Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Вольтерровы операторы с ядрами, однородными степени 17
I. Приведение оператора с ядром, однородным степени Yi-i к простейшему виду 19
2. Инвариантные подпространства 33
3. Интегральное представление одного класса целых функций 38
Глава 2. Разложение по собственным и присоединенным функциям конечномерных возмущений вольтерровых операторов с ядрами, близкими к однородным 45
1. Приведение вольтеррова оператора к простейшему виду 46
2. Асимптотика ядра резольвенты 48
3. Вспомогательные оценки 76
4. Теорема о разложении 80
Глава 3. Интегральные операторы с ядрами типа функции Грина 84
I. Приведение оператора с ядром типа функции Грина к простейшему виду 90
2. Асимптотика резольвенты конечномерного возмущения оператора интегрирования 111
3. Вольтерровы операторы с ядром типа функции Грина 126
4. Теорема о разложении 128
Литература 134
- Приведение оператора с ядром, однородным степени Yi-i к простейшему виду
- Интегральное представление одного класса целых функций
- Асимптотика ядра резольвенты
- Асимптотика резольвенты конечномерного возмущения оператора интегрирования
Введение к работе
Спектральная теория линейных операторов играет фундаментальную роль в различных вопросах математики, механики и физики. При этом возникает много проблем, приводящих к несамосопряженным задачам. В отличии от классической спектральной теории самосопряженных операторов, теория несамосопряженных операторов еще далека от своего завершения и в настоящее время интенсивно развивается.
Первые работы, относящиеся к этому направлению, принадлежат В.А.Стеклову, Г.Биркгофу, Я.Д.Тамаркину, которые рассматривали разложения по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) несамосопряженных дифференциальных операторов. Важное место в спектральной теории несамосопряженных операторов занимают результаты советских математиков. Принципиальное значение имеет здесь теорема М.В.Келдыша о п-кратной полноте с.п.ф. полиномиальных операторных пучков, стимулировавшая дальнейшее развитие данной теории.
Наиболее распространенные способы исследования несамосопряженных операторов связаны с оценкой резольвенты. Она, в частности, лежит в основе метода контурного интегрирования Коши. Еще одним естественным аппаратом исследования многих вопросов спектральной теории (обратные задачи, разложение по с.п.ф., асимптотика собственных значений и др.) оказался метод операторов преобразования. Впервые введенный Ж.Дельсартом, А.Я.Повзнером, он получил мощное развитие в работах И.М.Гельфанда, Б.М.Левитана, В.А.Марченко.
Наибольшее продвижение теория несамосопряженных операторов получила для обыкновенных дифференциальных операторов, где благодаря наличию асимптотики решений соответствующего дифференциального уравнения при больших значениях спектрального пара- метра, применяется метод контурного интегрирования Коши.
Поэтому при изучении задач спектрального анализа для интегральных операторов естественно прежде всего рассматривать операторы, обобщающие интегральные операторы, ядра которых являются функциями Грина всевозможных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Такими операторами являются конечномерные возмущения вольтерровых операторов, то есть операторы вида - системы линейно независимых функций, а М - вольтерров оператор. Данная работа посвящена исследованию разложений по с.п.ф. таких интегральных операторов.
Операторы (I) были подробно изучены А.П.Хромовым[2_j- 3] при условии, что оператори является возмущением іг-ой степени оператора интегрирования. Здесь мы будем предполагать, что Н является возмущением л.-ой степени оператора обобщенного интегрирования А.О.Гельфонда - А.Ф.Леонтьева, действующего в пространствах суммируемых функций. (В этом случае оператор Ц также может быть представлен как возмущение n-ой степени оператора интегрирования, но возмущающий оператор имеет более общий вид, чем уже рассмотренный). Как и в указанных работах будем считать, что конечномерное слагаемое в операторе Л достаточно мало (2т<п, П^Ъ ). Это означает, что при больших значениях параметра резольвента оператора Я ведет себя примерно как резольвента вольтеррова оператора, то есть для нее допускается экспоненциальный рост по любому направлению.
В данной работе рассмотрен также случай, когда вольтерров операторе является оператором с разрывным ядром типа функции Грина. (То есть, оператор Л является возмущением первой степе ни оператора интегрирования). Здесь влияние конечномерного сла гаемого на рост резольвенты оператора Л оказывается существен ным. На функции 16 = i,tft будут наложены условия, при которых резольвента оператора М имеет степенной рост.
Основным методом исследования является приведение рассматриваемого оператора к простейшему виду с помощью оператора преобразования и изучение затем полученного оператора. При этом используется метод контурного интегрирования.
Изложим более подробно содержание диссертации.
Мы будем изучать оператор (I), где вольтерров оператор имеет вид:
М=У"-+Л, (2) Vh Ud)dt - оператор интегрирования. Рассмотрим два случая. I). п>з, л^Я+Яі. о) *<**> = -іщг-Р(), функция p(i) непрерывна, JfiiOdfi) непрерывна и имеет место оценка:
ЛііХЛ) = 0(«C-t)V. (4)
В этом случае оператор М можно представить в виде:
И -Я +Лі , где л - оператор с ядром, однородным степени П-І. (в дальнейшем, я.о.с. и-4 ). nt = fxr'l\&nit)di. (5)
Этот оператор является П -ой степенью оператора обобщенного интегрирования А.О.Гелъфонда - А.Ф.Леонтьева в пространстве суммируемых (с некоторой степенью) функций, то есть линейным ограниченным оператором, определенным на системе степеней / Их00 «^ /к=о следующим образом:
Яя*=с6КЛ*** (6) (L% - некоторые постоянные. 2). И, = 1, JVf=ij((*,t)tlh)cLl. (V)
, Здесь операторы пил являются операторами с ядрами типа функции Грина*. Наиболее подробно изучим важный случай
Отметим, что слагаемое JV , входящее в оператор Л , яв- й В этом случае вполне непрерывный операторМ будем называть вольтерровым, если он имеет одноточечный спектр, (см. И.Ц.Гох-берг, М.Г.Крейн [I]). ляется существенным, поскольку для РЮ^О , Jtf(ОС, к) не имеет оценки вида 0((<-t) ) f S > 0 . Разложения по с.п.ф. конечномерного возмущения оператораи ((2), (3)), когда
Р(ї) = 0 » то есть рассматривались А.П.Хромо- вым в работах[2-3].
Первая глава посвящена исследованию операторов с я.о.с.
1- і . Здесь показано, что такой и только такой вид имеют интегральные операторы, которые являются ft-ми степенями операторов обобщенного интегрирования А.О.Гельфонда - А.Ф.Леонтьева в
Оператор обобщенного дифференцирования в пространствах аналитических функций был введен в работе А.О.Гельфонда, А.Ф.Леонтьева [4]. Этот оператор и обратный к нему оператор обобщенного интегрирования исследовались в пространствах аналитических функций и пространствах последовательностей в работах А.Ф.Леонтьева [53, Ю.Ф.Коробейника [6-9J, К.М.Фишмана и Н.И.Нагнибиды [10], В.И.Шевцова [II,12J и др. Эти операторы изучались и как операторы взвешенного сдвига Н.К.Никольским [13J, Ю.Ф.Коробейником [7-8]и др.
Операторы с я. о. с-і {її-О) являются естественным обобщением оператора Чезаро: ~ j $(t)d.t и исследовались в работах А.Брауна, П.Р.Халмоша, А.Л.Шилдса [14], Л.Г.Михайлова [15-16] и
В данной работе рассматриваются операторы с я.о.с.Н-4 для It > і . На функцию И (ОС) , вообще говоря комплекснозначную, входящую в ядро оператора (5), будем накладывать условие (I): функция Hex) п раз непрерывно дифференцируема на полуинтерва-ле (0,І] ; существуют и конечны tint (& И №)), i~Offi; су-ществует неотрицательное число Ь *.{ , такое, что Н(^) имеет (П +1) -ую ограниченную производную на S 71 J , и
Таким образом, порядок нуля функции ti№) в единице равен И -і . Это условие однако не ограничивает общности рассмотрения (см. теорему I.I). Отметим, что если М(&) удовлетворяет условию (I), то соответствующий оператор Н (5) имеет вид:
Основным результатом данной главы является теорема о приведении оператора с я.о.с. М-і к простейшему виду. Пусть Т - оператор умножения на независимую переменную
ТЕОРЕМА I. Если оператор Ц имеет вид (5), функция И (эс) удовлетворяет условию (I), то существуют числа Л жЯо,№л2-0, UeJVo^O х, и оператор 1^, с я.о.с. -I, функция, входящая в ядро которого, непрерывна, такие, что Г ~Яок Тя = (Е+КГ'Г'УТ^Е+К).
Эта теорема по требованиям, налагаемым на функцию И. (ос) , аналогична соответствующей теореме Л.А.Сахновича об операторах с ядром, зависящим от разности аргументов (теорема 2 3 в [I8J). Однако, доказательство проводится другим методом. Во-первых, при доказательстве не используется операция извлечения корня /1-ой степени из оператораЯ , а оператор преобразования строится непосредственно. Во-вторых, при П=1 частная производная по X ядра оператора (5) (который, как видно из теоремы I, будет корнем It-ой степени из исходного оператора Н) является неограниченной * Если функция вещественнозначная, то Я и Я о неотрицательные числа. функцией, а смешанная частная производная по« и h не суммируема в области (/? & 4- { ) , и поэтому он не удовлетворяет условиям теоремы I I из [18] , устанавливающей линейную эквивалентность вольтеррова оператора и оператора интегрирования.
Во втором параграфе получены теорема о порождающих функциях и описание инвариантных подпространств оператора И . Отметим, что инвариантные подпространства операторов обобщенного дифференцирования и обобщенного интегрирования в пространствах аналитических функций изучались в работах Ю.А.Казьмина [19] , Н.К.Никольского [13] , К.М. Фишмана [20], Н.И.Нагнибиды [21] и др.
Третий параграф посвящен приложению полученных теорем к нахождению интегральных представлений целых функций, коэффициенты которых являются произведениями моментов некоторой функции. Такой класс функций встречался в работе В.С.Зюзина [22]. Приведем одно следствие данного результата.
ТЕОРЕМА 2. Пусть р й , а „ г * _ f cui)g... (aP)t *f обобщенная вырожденная гипергеометрическая функция. Тогда, если R.Gd>0t і- i,ty, , то существует натуральное число S и непрерывная функция ( i) , такие, что * iJi-i ~ ^P1111 Я~Р+ ^ ~ой степени из *
Это представление является обобщением известного интегрального представления вырожденной гипергеометрической функции (см. Г.Бейтман, А.Эрдейи[23] ).
Во второй главе получена теорема о разложении по с.п.ф. операторов (I), (2), (3).
ТЕОРЕМА 3. Пусть оператор Я имеет вид (I), (2), (3), оператор Я имеет вид (5), функция п. (&) удовлетворяет условию (I), функция (]ц(Ж) і Vk. (&) , K.ai,nt> непрерывны, и &к. Ф 0 f X. = {,ltL , {д%} д/ = ±t і Xft jKe- системы неотрицательных чисел, и никакие два из них не отличаются на целое, кратное її , ОС к , и. « і, m> являются порождающими функциями оператора Л в!^[0,4];2пг<И. Тогда, если функция i(<)&hp№741 при некотором p>j , на [0,й) то ряд Фурье по с.п.ф. оператора А сходится к функции +(сс) равномерно на всяком отрезке [О, о J ? b Доказательство этой теоремы основано на приведении оператора Л к простейшему оператору ГДЄ п& функция Mi(JC,) непрерывна и имеет оценку (4). Этот оператор исследуется с помощью метода, предложенного А.П.Хромовым в - II - [2-3] и развитого затем в работе Л.Б.Манцева и А.П.Хромова [24]. В рассматриваемой ситуации возникают дополнительные трудности, связанные с оценкой ядра резольвенты оператора Ма в окрестности нуля. При получении этой оценки существенную роль играют свойства функций типа Миттаг - Лефлера. Эти функции подробно изучены М.М.Джрбашном [25]. В третьей главе исследуются, в основном, операторы с разрывным ядром типа функции Грина. Это операторы, которые мошю представить в виде: я=э+л, (8) где і о и функция >N(X., і-) непрерывно дифференцируема. Такие операторы изучались в работе А.П.Хромова [26] . Разложения по собственным функциям некоторых классов таких операторов рассматривались также В.П.Курдюмовым [27] , Л.Г.Назаровым [28] . Первый параграф данной главы посвящен приведению оператора с ядром типа функции Грина к простейшему виду. ТЕОРЕМА 4. Пусть А - оператор вида (8), Д = {(сс, і), 0'4ЗС&І Q^t^i] , J$(X,i) имеет непрерывные смешанные производные по ОС и і : . . Тогда существуют непрерывная в J) функция Ц (ос, ±), натуральное число т и непрерывные функции Qц(Х) , V* (&) такие, что оператор Л линейно эквивалентен m-мерному возмущению оператора интегрирования А0 : №=nix.t)Ut,)dt, JI0l = i/|+ZCK(l)flK. О) К* і v В основе доказательства этого факта лежит общий метод обращения дифференциального уравнения в частных производных, которому удовлетворяет ядро оператора преобразования, использовавшийся для дифференциальных операторов (см., например, Б.М.Левитан[29]). Некоторый аналог этого метода был затем распространен М.М.Мала-мудом, Э.Р.Цекановским в [30] на вольтерровы операторы Из теоремы 4 следует, что задачи спектрального анализа для оператора (8) сводятся к соответствующим задачам для оператора (9). В 4 данной главы получены теоремы о разложении по с.п.ф. конечномерного возмущения оператора интегрирования в случае степенного роста резольвенты. Приведем характерный результат. ТЕОРЕМА 5. Пусть оператор Л о имеет вид (9), функции Q^iCC), Ун. («), К, = і, HL абсолютно непрерывны, Q^^) ^ 1*г [0,4] 9 Vt(JC)eL2[0,i], us = dehlSK,j +C*(Q'j) + J 5 (3-5) VK (0)- .^.(0)+|S(S-i)VK(i)^.(0)I,,j.-i и выполнено условие A 0t A Д . Тогда, если функция - ІЗ -t (X) абсолютно непрерывна, f (&) <3 і,г [О, і] и u.(f) = /сом" +ZcM')Z ^(о;д^- =o, где Л ^,4 - алгебраическое дополнение К, * -го элемента в Д , то функция f(cd) разлагается в равномерно сходящийся на [0,1] ряд по с.п.ф. оператора Д0, Теорема 5 соответствует регулярному случаю, так как при выполнении условий теоремы резольвента оператора Я0ограничена. Если А ф 0 , то обратным к оператору $ является опера-тор L , порожденный интегро-дифференциальным выражением l(U)=(E+U){/' , где /2 - конечномерный оператор, и интегральным краевым условием. Разложение по с.п.ф. конечномерного возмущения дифференциально-граничного оператора, порожденного регулярными краевыми условиями, рассматривались 0.Г.Сторожем [31-32], который распространил на такие операторы известный результат, приведенный в книге М.А.Наймарка [33]. Заметим, что если порядок дифференциального выражения, порождающего этот оператор, равен единице, то он совпадает с оператором L . Однако, требование Д ф 0 не вытекает из условий теоремы 5. Таким образом, даже в регулярном случае переход от оператора л0к обратному оператору L сужает класс рассматриваемых операторов. Поэтому в 2 мы получаем асимптотическое представление компонент резольвенты непосредственно оператора (9), которые затем используются для получения теорем о разложении. В заключении 4 результаты, касающиеся коночномерного возмущения оператора интегрирования, переносятся на операторы вида (I), (2), (7). Отметим, что используя методы работы А.П.Хромова [26], можно получить теорему о разложении по с.п.ф. оператора с ядром типа функции Грина при условии регулярности по Биркгофу краевых условий обратного к нему интегро-дифференциального оператора. Однако эти условия сложно выражаются через ядро оператора и их трудно выписать. Предположим, что оператор Л с разрывным ядром типа функции Грина имеет вид (I), (2), (7). Возможность такого представления для операторов, удовлетворяющих условиягл теоремы 4, следует из результатов 3, в котором найдено характеристическое свойство вольтерровых операторов (2), (7). В этом случае можно явно выписать условия регулярности оператора Я и разложения в ряд по с.п.ф. А некоторых классов функций, имеющих специальное представление типа истокообразного. В тексте диссертации используются следующие обозначения: lvfl( л ) =(Е " «Лл ) - резольвента оператора Л ; А - ( Е - ?1 А ) *Л ~ Резольвента Фредгольма оператора Л ; если оператор Л действует в банаховом пространстве О , то ЦА1\р. - норма оператора; 6(A)- спектр оператора Д ; если о^и о2 - некоторые множества, то о{\ 52 - их раз- ность; 4) если M = lHw,bUk)di, Ml=JM(L,*)l(t)di; 5) (V'^ =)V(x)q(X)dx; _ f 17 сс>о 6) А(Х) - < - функция Хевисайда; - ее опреде- 15 -символ Кронеккера; 7) ^г\Уч. - -матрица пь * At, Яц , .. ., Ji^tv * » о если ftl-n , то duliAutjh=i,nb = литель; 9) С, Сц , С ,1) , D... - различные константы; д Нх(л,і) = ^Ч(л,і), HiW,i) = -^-M(^,t). Теоремы и формулы введения нумеруются с помощью одного, а теоремы, леммы и формулы в остальном тексте с помощью двух чисел. Первая означает номер главы, вторая - номер формулы. При ссылках на теоремы и формулы введения первое число равно нулю. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [44-47] и докладывались на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики (под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора А.П.Хромова), на объединенном семинаре по теории функций и дифференциальных уравнении Саратовского государственного университета им. Н.Г.Чернышевского (под руководством доктора физ.-мат. назпк, профессора Н.П.Купцова, на научном семинаре кафедры математического анализа Ростовского государственного университета им. М.А.Суслова (под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Ю.Ф.Коробейника), на Всесоюз- х Это обозначение применяется только в третьей главе для сокращения записи в формулах. ном симпозиуме по теории аппроксимации функций в комплексной области в г. Ще в мае 1980 г., на II конференции молодых ученых в г. Ще в апреле 1981 г., на конференции " JJf - теория В.П.Потапова и связанные с ней вопросы" в г. Одессе в апреле 1981 г., на Саратовской зимней школе по теории функций и приближений в г. Саратове в январе 1982 г., на Всесоюзной школе по теории функций, посвященной 100->яетию со дня рождения академика Н.Н.Лузина в г. Кемерово в сентябре 1983 г. Теоремы и формулы введения нумеруются с помощью одного, а теоремы, леммы и формулы в остальном тексте с помощью двух чисел. Первая означает номер главы, вторая - номер формулы. При ссылках на теоремы и формулы введения первое число равно нулю. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [44-47] и докладывались на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики (под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора А.П.Хромова), на объединенном семинаре по теории функций и дифференциальных уравнении Саратовского государственного университета им. Н.Г.Чернышевского (под руководством доктора физ.-мат. назпк, профессора Н.П.Купцова, на научном семинаре кафедры математического анализа Ростовского государственного университета им. М.А.Суслова (под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Ю.Ф.Коробейника), на Всесоюзном симпозиуме по теории аппроксимации функций в комплексной области в г. Ще в мае 1980 г., на II конференции молодых ученых в г. Ще в апреле 1981 г., на конференции " JJf - теория В.П.Потапова и связанные с ней вопросы" в г. Одессе в апреле 1981 г., на Саратовской зимней школе по теории функций и приближений в г. Саратове в январе 1982 г., на Всесоюзной школе по теории функций, посвященной 100- яетию со дня рождения академика Н.Н.Лузина в г. Кемерово в сентябре 1983 г. В этой главе будут рассмотрены операторы вида (0.5). Прежде всего, в I находится общий вид оператора в LplOjil , который является іг-ой степенью оператора обобщенного интегрирования А.О.Гельфонда - А.Ф.Леонтьева. В статьях А.О.Гельфонда, А.Ф.Леонтьева [4], Ю.Ф.Коробейника [6, 34] использовалось представление оператора обобщенного дифференцирования, действующего в пространствах аналитических функций, в форме интегрального оператора с ядром, зависящим от отношения аргументов. Интегрирование здесь ведется по контуру, охватывающему область аналитичности рассматриваемого класса функций. Ю.А.Кирютенко распространил эти рассудцения на случай операторов обобщенного интегрирования [35]. И toe) удовлетворяет условию (II): она 2 раз дифференцируема на полуинтервале ІО,і], существуют и конечны -Иіт& И (&), существует неотрицательное число S i , такое, что Я (&) имеет "2 + 1-ую ограниченную производную на [5,4]; Bf(jc)=:f(OC, п) Тогда, если t фиксированное неотрицательное число, такое, что и функция И о (X) удовлетворяет условию (I) при /1 = 2 . Отсюда следует, что степень однородности оператора (0.5) можно считать совпадающей с порядком нуля соответствующей функции. Остальная часть I посвящена приведению такого оператора к простейшему виду (теорема 0.1). При доказательстве основную роль играют свойства замкнутости класса операторов с я.о.с. 1 относительно умножения (лемма 1.3), перестановочности операторов с однородными ядрами (лемма 1.5), и представление оператора с я.о.с. "1 (лемма 1.7). В данной главе будут рассмотрены операторы вида (0.8). I посвящен доказательству теоремы 0.4. Кроме того, в этом параграфе рассмотрены следующие операторы: где о - вещественное положительное число, и Оператор является оператором дробного интегрирования Римана - Лиувиля, изучавшийся М.М.Джрбашяном [25]. Очевидно, что если У (Л) -І , то функция J\[(&, t) является целой по ОС, порядка, непревосходящего 9 и типа, непревосходящего б , и, обратно, любую такую функцию можно представить в виде (3.2). ТЕОРЕМА 3.1. Пусть оператор А имеет вид (3.1),(3.2).Тогда, если (э ( ($))nnlt то существует натуральное число пь , ограниченные на [о ] функции 0ц(&), V (CC)? hi ifnv и функция R(0C,) вида (3.2), такие, что Заметим, что в теоремах, устанавливающих линейную эквивалентность вольтеррова оператора Мт — д г[(ЗС,і)г(і)агж операторд !j (см., например, Л.А.Сахнович [18, 39jf) , основным является условие типа аналитичности ядра М ( #,). Основной результат I дополняет полученная в 3 теорема о вольтерровых операторах с ядром типа функции Грина. ТЕОРЕМА 3.2. Если оператор М имеет вид (0.2),(0.7), функция JVY«#, w имеет непрерывные смешанные производные в D то 6 (M) = i } тогда и только тогда, когда оператор М линей-но эквивалентен либо У , либо !jT . Утверждение этой теоремы устанавливается для конечномерных возмущений оператора интегрирования (этого достаточно для доказательства теоремы 3.2). Отметим, что данные операторы, рассматриваемые в Lg[0, і] , содержатся в классе операторов, имеющих конечномерную мнимую компоненту. Условия эквивалентности (квази-эквивалентносви) таких операторов и оператора интегрирования были получены М.С.Лившицем [40] , Л.А.Сахновичем [41] и др. Однако, если размерность мнимой компоненты больше единицы, то эти условия формулируются в терминах характеристической матрицы - функции оператора, а не в терминах его ядра. В 4 на основании асимптотического представления компонент резольвенты оператора (0.9) получена теорема о разложении по с.п.ф. конечномерного возмущения оператора интегрирования. Обозначим Д&(&) И Д(&) - определители матриц, полненных из Д (5} ж Д(&) соответственно, после удаления S -го столбца; &$,",$ - определители матриц, получанных из Д (О),Д(0) соответственно после удаления нулевого столбца и замены -го на U-g - определитель матрицы, полученной из Д (О) добавлением строки 1((0), (0),..., дт(0)] и замены S -го столбца на IL& (f) - О, t-Oyp в случае выполнения условия 2),то функция f (JC) разлагается в равномерно сходящийся на ГО, і 7 ряд Фурье по с.п.ф. оператора Я0. При выполнении условий теоремы 3.3 резольвента оператора Д; неограничена, но имеет степенной рост. Для оператора А с разрывным ядром типа функции Грина, удовлетворяющего условиям теоремы 0.4, очевидно, справедливо следующее предложение. Предложение 3.1. Если оператор А удовлетворяет условиям теоремы 0.4, то функция \ разлагается в ряд по с.п.ф. оператора Д , равномерно сходящийся на Го,і] , тогда и только тогда, когда функция О -(Е+Н) г разлагается в равномерно сходящийся ряд по с.п.ф. оператора Ао Этот результат,теоремы 0.4, 0.5, 3.3 позволяют описать класс операторов с разрывным ядром типа функции Грина, имеющих степенной рост резольвенты, и условия разложения произвольной функции в ряд по с.п.ф. таких операторов. Однако, эти условия трудно сформулировать в явном виде, так как они выражаются через ядро оператора преобразования. Поэтому мы будем использовать специальное представление оператора (0.8). После разложения v at " ЯГ/ в бином Ньютона и сокра-щения на JC- , следует, что в S имеет место оценка Без ограничения общности можно считать, что оС - л . Пусть и -такое вещественное число, что Тогда в этой области Пусть W0 - такое вещественное число, что Ч0 $ и Тогда в этой области 1аЛ 0" 1 /2, (3.44) Пусть тогда в этой области где С - некоторая положительная константа. ЛЕММА. 3.32. Пусть A - нули функции Тогда для всякого S 0 мо}кно указать чжслоЛ 0 такое, что при -fin-Q /Л/х J)f , где Q - объединение S -окрестностей точек p-IrnCL , таких, что \j\nl N-S. В области « = J\ Q. справедлива оценка / У д ( Л) J С , - 130 С - некоторое положительное число. Доказательство. Обозначим Используя вид \Р0 и разложение в бином Ньютона ( jt f +ct), получим где Нулями 10(О?, Л,) являются пары (Л, ot) вида ( + У +жп, In \Щ\ Используя периодичность f0(X;oC) по X , и рассуждая, как и в [32], получим заключение леммы. Наконец, в ограниченных замкнутых множествах S Qti ,S$z верхней полуплоскости, полученных из областей \Л: Irrt А OC.D , 0 ЙеЛ уо) и {Л : 1т Л 4 Я0, -y ReJ O} соответственно, после удаления о -окрестностей нулей функции У (Л), имеют место оценки ІУо(Л) С ,/?РІШІ С, С 0. (3.47) Пусть S Q область, полученная из верхней полуплоскости после удаления -окрестностей нулей функции УЧА). ЛЕММА. 3.30. Имеют место оценки в S$ : J_= fOCe-"), ЄЛ 0 . (3.48) ) YOU-5), йеЛ О Ш) = 0(j)f і 0,S-1 . (3.49) Доказательство. Обозначим - 131 Тогда из (3.40), (3.41), (3.43), (3.47) следует, что Ш) = 0 ) Тогда из (3.39), леммы 3.32, (3.47), (3.42), (3.44), формулы У 0Ш = CLASe iPi (J\) и (3.46) вытекает, что 7pfij) = = 0(@ )в S$ . Таким образом, (3.48) доказана; (3.49) следует из (3.40), (3.41 - 3.45), (3.48). Аналогичные рассуждения проводятся и для нижней полуплоскости. 2. В этом пункте мы докажем теоремы 3.3, 0.5. Доказательство теоремы 3.3. Пусть выполняется первое условие теоремы 3.3. В этом случае обозначим Тогда из лемм 3.28, 3.30 следует, что и . где S/j — Л - плоскость с выброшенными 8-окрестностями нулей функции ( Л ) . Из леммы 3.19 с помощью метода контурного интеграла получаем, как и в [3] , утверждение теоремы. Если выполняется второе условие теоремы 3.3, то рассужцения проводятся аналогично. Теорема 0.5 доказывается точно также. Из теоремы 0.4, леммы 3.16 следует, что оператор с разрывным ядром типа функции Грина (0.8), если ядро оператора Jf удовлетворяет условиям теоремы 0.4, можно представить в виде (0.1), (0.7), (0.2), где М вольтерров оператор с разрывным ядром типа функции Грина и такой, что для любой + G L [ 0,1 J ЛЕММА. 3.34. Пусть Л вольтерров оператор вида (0.8), который удовлетворяет условию (3.50). Тогда, если функция JV(&,t) имеет непрерывные в, D смешанные производные то оператор tl линейно эквивалентен оператору С/ : где Я (О? ,i) непрерывна в В , #(0Д)=О, (E + K) i = i. Доказательство следует из теоремы 0.4, леммы 3.16, леммы 3.29, теоремы 3.2, леммы 3.28, замечания 3.2. Из этой леммы, представлений t = / +- (0) = / У + по0С справедливых для любой абсолютно непрерывной функции вытекает лемма. ЛЕММА. 3.35. Пусть оператор i\ удовлетворяет всем условиям леммы 3.32. Тогда любую абсолютно непрерывную функцию + (32) можно однозначно представить в виде: hx) -H74(x)i-q0h(x)f - 133 где Y){OC) фиксированная функция, определяющаяся из условий Доказательство теоремы 3.4. Утверадение данной теоремы следует из теоремы 0.5 и лемм 3.34, 3.35 с помощью метода оператора преобразования. В этом параграфе будем считать, что число Л/о определенное в теореме 0.1, вещественно. I. Этот пункт посвящен доказательству теоремы 1.2. ЛЕММА 1.9. Пусть оператор л имеет вид (0.5), функция Н(Х) удовлетворяет условию (I), числа Л ,Ло и оператор К с я.о.с. -1 описаны в теореме 0.1, t фиксированное целое число, такое, что t /it, тогда функция Q будет порождающей для оператора Н ііл t0,i] тогда и только тогда, когда функция Q± =Т (Ел+ЮТ Ц1Я УДет порождающей для оператора Уп. Доказательство. Из условий леммы следует,что оператор Т rl является ограниченным оператором в L\2,C0,i]. Далее и Jitf fc и » начиная с некоторого К . Действительно, пусть это не так. Тогда, используя леммы 1.3, 1.5, операторе/ можно пред ставить в виде: // _ N 1Ь&/П . лГ \ где JVt оператор с я.о.с. ""4 . Пусть п.е.№) - функция, входящая в его ядро ж дв. - целое число, такое, что &L rnQOC / fce)[ Если для некоторого \L Zi Ли = 0 , то для этого # : IE Лі) & - о. Следовательно, _ Таким образом, мы пришли к противоречию, так как оператор Е +Т Ле.1 обратим, согласно лемме 1.4. Пусть функция Q является порождающей для оператора Н , тогда функция Q2 T п Q является порождающей для оператора ТУ. Т t на самом деле, пусть Тогда Так как 0 - порождающая функция оператора И. , то (т-лн1) -о. Умножая скалярно это равенство на Xй, 0 К. 4 = и исполь « AT Р зуя вид Т U Xй , получаем =» 0 п.в. Далее, функция 95 " (Е+ЮСІпвУЯв? порождающей для оператора Т " J- Это следует из теоремы 0.1 и обратимости оператора + / . Наконец, функция Qi Т Qb будет порождающей для tl " . Действительно, пусть .( V Qs ... Тогда, Отсюда следует, что 1-й п.в., таким образом, необходимость доказана. Обратное рассуждение проводится аналогично. Доказательство теоремы 1.2. Используя замечание I.I., лемму 1.9, обратимость оператора Е+№ вЬдСОЛЗдля любого неотрицательного 6 и теорему Л.А.Сахновича о порождающих функциях оператора У [36],получим заключение теоремы. Приведем пример, показывающий точность оценки . Рассмотрим оператор Для этого оператора И = 2 , функция ti(X) =- - -X -$& , обладает свойством (I), и выполняется равенство: Оно легко проверяется на функциях системы степеней (Ж }цх0 , а его справедливость в L j- » 41 следует из полноты № }к-.0 Таким образом, для данного оператора II - —Т ИТ t J\f0 =2, N=5. (Обратимость Е + \1 следует из представления Ц Т ( ТІИ)Т8 и леммы 1.4). Из теоремы 1.2 следует, что I должно быть не меньше - -{ . Покажем, что действительно I нельзя взять равным нулю. На самом деле, для функции Q(3C)=1 Ucj= $ отлично от тождественного нуля на любом отрезке [0,], , но МО - 0, и поэтому Q не является порождающей функцией оператора ЯПриведение оператора с ядром, однородным степени Yi-i к простейшему виду
Интегральное представление одного класса целых функций
Асимптотика ядра резольвенты
Асимптотика резольвенты конечномерного возмущения оператора интегрирования
Похожие диссертации на Разложения по собственным и присоединенным функциям конечномерных возмущений вольтерровых операторов
