Поведение частичных сумм тригонометрических рядов Фурье Антонов, Николай Юрьевич

Введение к работе

Актуальность темы. Пусть Т = [-л-, л-). А > 0, <р : [Л,+оо) -* [0.+ос) - неубывающая функция. Обозначим через кр(Ь) = ip(L){T) множество всех измеримых по Лебегу 2;г-перііоднческнх функций / таких, что

/ро(|/(<)|)А<с,

т где 9о ^_ функция, совпадающая с р на [Л,+оо), и равная нулю в остальных точках полуинтервала [0,+оо). Заметим, что если при некоторых «о > Л и С > 0 для функций <р\(и) и ?г(") выполняется неравенство ^і(м) < С<^г(")і u > u₀. то С 9i()-

Пусть

an

— +^2(a_kcoskx + b_ks'mkx) (1)

^ i=i

- тригонометрический ряд Фурье функціга / из класса L, a S_n(f,x) -
его частичная сумма порядка п.

Определим также

53 (^а* sin кх — Ьк cos кх)

- сопряженный ряд ряда (1) и S_n(f,x) - его n-ую частичную сумму.

В диссертации исследуется вопрос о поточечном поведении, и, в частности, о сходимости, ряда (1) в зависимости от принадлежности / к какому-нибудь классу Поскольку даже непрерывность функции не влечет сходимость ее ряда Фурье в каждой точке, естественно рассматривать задачу о сходимости ряда (1) почти всюду (п.в.).

Задача 1. Найти как можно более общие условия на класс (то есть, как можно более слабые условия на рост функция <р(и)), чтобы для любой / Є при п — оо

S_n(f,x) -+ /(х) п.в.

Для классов в которых существуют функции / с неограниченно расходящимся на множестве положительной меры рядом Фурье, представляет интерес следующая задача о скорости роста 5„(/,х).

Задача 2. Для заданного класса ip{L) почти всюду выполнялось соотношение

5_п(/,аг) =о(Л_п).

Исследованию задач 1 и 2 посвящено большое число работ. В разное время этими задачами для разных классов занимались Харди, Лузин, Колмогоров, Литтлвуд, Пэли, Карлесон, Хант. Шёлин и др. Несмотря на полученные в этой тематике глубокие результаты, окончательного решения задач 1 и 2 до сих пор не получено. Продолжение исследований в этом направлении представляет несомненный интерес и продолжает оставаться актуальным.

Изложим историю исследования этих задач подробнее.

В 1913 году Г.Харди [13] доказал, что для tp(L) = L можно взять A_n = log п. К настоящему времени этот результат не улучшен, и не доказана его неулучшаемость. Имеет место следующее обобщение результата Харди на подпоследовательности последовательности частичных сумм рядов Фурье, полученное К.И.Осколковым [3]: если {&„} - фиксированная строго возрастающая последовательность натуральных чисел, то для любой / Є L справедлива оценка

5i„(/,x)=o(logn) п.в. (2)

Причем, для последовательностей {„}, удовлетворяющих условию

_bfbg(nlog(fc_n+i/fc_n)) _{> о}
" logn

(этому условию удовлетворяют, например, последовательность к„ = 2", а также все последовательности, растущие быстрее) оценка (2) не-улучшаема. Отметим, что ранее Р.Хантом [15] был получен частный случай оценки (2): если ш %" > 1, то для / Є L почти всюду

&„(/,*) = o(log log fc„).

Началом исследований задачи 1 явилось высказывание Н.Н.Лузиным [1] в 1915 году гипотезы о том, что ряд Фурье любой функции из 1} сходится почти всюду.

В 1923 году А.Н.Колмогоров [16] построил пример суммируемой функции с рядом Фурье, неограниченно расходящимся почти всюду, а позднее [17] - пример функции из L с рядом Фурье, расходящимся в каждой точке. Конструкция Колмогорова послужила в дальнейшем основой для получения отрицательных результатов в задачах 1 и 2. Й.Чень [9] установил, что в задаче 2 для y(L) = L последовательность {А_п} не может расти медленней, чем log log п. В.И.Прохоренко [4] и Й.Чень [10] построили функции из классов (log⁺log⁺)^{1-, г > 0. с радами Фурье, расходящимися почти всюду. Далее, К.Тандори [25] доказал, что для любого 0 < е .< 1 и любой последовательности положительных чисел А„ = o((loglogn)I_) существует функция / из класса L(log+ log+ L)S(T), такая что всюду на Г}

sup = +оо, sup = +СО.

п Х_п п А„

Наилучший в настоящее время отрицательный результат в задаче 1 таков (Кернер [20], см. также [6]): если ^(«) = o(loglogu) при и —> оо, то существует функция из класса Lrp(L) с расходящимся всюду рядом Фурье.

Самыми сильными "положительными" результатами в задаче 2 долгое время оставались оценка А.Н.Колмогорова - Г.А.Селиверстова [18] и А.И.Плеснера [22]: если / Є L²(T), то для почти всех ібГ

S_n(/,*) = o((logrc)*),

и ее обобщение на случай 2/(Г) (1 < р < 2), полученное Дж. Литтл-вудом и Р.Пэли [21]: если / Є ЩТ) (1 < р < 2), то

S_n(f,x) = o((hsn)p) п.в.

Что же касается задачи 1, то до середины 60-х годов не было даже известно, следует ли из непрерывности функции сходимость ее ряда Фурье почти всюду, пока в 1966 году Л.Карлесон не установил справедливость гипотезы Лузина. В работе [8] Карлесоном получены следующие результаты:

а) если / Є I(log⁺ L)^l+S, 6 > 0, то

S_n(f, х) = o(log log п) п.в.;

b) если / Є LP при р > 1, то

S_n(f, х) = o(log log log п) п.в.;

c) если / Є X², то ряд Фурье функции / сходится почти всюду.
Доказательство утверждения а) подробно изложено в [7]. Другое до
казательство утверждения с) было предложено Ч.Фефферманом [12].
Подробное изложение этого доказательства дано в [2].

Используя метод Карлесона, в 1967 году Р.Хант [14] распространил утверждение о сходимости п.в. рядов Фурье на функции из классов L^p, р > 1, и L(log⁺ )². Обозначим через

il//(x)=sup|S_n(/,x)|, я Є Г,

п>0

максимальную функцию частичных сумм ряда Фурье (1) функции f{x). Хант доказал, что

1. < СрН/И,, 1<*<ос;

2. УЗД < C/t/(^)|(log⁺ \f{x)\)4x + С;

3. т{х Є Г : Mf(x) >у}<С exp{-Cy/\\f\\_x}. у > 0.

Из утверждений 1) и 2) следует сходимость п.в. Sn(f.x) к /(х) для функций из соответствующих классов. Положим

²? e~^intf(t)

-і ^x-t

АГ/(лг) = sup |5:(/, *)|, хЄГ.

Основным результатом работы [14], из которого получены оценки 1)-3), является следующая оценка для характеристической функции \F произвольного измеримого множества F С (—7г, їг):

т {х Є Т : M*(xf, *) > »} < ()V ">F, (3)

где у > 0, 1 < р < ос, В_р < Const р²/(Р - 1). П.Шёлин [23] в 1969 году перенес оценку (3) на случай максимальной функции M\f(x)

частичных сумм ряда Фурье по системе Уолша. Далее в [23] доказано, что из (3) следует

т {х Є Т : M'{xf, *)>у}< С- log (-) mF, (4)

у \у/

О < у < 1/2, С — const, где в качестве М* могут быть взяты как M*f{x) - определенная выше максимальная функция модифицированных частичных сумм тригонометрического ряда Фурье, так и Mf(x) - максимальная функция частичных сумм ряда Уолша.

Используя (4), Шёлин доказал, что если / Є L(log⁺ L)(log⁺ log⁺ L), то тригонометрический ряд Фурье и ряд Фурье-Уолша функции / сходятся почти всюду.

Рассмотрим теперь случай кратных тригонометрических рядов Фурье.

Пусть d > 2 - натуральное число, T^d = [— к, тг)^а - rf-мерный тор, Z^d -целочисленная решетка в R^d, k = (ki,...,kj) Є Z^d, х = (xi,...,xj) Є T^d, кх = кіХі 4-... + kjzj,

L a_te^iix (5)

kZ*

~ кратный тригонометрический ряд Фурье суммируемой на T^d функции /, а

S_n(f,x) = S^d_n(f,x) = D a_te^ik*

t=(fci i_d):raax|Jt,|

- его n-ая кубическая частичная сумма.

Ряд (5) сходится по кубам (в случае d = 2 - по квадратам) в точке xq T^d, если последовательность 5„(/,аго) имеет предел при п—юо

Через (p(L) = ip(L)(T^d) обозначим множество всех измеримых функций, определенных на d-мерном торе и таких, что

/іЛ)(|/(<)|)Л<оо. --__

Здесь <р и (ро те же, что и в рассмотренном выше одномерном случае. Сходимость почти всюду по квадратам рядов Фурье функций /(і) Є Z²(T²) была установлена Н.Р.Тевзадзе [5]. Ч.Фефферман [11] распространил этот результат на функции /(х) Є If{T^d), р > 1, d > 2, а

затем П.Шёлин [24] доказал, что если / Є I(log⁺L)^{(log+log+I)(r'i), то ее ряд Фурье сходится по кубам почти всюду. Для доказательства последнего результата Шёлин использовал свою теорему [23] о сходимости п.в. рядов Фурье функций из X(log+i)(log+log+i) в одномерном случае.}

Наилучший на сегодня результат, касающийся расходимости по кубам на множестве положительной меры кратных рядов Фурье функций из ^d), d > 2. принадлежит С.В.Конягину [19]: для любой функции <р( и) = о( «(log «У*^-1 log log и) при и — оо существует /(х) Є ip(L){T^d) с расходящимся всюду по кубам рядом Фурье.

Цель работы. Получение новых достаточных условий сходимости почти всюду и оценок скорости роста тригонометрических рядов Фурье функций одной переменной. Перенесение полученных результатов на функции многих переменных для случая сходимости кратных тригонометрических рядов Фурье по кубам.

Методы исследования. В работе используются методы математического анализа и теории функций.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Установлено, что условие / Є (log⁺)(log⁺log⁺log⁺)(r) является достаточным для сходимости почти всюду тригонометрического ряда Фурье функции /. Получены оценки скорости роста частичных сумм рядов Фурье для функций из классов, "лежащих между" ЦТ) и ZL(iog+ L)(log+log⁺ log⁺ L)(T).

2. Доказана теорема о связи между классами сходимости почти всюду в одномерном п многомерном случаях. Из этой теоремы и результата о сходимости почти всюду простых рядов Фурье функций из класса (log⁺ L)(log⁺log⁺log⁺L)(T) следует сходимость почти всюду по кубам кратных рядов Фурье функций из классов L{hg⁺ L)^d{log+log* hg⁺ L)(T^d), d>2.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и предложенные в работе идеи доказательств могут быть использованы для дальнейшего изучения вопросов сходимости почти всюду рядов Фурье, не только тригонометрических.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на совместном семинаре отдела теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН.(под рук. проф. Ю.Н.Субботина и проф. Н.И.Черных), на Международной конференции по теории функций памяти С.Б.Стечкина (Миасс, 1996 г.), на Международной школе С.Б.Стечкина по теории функций (Миасс, 1997 г.), на 27-й п 28-й Молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 1996 и 1997 гг.), на 9-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 1998 г.).

Публикации. Осповные результаты диссертации опубликованы автором в работах [26] - [30].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Объем диссертации - 72 страницы. Список литературы содержит 41 наименование.

Похожие диссертации на Поведение частичных сумм тригонометрических рядов Фурье

Осцилляция частных сумм и коэффициенты ряда Фурье интегрируемой функцииРодин, Владимир Александрович

Коэффициенты Фурье и мажоранта частичных сумм рядов по системам типа ХаараАубакиров, Тойбек Уатаевич

Об аппроксимативных свойствах классических средних и арифметических средних с пропусками тригонометрических рядов Фурье и их сопряженных рядов Леладзе Давид Вахтангович

О сходимости рядов Фурье почти-периодических функций и кратных тригонометрических рядов Гуния Николоз Григорьевич

Приближение классов периодических функций линейными средними их рядов Фурье Бушев Дмитрий Николаевич

Исследование отклонений линейных средних рядов Фурье на классах периодических функций Грона Вадим Леонидович

Приближение непрерывных периодических функций линейными средними их рядов ФурьеНовиков Олег Александрович

Линейные средние рядов Фурье функций нескольких переменных Нахман Александр Давидович

Регулярность и аппроксимативные свойства линейных методов суммирования двойных рядов Фурье Носенко Юрий Лаврентьевич

О сходимости и суммируемости тригонометрических и общих ортогональных рядов ФурьеКарагулян Григорий Арташесович