Введение к работе
Область 3) пространства С 71 комплексных переменных называют линейно выпуклой, если для каждой ее граничной точки X можно указать комплексно 71-{ -мерную плоскость, проходящую через X и не пересекающую ьй Связный компакт в С называется линейно выпуклым, если его можно аппроксимировать извне последовательностью линейно выпуклых областей.
С понятием линейной выпуклости тесно связано понятие сопряженного множества. Для О Е с С сопряженным множеством называют множество E = faeCn: wz+i VzzE}.
Аналогично определяется E как сопряженное к Е При этом Е называется первым, а Е -вторым сопряженным множеством к . .
Понятие линейной выпуклости для 71- Z было впервые введено в 1935 г. Е.Пешлем и Г.Беенке [i] . Однако по-настоящему интерес к этому понятию возник лишь в 60-х годах, когда обнаружились возможности эффективного его применения в ряде вопросов комплексного анализа. В работах А.Мартино и Л.А.Айзенберга этого периода понятия линейно выпуклого и сопряженного множеств нашли важные приложения в теории функций многих комплексных переменных. Например, в терминах линейной выпуклости были найдены необходимое и достаточное условия для разложения голоморфных функций на простейшие дроби [2] . Сопряженные множества применялись в решении задачи о разделении особенностей [3] , а позднее - при обобщении метода суммирования Бореля на случай функций многих комплексных переменных [4] , при установлении аналогов теорем Пойа для многомерного случая [5, б] и в некоторых других вопросах анализа /см., например, [7-9] /. Наиболее ярко понятия линейно выпуклого и сопряженного множеств проявились при описании пространства JL (jLL) линейных непрерывных функционалов над пространством jl(jU,) функций, голоморфных в области или на компакте М с С .
Для пространств аналитических функций одного комплексного пе ременного известна следующая двойственность: пространство Л '(Ж), где М, -открытое или замкнутое множество в расширенной комплекс ной плоскости Ь , изоморфно пространству . Для этой двойственности нет прямого аналога в многомерном случае, поэтому возникает вопрос: чем заменить дополнение М. при 7г>{ ? Оказа лось, что для некоторых классов линейно выпуклых множеств роль дополнения играет сопряженное множество: Jt (*АС) изоморфно jt(jtL) /двойственность Мартино-Айзенберга/.
Как уже указывалось, при Ті = Z понятие линейной выпуклости было введено Беенке и Пешлем. В случае произвольного 71 оно введено в работе [2] . Рассматриваемая там выпуклость называлась обобщенной, но затем fio] термин "обобщенная выпуклость" был заменен * более удачным термином "линейная выпуклость".
Указанную линейную выпуклость следует отличать от линейной выпуклости по А.Мартино. Термин "линейная выпуклость" применялся в работах А.Мартино fll, 12] в близком, но не тождественном смысле. А именно, множество О^Е^- С Мартино называл линейно выпуклым, если Е ~ Е . Оказывается, что линейно выпуклые по Мартино области и компакты являются линейно выпуклыми, а обратное не. верно, как показывают примеры в [Ю, 13 ] .
А.Мартино принадлежит также понятие сильно линейно выпуклого множества. Пусть T^-jtbdL) , где 0jiL -область или компакт в L . Индикатрисой шантаппье функционала Т* называют функцию (V))<, являющуюся действием Т на функцию Z—> (i-ZPZ) . Известно, что "Ф голоморфна на ЛС . Линейно выпуклое по Мартино множество М , для которого отображение 6Г: чА'(М*)-*А(Ж)» ставящее в соответствие функционалу Т его индикатрису Шантаппье, осуществляет изоморфизм пространств иы) и мл) . называется сильно линейно выпуклым [и, 12J .
В этом определении фигурируют два условия: геометрическое /линейная выпуклость/ и функциональное /изоморфизм пространств/. До 1979 г. не было чисто геометрического описания класса сильно линейно выпуклых множеств, пока не появилась работа [14] . В ней доказано, что для сильной линейной выпуклости области 5) СГ С необходимо и достаточно, чтобы сечение ее любой аналитической прямой было стягиваемо.
На комплексной плоскости все области и компакты сильно линейно выпуклы. В С выпуклые в геометрическом смысле области и компакты являются сильно линейно выпуклыми [II, 15] . Таковыми являются области и компакты, аппроксимируемые линейно выпуклыми областями с гладкими границами [з, 16J . Сильно линейно выпуклые множества нашли применения в решении ряда задач многомерного комплексного анализа [8, 17, 18] .
В настоящее время понятие линейной выпуклости хорошо исследовано. Возникла задача об обобщении этого понятия с целью получения результатов, аналогичных известным результатам А.Мартино, Л.А.Айзенберга, В.М.Трутнева, но в более общем случае. Такая задача решается в предлагаемой работе. Перейдем к изложению ее содержания.
Работа состоит из трех глав. В первой из них устанавливаются некоторые новые результаты о голоморфных функциях и линейной вы- пуклости. В 1 дается описание сопряженного пространства А, () к пространству jC(E) функций, голоморфных на линейно выпуклом открытом ограниченном множестве 0 О С . Рассмотрим функцию от U + 7lz комплексных переменных
К(г,ю=К(%,щ„.9кг ) = —І- ({-и4ж)... (i-wnz)
Пусть JL -множество голоморфных на = Е х... х Е Функций вида
В 1 показано, что Л -замкнутое подпространство МЕп) и что
Теорема I. Пространства изоморфны.
В 2 этот результат применяется в решении следующей задачи о разделении особенностей голоморфных функций: пусть , и Ez -открытые множества в С ; можно ли всякую функцию, голоморфную на Е = Е; П Е о » представить в виде где ^^МЕЬ) , L = i,Z ?
С этой задачей связан ряд важных результатов многомерного комплексного анализа /разрешимость проблем Кузена, решение проблемы Леви и др./, поэтому она представляет несомненный интерес. Как показывает теорема Пуанкаре-Ароншайна-Хавина [19, 20, 2l] , при 72 = і разделение особенностей всегда возможно, а при тг>{ оно возможно не всегда [3, 22] . Таким образом, при 71 >{ для выполнения условия (I) на рассматриваемые множества следует налагать дополнительные ограничения.
Если множества Е , Еі сильно линейно выпуклы, то [3, 18] геометрическое условие
Н(Е^Е2) = Е является достаточным /и даже необходимым/ для (I) . В 2 показано, что для линейно выпуклых множеств это условие перестает быть достаточным и что вместо него можно взять равенство
Н(Е,ПиЕгп) = п (2)
Теорема 2. Если ограниченные множества Е , Е^ , Ez линейно выпуклы, то (2)=Ф(1) .
В 3 изучается пространство Е (CD) функций, определенных для данной области О Є CD С. С следующим образом. Пусть у[, },. ~ -Л. -последовательность в CD , Ел (CD) -множество функций из jL(CO) » представимых рядами
Тогда, по определению, Е(CD) есть объединение всех таких Ел Как и в одномерном случае 23, 24] , обсуждаются следующие вопро-сы. При каких условиях данная последовательность А с CD может "обслужить" все функции из Е (Сд) /т.е. Ел(&) — Е (CD) /? Будет ли пространство банаховым? Каково сопряженное к нему пространство Е'Ш ?
При рассмотрении этих вопросов естественно считать, что область Сд линейно выпукла по Мартино, т.е. является сопряженным множеством к некоторому линейно выпуклому компакту. В качестве такого компакта берется замыкание ограниченной области и : 2)= & .
Теорема 3. Пусть область сильно звездная lG'c^t& при^>47 или строго псевдовыпуклая, /[ -изолированная последовательность в & . Если для любой функции /т.е. голоморфной и ог- раниченной в & I luplk(z)l = шрікШ , то ЕАФ) = «».
Теорема 4. Если область /? сильно звездная и имеет гладкую границу или же если G строго псевдовыпуклая, то пространство Е(о&) банахово в норме
Ц 11 = crfZlCL.I и (Z>) изоморфно Н (&) .
Доказательства этих теорем основаны на тех же идеях, что и при 71-і [23J . Там роль & играла жорданова область, областью Х> было дополнение (? , а ряды (3) имели вид
Во второй главе изучается понятие так называемой обобщенной линейной выпуклости. Оно вводится следующим образом. Пусть задано собственное голоморфное отображение f :С"-»-С" f(0)=0, такое, что функции ^ , ,tP*# » задающие это отображение, линейно независимы. Обозначим через , множество всех функций вида (*) = їігї.у.сю +<, wLJely
1=
Определение . Область «2)с С , содержащую начало координат, будем называть обобщенно линейно выпуклой, или, короче, X -выпуклой, если для каждой ее граничной точки X можно указать функцию ^ )С такую, что ^&С)=0 , (2,)^0 при %) . Компакт в С п называем )С -выпуклым, если его можно аппроксимировать извне последовательностью ) -выпуклых областей.
Заметим, что при Л/ = 71 и тождественном $ обобщенная линейная
Р-выпуклость переходит в обычную. Если N=71 , Ф. (Z) = Я.с , то по- лучим ^-выпуклость в смысле В.А.Степаненко f25j . В класс -выпуклых областей попадает любая область, строго аналитически выпуклая в целом. Такая область ограничена и задается в виде
2) = {г: Фт < о } , где ф -функция класса С г в окрестности <2) с отличным от нуля градиентом на Ъ<& , причем поверхность второго порядка не пересекает 3) при любом %b).
Более общий пример ЇС -выпуклой области дает рационально выпуклая область конечного порядка. Говорят [26] , что область X) является рационально выпуклой порядка Ж , если для любого Ь2) существует полином р степени не выше Ж такой, что поверхность {%: pfe) = р&)} не заходит в ) . Действительно, в качестве функций ^ . .., тР.. следует взять занумерованные в каком-нибудь порядке мономы когда целые неотрицательные числа * меняются так, что
Варьируя отображение ?Р , можно получать другие типы выпуклости. Таким образом, понятие обобщенной линейной выпуклости обладает определенной гибкостью.
В 4 разработан аппарат так называемых J-сопряженных множеств. Они играют ту же роль, что и сопряженные множества в теории линейной выпуклости и определяются следующим образом.
Пусть у/і -множество всех подмножеств из С , содержащих начало координат. Положим A(Z,bX) = {- Ttrf(Z) *Ї7 А/ и для Е Є- jL , Fjt определим множества oi(E) = {veCA,:ka,w^O VzeE}, f(F) = (zeCn: Аа.ЮФО VweF}.
Тем самым определены операторы oL : Л —* Л , fi Л —* Л , которые в линейном случае /т.е. когда А/- 71 , -if(Z)=%/ совпадают с оператором а/ перехода от данного множества к его первому сопряженному множеству. При этом суперпозиции dj> и ВоС дают Для Е&А множества об(Е), JoC(E) будем называть соответственно первым и вторым X, -сопряженными к Е множествами. Аналогичная терминология для р jt : 3(F) -первое, oCjS (F) -второе ЇС -сопряженные множества к F . Изучению &С -сопряженных множеств посвящен 4. Изложение ведется в терминах свойств операторов оС и р, . Оказывается, что они наследуют ряд свойств оператора ау , например, убывают по включению, открытые множества переводят в компактные, а компактные - в открытые и т.д. В 5 устанавливаются некоторые свойства ^ -выпуклых областей и компактов. При этом существенно используются результаты 4. Различные описания ,«С -выпуклой области дает Теорема 5. Пусть 3) -ограниченная область в С , содержащая начало координат. Тогда следующие условия равносильны: а/ область «0 является обобщенно линейно выпуклой; б/ область 2) совпадает с одной из связных компонент своего второго X. -сопряженного множества; в/ е) есть связная компонента открытого множества г/ область 3) выпукла относительно множества голоморфных в ней функций Л . д/ 3) является пределом возрастающей последовательности J -выпуклых областей. Заметим, что в линейном случае равносильность условий а/ и б/ установлена в [2] , а импликация д/= а/ доказана в [2?] . Условие ограниченности 3) существенно лишь в доказательстве в/=^г/: если в формулировке теоремы опустить г/, то оставшиеся условия эквивалентны без требования ограниченности области 3) . В 6 изучаются dC -выпуклые оболочки. Если от данной области перейти к наименьшей ЇС-выпуклой области, содержащей 3) , то такую наименьшую область естественно назвать Z, -выпуклой оболочкой 3) . Ее обозначаем Ну, (3)) . Следующее предложение показывает, что J -выпуклые оболочки имеют ряд свойств обычных оболочек голоморфности. Предложение. Пусть 2) -область в С , содержащая начало координат. Тогда I/ всякая функция из «J принимает в // (3)) только те значе-ния, которые она принимает в 3) ; 2/ если область 3) ограничена, то ее оболочка также ограничена; 3/ границы областей 3) и // (3)) всегда пересекаются; 4/ 3)<шЄ =>Н%()(Н%(&) ; 5/ Н^0) -это одна из связных компонент Далее в 6 исследуется проблема сходимости -выпуклых оболочек. Вводится понятие дополнительной ьС -выпуклой оболочки по аналогии с соответствующим понятием в общей теории функций многих комплексных переменных. Указан критерий отсутствия у данной области дополнительной ^-выпуклой оболочки. Теорема 6. Для того, чтобы ограниченная -выпуклая область 3) с С не имела дополнительной Тем самым обобщен один результат, установленный ранее в условиях линейной выпуклости [28] или рациональной выпуклости конечного порядка [2б] . Кроме того, в 6 дается достаточный признак отсутствия дополнительной об -выпуклой оболочки. Теорема 7. Пусть 0<) С С -ограниченная -выпуклая область . Если первое -сопряженное множество к <2) является толстым компактом /т.е. совпадает с замыканием своей внутренности/, то 3) не имеет дополнительной X -выпуклой оболочки. Следует заметить, что в условиях линейной выпуклости данный факт ранее не был известен. В 7 изложена схема Вольфа [29, 2] для X -выпуклой области. Результат заключен в следующем утверждении, которое применяется далее в 8, 9. Предложение. Пусть 3) -ограниченная область в С , такая, что ее замыкание является оС -выпуклым компактом. Тогда любая функция, голоморфная на 3) , разлагается в нормально сходящийся в 3) ряд со р У X— n(i) п(Ю у в котором -г. -некоторые целые в С функции, такие, что ряд к ІЗ Ці сходится в нормально, а / -функции из , вида не имеющие нулей в 2) . Главу 2 завершает 8, в котором рассмотрен вопрос о связи между обобщенной линейной и полиномиальной выпуклостями. В некоторых вопросах комплексного анализа бывает важным знать, будет ли данное линейно выпуклое множесво JiL полиномиально выпуклым /см., например, [ід] или [зо] , с. 52/. Известно [із] , что одним из достаточных условий для этого является связность jlL . В 8 этот результат обобщен. Доказана Теорема 8. Пусть Третья глава посвящена приложениям теории, развитой в главе 2. В 9 дается характеристика рационально выпуклых компактов конечного порядка в терминах разложения голоморфных на них функций в специальные ряды правильных рациональных дробей. Эти ряды имеют вид ы pk- -pk w где Р, -полином степени не выше 7i(a--L) , a^-i -целое число, (с) Г* , о -полиномы степени не выше а, , такие, что сумма квадратов модулей всех их коэффициентов, за исключением свободного члена, равна I. При этом ряд из числителей 21 Pl сходится в С нормально. Если 1 = -/ , то ряды (4) в точности совпадают с рядами простейших дробей в смысле работы [2] . Описание рационально выпуклых компактов конечного порядка дает Теорема 9. Пусть /С -компакт голоморфности в . Для того, чтобы он был рационально выпуклым заданного порядка cL , необходимо и достаточно, чтобы всякую функцию, голоморфную на К , можно было представить рядом (4) , равномерно сходящимся в некоторой окрестности К . Тем самым обобщен известный результат Л.А.Айзенберга [2] о разложении голоморфных функций на простейшие дроби. В качестве следствия теоремы 9 получается следующее утверждение, дающее описание произвольного рационально выпуклого компакта в духе этой теоремы: для того, чтобы компакт голоморфности К был рационально выпуклым, необходимо и достаточно, чтобы для каждой функции ЄхА(Ю существовало такое целое число cL^d. , что в некоторой окрестности К функция представима равномерно сходящимся рядом (4) . В 10 дается описание сопряженного пространства к пространству функций, голоморфных на dC -выпуклом открытом ограниченном мно-жестве ОЄЕ^-С . Пусть у функций яр , задающих отображение яР , фиксированы коэффициенты Хефера Q , c-ii...)N^Z-ly...p2. Занумеруем каким-нибудь образом определители II, г,У^1,...,п, кіі<...<іп и после этой нумерации обозначим их о (%) . . . ? О (Ь:,2) » ~ Ті -і Я» і f>N где Р = С а/ Полагая &Г= (Шу ..., ЪУ ), Ш Є С » введем вектор В пространстве jt ( *Е ) /вместо оС(Е) пишем / выделим подмножество вектор-функций, предетавимых рядами Множество всех таких Q. обозначим Л . Оказывается, что Л -. является замкнутым подпространством jl (С *Е ). По аналогии с 1 доказана ^ Теорема 10. Пространства J, (Е) и ^ изоморфны. Описание А (Е) несколько упрощается, если Е аппроксимируется изнутри регулярными областями. Говорим, что область 3) регулярная, если дЗ)ЄС и существует гладкое отображение 2tf\ Ь$~* .<* -* С N , для которого &(%)$(&)-$(Ь:)]Ф0 на &Z>x# . Такая ,к*область является аналогом линейно выпуклой области с гладкой травницей, ее примером может служить область, строго аналитически .выпуклая в целом. Пусть область Е аппроксимируется изнутри регулярными областями, jt " .определено как и выше, но с тем условием, что в (5) все '. векторы 2J ,...,%? совпадают между собой. В 10 показано, что в этом случае А (Е)= Jt . Это обобщает результат Л.А.Айзенберга о том, что области, аппроксимируемые изнутри линейно выпуклыми областями с гладкими границами, являются сильно линейно выпуклыми. Наконец, в 11 указан аналог теоремы 2 для обобщенной выпуклости. Пусть Ej » Ez -ограниченные открытые множества, содержащие начало координат { , и = ,/)«. Рассмотрим следующие условия. а/ Любая функция -^ЄА(Е) представима в виде Cl) . , й/Ріг ., ?Пі ~7l б/ H(Ei U Ez ) = - . в/ Н(Ё+иЕг) =. Теорема II. Если множества Е »">»" ^-выпуклые, то б/=Фа/, Если все они аппроксимирзгются регулярными областями, то в/=> а/. Таким образом, результаты проведенных исследований состоят в следующем. 1. Введено понятие обобщенной линейной выпуклости, включающее в себя как частный случай понятие линейной а также некоторые дру гие типы выпуклости. 2. Даны описания и указаны свойства ьС -выпуклых областей и X, -выпуклых оболочек. Рассмотрен вопрос о сходимости таких обо лочек и о связи между обобщенной линейной и полиномиальной выпуклостями. Дана характеристика рационально выпуклых компактов. Продолжены исследования А.Мартино, Л.А.Айзенберга и других математиков по описанию сопряженных пространств к пространствам аналитических функций. Дополнены результаты Л.А.Айзенберга, В.М.Трутнева, относя-'щиеся к задаче о разделении особенностей голоморфных функций. Показано, что методику изучения линейно выпуклых множеств можно применить для изучения множеств более общей природы. Обобщены некоторые известные и получены новые результаты в многомерном комплексном анализе. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [43-50] . По материалам диссертации были сделаны доклады на 5-й научной конференции Западно-Сибирского региона MB и ССО РСЗЮР по математике и механике /Томск, 1975/, на научной конференции Омского государственного университета /Омск,1977/ а также на научно-исследовательских семинарах при Институте физики СО АН СССР, Красноярском и Уральском государственном университетах. Введем функцию от 71+ 71 комплексных переменных Эта функция часто встречается в вопросах линейной выпуклости. Например, если ОЄК -линейно выпуклый компакт в С , то любая функция /из Jt(K) в окрестности К разлагается [2] в ряд Наоборот, если для открытого множества 0G Е зафиксировать последовательности id, \ ?. , {AL}(9.E , то на Е - Е ...хЕ определена голоморфная функция }m=kAK(h,u;) Ниже мы увидим, что пространство Л (Е) можно отождествить с множеством Л всех таких О, , если Е линейно выпукло. Но прежде чем установить этот результат, докажем некоторые вспомогательные утверждения. Лемма I.I. Пусть О Є Л -аналитический полиэдр вида Л = {з: IFk(Z)l i, k = t,.-.,A/} с образующими Тогда для функций из А (А) справедливо равенство J &J где суммирование идет по всем наборам j = (Jf—Jn) Ji - Jit A/ 0=0 -остов А і CO - 0) -непрерывная форма типа і і а отображение задано формулой В этом параграфе излагаются свойства J-сопряженных множеств, определенных во введении. Многие свойства представляют самостоятельный интерес, поэтому их приведено несколько больше, чем нужно для наших целей. Изложение ведется в терминах свойств операторов Л и А . Заметим, что они не являются равноправными между собой, так как функция с помощью которой определялись оС и Л , линейна по W и не линейна, вообще говоря, по Z . Многие свойства являются прямыми аналогами соответствующих свойств сопряженных множеств и могут быть доказаны с помощью тех же рассуждений, что и в [2] . Имеется и ряд свойств, не имеющих прообразов в линейном случае. В этом параграфе некоторые предыдущие результаты применяются к описанию множеств следующей природы. Определение. Пусть cL -d -заданное целое число. Область JD называется [26] рационально выпуклой порядка и. , если для каждой ее граничной точки X существует опорная поверхность вида {Zen : рШ =р(Х)} , где р -некоторый полином степени не выше сі . Связный компакт будем называть рационально выпуклым порядка а , если его можно аппроксимировать извне такими областями. Обозначим Р, множество всех полиномов от Ъ Є степени не выше с[ . Многочлены из Pi можно записывать в виде / Г2)= И а. .г/.. «„ + или, более кратко, Пусть М-d -подмножество !Pi , состоящее из тех многочленов, для которых у z і /L. (а./ = і. Ряды (9.1) при (І-і переходят в ряды простейших дробей в смысле работы [2] . Из ее результатов вытекает следующее характеристическое свойство линейно выпуклых компактов: для того, чтобы компакт голоморфности был линейно выпуклым, необходимо и достаточно, чтобы каждая голоморфная на нем функция разлагалась в ряд (9.1) /СЙ = / /, равномерно сходящийся в некоторой окрестности этого компакта. Наш результат вполне аналогичен и может рассматриваться как обобщение этого факта. Теорема 9. Компакт голоморфности д С ( тогда и только тогда является рационально выпуклым порядка cL , когда каждую функцию из Jt(K) можно представить рядом (9.1) , равномерно сходящимся в окрестности /С . Следствие. Пусть Л -компакт в С , имеющий однолистную оболочку голоморфности. Для того, чтобы всякую функцию, голоморфную на Л , можно было представить в некоторой окрестности /С рядом (9.i) , равномерно сходящимся в этой окрестности, необходимо .Об описании сопряженного пространства к пространству 21 голоморфных функций
Свойства X -сопряженных множеств
Характеристика рационально выпуклых компактов конечного порядка
Похожие диссертации на Об одном виде выпуклости в многомерном комплексном анализе и его приложениях
